第22章 图形的相似概念清单速记表（知识清单）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学“图形的相似”知识清单系统整合了成比例线段、相似图形、相似三角形、位似图形及图形与坐标五大知识模块，构建了从基础概念到判定应用再到坐标变换的阶梯式学习支架。 清单通过“概念-定义-相关概念”三级关联呈现知识体系，如将“相似三角形判定定理”与“平行线分线段成比例推论”关联标注，强化推理意识。“位似图形作法”附具体操作提示，培养几何直观，“图形与坐标变换”整合轴对称、平移等规律，助力模型意识形成。学生可高效自主复习，教师能据此精准设计教学，提升课堂实效。

第22章 图形的相似清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 22.1 成比例线段 相似图形 我们把具有相同形状的图形称为相似图形；两个形状相同（大小可以不同）的平面图形是相似图形。 成比例线段、相似多边形 成比例线段 对于给定的四条线段 、、、，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比（如 或 ），那么这四条线段叫做成比例线段，此时也称这四条线段成比例。 线段比、比例的基本性质 比例的基本性质 对于成比例线段，其线段的长度之间有下面的结论：如果 ，那么 ；如果 ，那么 。以上结论称为比例的基本性质。 成比例线段、比例式 比例中项 将一条线段 分成两条线段 和 （），使 ，这时称 为 和 的比例中项。 黄金分割、黄金分割点 黄金分割点 将一条线段 分成两条线段 和 （），使 ，则点 叫做线段 的黄金分割点，将线段 黄金分割；由于 ，所以长为 1 的线段的黄金分割点，与一个端点的距离大约为 0.618。 比例中项、黄金分割 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称平行线分线段成比例）。 基本事实、对应线段、成比例线段 平行线分线段成比例的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 平行线分线段成比例、三角形 22.2 相似图形 相似多边形的主要特征 相似多边形的对应边成比例，对应角相等。 相似多边形、对应边、对应角 相似多边形 两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例、各角对应相等，就称这两个多边形相似。 相似多边形的主要特征、相似比 相似比 两个相似多边形对应边的比称为它们的相似比。 相似多边形、对应边 22.3 相似三角形 相似三角形 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，它们是对应边成比例、对应角相等的三角形。 相似多边形、对应边、对应角 相似符号与记法 相似用符号“”来表示，读作“相似于”； 与 相似，记作 ，读作“ 相似于 ”，并且要把对应顶点写在对应的位置上，这样比较容易找到相似三角形的对应边和对应角。 相似三角形、对应顶点、对应边 相似三角形的相似比 设 ，且 ，这个比值 就表示这两个相似三角形的相似比；当 时，两个相似三角形全等，全等三角形是相似三角形的特例。 相似三角形、相似比、全等三角形 相似三角形判定的预备定理 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。 平行线分线段成比例、相似三角形的判定定理 相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似。 相似三角形、对应角 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 相似三角形的判定定理1、夹角 相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似。 相似三角形的判定定理2、三边 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 相似三角形、对应高、对应中线、对应角平分线 相似三角形对应高的比 相似三角形对应边上的高的比等于相似比。 相似三角形的性质、相似比 相似三角形对应中线的比 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比。 相似三角形对应高的比、相似比 相似三角形对应角平分线的比 相似三角形对应角的平分线的比等于相似比。 相似三角形对应中线的比、相似比 相似三角形周长的比 相似三角形的周长的比等于相似比。 相似三角形的性质、相似比 相似三角形面积的比 相似三角形的面积的比等于相似比的平方。 相似三角形周长的比、相似比 相似三角形的应用 利用相似三角形的有关性质，可以计算那些不能直接测量的物体高度和两地距离，还可以证明几条线段之间的乘积关系。 测量高度、测量距离、乘积关系 三角形的重心 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心；重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 。 中线、相似三角形 22.4 位似图形 位似图形 两个图形的对应点 与 、 与 、 与 ……的连线都相交于一点 ，并且 ，这两个图形叫做位似图形。 位似中心、位似比、相似图形 位似中心 两个位似图形的对应点连线的交点 叫做位似中心。 位似图形、位似比 位似比 位似图形也是相似图形， 是两者的位似比，也即相似比。 位似图形、位似中心、相似比 位似图形的作法 利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小；位似中心可以在图形外、图形内或图形的边上，把位似中心取在多边形内时作法比较简便。 位似中心、位似比、放大与缩小 22.5 图形与坐标 用坐标确定物体的位置 不少问题中，物体的大小往往可以忽略，因而可以用点来表示，从而可以用坐标确定物体所在的位置。 平面直角坐标系、有序实数对、点 用方向和距离确定位置 可以用“角度”（方向）和“距离”这两个量刻画物体的位置，这种方式在军事和地理中较为常用。 方向、距离、平面直角坐标系 用坐标确定平面图形的位置 所有的平面图形都可以看成是点的集合，因此可以通过确定有关点的位置（坐标），进而确定一个平面图形的位置。 坐标、点的集合、平面图形 图形变换与坐标的变化规律 当一个几何图形经过某种变换改变位置或大小后，图形上各点的坐标也发生了相应的变化；反过来，按下列方式之一同时改变一个几何图形上各点的坐标，就使该几何图形产生相应的变换，从而改变它的位置或大小。 轴对称、平移、位似、坐标 轴对称变换与坐标的变化 关于 轴对称：；关于 轴对称：。 轴对称、坐标 关于原点对称与坐标的变化 关于原点对称：。 中心对称、原点、坐标 平移变换与坐标的变化 沿 轴向右平移 个单位长度：；沿 轴向上平移 个单位长度：。 平移、坐标 位似变换与坐标的变化 图形以原点为位似中心放大（缩小）到 倍：。 位似、位似中心、原点、坐标 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $