第9期：位似图形 图形与坐标-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大中考第6~9期 裁理柄 答案详解 2026~2027学年 初中数学·华东师大中考第6~9期 第6期2版 8器=子所以0h=6,因为AD∥BEcP,所份-品 0G1 22.1.1成比例线段 基础训练1.D;2.D;3.C; 所以 号，所以PM=15 4号；56 22.2相似图形 6.△ABC是直角三角形.理由如下： 基础训练1.B:2.D;3.号；4.6； 设0+4=6+3=+8=k,则a=3k-4,b=2k-3,c 5.2y=3x或3y-2x=10. 3 2 4 6.设运动ts能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意得 =4k-8. 因为a+b+c=12,所以3k-4+2k-3+4k-8=12, 兰=是或9=受解得1=4或1=1所以当，N运动4 解得k=3. 或1s能使矩形CFNM与矩形AEFD相似. 所以a=5,b=3,c=4. 能力提高7.(1)证明：因为∠BAD的平分线交BC于点 所以62+c2=32+42=25=a2. E,所以∠BAE=∠EAF.因为四边形ABCD是平行四边形，所 所以△ABC是直角三角形 以AD∥BC.所以∠EAF=∠AEB.所以∠BAE=∠AEB.所以 能力提高7.当a+b+c+d≠0时， AB=BE.同理AB=AF所以BE=AF.因为AD∥BC,所以四 2a 26 2c 2d 因为b+c+a=a+e+a=a+b+a=a+b+c =k, 边形ABEF是平行四边形.因为AB=BE,所以四边形ABEF是 菱形. 2a+2b+2c+2d 所以b+c+d+a+c+d+a+b+d+a+b+C =k, (2)由(1)知，四边形ABEF是菱形，所以AB=BE=EF 8+出=6所以4= =FA.又因为四边形CDFE是平行四边形，所以FD=CE,EF 3(a+b+c+d) 3 =CD,所以AB=BE=EF=FA=CD. 当a+b+c+d=0时，b+c+d=-a,所以2L=k,解 设FD=CE=x,因为四边形ABCD是平行四边形，且AD -a =BC=4,所以AF=BE=CD=EF=4-x,因为□ABCD 得k=-2. 综上所述，k的值为子或-2 口5C0,所以号=品即产，兰整理得-12x+6 =0,解得x=6±2√5，因为x<4,所以x=6-25,所以AF 22.1.2平行线分线段成比例 =4-6+25=25-2. 基础训练 1D;2.B;3.2:4.6;5.4 第6期3版 6.证明：因为口ABCD,所以AB∥CD,AD∥BC,所以 题号12345678 EF= 答案BBCDCD BB 器器-祭所以器-张即cP=BF,6R 7 二、9.5；10.8；11.(300-1005)m;12.3: 能力提高7.(1)因为AD∥BE∥CF,所以Ag=DE AC=DF 13.51.2;14.22. 三、15.证明：因为菱形AEFG菱形ABCD,所以∠DAB= 号，所以2作i0=号所以DE=4,所DF=DE+EP=4 ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= +10=14. ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以 DE 16.(1)因为(a+b):(b+c):(c+a)=7:14:9,设a 初中数学·华东师大中考第6~9期 +b=7k,b+c=14k,c+a=9k,则a+b+c=15k,所以a= 又因为PW∥AC,所以DE∥AC,所以6-2所以0- k,b=6k,c=8k,所以a:b:c=1:6:8. AB AE (2。+的值为-品 c2+bc 指-铝光同理可得完-铝·器所以岩+袋-岩 AB AD BC AB AC AD AP 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, (BC+BC 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 第6期4版 以BE=BC. 重点集训营 (2)AE=BC.理由：因为AD∥EF,EF∥BC,所以 品因为DF=FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE- 4.CE=26. BC. 第7期2版 18.过点D作DG∥CF,交AB于点G.因为DG∥CF,所以 22.3.1相似三角形 祭-2.因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC,所以BG= 基础训练1.C；2.A;3.12；4.2√3 能力提高5.(1)因为AB∥CD,所以△ABE∽△DCE, GF,因为DG∥CF,所以5=45 AFG=ED 所荒-光=号=号又因为B∥F,所票-能 (1)因为E为AD的中点，所以AE=ED,所以AF=FG= Bc,所以品= 3 （2)因为汽=太，所以瓷=士所以FG=MP,所以G (2②)因为cD∥，所以△BF~△BCD,所u品-品 2 =FG=MF,所以BP=24F,所以部=都e=六 AF 又因为cD=15,器=子所以EF=c0能=15×2子3 6. 19.（1)如图1，连结BC,设AB=x,由翻折的 22.3.2相似三角形的判定（第一课时） 性质得，∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF 基础训练1.D;2.B;3.70;4.1.4. =∠BDF=90°.因为∠ACE=∠ACB+∠ECB= 能力提高5.(1)作图略。 ∠BCF=∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以 ∠ACB=∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD= 图1 (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=子∠BAC, BC=√2x,所以AD=AB+BD=(√2+1)x,所以EF=CE= 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=7∠BAC,所以∠BAD=∠C, AD=(2+1)x,因为DE=AC=AB=x,所以DF=DE+EF 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD△CBA. 2%资反 22.3.2相似三角形的判定（第二课时） 基础训练1.D;2.C;3.2或8； (2)相似.理由：由题意知：A5纸长边为A4纸短边，长为 4.(1,4)或(3,4). (万+1)x,A5纸短边长为(2，+2)x,所以在A5纸中，长边： 能力提高5.(1)证明：因为正方形ABCD,所以∠A= 2 短边=5+)x=万，所以4纸与A5纸相似. ∠D=0,AB=CD=AD,因为CF=3FD,所以FD=子CD, (5+2)x 2 因为E是AD的中点所以A=BD=子40，所以号- 20.(1)过点D作DE∥PM交AB于E,因为点D为BC中 2,所以△ABE△DEF 1 点，所以点E是AB中点，且是-品所以错-=司 (2)△ABE与△BEF相似，理由：设AB=AD=CD=BC (2)证明：延长AD至点Q,使DQ=AD,连结BQ,CQ,则四 =4a,因为E为边AD的中点，CF=3FD,所以AE=DE=2a, 边形AB0C是平行因边形，所以PM∥B0,PV∥c0,所以光 DF=a,CF=3a,所以BE=25a,EF=√5a,BF=5a,所以 BF2=EF2+BE2,即∠BEF=90°，所以∠A=∠BEF=90°， 6袋6所以岩-光 AB=AC 因为提-岩=2祭：=2，所光-华所以△M8E 5a (3)证明：过点D作DE∥PW交AB于E,所以是-品 △EBF. 一2 初中数学·华东师大中考第6~9期 22.3.2相似三角形的判定（第三课时） ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 基础训练1.A;2.18;3.①③， ∠EBC=∠BAD=21°. 4.证明：因为AB=2,BC=3,CD=6,AD=8,AC=4,所 (3)证明：由()知∠D=∠CE因为8-能所以光 以号=8%=长=分所以△Bc△4Cn.所以∠BMC= AE,所以△ABD~△ACE ∠CAD,即AC平分∠BAD 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC, 3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=√5，BC=25, ∠BAE=∠BCF=45°.因为BE=BF,所以∠BEF=∠BFE. 所以∠AEB=∠CFB.所以△ABE≌△CBF.所以AE=CF. 在△ABC和△4CD巾，因为%=5=5%=25 1 2 (2)证明：因为∠BEC=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE, 5是-启-，所光-器-把所以△4c△4n ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE,所以∠BEC= ∠ABF.因为∠BAF=∠BCE=45°，所以△ABF△CEB. 第7期3版 (3)EB=EG,BE⊥EG.理由如下： 题号12345678 因为∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC,所以 答案CCB CC B BB △BEF△cGF,所u器-3即品-8保 BF=CF 4 二9.∠AED=∠B(答案不唯一)；10.3；1山.丁； 因为∠EFG=∠BFC,所以△EFG∽△BFC.所以∠EGF 12.30°或60°；13.(-4,0)或(-1,0)或(1,0)： =∠BCF=45°.所以∠EBF=∠EGF=45°.所以EB=EG, 14.4或7. ∠BEG=90°，所以BE⊥EG. 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= 20.(1)证明：因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所 ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°，因为∠BFE+ 以∠B=∠C=45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE,又∠DGE=∠AGC,所 ∠BPE+∠BEP=135° 以∠AGC=∠BFE,又∠ACB=∠FEG=90°，所以∠AEC+ 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 ∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC=∠BEF,所以 ∠BPE+∠CPF=I35°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= △AGC∽△EFB. ∠C,所以△BPE∽△CFP. 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以∠ADC= (2)△BPE∽△CFP.理由如下： ∠BEC=90°，因为∠C=∠C,所以△ACD~△BCE,所以 因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以∠B=∠C CE =45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BPE+ =能即光=能又因为∠C=∠c,所以△CB一acDE ∠BEP=135°. 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 (2)因为点D是BC的中点，AD⊥BC,所以AB=AC,在 ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= Rt△BEC中，因为CE=6,BE=8,所以BC=10,所以CD= ∠C,所以△BPE∽△CFP. 号C=5,因为△4CD△BCE,所以品=8器所以4C= (3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， 空所以4B=4C=马 理由如下： 同(2)，可证△BPE∽△CFP,得CP:BE=PF:PE,而CP 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠CAB. =BP,因此PB:BE=PF:PE.又因为∠EBP=∠EPF,所以 因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB,所以AD: △BPE△PFE. AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD. 第7期4版 (2)因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.因为∠DAC= 重点集训营 ∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为∠AFD=∠CFE,所以 △AFD∽△CFE. 1.D,22或号 1&()证明：因为始-器=长所以△ABc∽△A0E, 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- (2)因为△ACE≌△ABF,所以AE=AF,∠CAE= ∠DAF,即∠BAD=∠CAE. (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 ∠B,因为1G=40A8,4C=A8,所u号=授即治- AO 一3 初中数学·华东师大中考第6~9期 长所以△4CE△AF0 因为品=器所以哈培解得48=1B5m 第8期2版 答：该龙形雕像的高度为13.5m. 22.3.3相似三角形的性质 7.(1)证明：因为SD⊥AC,所以∠SDA=∠SDC=90°， 基础训练1.C:2.A;3.子： 所以∠SDM+∠MDA=∠SDB+∠BDC=90°. 因为∠MDS=∠BDS,所以∠MDA=∠BDC. 46:516:630, (2)因为TE⊥AC,所以∠TEA=∠TEC=90°.所以 ∠NET+∠NEA=∠BET+∠BEC=90°. 7,)因为△ABc~△1gC,治=子，所以0 CD= 因为∠NET=∠BET,所以∠BEC=∠NEA. 因为∠BCE=∠NAE=90°，所以△BCE∽△NAE. 所器=所以=2 以2+2=2-2-2解得M=3m 又因为CD=4cm,所以C'D'=2CD=8cm,即A'B'边上 因为∠BCD=∠MAD=90°，∠BDC=∠MDA,所以 的中线C'D'的长为8cm. 指=分，所以 (2)因为△ABC~△A'B'C',AB= △BCD一△MA0.所以%-所以片=2解得M4 C△AB'C =7.5m. 2 所以MN=MA-AW=7.5-3=4.5(m),即此公益广告 又因为△ABC的周长为20cm,所以C△MBC=2C△ABc= 牌的高度MN为4.5m. 40cm,即△A'B'C'的周长为40cm 第8期3版 (3)因为△c△4C,治=分，所以- 题号12345678 SAAB'C 答案AA CBBBDA 二、9.4：1； 10.3；11.22;12.3; 又因为△A'B'C'的面积是64cm2,所以SAABC= 13.；14. 2 =16cm,即△ABC的面积是16cm2. 三、15.因为两个相似三角形的最长边分别是5cm和7cm, 能力提高8.因为DE∥AB,所以∠A=∠CED,因为∠A 所以这两个相似三角形的相似比为5：7， =∠EDF,所以∠CED=∠EDF,所以DF∥AC,所以△BDF 所以这两个相似三角形的周长比为5：7， 一△BCM,所以m= 又因为这两个相似三角形的周长之和为48cm, SABCA BC 7 所以较大三角形的周长为：48×5+7=28(cm. 子所u号所以 BD 2 S△BCA 5 较小三角形的周长为：48×5十7=20(cm. 22=去，因为Sc=50,所以5ar=8 16.因为∠AOF=∠BFD=90°，∠AD0=∠BDF,所以 同理可证得△CDE~△CBA,所以g=(0=是， 9 △40D~△BFD.所以品-8器-8号=1设0F=则A0 BC =0D=x+0.7. 所以SACDE=18,所以四边形AFDE的面积为SAc-S△mF 因为∠AOE=∠CFE=90°，∠AE0=∠CEF,所以 SACDE =24. 22.3.4相似三角形的应用 △40△CE所品票即兰-87解得 基础训练1.B;2.60;3.3.6;4.300;5.12. x=5.6,经检验，x=5.6是原方程的解.所以A0=x+0.7= 能力提高6.因为∠FED=∠ABD=∠HGC=90°，6.3m ∠FDE=∠ADB,∠C=∠C,所以△FED∽△ABD,△HGC∽ 答：0A的高度是6.3m. △4BC,所u铝-品胎-能所以品-能又因为D 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, BE DE =2+BE,BC BE EG+CG=BE+8+3=11+ △4E△4c所u-,器-所-器又 BE,所以2E=E·解得服=16m所以BD=BE+ 3 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DN=EN. DE=16+2=18(m). (2因为DE∥Bc,所以能-8器=号，△0E 4 初中数学·华东师大中考第6~9期 △c0B,所u=8=子 第9期2版 22.4位似图形 DE 因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以△E=（P BC 基础训练1.C;2.D;3.C;4.1:2:5.2 =2务设Sam=4(x>0),则Sam=25x因为四边形BCED 能力提高6.(1)如图2所示，△MBN即为所求. M 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以S△Bc=50. 18.(I)因为AD∥AD,所以△PAD~△PAD,所以 A'D' =祭所以号.，”，解得PW=180m,所以灯泡离地 36 C 面的高度PM为180cm. 图2 图3 (2)设横向影子A'B,D'C的长度和为xcm,同理可得 (2)如图3所示，△BDE即为所求，此时△ABC∽△EBD, △PD~△PM0,所以品=别即0=解得 相似比为2. 22.5.1用坐标确定位置 12,经检验，x=12是原方程的解.所以横向影子A'B,D'C的长度 基础训练1.D;2.C; 和为12cm 3.(北偏东40°，35海里). 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC, 4.建系略.湖心亭(2,5)，望春亭(3,2)，牡丹亭(8,6)，东 因为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=180°-∠BGF,因为∠AGB 门(9,3). =180°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB.又因为∠ABG= 5.以D为坐标原点，DC和AD所在直线为x轴和y轴建立 ∠MBA,所以△BAG△BMA 平面直角坐标系，图略.则点A(0,4),点B(6,4),点C(6,0), (2)连结CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 点D(O,O).过点E作EG⊥CD于点G,交AB于点F.因为AE= CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= CB=CD.又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥ BE,所以AF=之4B=分×6=3在R△AEF中，由勾股定 BC,所以CM⊥BC 理，得EF=√AE2-AF2=52-32=4,所以EG=4+4= 由(I)得品-e所以BG,BN=AB,所以BG·BM 8,所以点E(3,8).(答案不唯一) 22.5.2图形的变换与坐标 BC.所以EC=BC BC=BM 基础训练1.A;2.D;3.(4,-3);4.1:3;5.9. 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC∽△BCM.所以 6.(1)图略。 ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. (2)图略。 20.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,所 (3)点A2的坐标为(3,6)，△ABC与△A2B2C2的周长比是 以∠ADG=∠EBG,∠DAG=∠BEG,所以△ADG∽△EBG, 1:2. 所以%-品 能力提高7.(1)(-5,6). (2)当△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单 由题意，得AD∥CE,AD=CE,所以四边形ACED是平行 位长度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F 四边形，所以ACDE,所以∠AFG=∠EDG,∠FAG= 的坐标是(4，-1)； ∠DsG,所以△4K△EGD.所光-品所以-e 当△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长 BG =DG' 度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F的坐 所以DG2=FG·BG. 标是(5，-5).故填(4，-1)或(5，-5). (2)因为四边形ACED为平行四边形，AE,CD相交于点H, (3)若平移方式为：向上平移1个单位长度，向右平移3个 所以DM=2DC=B=7,AD=CE=24, 单位长度，则点Q(0,y+1),分别过点Q,B作x轴，y轴的平行 线，两平行线交于点H,连接PH,则BH=y+2,QH=4, 在Rt△ADH中，AP=AD2+DF,所以AH=7+24 =25,所以AE=50. 因为Sa网=Sa聊-Sm-Se,所以5=分×(y+ 因为△40G~△BC,所以瓷=品-分，所以4G= 2)×4- ×(+2)×1-7×4×1，解得y=号，因为号 6E,所以4G=宁4-号所以6M=A-4G= 25 3 <3,所以点P的坐标是(-3，号： -5 初中数学·华东师大中考第6~9期 若平移方式为：向下平移3个单位长度，向右平移4个单位】×4×3=5. 2 长度，则点Q(1,y-3),分别过点Q,B作y轴的平行线，再过点 P作x轴的平行线，三条平行线交于点M,N,则BM=y+1,QW (3)设点P的坐标为(a,0),由(1)得点C1的坐标为(4， =3,NP=4,PM=1,MW=5, 0),则CP=14-al, 因为San=S#形w0-SAP-SAP0,所以5=Y+】+3 因为以4，C,P为顶点的三角形面积为弓，所以宁×4- 2 ×5-子×(y+1)×1-7×3×4,解得y=子，因为子< a1×3=子，所以a=3或a=5, 所以点P的坐标为(3,0)或(5,0) 3,所以点P的坐标是(-3，子). 20.(1)因为(a+b-6)2+6-a-2=0,所以 所以点P的坐标为(-3，受)或(-3，子 「a+b-6=0 0所以0=2所以4(0,2），B4,2. L6-a-2=0,b=4, 第9期3版 将点A,B分别向下平移2个单位长度，再向左平移1个单 题号12345678 位长度，分别得到点A,B的对应点C,D,所以C(-1,0),D(3, 答案CDCABCAB 0), 二、9.