第6期：成比例线段 相似图形-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（华东师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理极 父知识饶理 详谈平行线分线段成比极 重点集训营 1.如图1，AC,BD交于点E,AE=1,EC= ©江西张明 2,DE=3,当BD= 时，AB可与CD平 一、“口诀”帮你找对应线段 所以BF=120cm.故填120. 行 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截， 二、基本图形帮你学推论 所得的对应线段成比例 1.推论：平行于三角形一边的直线与其他 2.如图1，当∥12∥1时，可得山D, 两边相交，截得的对应线段成比例. 手瓷-斧比例的性质还可得到 2.已知△ABC,DE是截线，上述推论包含 BC EF AB DE AC DF BC 了如图3所示的三种情况，可以简单称为“A”型 AB=DE'AC=DF'AB=DE'AC 图1 和“X”型，上面的口诀同样适用于这些基本图 2.如图2，AD是△ABC的中线，E是AD上 紫荒 形 EF 一点，AE=子A4D,BE的延长线交AC于点F,则 为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简 单的形象化的语言来表示卡=卡E:·至 瓷的值为 图3 3.如图3，正方形ABCD的 全’上 = 例2如图4，在△ABC中， 边长为6，E为CD边中点，G为 BC边上一点，连结AE,DG,相 例的性质还可得到品-斧-架即满足奢 ∠B=∠C=60°，点D为AB边 右 的中点，DE⊥BC于E,若BE= 交于点R老凭=专则FE的 图3 右· ?,则4C的长为 长度是 图4 4.如图4，以△EBC的边BC 例1一个三层折叠花架如图 解析：作AF⊥BC于点F,因为DE⊥BC于 为边作正方形ABCD,AD与BE 2所示，已知AB∥CD∥EF,AC= CE分别交于点F,G,若BF= 30 cm,CE 50 cm,BD 45 cm, 点E,所以4F∥DE,所以0-器因为点D为 F,AF=1,BC=12,求CE的 则BF的长为 cm. AB边的中点，所以0=E=1,所以BE=EF 长 解析：因为AB∥CD∥EF,所 AD EF ,又因为AC=30cm, =分因为∠B=∠C=60,所以△MBC为等 图2 CE=50cm,BD=45cm,所以30+50=BF 30 45 边三角形，所以BF=CF=1,所以AC=BC= 数理报社试题研究中心 2.故填2. (参考答案见下期) 第4期2版参考答案 21.2.4一元二次方程根的判别式 二、9.-6；10.10；11.k>-1 4 且k 辅助线 基础训练1A;2.D:3. 0;12.6;13.15;14.(5-2)2. 周周练 三、15.(1)m的取值范围为m≤1. 4*1.6,5.没有 (2)m=-4. 1.如图1，在矩形ABCD中，点E在AB上 16.(1)进馆人次的月平均增长率为20%. 且BE=2AE,连结ED,点F为ED的中点，连结 能力提高6.(1)证明：4=b2-4ac=(k (2)不能.理由如下： AF,BF,FC,若∠BFC=90°，BF=5,则DE的 8)2-4×2×(-4k)=(k+8)2≥0， 由(1)得，第四个月的进馆人数为： 长为 所以该方程总有两个实数根. 10800×(1+20%)=12960>12000, (2)解方程，得 所以该博物馆不能接纳第四个月的进馆人 x=-(k-8)±√(k+8y=8-k±k+81 次 2×2 17.(1)证明：4=b2-4ac=[-(m+3)]2 k 所以x1=4,x=- -4×1×(2m-1)=(m+3)2-4(2m-1)= 图1 图2 m2+6m+9-8m+4=m2-2m+13=(m- 2.如图2，四边形ABCD是菱形，点E是CD 因为该方程有一个根小于3，所以-台< 1)2+12>0, 的中点，连结AE,将△ADE沿AE折叠得 所以无论m为何值，方程总有两个不相等 △AFE,连结BD,分别交AF于点M,交AE于点 3.解得k>-6. 的实数根. N.若AF⊥CD于点G,MN=√2，则AN的长度 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 (2)当m=4时，△ABC是以AC为斜边的 基础训练1.C:2.A:3.4:4.11. 直角三角形 5.m=-3. 18.(1)1:3. 21.3实践与探索 (2)猜想：sn=sn-1+3-2证明略。 头w甲型Y名 基础训练1.A;2.C;3.1;4.6; 19.(1)①(50-2x). 5.0.4. 恶=品0c=N0元=☒=到 NW ②AB的长为23米 6.每轮传染中平均一个人传染了14个人. 厚翻毙头N1QVE4采‘狂亚头OWHO (2)养蜂场的面积不能达到230平方米.理 7.这4个数中最小的数为7. 