第7期：相似三角形1-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（华东师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理极 重点逃 分析已知条件 归的 重点集训营 确定证明方法 1.在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5, ◎山西王 潇 AC=7,将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角 类型1：已知条件涉及平行线 证明：因为∠CDE=∠CED,所以∠ADB 形与原三角形不相似的是 例1如图1，在△ABC中 =∠AEC,CD=CE. ∠DEF=∠B,DE∥BC.求证 因为2AD=3AE,2BD=3CD, △ADE∽△EFC. 证明：因为DE∥BC,所以 所提-0-80 ∠DEF=∠EFC,△ADE∽△ABC.因为∠DEF 所以△ABD∽△ACE. 4 B =∠B,所以∠EFC=∠B,所以EF∥AB,所以 类型4：已知条件只涉及边 2.将三角形纸片△ABC △EFC∽△ABC,所以△ADE∽△EFC. 例4如图4，在△ABC和△A'B'C'中，点 按如图1的方式折叠，使点B 类型2：已知条件只涉及角 落在边AC上，记为点B',折 例2如图2，在△ABC中， D.D分别是A84B上的点，船= AB,当 痕为EF已知AB=AC=3, B BC=4,若以点B',F,C为J顶 ∠B=∠C,点D,E分别在BC AB上，且∠BDE=∠CAD, 0=AC=治时，求证：△A0c 点的三角形与△ABC相以，则BF= △A'D'C 3.如图2所示，在等腰△ABC中，AB=AC △ADE与△ABD相似吗？为什 点E,F在线段BC上，CE=BF,点Q在线段AB 么？ 上，且AE2=AQ·AB.求证： 解：△ADE∽△ABD,理由如下： (1)∠CAE=∠BAF; 因为∠ADB=∠C+∠CAD=∠ADE+ (2)△ACE∽△AFQ. ∠BDE,而∠BDE=∠CAD,∠B=∠C,所以 ∠ADE=∠C=∠B.因为∠DAE=∠DAE,所 图4 以△ADE∽△ABD, AB 类型3：已知条件既有角又有边 证明：因为侣-器所以0侣 例3如图3，在△ABC 因为0=长=8所以0-e 数理报社试题研究中心 中，∠CDE=∠CED,2AD= （参考答案见下期) 3AE,2BD=3CD,求证： △ABD∽△ACE. =M'D,所以△4DC△A'D'C AD 十十十▣十十十▣十十十十十十十十十十 十十十十十十十…十十十十十十十十十▣十十十十十十十 第6期2版参考答案 =EF=FA.又因为四边形CDFE是平行四边形，所以 22.1.1成比例线段 FD=CE,EF=CD,所以AB=BE=EF=FA=CD. 辅助线周周练 基础训练1.D:2.D;3.C: 设FD=CE=x,因为四边形ABCD是平行四边形，且AD 4.号；5.6 =BC=4,所以AF=BE=CD=EF=4-x.因为 1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC oA8CDa0f,所常-易即-千兰整 =BC,在AC上取一点D,在AB上取一点E,使 6.△ABC是直角三角形.理由略. ∠BDC=∠EDA,过点E作EF⊥BD于点N,交 能力提高7.k的值为子或-2. 理得x2-12x+16=0,解得x=6±25，因为x<4, BC于点F,若CF=8,AD=11,则CD的长为 所以x=6-25,所以AF=4-6+25=25-2. 22.1.2平行线分线段成比例 第6期3版参考答案 基础训练1.D:2B:3.2:46;5.号 一、 题号12345678 6.证明：因为口ABCD,所以AB∥CD,AD∥BC,所 答案BBCDCDBB 二、9.孑；10.8：11.(300-1005)m: 12.3 图2 能力提高7.(1)DE=4,DF=14. 13.51.2;14.22 2.如图2，梯形ABCD中，AD∥BC,∠D= (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以 三、15.证明略. 16.(1)因为(a+b):(b+c):(c+a)=7:14: 90°，BC=CD=12,∠ABE=45°，点E在DC -8器=分所以0H=6因为0E∥G所9.设a+6=7k6+e1aa8 上，AE,BC的延长线相交于点F,若AE=10,则 SAADE+SACEF的值是 以器-C所以-子所以PH=15, 15k,所以a=k,b=6k,c=8k,所以a:b:c=1:6:8. 22.2相似图形 2):必的值为-品 c2 +bc 阴4知S+0SH 基础训练1：2.D:3牙；46： 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC= 举口怕斟御‘x用华‘盘羽x⊥关不重 ∠BEC.因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以 缸兴部区群褂‘IQ‘QV业￥x出‘x=IO 5.2y=3x或3y-2x=10. ∠BCE=∠BEC,所以BE=BC. 0I=WV=V弹，专aaVV唑aNvV散 6.设运动ts能使矩形CFWM与矩形AEFD相似，由 (2E=BC理由：因为AD∥E,EF∥BC,所以= 肾'WWaV话aOaV韩4‘N士VaTW8 W&r‘V0斗【些群】8t海0E乙 题意得-子或华=》解得1=4或1=1所以当 =能因为DF=FC,所以AE=BE因为BE=BC,所以 凿 M,N运动4s或1s能使矩形CFNM与矩形AEFD相似. 度口怕d&=Ha甲‘aa7云aHa7 AE =BC. 能力提高7.(1)证明：因为∠BAD的平分线交 伯毙斟冉苦群部‘忆=H8道‘x=☑O BC于点E,所以∠BAE=∠EAF.因为四边形ABCD是 18= aD=Ha无=a倭单钢刚国唑单 平行四边形，所以AD∥BC.所以∠EAF=∠AEB.所以 (2)过点D作DH∥CF,交AB于点H.因为DH∥ ∠BAE=∠AEB.所以AB=BE.同理AB=AF,所以BE 阴：毋三翻，御‘W上Ha T wasa可 =AF.因为AD∥BC,所以四边形ABEF是平行四边形. CF所以品品因为品-名所以折-名所以 I&=HI屐徵音上‘HaC7=H7屐讲 因为AB=BE,所以四边形ABEF是菱形. FH=kMF,由(1)知FH=BH,所以BH=FH=kAF, 雪毙X形少本御‘H上彩斗月 (2)由(1)知，四边形ABEF是菱形，所以AB=BE (下转1,4版中缝) a卒O8TH8War【些群】￡I【嵩号】 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 数理极 2026年8月13日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 期总第1203期 华东师大 0351-5271248 中考 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 邮发代号：21-207 所以BF=2kAF 方法探究 地雷1：忽视对应角 AF 1 例1 在△ABC和 19.(1)如图，连结 BC,设AB=x,由附折的 等积式证明策略 △A'B'C'中，∠A=∠A' 45°，∠B=26°，∠B 性质得，∠ACF=∠HDF 。 O江西王玲 ∠ACB=∠HDB,∠BCF 109°，它们是否相似？ ∠BDF=90°. 探究发现：如图1，在 ∠CDF,求证：CE·CF=DF·DG 错解：因为∠A Rt△ABC中，∠BAC=90° 证明：因为∠GFC=∠CFD,∠FCG LA',∠B≠∠B',所以 CD平分∠BCA,作AE⊥CD GF CDF,所以△FCG∽△FDC,所=& △ABC和△A'B'C'不相 交BC于点E,垂足为F,作 似 刘 BG⊥AE,垂足为G.求证： 1 又因为AC∥DE,所以△FCG∽△DEG,所 剖析：错解是对三角 AC2=CF·CD. 品即-品m-0因为 维 为 ∠AE 形的对应角概念不清而致 ∠ACB ∠ECB ∠BCF ∠BCE 思路分析：根据比例的基本性质，欲证AC2 AB∥CE,∠ABC=∠BDE,所以∠ECD= 错.在△ABC中，∠A= ∠ECF,LECF=45° =CP.CD,只瑞证明哈光-2而相似三角形的 45°，∠B=26°，所以∠C 所以∠ACB=∠ECF EDC,所以EC=ED,所以)E GD = EC ,所以 =180°- ∠A-∠B= =45°，所以BC=√2x 对应边成比例，所以只需证明由这四条线段所 CE·CF=DF·DG 109°.所以∠C=∠B'.又 所以BD=BC=2x, 所以AD=AB+BD= 确定的两个三角形相似即可.由线段AC,CF确 二、等积替换 因为∠A=∠A',所以△ABC∽ △A'C (2+1)x,所以EF 定的三角形是△ACF,由线段CD,AC确定的三 例2如图3，已知CE是 正解： CE=AD=(2+1)x. 角形是△ACD,根据题意和图形可知这两个三 因为DE=AC=AB Rt△ABC的斜边AB上的高，点 x,所以DF=DE+EF 角形已有两组对应角相等，于是问题得证（同学 P是CE的延长线上任意一点， 地雷2：忽视对应边 例2 =(E+2,所以 们自己完成证明过程) BG⊥AP.求证：CE2=ED·EP 如图1，在梯形 方法归纳：上述证明等积式的方法我们称 ABCD中，AD∥BC,对角线 (2+2)x= 证明：因为CE是Rt△ABO (2+1)x 之为“三点定形法”，一般步骤是：(1)把等积式 的斜边AB上的高，BG⊥AP,所 AC,BD相交于点O,试说明： △AOB与△DOC是否相似？ (2)相似.理由：由 转化为比例式；(2)观察成比例的四条线段确定 以∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90 (1)知：A5纸长边为A4 可能相似的两个三角形；(3)找出使这两个三角所以∠P=∠DBE. 错解：△AOB∽△DOC.理由：在△AOB与 纸短边，长为(2 1)x,A5纸短边长为 形相似的条件. 又因为∠AEP=∠DEB=90°，所以△AEP △D0C中，因为AD∥BC,所以A0=D0 CO BO (2,所以在A5 若在步骤(2)中，发现四条线段不在两个三 △DEB,所以AE 角形中，我们可以用相等的量替换其中一个或 DE EB,即AE·EB=DE 又因为∠AOB=∠DOC,所以△AOB 纸中，长边：短边 △DOC. EP. (2+1)x=2,所以 两个量，包括等比替换，等积替换等 剖析：错解误用了“两边对应成比例且夹 因为CE是Rt△ABC斜边AB上的高，所以 迈+2)x 变式探究 ∠AEC=∠CEB=90° 一、等比替换 角相等的两个三角形是相似三角形”.由于A0 A4纸与A5纸相似 因为∠ACE+∠ECB=90°，∠CAE+∠ACE 例1 如图2，在四边形 DO Co 20瑞-方 =90°，所以∠ECB=∠CAE,所以△ACE BO' 变形得A0=B0,很明显A0与C0,D0 ABDE中，∠ABC=∠BDE,点C (2)证明：延长AD 与B0不在同一个三角形中，所以不能说明 至点Q,使DQ=AD,连 在边BD上，且AC∥DE,AB∥ △CBR所号-能即GR=AB, △AOB与△DOC相似， 结BQ,CQ,则四边形 CE,点F在边AC上，连结BF,DF, 又因为AE·EB=DE·EP,所以CE ABQC是平行四边形 DF交CE于点G.若∠ACE= DE·EP 正解： 所以PM∥BQ,PN CQ,所以41」 AB AP 地雷3：忽视可传递性 1 题型空间 所以兴光 AP (3)证明：过点 网格中的相仙三角形 例3如图2，锐角三角形 ABC的高CD与BE交于点O,则 作DE∥PM交AB于E, 图中的相似三角形有 ( ○四川 江明轩 AP A.3对 B.4对 一、确定相似比 形与由格点A,B,C围成的△ABC相似的是 图1 C.5对 D.6对 PM∥AC,所以DE∥ 例1如图1是一个4×4的 4C所-品所以 错解：根据“两角对应相等，两三角形相 正方形网格，△ABC与△A,B,C A.①处B.②处C.③处 D.④处 似”得到△ABE∽△ACD,△ABE∽△OBD AP 都是格点三角形，并且△ABC∽ AB 解析：根据网格特点和勾股定理可以求出 △ADC∽△OEC,△DOB∽△EOC.故选B. BC 同理可得 △A,B,C,则△ABC与△AB,C BC =1,AB=5,AC=22,DF=42 剖析：相似三角形具有可传递性，由△ABE 的相似比是 △OBD和△DOB∽△EOC及△ADC∽ 所以岩 以B+A A.点F与①的距离为2，点D与①的距离 解析：由网格和勾股定理，得AC,=1, △OEC,还可得两对相似三角形：△ABE∽ AP AP 为34，与△ABC不相似，故此选项不符合题 AB1=2,AC=√2，AB=22,由△ABC∽ △OCE和△DOB∽△DAC. 第6期4版参考答案 意；B.点F与②的距离为2，点D与②的距离为 △A,B,C可知，△ABC与△A,B,C,的相似比= 正解 重点集训营 1号：26 AC:A,C1=AB:AB1=2:1.故填2：1. 25,则25 2=42,与△ABC相以，故此选 122 二、识别相似三角形 本周主讲 3 3 4.CE=26 例2在如图2所示的中 项符合题意；C.点F与③的距离为√3，点D与 22.3.1相似三角形 (全文完) 国象棋棋盘（各个小正方形 ③的距离为√5，与△ABC不相以，故此选项不符 22.3.2相似三角形的判定 的边长相等)的格点上有A, 合题意；D.点F与④的距离为√7，点D与④ 主要内容：本期同学们要了解相似三角 B,C,D,F五点，则能使格点 的距离为3，与△ABC不相似，故此选项不符合 形 掌握相似三角形的判定方法，并能灵活运 D,F与下列格点构成的三角 题意故选B 素养专练 人 数理极 3.如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= (1)求证：△ABE∽△DEF; 40°，点D是边AC上的动点（点D不与点A,C重 (2)△ABE与△BEF相似吗？为什么？ 跟踪训练 合)，当∠BDC = 度时，△ABC∽ △BDC. 22.3.1相似三角形 垦础训练 1.如图1，△ABC中，DE∥BC,AD=3,DB= 2,则△ADE与△ABC的相似比是 ( A.3:2 B.2:3C.3:5 D.5:3 4.如图4，在矩形ABCD中，E是边BC的中 点，连结AE,DF⊥AE于点F.若AB=4,BC=6, 则EF的长为 能刀提高 22.3.2相似三角形的判定（第三课时） 5.如图5，在△ABC中，∠BAC=2∠C. (1)在图中作出△ABC的内角平分线AD(要 堡础训练 图1 2.如图2，△ABC中，已知DE∥BC,EF∥ 求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明)； 1.已知△4BC三边长分别是1,2,5，与 AB,若0=号则BF:BC的值为 (2)求证：△ABD∽△CBA △ABC相似的三角形三边长可能是 () ( A.1:3 A.2,2,6 B.1:2C.2:3D.3:4 a91g 3.如图3，△ABC中，CD平分∠ACB交AB于 D,DE∥BC交AC于E,AC=6,DE=4,则BC= 图5 c15 n915 2.已知一个三角形的三边长分别为6cm, 9cm,7.5cm,另一个三角形的三边长分别为 12cm,15cm, cm时，这两个三角形相 似 3.在如图1所示的格点图中有5个格点三角 形， 分别是：①△ABC,②△ACD,③△ADE 图3 4 ④△AEF,⑤△AGH,其中与⑤相似的三角形是 4.如图4，在边长为6的正方形ABCD的外侧 22.3.2相似三角形的判定（第二课时） (只填序号). 作等腰三角形ADE,AE=DE=5,若F为BE的中 点，连结AF并延长，与CD相交于点G,则AG的长 垦础训练 为 1.如图1，下列条件不能判定△ADB∽ 能刀提高 △ABC的是 A.∠ABD=∠ACB 1 5.如图5，AD,BC相交于点E,AB∥CD∥ B.∠ADB=∠ABC 4.如图2，在四边形ABCD中，AB=2,BC= EF,B,F,D在一条直线上，AB=10,CD=15. C.AB2=AD·AC 3,CD=6,AD=8,对角线AC=4.求证：AC平分 ()求器的值： D.AB·BC=AD·DB ∠BAD. (2)求EF的长， 图2 2.下列四个三角形中，与图2中△ABC相似 的是 能力提高 5.如图3，在平面直角坐标系中，已知A(3, B C D 0),B(0,4),C(4,2),作CD1x轴，垂足为点D 3.如图3，在△ABC中，AB=8,BC=16,点P 连结AB,BC,AC.求证：△ABC∽△ACD. 223.2相似三角形的判定（第一课时） 是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ 屋础训练 时，△BPO与△BAC相以： 1.如图1，在矩形ABCD中，E,F分别是CD 3 BC上的点.若∠AEF=90°，则一定有( 2 图 A.△AEF△ABFB.△ABF∽△ECE C.△ADE∽△AEFD.△ADE∽△ECF 0 1 图3 4.如图4，在已建立直角坐标系的4×4的正 方形方格中，△ABC是格点三角形（三角形的三个 顶点是小正方形的顶点)，若以格点P,A,B为顶 点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P 2.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是 的坐标是 AB边的中点，AF⊥CD于点E,交BC边于点F,连 结DF,则图中与△ACE相似的三角形共有 能刀提高 5.如图5，在正方形ABCD中，E是AD的中 数理报社试题研究中心 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 点，点F在CD上，且CF=3FD. (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 17.(10分)如图15，四边形ABCD中，AC平分 ∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°，EA=EC.求证： 同 步 达 检测题（五 (1)AC2=AB·AD: (2)△AFD∽△CFE. 【检测范围：22.3.1~22.3.2】 (写出一个 (满分：120分) :需要添加的一个条件是 即可). 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 题号1 23 45 67 答案 18.(10分)如图16，点B,D,E在一条直线上， 1.如图1，AB∥CD,AC, BD交于0，B0=7,D0=3,DC BE与AC相交于点F8-骺-长 =6,则AB的长为 () 10.如图8，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4, (1)求证：∠BAD=∠CAE; A.10 B.3.5 C.14 D.15 BC=2,D,E,F分别为BC,AB,AC上的点，若四边 (2)若∠BAD=21°，求∠EBC的度数； 2.如图2，当x的值为多少 形DEFC为正方形，则它的边长为」 (3)连结EC,求证：△ABD∽△ACE. 图1 时，△ABC△AB,C1 11.如图9所示，棋盘上有A,B,C三个黑子与 P,Q两个白子，要使△ABC∽△RPQ,则第三个白 A.20 B.27 C.36 D.45 子R应放的位置是 (填“甲”“乙”“丙”或 “丁”). 15/20 图16 B 25 C 45 思6 图2 图3 3.如图3，在□ABCD中，E是AB的中点，EC 交BD于点F,那么EF与CF的比是 60° A.2:1B.1:2C.1:3 D.3:1 19.(12分)如图17-①，点E,F在正方形 4.下列各组图形必相似的是 图9 图10 ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°. ( A.任意两个等腰三角形 12.如图10，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C (1)当BE=BF时，求证：AE=CF: (2)求证：△ABF∽△CEB; B.有两边对应成比例，且有一个角对应相等 =60°，BC=24,点P是BC边上的动点（点P与点 的两个三角形 B,C不重合)，过动点P作PD∥BA交AC于点D.要 (3)如图17-②，延长BF交CD于点G,连结 使△ABC与△DAP相以，则∠APD= EG,判断线段BE与EG的关系，并说明理由 C.两边及其中一边上的中线对应成比例的两 13.如图11，在平面直角坐标系中有两点A(4 个三角形 0),B(0,2),点C在x轴上(C与A不重合)，当点C D.两边为4和5的直角三角形与两边为8和 的坐标为 时，使得△BOC与△AOB相以， 10的直角三角形 5.在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规 y个 在边AB上确定一点D,使△ACD∽△CBD,根据 作图痕迹判断，下列正确的是 图17 图11 图12 14.如图12，等边△ABC的边长为6，点D在 AC上且DC=2,点E在BC上，连结AE交BD于点 F,且∠AFD=60°，若点M是射线BC上一点，当以 6.如图4，在平行四边形ABCD中，点E,F分别 20.(12分)在△ABC中，AB=AC,∠BAC= B,D,M为顶点的三角形与△ABF相以时，BM的长： 在边AD,BC上，且EF∥CD,G为边AD延长线上 90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角 为 一点，连结BG,则图中与△ABG相以的三角形有 板，使45°角的顶点落在点P处，三角板可绕P点 三、耐心解一解（本大题共6小题，共64分） 旋转. 15.(10分)如图13，在Rt△ABC中，∠ACB= (1)如图18-①，当三角板的两边分别交AB, A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 90°，CD⊥AB,垂足为D,E为BC上一点，连结AE AC于点E,F时，求证：△BPE∽△CFP; 作EF⊥AE交AB于F.求证：△AGC△EFB. (2)将三角板绕点P旋转到图18-②情形 时，三角板的直角顶点交BA的延长线于点E,斜边 交AC于点F,则△BPE与△CFP还相以吗（只需 写出结论)？ (3)在(2)的条件下，连结EF,则动点P运动 图4 图5 到什么位置时，△BPE与△PFE相似？请说明理 7.如图5，在三边都不相等的△ABC的边AB 图13 由 上有一点D,过点D画一条直线，与三角形的另 边相交所截得的三角形与△ABC相似，这样的直 线最多可以画 16.(10分)如图14，AD和BE都是△ABC的 A.5条B.4条 C.3条 D.2条 高，相交于F点，连结DE. 8.如图6，在四边形 (1)求证：△CAB∽△CDE: ABCD中，∠A=∠C= (2)若点D是BC的中点，CE=6,BE=8,求 90°，DF∥BC,LABC的平 AB的长 分线BE交DF于点G,GH ⊥DF,点E恰好为DH的 图6 中点，若AE=3,CD=2,则GH的长为( A.1 B.2 C.3 D.4 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.如图7，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC 数理报社试题研究中心 边上，要使△ABC∽△AED(点B与，点E对应)，则 (参考答案见下期)初中数学·华东师大中考第6~9期 裁理柄 答案详解 2026~2027学年 初中数学·华东师大中考第6~9期 第6期2版 8器=子所以0h=6,因为AD∥BEcP,所份-品 0G1 22.1.1成比例线段 基础训练1.D;2.D;3.C; 所以 号，所以PM=15 4号；56 22.2相似图形 6.△ABC是直角三角形.理由如下： 基础训练1.B:2.D;3.号；4.6； 设0+4=6+3=+8=k,则a=3k-4,b=2k-3,c 5.2y=3x或3y-2x=10. 3 2 4 6.设运动ts能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意得 =4k-8. 因为a+b+c=12,所以3k-4+2k-3+4k-8=12, 兰=是或9=受解得1=4或1=1所以当，N运动4 解得k=3. 或1s能使矩形CFNM与矩形AEFD相似. 所以a=5,b=3,c=4. 能力提高7.(1)证明：因为∠BAD的平分线交BC于点 所以62+c2=32+42=25=a2. E,所以∠BAE=∠EAF.