(2，-5)： 5 10.(2,4):1山.54)12.7或号3 因为AB∥CD,AB=CD=4,所以SAD= CD:04- 13.(7,2)；14.3 5 4. 三、15.略. (2)因为△BMD的面积是△BCD面积的氵，所以△BMD 16.(1)如图4所示，△A1BC1即为所求. 的面积 4×4=5, (2)如图4所示，△AB2C2即为所求. 当点M在x轴正半轴上时，设点M(m,0),所以S△wD=2 65 ·DM·A0=5,所以DM=5,且点D(3,0),所以点M(8,0)或 点M(-2,0)(舍去)： 当点M在y轴正半轴上时，设点M(0,n),点M在线段OA C1 012345678910x 上时，因为S△wD=S梯形ODB-S△ABw一S△MOD=5,所以 图4 17.(1)建立平面直角坐标系略.坐标为：点A(-3,-1), 3+2-分×3xn-7×4x(2-)=5,所以n=4(合 2 点B(-2,0),点E(1,3),点F(2,4) 去).当点M在线段OA的延长线上时，因为S△Bw=S梯形OD+ (2)0.3×(8+8)×2=9.6(平方米). s6w-5am=5,所以3±9x2+7×4x(n-2)-分 2 答：地毯要9.6平方米 ×3×n=5,所以n=4,所以M(0,4). I&(1)因为△ABC与△DEF的相似比为1：2，所以S = 综上所述，当点M(0,4)或(8,0)时，△BMD的面积是 之，所以DF=2AC=4 △BCD面积的子 (2)因为∠0=22°，∠ABC=38°，所以∠0CB=180°- 第9期4版 22°-38°=120° 重点集训营 因为△ABC与△DEF位似，点0为位似巾心，所以e 1.(2m,2m）:2.(分，10. 器器 3.(1)图略. (2)(-4,-6). 所以△OBC∽△OEF,所以∠OFE=∠OCB=120°. 19.(1)图略，顶点A的坐标为(0,3) (3)6×4-7×4x4-合x2×2-分x2x6=8 (2)△A,B,G的面积=4×4-7×2×4-7×2×1- 所以△A1B,C1的面积为8. 一64 素养·拓展 数理极 (上接第3版) 20.(12分)如图15，在平面直角坐标系中， 19.(12分)如图14，已知A(-3,2),点A,B的坐标分别为A(0,a),B(b,a),且a,b B(-1,-2),C(1,-1).将△ABC向右平移满足(a+b-6)2+√B-a-2=0,现同时将 重点集训营 3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点A,B分别向下平移2个单位长度，再向左平移 △AB1C· 1.如图1，△OAB与△0A'B'位以，其中A, 1个单位长度，分别得到点A,B的对应点C,D (1)在平面直角坐标系中画出△AB,C1,连结AC,BD,AB,BC. B的对应点分别为A',B′，A',B′均在图中正方 形网格格点上，若线段AB上有一点P(m,n), 并写出顶点A的坐标； (I)求点C,D的坐标及△BCD的面积； 则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为 (2)求△AB,C的面积； (2)在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在 (3)已知点P在x轴上，以A,C,P为顶点 的三角形面积为了，请直接写出P点的坐标 点M,使△BMD的面积是△BCD面积的子？若 存在，请求出点M的坐标，若不存在，试说明理 由 2.如图2，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心 的位似图形，且相似比为1：3，点A,B,E在x轴 图15 上，若正方形BEFG的边长为3，则D点坐标为 3.如图3，在平面直角坐标系中，△4BC的三 个顶点的坐标分别为C(1,2),B(2,3),A(4,1). (1)以原点 0为位似中心，在 第三象限内画 个△ABC,使它 与△ABC的相似 8-7-654321 5元 比为2：1： (2)点B,的 坐标为 (3) 求 图3 △A,B,C,的面积 数理报社试题研究中心 (参考答案见11期) 4十十4十“十十十 数理报社试题研究中心 （参考答案见11期) 第8期2版参考答案 所以C」 CE = 22.3.3相似三角形的性质 所以+3 NA 辅助线周周统 AE 12-2-2解 基础训练1.C:2A:3子 得NA=3m. 1.如图1，矩形OABC中，点A,C分别在x 因为∠BCD=∠MAD=90°，∠BDC= 轴、y轴上，点B的坐标为(k,2k),连结OB,将 46:516:60 BC MA 矩形OABC沿OB折叠，点A的对应点为点D,则 ∠MDA,所以△BCD∽△MAD.所以 CD-AD 点D的坐标为 (用含k的式子表示). 7.(1)A'B'边上的中线C'D'的长为8cm. (2)△A'B'C'的周长为40cm 所以空=”2解得MA=75m (3)△ABC的面积是16cm2. 所以MN=MA-AN=7.5-3=4.5(m) 能力提高8.四边形AFDE的面积为24. 即此公益广告牌的高度MN为4.5m. 22.3.4相似三角形的应用 第8期3版参考答案 图1 基础训练1.B;2.60;3.3.6; 一、 题号12345678 2.如图2，正方形ABCD的顶点A,D分别在 4.300;5.12. 答案AACBBBDA x轴，y轴上，点B(3,1)在直线l:y=kx+4上 能力提高6.该龙形雕像的高度为 二、9.4：1：10.3：11.22；12.3： 直线1分别交x轴，y轴于点E,F.将正方形 13.5m. ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰 7.(1)证明：因为SD⊥AC,所以∠SDA= B2;14页 好落在直线l上，则m的值为 2 ∠SDC=90°，所以∠SDM+∠MDA=∠SDB+ 三、15.较大三角形的周长是28cm,较小三 u用半口旧彩 ∠BDC=90°. 