处d用用‘狂典三厚甜金关WOV又用影 由略. 能力提高8.(1)(20+2x),(40-x) 单狂等堡山御节‘H学上 20.(1)P,Q两点从出发开始到2秒或6秒 (2)每件卫衣降价5元或25元时，平均每天时，点P和点Q间的距离是5cm. HN卒垂明WWO学‘HW‘I‘O早 县‘0学⊥☑8冬OV家【兰群】乙 可盈利1050元. (2)当P,Q两点从出发开始到8-7秒 ·[口旧唱搏插缸 (3)不能实现.理由略 3 马兴部位興电‘P芝关☒H彩奥中绌 第4期3版参考答案 题号12345678 或秒或秒或8+瓦秒时，点P,Q.D组成 料‘Oa缸兴部区御量“OH=H&口缸 马④H形彩本‘H学壬O8彩 答案CA D C A D C B 的三角形是等腰三角形 垂明O84学【些】/？【孝是】 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 数理橘 2026年8月6日·星期四 初中数学 报纸发行质量反馈电话： 6 期总第1202期 华东师大 0351-5271248 中考 第5期综合测评卷 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-207 参考答案 A卷 方法探究 例1如图1，四边形 -、1.C;2.B: ABCD∽四边形GFEH,点 3.C 4.B5.D A,B,C,D分别与点G,F 相 6.D;7.A;8.C; 比例求值 四绝招 9.C:10.B: E,H对应，且∠A=∠G 11.A;12.B. O四川 顾媛 =70°，∠B=60°，∠E= 二、13.2x2+x-4 绝招一、运用比例的性质 120°，DC=24,HE=18, 0;14.k≤1且k 对已知的等式，利用比例的性质进行变形 解析：设4 HG=21.求∠D,∠F的 15.12; =k,则a=3k,b=5k, 进而求出所求式子的值， 大小和AD的长. 16.-2026 3×3k 9k 山西 三、17.x1=-2+ 例1 若8=则46 a+6的值为( 所以3a a+26=36+2×5= 9 13k 13 25,x2=-2-25.第 一步变形的依据是等式 .3 B.2 9 13 杨冰凯 的基本性质1. 18.设方程的另 C.2 绝招三、代入消元法 图1 D.3 个根为x2 在求一个比例式的值时，可根据已知等式， 解：因为四边形 因为方程2x2-4x 解法一：因为号=2，所以。= b 用其中一个字母表示其他字母，并代入所求的 ABCD∽四边形GFEH 识别与应 多边形的 +3m=0的一个根为1 比例式中，约去这个字母，即可求出其值 ∠B=60°，∠E=120° 所以1-2+ 所以a .故选A 例3若：y:g=1:2:3,则2x+的值 所以∠C=∠E= 3 y-z 120°，∠F=∠B=60° 是 因为∠A=∠G=70° 解法二：因为4 =2,所以g=2,所以6 解析：因为x:y=1:2,所以y=2x 所以∠D=110°. 所以x2=2+1,n 因为x:z=1:3,所以z=3x, 因为四边形ABCD∽四边形GFEH 2 +1=2+1=3,所以+b=3,所以 a +b 所以2红+： 2x+3x =-5.故填-5. 所以器-品所装-兴 18 即方程的另一个根 .故选A 绝招四、特殊值法 3 解得AD=28. 为5+1，m的值为-子 例4 绝招二、等比设值法 若号 b 4 5,则4~6 19.应邀请的俱乐 c 所以∠D=110°，∠F=60°，AD=28. 部个数为7. 对于有等比条件求比值的题目，可设比值为 例2如图2，在四边 20.(1)解方程x k,用含k的式子来表示未知数，然后将其代入所 解析：取a=3,b=4,c=5,易知a,b,c满 形ABCD的边AB上任取 =2x,得x1=0,x2=2. 求式中求值即可. 足已知条件， 点O(不与点A,B重合)，连 因为≤2，所以 3a 3-4 结0C,0D,分别取0A,0B P(0,2) 例2 (2)设方程x2 已知号 5,则 +26的值为 所以原式= 5 0C,0D的中点A',B,C', m+2)x-3=0的两 十十十十十十十 十十十十十十十十十十十十十十十十 D',连结A'D',D'C',CB 根为x1和x2(x1≤x2) 题型空 四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相吗？为什 则P(x1,x2) 因为点P在直线 =一X上 所以x1+2=0, 特殊矩形巧求解发 么？ 解：四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD 理由：因为A',D'是0A,OD的中点， 即m+√2=0，解得m ◎河南李彦英 所以AD'∥AD,A'D=之AD, 21.(1)1和4. 特殊矩形一：对折后与原矩形相似 特殊矩形二：截去一个矩形后与原矩形相 (2)m的值为7 例1如图1，一般书本 似 所以'D 2 (3)m的值为4. 的纸张是原纸张多次对开 例2 如图2，在矩形 、田CD== 1 B卷 得到的，矩形ABCD沿EF对 开 四、22.1或5： ABCD中，点E,F分别在边 BC AB 21 开后，再把矩形EFCD沿MW 23.m=1或m> BC,AD上，沿FE截去矩形 所以GD CD 、 BC =2, 2 24.1,25； 对开，依此类推，若各种开 ABEF后，得到的矩形ECDF AB AD 257或- 2 本的矩形都相似，那么化等于 因为A'D'∥AD,所以∠OA'D'=∠OAD 与原矩形ABCD相似，且矩 图2 ∠OD'A'=∠ODA. 五、26.(1)从1月 形ABCD的面积是矩形ECDF面积的3倍，若AB 份到3月份该品牌无入 同理∠OD'C =∠ODC,∠OC'D' 机销售量的月平均增长 A.0.618 2 C.2 D.2 =4,则矩形ABCD的面积为 ∠OCD,∠OCB ∠OCB,∠OB'C' 率为10% 解析：因为AB=4,所以CD=AB=4. ∠OBC,所以∠A'D'C'=∠ADC,∠D'C'B'= (2)下调后每架无 解析：设AB=a,AD=b, 人机的售价为2万元 根据折叠的性质可得4化：分 因为S矩形cD=3S矩形ECDF, ∠DCB, 27.(1)解x2+3x+ 所以AD=3DF 所以四边形A'B'CD'∽四边形ABCD 2=0,得x1=-2,x2 =-1. 因为矩形AEFB∽矩形ABCD, 因为矩形ABCD∽矩形DFEC, 因为-1-(-2) AD 本周主讲 =1,所以该方程是“邻 所始-8 所以品=品即 DF=4 根方程” (2)m的值为1或3， 所以3DF2=16, 22.1成比例线段 (3)t的最大值为0. 所以2 28.(1)剪去的正 a =分即=2 解得DP=43 22.2相似图形 3 方形的边长为10cm. 2 (2)不能.理由略 所以AD=3×45 主要内容：本期同学们要了解成比例线 =45 段、平行线分线段成比例，以及相似图形的判 1 所以S矩形cD=AB·AD=4×45=165 定 并能运用相似图形解决实际问题 故选C. 故填165 素养专练 数理极 22.1.2平行线分线段成比例 22.2相似图形 跟踪训练 垦础训练 垦础训练 1.如图1,4，∥2∥13，两条直线与这三条平 1.下列各组多边形中，一定相似的是（) 22.1.1成比例线段 行线分别交于点A,B,C和D,E,F,已知AB= A.两个矩形 B.两个等边三角形 B 41 C.两个菱形 D.两个等腰三角形 堡础训练 若DF=18,则DE的长为 ( 2.如图1，四边形ABCD和EFGH相似，则a和 1.已知3a=4b(a≠0，b≠0)，下列变形正确 A.4 B.5 C.8 D.10 x的大小分别为 的是 ( A.75°，30 B.75°，33 C.80°，30 D.80°，33 A.4 a B. b 3=4 a D异= 22 D 图1 图图2 24/ 2.已知a,d,b,c是成比例线段，其中a= 2.如图2，DE∥FG∥BC,若EG=3CG,则 1635°80 BD与BF之间的数量关系是 3cm,b=4cm,c=6cm,则d的值为 ( 图1 B.3cm A.BD =3BF B.BD =4BF A.8 cm 3.如图2，将一张□ABCD(AD<AB<2AD) C.BD -BF D.BD 2BF 纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形ADEH,在 C.4 cm 余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去 3.在△ABC中，点D,E分别在边BA,CA的延 个菱形FECG,若剪去两个菱形后所剩下的 3.黄金分割是汉字结构最 长线上，若AD:AB=1:2,AC=4,那么当DE∥ □FHBG∽口ABCD,则口ABCD的相邻两边AD与 基本的审美规律.如图，汉字 BC时，AE= AB的比值是 “十”端庄稳重、舒展美观横 4.如图3，练习本中的横格线都平行，且相邻 4.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思 竖笔画交点C恰好是线段AB 两条横格线间的距离都相等，若AB=2cm,则线 绪，所以诗人杜收说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于 的黄金分割点(AC<BC),若 段BC= cm 二月花.”如图3是两片形状相同的枫叶图案，则x AB=2cm,则AC的长为 的值为 A.(5-1)cm B.(5+1)cm C.(3-5)cm D.(5-2)cm 4.已知3是2和x的比例中项，则x= 3 图4 12 cm 5.已知a,bc三条线段满足号=行- e 5.作业本中有一道题：“如图4，在△ABC中， 图3 4 f 点D为AC的中点，点E在BC上，且BE=3CE, 5.如图4，矩形相框的外框矩形的长为 2,若b+d+∫=3，则a+c+e的值为 AE,BD交于点F,求AF:EF的值”，小明解决时碰 l2dm,宽为8dm,上下边框的宽度都为xdm,左 6.已知a,b,c是△ABC的三边，且满足+4 到了困难，哥哥提示他过点E作EG∥BD,交AC 右边框的宽度都为ydm.若内边框矩形和外边框 3 于点G.最后小明求解正确，则AF:EF的值为 矩形相似，则x,y应符合的条件是 =b生-生，若a+6+e=12,试判断△4C 6.如图5，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC= 2 6.如图5，已知口ABCD,点E是BA延长线上 16cm,E,F分别是AB,CD上的点，且AE=DF= 的形状，并说明理由。 一点，CE与AD,BD分别相交于点G,F.求证：CF风 8cm,两动点M,N都以2cm/s的速度分别从C,F =EF·GF 两点沿CB,FE向B,E两点运动，判断当M,N运动 多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并 正明你的结论 能刀提高 能刀提高 能刀提高 7.如图6，已知AD∥BE∥CF,它们依次交直 2a 26 2c 7.已知，+c+a=a+c+aFa+b+a 线l1,2,l3于点A,B,C和点D,E,F和点Q,H,P,2 7.如图6，在□ABCD中，∠BAD的平分线交 BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F 2d一=k(k≠0)，求k的值. a+b+c 与L相胶于n服的点c若授=号 (1)求证：四边形ABEF是菱形； (1)如果EF=10,求DE,DF的长； (2)若口ABCD□ECDF,且AD=4,求AE (2)如果QG=3,求PH的长 的长 B XG H c I /P 图6 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 17.(10分)如图10，在四边形ABCD中，点E 同 F分别在边AB,CD上，连结EC,EF,EC平分 检测题（四 ∠FEB,EF∥BC (1)求证：EB=BC; (2)若AD∥EF,DF=FC,请判断AE与BC 【检测范围：22.1~22.2】 的大小关系，并说明理由 (满分：120分) 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 9已知5x=7(y≠0)，则= 题号1 2 34 5 6 10.五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离 的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来 10 答案 记载音乐.如图5，A,B,C为直线与五线谱横线相 1.下列每组图形是相似图形的为 交的三个点，若AC=12,则AB的长为 18.(10分)如图11，AD是△ABC的中线 (1)若E为AD的中点，射线CE交AB于点F A B C D 龙AF 2.在比例尺为1：36000的某市旅游地图上， BE 图5 某条道路的长为5cm,则这条道路的实际长度为 图6 11.社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块 (2)若E为AD上-点，且品=射线CE交 ) 闲置空地改造成如图6所示的集阅读区、健身区和 A.0.18km B.1.8 km 绿植区的小型休闲广场.已知阅读区(ABCE)和健 C.18 km D.180 km B于点上，求品 身区(CHGD)均为正方形，且点E,G分别为AF 3.如图1，某位同学用带 FH的黄金分割点（其中AE>EF,GH>GF),若 有刻度的直尺在数轴上作 AF长为200m,则CD的长为 图，若PQ∥MN,点O,Q,M 在直尺上，且分别与直尺上 12.已26+c_2c+0-2a+b=m,且4+ a 的刻度0,1和3对齐，在数轴 0 P 10 b+c≠0，则m= 上点N表示的数是10，则点 图1 13.如图7所示，在长为10，宽为8的矩形中 P表示的数是 截去一个矩形（图中阴影部分），若矩形ABCD B.3 D.5 矩形FCDE,那么截去矩形的面积是 19.(12分)如图12-①，将A4纸进行2次折 4.如果x:y=1:2,那么下列各式中不一定成 叠后，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图 立的是 12-②，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为 A=月 B.Y-x 二，沿折痕剪开，可得2张A5纸. y 2 (1)求A4纸较长边与较短边的比： C.2 D.+1=2 图图7 图8 (2)A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理 y+i=3 14.如图8是一张矩形纸片ABCD,点E为AD 由 5.