因为四边形ABCD是平行四边形，所 所以△ABC是直角三角形 以AD∥BC.所以∠EAF=∠AEB.所以∠BAE=∠AEB.所以 能力提高7.当a+b+c+d≠0时， AB=BE.同理AB=AF所以BE=AF.因为AD∥BC,所以四 2a 26 2c 2d 因为b+c+a=a+e+a=a+b+a=a+b+c =k, 边形ABEF是平行四边形.因为AB=BE,所以四边形ABEF是 菱形. 2a+2b+2c+2d 所以b+c+d+a+c+d+a+b+d+a+b+C =k, (2)由(1)知，四边形ABEF是菱形，所以AB=BE=EF 8+出=6所以4= =FA.又因为四边形CDFE是平行四边形，所以FD=CE,EF 3(a+b+c+d) 3 =CD,所以AB=BE=EF=FA=CD. 当a+b+c+d=0时，b+c+d=-a,所以2L=k,解 设FD=CE=x,因为四边形ABCD是平行四边形，且AD -a =BC=4,所以AF=BE=CD=EF=4-x,因为□ABCD 得k=-2. 综上所述，k的值为子或-2 口5C0,所以号=品即产，兰整理得-12x+6 =0,解得x=6±2√5，因为x<4,所以x=6-25,所以AF 22.1.2平行线分线段成比例 =4-6+25=25-2. 基础训练 1D;2.B;3.2:4.6;5.4 第6期3版 6.证明：因为口ABCD,所以AB∥CD,AD∥BC,所以 题号12345678 EF= 答案BBCDCD BB 器器-祭所以器-张即cP=BF,6R 7 二、9.5；10.8；11.(300-1005)m;12.3: 能力提高7.(1)因为AD∥BE∥CF,所以Ag=DE AC=DF 13.51.2;14.22. 三、15.证明：因为菱形AEFG菱形ABCD,所以∠DAB= 号，所以2作i0=号所以DE=4,所DF=DE+EP=4 ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= +10=14. ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以 DE 16.(1)因为(a+b):(b+c):(c+a)=7:14:9,设a 初中数学·华东师大中考第6~9期 +b=7k,b+c=14k,c+a=9k,则a+b+c=15k,所以a= 又因为PW∥AC,所以DE∥AC,所以6-2所以0- k,b=6k,c=8k,所以a:b:c=1:6:8. AB AE (2。+的值为-品 c2+bc 指-铝光同理可得完-铝·器所以岩+袋-岩 AB AD BC AB AC AD AP 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, (BC+BC 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 第6期4版 以BE=BC. 重点集训营 (2)AE=BC.理由：因为AD∥EF,EF∥BC,所以 品因为DF=FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE- 4.CE=26. BC. 第7期2版 18.过点D作DG∥CF,交AB于点G.因为DG∥CF,所以 22.3.1相似三角形 祭-2.因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC,所以BG= 基础训练1.C；2.A;3.12；4.2√3 能力提高5.(1)因为AB∥CD,所以△ABE∽△DCE, GF,因为DG∥CF,所以5=45 AFG=ED 所荒-光=号=号又因为B∥F,所票-能 (1)因为E为AD的中点，所以AE=ED,所以AF=FG= Bc,所以品= 3 （2)因为汽=太，所以瓷=士所以FG=MP,所以G (2②)因为cD∥，所以△BF~△BCD,所u品-品 2 =FG=MF,所以BP=24F,所以部=都e=六 AF 又因为cD=15,器=子所以EF=c0能=15×2子3 6. 19.（1)如图1，连结BC,设AB=x,由翻折的 22.3.2相似三角形的判定（第一课时） 性质得，∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF 基础训练1.D;2.B;3.70;4.1.4. =∠BDF=90°.因为∠ACE=∠ACB+∠ECB= 能力提高5.(1)作图略。 ∠BCF=∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以 ∠ACB=∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD= 图1 (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=子∠BAC, BC=√2x,所以AD=AB+BD=(√2+1)x,所以EF=CE= 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=7∠BAC,所以∠BAD=∠C, AD=(2+1)x,因为DE=AC=AB=x,所以DF=DE+EF 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD△CBA. 2%资反 22.3.2相似三角形的判定（第二课时） 基础训练1.D;2.C;3.2或8； (2)相似.理由：由题意知：A5纸长边为A4纸短边，长为 4.(1,4)或(3,4). (万+1)x,A5纸短边长为(2，+2)x,所以在A5纸中，长边： 能力提高5.(1)证明：因为正方形ABCD,所以∠A= 2 短边=5+)x=万，所以4纸与A5纸相似. ∠D=0,AB=CD=AD,因为CF=3FD,所以FD=子CD, (5+2)x 2 因为E是AD的中点所以A=BD=子40，所以号- 20.(1)过点D作DE∥PM交AB于E,因为点D为BC中 2,所以△ABE△DEF 1 点，所以点E是AB中点，且是-品所以错-=司 (2)△ABE与△BEF相似，理由：设AB=AD=CD=BC (2)证明：延长AD至点Q,使DQ=AD,连结BQ,CQ,则四 =4a,因为E为边AD的中点，CF=3FD,所以AE=DE=2a, 边形AB0C是平行因边形，所以PM∥B0,PV∥c0,所以光 DF=a,CF=3a,所以BE=25a,EF=√5a,BF=5a,所以 BF2=EF2+BE2,即∠BEF=90°，所以∠A=∠BEF=90°， 6袋6所以岩-光 AB=AC 因为提-岩=2祭：=2，所光-华所以△M8E 5a (3)证明：过点D作DE∥PW交AB于E,所以是-品 △EBF. 