厚Y‘(w-‘乙)，0学旦本祖‘b+x-= 因为∠MDS=∠BDS,所以∠MDA= 角形的周长是20cm. 16.0A的高度是6.3m. (兵平平￥阳1彩厚用米豫竖马甲‘( ∠BDC. 乙)3开华单明张三毙专钟N☑OV云 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN∽ (2)因为TE⊥AC,所以∠TEA=∠TEC= WaVV云OVaV肾N⊥d0TNOh) 所队∠ET+∠NEA=∠BET+∠EC=△1BM,△MNE△4WC,所以-0： g‘N壬30T Na动ag【些群】T乙 AM'CM 4阴☑ 90° 因为∠NE7:∠B7,所以∠BEC:器所心器=器又因为点V是BC的中点， 学用米业采‘w用类‘彩昱业￥)4H御 w=Aa乙：IH斟aHa7∽☑a0V ∠NEA. 所以BM=CM,所以DN=EN. 组‘1上彩斗a卒‘a4Y垂‘聘xTa 因为∠BCE=∠NME=90°，所以△BCE (2)S△Ac=50. 助0学平【些】(-)孝景】 ∽△NAE. (下转1,4版中缝) 十+ 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 装理居 2026年8月27日·星期四 第 9 期总第1205期 华东师大 0351-5271248 中考 上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN140707/(F)邮发代号：21-207 18.(1)因为 方法技巧 、经纬定位法 AD∥A'D',所以 此法需要两个数据 经度和纬度，此法 △PAD△PA'D' 位似变换中 AD PN 点的坐标的确定 在地理学中有着极其广泛的应用！ 例1这么近，那么美，周末到河北，以下 所以AD=PM,所 表示河北省石家庄地理位置最准确的是 ◎山西赵华 ( 30 PM-30,解 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以 与△AB'C的相似比为1：2，点A是位似中心， A.在河北省中南部 36 PM 原点为位似中心，变换后的图形与变换前图形已知点A(2,0),点C(α，b),∠C=90°，则点C' B.距离沧州市约220公里 得PM=180cm,所 的相比为k,那么原图上点(x,y)的对应点的的坐标为 (结果用含a,b的式子表 C.位于华北平原北部 坐标为(kx,ky)或(-kx,-y);对于位似中心 示) D.北纬38.02°，东经114.30 以灯泡离地面的高 非原点的位似变换，解题时要充分发挥位以图 解析：过点C,C'分别作x轴的垂线CD, 解析：由题意可得只有选项D说明了河北 度PM为180cm. 形的定义和相似三角形的性质的作用。 CD',垂足分别为D,D',因为△ABC与△AB'C 省石家庄的具体位置.故选D. (2)设横向影 一、位似中心是原点，求图形上点的坐标 的相似比为1：2，点A是位似中心，A(2,0),所 子A'B,D'C的长度和 例1如图1，△AB0的顶点 以AD'=2AD.因为C(a,b),所以AD=a-2, 课堂在线 坐标是A(2,6),B(3,1),0(0 CD=b,所以AD'=2a-4,C'D'=2b,所以 为xcm,同理可得 0),以点0为位似中心，将△AB0 D'(2-2a+4,0),所以C'(6-2a,-2b).故填 △PAD∽△PA'D' (6-2a,-2b). 确定位置 AD PN 缩小为原来的？，得到△AB'0, 所以AD=P即 三、求位似中心的坐标 则点A'的坐标为 图1 例3如图3，已知 有方法 =留解得 60 解析：因为以点0为位以中心，将△4B0缩小 矩形ABCO与矩形ODEF ◎安徽巩树彬 是位似图形，M是位似中 =12,经检验，x=12 为原来的号，得到△4B'0,4(2,6),所以当 心，若点B的坐标为(4， 二、方向、距离定位法 是原方程的解所以 △4'B'0在第一象限时，点4'的坐标为3×2,3 3),点E的坐标为(-2， 运用此法，需要两个数据：①方位角：②该 横向影子A'B,D'C的 3 方向上离观测点的距离.二者必须兼备 例2点A的位置如图 5 km 长度和为12cm ×6),即号，2)：当△AB0在第三象限时，点r的2)，则图中点M的坐标 为 1所示，则下列关于点A的 19.证明略 坐标-3×2，-3×6)，即(- 3，-2).故填 2 解析：因为点B的坐标为(4,3)，点E的坐 位置叙述正确的是( ) 20.(1)证明 (号，2)或(- 3，-2) 标为(-2，号)，所以4B=3,0A=4,0D=3 A.北偏西40°方向 5km处 因为矩形ABCO与矩形ODEF是位似图形，M是 B.距0点5km处 图 二、位似中心非原 (2)因为四边 3 C.在点0北偏西40°方向5km处 点，求图形上点的坐标 形ACED为平行四 位似中心，所以M0-OD 2 例2如图2，在平 MA AB 3 =2,所以M0= D.在点0北偏西50°方向5km处 边形，AE,CD相交于 解析：由题意得90°-50°=40°，所以点A 面直角坐标系中，△ABC OA=4,所以M点坐标为(-4,0).故填(-4,0) 在点0北偏西40°方向5km处.故选C 十十十十 十十+十十m+十4十十■十十十■十十十十m+十十+ 点H,所以DH= 入门向导 三、平面直角坐标系定位法 -DC 2AB=7, AD=CE=24.在 位似图形这样画 平面直角坐标系定位法是生活中最常用的 定位方法应用此法所需的两个数据一个是横 坐标，另一个是纵坐标，二者缺一不可. Rt△ADH中，A= 例3中国象棋 ◎四川林伯远 是中华民族的文化瑰 楚河 AD+D,所以AH 例如图1，已知四边形ABCD,将这个四边形 (2)延长CA到点C1,使AC,=2AC: 宝，因趣味性强，深受 √/72+242=25 放大，使放大前后的图形对应线段的比为1：2 (3)延长BA到点B,使AB,=2AB: 大众喜爱.如图2，若 (4)连结B,C,C,D,则四边形AB,C,D,即 所以AE=50.因为 象棋棋盘上“马”的 为所求（如图3）. 