已知成比例的四条线段的长度分别为 中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A,B的 6cm,12cm,xcm,8cm,且△ABC的三边长分别 对应点分别为A',B',M'E与BC相交于点G,B'A'的 第1次 为xcm,3cm,5cm,则△ABC是 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 延长线过点（若铝=子，则识的信为 44 4 C.直角三角形 D.无法判断 三、耐心解一解（本大题共6小题，共64分） 6.如图2，D是△ABC的边AB的中点，过点D 15.(10分)如图9，点E是菱形ABCD对角线 作BC的平行线交AC于点E,连结BE,过点D作 CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱 BE的平行线交AC于点F,若EF=1,则AC的长为形AEFG,且菱形AEFG~菱形ABCD,连结EB, GD,求证：GD=EB. A B.2 C.3 D.4 20.(12分)如图13，在△ABC中，点D为BC 上一 点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于 点M,作PN∥AB交AC于点N (1)若点D是BC的中点，且AP:PD=2:1,求 AM:AB的值； 图2 7.如图3，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形 (2)若点D是BC的中点，试证明光-0 ABCD的四条边上，BE=BF.将△AEH,△CFG分 别沿边EH,FG折叠，当重叠部分与菱形ABCD相 16.(10分)已知(a+b):(b+c):(c+a)= (3)若点D是BC上任意一点，试证明A业+4 AB AC 似且相似比为1：4时，是的值为 7:14:9,求： AP (1)a:b:c的值； AD D.4 （2):定的 8.如图4，已知正方形 ABCD的边长为a,延长BC到 点E,使CE=BC,取CD的中 点F,连结DE,BF,DE与BF 的延长线相交于点G,则BG 图4 的长为 数理报社试题研究中心 3 a B.2⑤ 3 a C. D.26 3 (参考答案见下期)初中数学·华东师大中考第6~9期 裁理柄 答案详解 2026~2027学年 初中数学·华东师大中考第6~9期 第6期2版 8器=子所以0h=6,因为AD∥BEcP,所份-品 0G1 22.1.1成比例线段 基础训练1.D;2.D;3.C; 所以 号，所以PM=15 4号；56 22.2相似图形 6.△ABC是直角三角形.理由如下： 基础训练1.B:2.D;3.号；4.6； 设0+4=6+3=+8=k,则a=3k-4,b=2k-3,c 5.2y=3x或3y-2x=10. 3 2 4 6.设运动ts能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意得 =4k-8. 因为a+b+c=12,所以3k-4+2k-3+4k-8=12, 兰=是或9=受解得1=4或1=1所以当，N运动4 解得k=3. 或1s能使矩形CFNM与矩形AEFD相似. 所以a=5,b=3,c=4. 能力提高7.(1)证明：因为∠BAD的平分线交BC于点 所以62+c2=32+42=25=a2. E,所以∠BAE=∠EAF.因为四边形ABCD是平行四边形，所 所以△ABC是直角三角形 以AD∥BC.所以∠EAF=∠AEB.所以∠BAE=∠AEB.所以 能力提高7.当a+b+c+d≠0时， AB=BE.同理AB=AF所以BE=AF.因为AD∥BC,所以四 2a 26 2c 2d 因为b+c+a=a+e+a=a+b+a=a+b+c =k, 边形ABEF是平行四边形.因为AB=BE,所以四边形ABEF是 菱形. 2a+2b+2c+2d 所以b+c+d+a+c+d+a+b+d+a+b+C =k, (2)由(1)知，四边形ABEF是菱形，所以AB=BE=EF 8+出=6所以4= =FA.又因为四边形CDFE是平行四边形，所以FD=CE,EF 3(a+b+c+d) 3 =CD,所以AB=BE=EF=FA=CD. 当a+b+c+d=0时，b+c+d=-a,所以2L=k,解 设FD=CE=x,因为四边形ABCD是平行四边形，且AD -a =BC=4,所以AF=BE=CD=EF=4-x,因为□ABCD 得k=-2. 综上所述，k的值为子或-2 口5C0,所以号=品即产，兰整理得-12x+6 =0,解得x=6±2√5，因为x<4,所以x=6-25,所以AF 22.1.2平行线分线段成比例 =4-6+25=25-2. 基础训练 1D;2.B;3.2:4.6;5.4 第6期3版 6.证明：因为口ABCD,所以AB∥CD,AD∥BC,所以 题号12345678 EF= 答案BBCDCD BB 器器-祭所以器-张即cP=BF,6R 7 二、9.5；10.8；11.(300-1005)m;12.3: 能力提高7.(1)因为AD∥BE∥CF,所以Ag=DE AC=DF 13.51.2;14.22. 