一2 初中数学·华东师大中考第6~9期 22.3.2相似三角形的判定（第三课时） ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 基础训练1.A;2.18;3.①③， ∠EBC=∠BAD=21°. 4.证明：因为AB=2,BC=3,CD=6,AD=8,AC=4,所 (3)证明：由()知∠D=∠CE因为8-能所以光 以号=8%=长=分所以△Bc△4Cn.所以∠BMC= AE,所以△ABD~△ACE ∠CAD,即AC平分∠BAD 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC, 3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=√5，BC=25, ∠BAE=∠BCF=45°.因为BE=BF,所以∠BEF=∠BFE. 所以∠AEB=∠CFB.所以△ABE≌△CBF.所以AE=CF. 在△ABC和△4CD巾，因为%=5=5%=25 1 2 (2)证明：因为∠BEC=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE, 5是-启-，所光-器-把所以△4c△4n ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE,所以∠BEC= ∠ABF.因为∠BAF=∠BCE=45°，所以△ABF△CEB. 第7期3版 (3)EB=EG,BE⊥EG.理由如下： 题号12345678 因为∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC,所以 答案CCB CC B BB △BEF△cGF,所u器-3即品-8保 BF=CF 4 二9.∠AED=∠B(答案不唯一)；10.3；1山.丁； 因为∠EFG=∠BFC,所以△EFG∽△BFC.所以∠EGF 12.30°或60°；13.(-4,0)或(-1,0)或(1,0)： =∠BCF=45°.所以∠EBF=∠EGF=45°.所以EB=EG, 14.4或7. ∠BEG=90°，所以BE⊥EG. 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= 20.(1)证明：因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所 ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°，因为∠BFE+ 以∠B=∠C=45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE,又∠DGE=∠AGC,所 ∠BPE+∠BEP=135° 以∠AGC=∠BFE,又∠ACB=∠FEG=90°，所以∠AEC+ 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 ∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC=∠BEF,所以 ∠BPE+∠CPF=I35°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= △AGC∽△EFB. ∠C,所以△BPE∽△CFP. 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以∠ADC= (2)△BPE∽△CFP.理由如下： ∠BEC=90°，因为∠C=∠C,所以△ACD~△BCE,所以 因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以∠B=∠C CE =45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BPE+ =能即光=能又因为∠C=∠c,所以△CB一acDE ∠BEP=135°. 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 (2)因为点D是BC的中点，AD⊥BC,所以AB=AC,在 ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= Rt△BEC中，因为CE=6,BE=8,所以BC=10,所以CD= ∠C,所以△BPE∽△CFP. 号C=5,因为△4CD△BCE,所以品=8器所以4C= (3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， 空所以4B=4C=马 理由如下： 同(2)，可证△BPE∽△CFP,得CP:BE=PF:PE,而CP 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠CAB. =BP,因此PB:BE=PF:PE.又因为∠EBP=∠EPF,所以 因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB,所以AD: △BPE△PFE. AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD. 第7期4版 (2)因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.