坐标为(1,2)，“车” △ADG∽△EBG,所 图2 的坐标为(-2,2)，则 AG AD 1 以EG=BE=2, 所 “炮”的坐标为 解析：根据题意可建立如图2所示的平面 以AG=2GE,所以 画法一：(1)延长AD到点D,使DD,=AD: 直角坐标系，所以“炮”的坐标为(3,1).故填 (2)延长AC到点C1,使CC,=AC; (3,1) AG= 34E=50 所 (3)延长AB到点B1,使BB,=AB; 画法三：(1)任取一点0，连结OA并延长到 (4)连结DC1,C,B,则四边形ABCD1即 本周主讲 点A,使AA,=OA; 以GH=AH-AG= 为所求（如图2） (2)连结OB并延长到点B1,使BB1=OB; 22.4位似图形 2 说明：延长AD到点D,后，也可以过点D,作 (3)连结OC并延长到点C,使CC,=OC; 3 22.5图形与坐标 DC,∥DC,交AC的延长线于点C,再过点C (4)连结OD并延长到点D,使DD,=OD; 主要内容：本期同学们需要掌握位似图形 (全文完) 作C,B,∥CB,交AB的延长线于点B,得到四边 (5)顺次连结AB,BC,CD,DA,则四 的画法和性质，学会用坐标以及角度（方向） 形AB,CD· 边形AB,C,D1即为所求（如图4）. 和距离来描述位置，在平面直角坐标系中研 画法二：(1)延长DA到点D,使AD1= 运用这些画图方法可以解决不少数学问 2AD: 究图形的平移、对称、旋转和位似变换」 素养专练 数理极 22.5.1用坐标确定位置 并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的 对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是 跟踪训练 屋恐训练 1.钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国 A. B.-a+1 2 22.4位似图形 的固有领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图. 下列描述能够准确表示钓鱼岛位置的是( C.-a-1 D.-a+3 堡础训练 A.海上的一个岛 1.如图1，在正方形网格中，以点0为位以中 B.福建省的正东方向 心，△ABC的位以图形可以是 ( ) C.距离温州市约358千米 A.△DEF B.△DFH D.北纬2544.6'，东经12328.4' C.△GEH D.△GDJ 2.如图1，若口ABC0的顶点A,C的坐标分 别是(5,0)，(2,3)，则点B的坐标是 图2 A.(3,7) B.(5,3 C.(7,3) D.(8,2) 3.如图2，在平面直角坐标系x0y中，点C是 x轴上一点，∠A=90°，0A=4,0B平分∠A0C 则点B(a-1,a-2)关于x轴的对称点的坐标是 图1 图2 2.如图2，在正方形网格中，两个阴影部分的 4.在平面直角坐标系中，△ABC与△A,B,C 格点三角形位似，则位似中心为 关于原点0位以，点A及其对应点A,的坐标分别 A.点M B.点N 图1 图2 为(-1,2)，(3，-6)，则△ABC与△A,B,C,的相 C.点P D.点Q 3.如图2，货船A与港口B相距35海里，我们 似比为 3.如图3，△ABC与△DEF是位似图形，点O 用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述港口B 5.在平面直角坐标系中，规定一个点先向上 为位似中心，且OA:OD=1:2,若△ABC的周长 相对货船A的位置，那么货船A相对港口B的位 平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度为 为8，则△DEF的周长为 ( 置可描述为」 1次运动.点P(-2,-3)经过 次这样 A.4 B.25 C.16 D.32 4.如图3是某公园的平面简图，若广场的坐 的运动后到达点P'(7,15). 标为(5,3)，游乐园的坐标为(7,1)，请建立平面 6.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置 直角坐标系，并表示出图中其他地点的坐标 如图3所示 (1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的 丹 △ABC1; 湖心亭 (2)以点M(1,2)为位似中心，作出 图4 东门 △A,B,C,按1：2放大后的位似图形△AB2C2; 4.如图4，点0是等边三角形PQR内一点， 望春亭广场 (3)求点A,的坐标以及△ABC与△A,B,C 游乐园 P',Q',R'分别是OP,OQ,OR的中点，则 的周长比. Y △P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时 △P'Q'R'与△PQR的相似比为 5.如图5，四边形 ABCD与四边形 A'B'CD'是以点O为位 似中心的位似图形，已 5.如图4，在长方形ABCD中，已知AB=6, 知=号，若四边形48CD的面积是2，则四边 图 AD=4,在长方形ABCD外画△ABE,使AE=BE + 能刀提高 =5,请建立适当的平面直角坐标系，并求出各顶 形A'B'CD'的面积为 7.如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知 点的坐标 A(-3,3),B(-4,-1),C(1,-2),将△ABC平移 能力提高 点A的对应点为点D,点B的对应点为点E,点C的 6.如图6-①，图6-②，在4×6的正方形网 对应点为点F 格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形 (1)将△ABC向左平移2个单位长度，再向 的顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上，按 上平移3个单位长度，则点D的坐标为 要求画图. (2)若平移后D,E两点都在坐标轴上，则点 (1)在图6-①中，以点B为位似中心画一 F的坐标为 个三角形，使它与△ABC的相似比为2：1； (3)若在△ABC内部存在一点P,点P的坐 (2)在图6-②中，画一个与△ABC相似的 标为(-3，y)(y>0),在(2)的平移下，点P的对 △BDE,要求所画的三角形的顶点在格点上，与 应点为点Q,使得△BPQ的面积为5，求点P的坐 △ABC的相以比不为1，且与(1)中所画的三角 标 形不相同。 