三、15.证明：因为菱形AEFG菱形ABCD,所以∠DAB= 号，所以2作i0=号所以DE=4,所DF=DE+EP=4 ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= +10=14. ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以 DE 16.(1)因为(a+b):(b+c):(c+a)=7:14:9,设a 初中数学·华东师大中考第6~9期 +b=7k,b+c=14k,c+a=9k,则a+b+c=15k,所以a= 又因为PW∥AC,所以DE∥AC,所以6-2所以0- k,b=6k,c=8k,所以a:b:c=1:6:8. AB AE (2。+的值为-品 c2+bc 指-铝光同理可得完-铝·器所以岩+袋-岩 AB AD BC AB AC AD AP 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, (BC+BC 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 第6期4版 以BE=BC. 重点集训营 (2)AE=BC.理由：因为AD∥EF,EF∥BC,所以 品因为DF=FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE- 4.CE=26. BC. 第7期2版 18.过点D作DG∥CF,交AB于点G.因为DG∥CF,所以 22.3.1相似三角形 祭-2.因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC,所以BG= 基础训练1.C；2.A;3.12；4.2√3 能力提高5.(1)因为AB∥CD,所以△ABE∽△DCE, GF,因为DG∥CF,所以5=45 AFG=ED 所荒-光=号=号又因为B∥F,所票-能 (1)因为E为AD的中点，所以AE=ED,所以AF=FG= Bc,所以品= 3 （2)因为汽=太，所以瓷=士所以FG=MP,所以G (2②)因为cD∥，所以△BF~△BCD,所u品-品 2 =FG=MF,所以BP=24F,所以部=都e=六 AF 又因为cD=15,器=子所以EF=c0能=15×2子3 6. 19.（1)如图1，连结BC,设AB=x,由翻折的 22.3.2相似三角形的判定（第一课时） 性质得，∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF 基础训练1.D;2.B;3.70;4.1.4. =∠BDF=90°.因为∠ACE=∠ACB+∠ECB= 能力提高5.(1)作图略。 ∠BCF=∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以 ∠ACB=∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD= 图1 (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=子∠BAC, BC=√2x,所以AD=AB+BD=(√2+1)x,所以EF=CE= 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=7∠BAC,所以∠BAD=∠C, AD=(2+1)x,因为DE=AC=AB=x,所以DF=DE+EF 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD△CBA. 2%资反 22.3.2相似三角形的判定（第二课时） 基础训练1.D;2.C;3.2或8； (2)相似.理由：由题意知：A5纸长边为A4纸短边，长为 4.(1,4)或(3,4). (万+1)x,A5纸短边长为(2，+2)x,所以在A5纸中，长边： 能力提高5.(1)证明：因为正方形ABCD,所以∠A= 2 短边=5+)x=万，所以4纸与A5纸相似. ∠D=0,AB=CD=AD,因为CF=3FD,所以FD=子CD, (5+2)x 2 因为E是AD的中点所以A=BD=子40，所以号- 20.(1)过点D作DE∥PM交AB于E,因为点D为BC中 2,所以△ABE△DEF 1 点，所以点E是AB中点，且是-品所以错-=司 (2)△ABE与△BEF相似，理由：设AB=AD=CD=BC (2)证明：延长AD至点Q,使DQ=AD,连结BQ,CQ,则四 =4a,因为E为边AD的中点，CF=3FD,所以AE=DE=2a, 边形AB0C是平行因边形，所以PM∥B0,PV∥c0,所以光 DF=a,CF=3a,所以BE=25a,EF=√5a,BF=5a,所以 BF2=EF2+BE2,即∠BEF=90°，所以∠A=∠BEF=90°， 6袋6所以岩-光 AB=AC 因为提-岩=2祭：=2，所光-华所以△M8E 5a (3)证明：过点D作DE∥PW交AB于E,所以是-品 △EBF. 