因为∠DAC= 重点集训营 ∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为∠AFD=∠CFE,所以 △AFD∽△CFE. 1.D,22或号 1&()证明：因为始-器=长所以△ABc∽△A0E, 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- (2)因为△ACE≌△ABF,所以AE=AF,∠CAE= ∠DAF,即∠BAD=∠CAE. (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 ∠B,因为1G=40A8,4C=A8,所u号=授即治- AO 一3 初中数学·华东师大中考第6~9期 长所以△4CE△AF0 因为品=器所以哈培解得48=1B5m 第8期2版 答：该龙形雕像的高度为13.5m. 22.3.3相似三角形的性质 7.(1)证明：因为SD⊥AC,所以∠SDA=∠SDC=90°， 基础训练1.C:2.A;3.子： 所以∠SDM+∠MDA=∠SDB+∠BDC=90°. 因为∠MDS=∠BDS,所以∠MDA=∠BDC. 46:516:630, (2)因为TE⊥AC,所以∠TEA=∠TEC=90°.所以 ∠NET+∠NEA=∠BET+∠BEC=90°. 7,)因为△ABc~△1gC,治=子，所以0 CD= 因为∠NET=∠BET,所以∠BEC=∠NEA. 因为∠BCE=∠NAE=90°，所以△BCE∽△NAE. 所器=所以=2 以2+2=2-2-2解得M=3m 又因为CD=4cm,所以C'D'=2CD=8cm,即A'B'边上 因为∠BCD=∠MAD=90°，∠BDC=∠MDA,所以 的中线C'D'的长为8cm. 指=分，所以 (2)因为△ABC~△A'B'C',AB= △BCD一△MA0.所以%-所以片=2解得M4 C△AB'C =7.5m. 2 所以MN=MA-AW=7.5-3=4.5(m),即此公益广告 又因为△ABC的周长为20cm,所以C△MBC=2C△ABc= 牌的高度MN为4.5m. 40cm,即△A'B'C'的周长为40cm 第8期3版 (3)因为△c△4C,治=分，所以- 题号12345678 SAAB'C 答案AA CBBBDA 二、9.4：1； 10.3；11.22;12.3; 又因为△A'B'C'的面积是64cm2,所以SAABC= 13.；14. 2 =16cm,即△ABC的面积是16cm2. 三、15.因为两个相似三角形的最长边分别是5cm和7cm, 能力提高8.因为DE∥AB,所以∠A=∠CED,因为∠A 所以这两个相似三角形的相似比为5：7， =∠EDF,所以∠CED=∠EDF,所以DF∥AC,所以△BDF 所以这两个相似三角形的周长比为5：7， 一△BCM,所以m= 又因为这两个相似三角形的周长之和为48cm, SABCA BC 7 所以较大三角形的周长为：48×5+7=28(cm. 子所u号所以 BD 2 S△BCA 5 较小三角形的周长为：48×5十7=20(cm. 22=去，因为Sc=50,所以5ar=8 16.因为∠AOF=∠BFD=90°，∠AD0=∠BDF,所以 同理可证得△CDE~△CBA,所以g=(0=是， 9 △40D~△BFD.所以品-8器-8号=1设0F=则A0 BC =0D=x+0.7. 所以SACDE=18,所以四边形AFDE的面积为SAc-S△mF 因为∠AOE=∠CFE=90°，∠AE0=∠CEF,所以 SACDE =24. 22.3.4相似三角形的应用 △40△CE所品票即兰-87解得 基础训练1.B;2.60;3.3.6;4.300;5.12. x=5.6,经检验，x=5.6是原方程的解.所以A0=x+0.7= 能力提高6.因为∠FED=∠ABD=∠HGC=90°，6.3m ∠FDE=∠ADB,∠C=∠C,所以△FED∽△ABD,△HGC∽ 答：0A的高度是6.3m. △4BC,所u铝-品胎-能所以品-能又因为D 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, BE DE =2+BE,BC BE EG+CG=BE+8+3=11+ △4E△4c所u-,器-所-器又 BE,所以2E=E·解得服=16m所以BD=BE+ 3 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DN=EN. DE=16+2=18(m). (2因为DE∥Bc,所以能-8器=号，△0E 4 初中数学·华东师大中考第6~9期 △c0B,所u=8=子 第9期2版 22.4位似图形 DE 因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以△E=（P BC 基础训练1.C;2.D;3.C;4.1:2:5.2 =2务设Sam=4(x>0),则Sam=25x因为四边形BCED 能力提高6.(1)如图2所示，△MBN即为所求. M 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以S△Bc=50. 18.(I)因为AD∥AD,所以△PAD~△PAD,所以 A'D' =祭所以号.，”，解得PW=180m,所以灯泡离地 36 C 面的高度PM为180cm. 图2 图3 (2)设横向影子A'B,D'C的长度和为xcm,同理可得 (2)如图3所示，△BDE即为所求，此时△ABC∽△EBD, △PD~△PM0,所以品=别即0=解得 相似比为2. 22.5.1用坐标确定位置 12,经检验，x=12是原方程的解.所以横向影子A'B,D'C的长度 基础训练1.D;2.C; 和为12cm 3.(北偏东40°，35海里). 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC, 4.建系略.湖心亭(2,5)，望春亭(3,2)，牡丹亭(8,6)，东 因为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=180°-∠BGF,因为∠AGB 门(9,3). =180°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB.又因为∠ABG= 5.以D为坐标原点，DC和AD所在直线为x轴和y轴建立 ∠MBA,所以△BAG△BMA 平面直角坐标系，图略.则点A(0,4),点B(6,4),点C(6,0), (2)连结CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 点D(O,O).过点E作EG⊥CD于点G,交AB于点F.因为AE= CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= CB=CD.又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥ BE,所以AF=之4B=分×6=3在R△AEF中，由勾股定 BC,所以CM⊥BC 理，得EF=√AE2-AF2=52-32=4,所以EG=4+4= 由(I)得品-e所以BG,BN=AB,所以BG·BM 8,所以点E(3,8).(答案不唯一) 22.5.2图形的变换与坐标 BC.所以EC=BC BC=BM 基础训练1.A;2.D;3.(4,-3);4.1:3;5.9. 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC∽△BCM.所以 6.(1)图略。 ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. (2)图略。 20.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,所 (3)点A2的坐标为(3,6)，△ABC与△A2B2C2的周长比是 以∠ADG=∠EBG,∠DAG=∠BEG,所以△ADG∽△EBG, 1:2. 所以%-品 能力提高7.(1)(-5,6). (2)当△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单 由题意，得AD∥CE,AD=CE,所以四边形ACED是平行 位长度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F 四边形，所以ACDE,所以∠AFG=∠EDG,∠FAG= 的坐标是(4，-1)； ∠DsG,所以△4K△EGD.所光-品所以-e 当△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长 BG =DG' 度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F的坐 所以DG2=FG·BG. 标是(5，-5).故填(4，-1)或(5，-5). (2)因为四边形ACED为平行四边形，AE,CD相交于点H, (3)若平移方式为：向上平移1个单位长度，向右平移3个 所以DM=2DC=B=7,AD=CE=24, 单位长度，则点Q(0,y+1),分别过点Q,B作x轴，y轴的平行 线，两平行线交于点H,连接PH,则BH=y+2,QH=4, 在Rt△ADH中，AP=AD2+DF,所以AH=7+24 =25,所以AE=50. 因为Sa网=Sa聊-Sm-Se,所以5=分×(y+ 因为△40G~△BC,所以瓷=品-分，所以4G= 2)×4- ×(+2)×1-7×4×1，解得y=号，因为号 6E,所以4G=宁4-号所以6M=A-4G= 25 3 <3,所以点P的坐标是(-3，号： -5 初中数学·华东师大中考第6~9期 若平移方式为：向下平移3个单位长度，向右平移4个单位】×4×3=5. 2 长度，则点Q(1,y-3),分别过点Q,B作y轴的平行线，再过点 P作x轴的平行线，三条平行线交于点M,N,则BM=y+1,QW (3)设点P的坐标为(a,0),由(1)得点C1的坐标为(4， =3,NP=4,PM=1,MW=5, 0),则CP=14-al, 因为San=S#形w0-SAP-SAP0,所以5=Y+】+3 因为以4，C,P为顶点的三角形面积为弓，所以宁×4- 2 ×5-子×(y+1)×1-7×3×4,解得y=子，因为子< a1×3=子，所以a=3或a=5, 所以点P的坐标为(3,0)或(5,0) 3,所以点P的坐标是(-3，子). 20.(1)因为(a+b-6)2+6-a-2=0,所以 所以点P的坐标为(-3，受)或(-3，子 「a+b-6=0 0所以0=2所以4(0,2），B4,2. L6-a-2=0,b=4, 第9期3版 将点A,B分别向下平移2个单位长度，再向左平移1个单 题号12345678 位长度，分别得到点A,B的对应点C,D,所以C(-1,0),D(3, 答案CDCABCAB 0), 二、9.(2，-5)： 5 10.(2,4):1山.54)12.7或号3 因为AB∥CD,AB=CD=4,所以SAD= CD:04- 13.(7,2)；14.3 5 4. 三、15.略. (2)因为△BMD的面积是△BCD面积的氵，所以△BMD 16.(1)如图4所示，△A1BC1即为所求. 的面积 4×4=5, (2)如图4所示，△AB2C2即为所求. 当点M在x轴正半轴上时，设点M(m,0),所以S△wD=2 65 ·DM·A0=5,所以DM=5,且点D(3,0),所以点M(8,0)或 点M(-2,0)(舍去)： 当点M在y轴正半轴上时，设点M(0,n),点M在线段OA C1 012345678910x 上时，因为S△wD=S梯形ODB-S△ABw一S△MOD=5,所以 图4 17.(1)建立平面直角坐标系略.坐标为：点A(-3,-1), 3+2-分×3xn-7×4x(2-)=5,所以n=4(合 2 点B(-2,0),点E(1,3),点F(2,4) 去).当点M在线段OA的延长线上时，因为S△Bw=S梯形OD+ (2)0.3×(8+8)×2=9.6(平方米). s6w-5am=5,所以3±9x2+7×4x(n-2)-分 2 答：地毯要9.6平方米 ×3×n=5,所以n=4,所以M(0,4). I&(1)因为△ABC与△DEF的相似比为1：2，所以S = 综上所述，当点M(0,4)或(8,0)时，△BMD的面积是 之，所以DF=2AC=4 △BCD面积的子 (2)因为∠0=22°，∠ABC=38°，所以∠0CB=180°- 第9期4版 22°-38°=120° 重点集训营 因为△ABC与△DEF位似，点0为位似巾心，所以e 1.(2m,2m）:2.(分，10. 器器 3.(1)图略. (2)(-4,-6). 所以△OBC∽△OEF,所以∠OFE=∠OCB=120°. 19.(1)图略，顶点A的坐标为(0,3) (3)6×4-7×4x4-合x2×2-分x2x6=8 (2)△A,B,G的面积=4×4-7×2×4-7×2×1- 所以△A1B,C1的面积为8. 一6