22.5.2图形的变换与坐标 屋础训练 45x 1.点A(-2,1)先向右平移3个单位长度，再 向下平移2个单位长度得到的点的坐标是 图4 A.(1,-1) B.(-5,-1)》 C.(-5,3) D.(1,3) 2.如图1，在△ABC中，A,B两个J顶点在x轴 的上方，点C的坐标是(-1,0)，以点C为位似中 数理报社试题研究中心 心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C, (参考答案见11期) 数理极 素养·测评 16.(10分)已知△ABC在平面直角坐标系中 的位置如图11所示，其中点A和点B的坐标分别 步 检测题（七） 为A(2,6),B(6,2) (1)在第一象限画出△ABC以原点O为位似 中心的位似图形△A,B,C,使△ABC与△AB,C 的相似比为2：1； 【检测范围：22.4~22.5】 (2)画出△AB,C,绕点A,按逆时针方向旋转 (满分：120分) 图中箭头方向运动，则第232秒时小球所在位置的90°后的△A,B,C2 纵坐标为 一、精心选一选（每小题4分，共32分） A.-2 B.0 题号 3 4 5 6 6 C.1 D.2 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 答案 9.在平面直角坐标系中，点(2,5)关于x轴对 1.下列选项中的两个相似图形，不是位似图 称的点是 形的是 10.如图5，在平面直角坐标系中，△ABC和 012345678910x △4公C是以原点0为位以中心的位似图形，侣 图11 ,已知A(1,2),则顶点A'的坐标为 1 17.(10分)遗爱湖公园的亲水平台修建了许 多合阶（如图12所示），春季湖水上涨后有一部分 2.下列描述不能确定具体位置的是 在水下.如果点C的坐标为(-1,1)，点D的坐标为 A.某影剧院6排8号 (0,2)(点C,D分别在第3,4级). B.新华东路210号 (1)请建立适当的直角坐标系，并写出点A, C.北纬32°，东经116 B,E,F的坐标： D.南偏西56° (2)某一公司准备在湖边开展“母子亲水”活 3.如图1，在平面直角坐标系中，如果小明所 0 图5 图6 动，为防止滑倒要将8级台阶全铺上2米宽的防滑 在位置的坐标为(4,3)，小华所在位置的坐标为 地毯，经测量，每级台阶宽高都为0.3米.你能帮该 11.如图6，在平面直角坐标系中，点A,B的坐 (2,1),那么小刚所在位置的坐标为 公司算一下地毯要多少平方米？ 标分别为(1,4)，(4,0)，将△A0B沿x轴正方向平 A.(4,4) B.(4,1) 移至△CBD,此时点C的坐标为 H C.(1,4) D.(1,1) 12.如图7，△A0C中三个J顶点的坐标分别为 D 小刚 A(4,0),0(0,0),C(4,3),AP为△A0C的一条中 B 线，以0为位以中心，把△AOP每条边扩大到原来 图12 的2倍，得到△A'OP',则PP'的长为 十 01 图1 图2 4.在平面直角坐标系中，某个图形上各点的 O B 纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的相反数，此 图7 图8 时图形却未发生任何改变.下列说法正确的是 13.如图8，点A(0,3),B(1,0),将线段AB平 ( 移得到线段DC,若∠ABC=90°，AD=2AB,则点 A.该图形是轴对称图形且关于y轴对称 C的坐标是 B.该图形是轴对称图形且关于x轴对称 C.该图形是中心对称图形且关于原点中心对 14.如图9，直线y=-3 称 +4分别交x轴、y轴于点A,B 18.(10分)如图13，△ABC与△DEF位以，点 D.该图形是任意图形均可 0为位以中心 点P在第一象限内，且纵坐标 5.如图2，在平面直角坐标系中，已知点0(0， 为4.若点P关于直线AB的对 (1)若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC 0),A(6,0),B(0,8),以某点为位似中心，作出与 称点P'恰好落在x轴的正半轴 0p声 A =2,求DF的长； △AOB的相似比为k的位似△CDE,若点D(1,1), 上，则点P'的横坐标为 图9 (2)若∠0=22°，∠ABC=38°，求∠0FE的 点C(4,1),则位似中心的坐标和k的值分别为 三、耐心解一解（本大题共6小题，共64分） 度数. 15.(10分)如图10，在平面直角坐标系中描 A.(0,0),2 B.(2,2),2 出下列各点，并将各组的点顺次连结起来 C.(2,2),2 D.(1,1),2 1 图13 6.直线l1:y=x-2与直线l2:y=kx+b(k,b 为常数，k≠0)关于坐标原点中心对称，若(1，m) 在直线L,上，则m的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6-543-21p1234567 7.如图3，在平面直角坐标 y 系中，AB∥DC,AC⊥BC,CD D =AD=5,AC=6,将四边形 ABCD向左平移m个单位长度， 图图10 点B恰好和点O重合，则m的 值为 图3 ①(1,0)，(6,0)，(6,1)，(5,0)，(6，-1)， A.11.4B.11.6 C.12.4 D.12.6 (6,0): 8.如图4，在桌面 ②(2,0)，(5,3)，(4,0)； ABCD上建立平面直角 ③(2,0)，(5，-3)，(4,0) 坐标系（每个小正方形 观察所得到的图形，你觉得它像什么？ 的边长为一个单位长 度)，小球从点P(-4,0) 出发，撞击桌面边缘发 生反弹，若小球以每秒 2个单位长度的速度沿 4 (下转第4版)