一2 初中数学·华东师大中考第6~9期 22.3.2相似三角形的判定（第三课时） ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 基础训练1.A;2.18;3.①③， ∠EBC=∠BAD=21°. 4.证明：因为AB=2,BC=3,CD=6,AD=8,AC=4,所 (3)证明：由()知∠D=∠CE因为8-能所以光 以号=8%=长=分所以△Bc△4Cn.所以∠BMC= AE,所以△ABD~△ACE ∠CAD,即AC平分∠BAD 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC, 3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=√5，BC=25, ∠BAE=∠BCF=45°.因为BE=BF,所以∠BEF=∠BFE. 所以∠AEB=∠CFB.所以△ABE≌△CBF.所以AE=CF. 在△ABC和△4CD巾，因为%=5=5%=25 1 2 (2)证明：因为∠BEC=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE, 5是-启-，所光-器-把所以△4c△4n ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE,所以∠BEC= ∠ABF.因为∠BAF=∠BCE=45°，所以△ABF△CEB. 第7期3版 (3)EB=EG,BE⊥EG.理由如下： 题号12345678 因为∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC,所以 答案CCB CC B BB △BEF△cGF,所u器-3即品-8保 BF=CF 4 二9.∠AED=∠B(答案不唯一)；10.3；1山.丁； 因为∠EFG=∠BFC,所以△EFG∽△BFC.所以∠EGF 12.30°或60°；13.(-4,0)或(-1,0)或(1,0)： =∠BCF=45°.所以∠EBF=∠EGF=45°.所以EB=EG, 14.4或7. ∠BEG=90°，所以BE⊥EG. 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= 20.(1)证明：因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所 ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°，因为∠BFE+ 以∠B=∠C=45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE,又∠DGE=∠AGC,所 ∠BPE+∠BEP=135° 以∠AGC=∠BFE,又∠ACB=∠FEG=90°，所以∠AEC+ 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 ∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC=∠BEF,所以 ∠BPE+∠CPF=I35°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= △AGC∽△EFB. ∠C,所以△BPE∽△CFP. 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以∠ADC= (2)△BPE∽△CFP.理由如下： ∠BEC=90°，因为∠C=∠C,所以△ACD~△BCE,所以 因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以∠B=∠C CE =45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BPE+ =能即光=能又因为∠C=∠c,所以△CB一acDE ∠BEP=135°. 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 (2)因为点D是BC的中点，AD⊥BC,所以AB=AC,在 ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= Rt△BEC中，因为CE=6,BE=8,所以BC=10,所以CD= ∠C,所以△BPE∽△CFP. 号C=5,因为△4CD△BCE,所以品=8器所以4C= (3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， 空所以4B=4C=马 理由如下： 同(2)，可证△BPE∽△CFP,得CP:BE=PF:PE,而CP 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠CAB. =BP,因此PB:BE=PF:PE.又因为∠EBP=∠EPF,所以 因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB,所以AD: △BPE△PFE. AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD. 第7期4版 (2)因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.因为∠DAC= 重点集训营 ∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为∠AFD=∠CFE,所以 △AFD∽△CFE. 1.D,22或号 1&()证明：因为始-器=长所以△ABc∽△A0E, 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- (2)因为△ACE≌△ABF,所以AE=AF,∠CAE= ∠DAF,即∠BAD=∠CAE. (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 ∠B,因为1G=40A8,4C=A8,所u号=授即治- AO 一3 初中数学·华东师大中考第6~9期 长所以△4CE△AF0 因为品=器所以哈培解得48=1B5m 第8期2版 答：该龙形雕像的高度为13.5m. 22.3.3相似三角形的性质 7.(1)证明：因为SD⊥AC,所以∠SDA=∠SDC=90°， 基础训练1.C:2.A;3.子： 所以∠SDM+∠MDA=∠SDB+∠BDC=90°. 因为∠MDS=∠BDS,所以∠MDA=∠BDC. 46:516:630, (2)因为TE⊥AC,所以∠TEA=∠TEC=90°.所以 ∠NET+∠NEA=∠BET+∠BEC=90°. 7,)因为△ABc~△1gC,治=子，所以0 CD= 因为∠NET=∠BET,所以∠BEC=∠NEA. 因为∠BCE=∠NAE=90°，所以△BCE∽△NAE. 所器=所以=2 以2+2=2-2-2解得M=3m 又因为CD=4cm,所以C'D'=2CD=8cm,即A'B'边上 因为∠BCD=∠MAD=90°，∠BDC=∠MDA,所以 的中线C'D'的长为8cm. 指=分，所以 (2)因为△ABC~△A'B'C',AB= △BCD一△MA0.所以%-所以片=2解得M4 C△AB'C =7.5m. 2 所以MN=MA-AW=7.5-3=4.5(m),即此公益广告 又因为△ABC的周长为20cm,所以C△MBC=2C△ABc= 牌的高度MN为4.5m. 40cm,即△A'B'C'的周长为40cm 第8期3版 (3)因为△c△4C,治=分，所以- 题号12345678 SAAB'C 答案AA CBBBDA 二、9.4：1； 10.3；11.22;12.3; 又因为△A'B'C'的面积是64cm2,所以SAABC= 13.；14. 2 =16cm,即△ABC的面积是16cm2. 三、15.因为两个相似三角形的最长边分别是5cm和7cm, 能力提高8.因为DE∥AB,所以∠A=∠CED,因为∠A 所以这两个相似三角形的相似比为5：7， =∠EDF,所以∠CED=∠EDF,所以DF∥AC,所以△BDF 所以这两个相似三角形的周长比为5：7， 一△BCM,所以m= 又因为这两个相似三角形的周长之和为48cm, SABCA BC 7 所以较大三角形的周长为：48×5+7=28(cm. 子所u号所以 BD 2 S△BCA 5 较小三角形的周长为：48×5十7=20(cm. 22=去，因为Sc=50,所以5ar=8 16.因为∠AOF=∠BFD=90°，∠AD0=∠BDF,所以 同理可证得△CDE~△CBA,所以g=(0=是， 9 △40D~△BFD.所以品-8器-8号=1设0F=则A0 BC =0D=x+0.7. 所以SACDE=18,所以四边形AFDE的面积为SAc-S△mF 因为∠AOE=∠CFE=90°，∠AE0=∠CEF,所以 SACDE =24. 22.3.4相似三角形的应用 △40△CE所品票即兰-87解得 基础训练1.B;2.60;3.3.6;4.300;5.12. x=5.6,经检验，x=5.6是原方程的解.所以A0=x+0.7= 能力提高6.因为∠FED=∠ABD=∠HGC=90°，6.3m ∠FDE=∠ADB,∠C=∠C,所以△FED∽△ABD,△HGC∽ 答：0A的高度是6.3m. △4BC,所u铝-品胎-能所以品-能又因为D 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, BE DE =2+BE,BC BE EG+CG=BE+8+3=11+ △4E△4c所u-,器-所-器又 BE,所以2E=E·解得服=16m所以BD=BE+ 3 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DN=EN. DE=16+2=18(m). (2因为DE∥Bc,所以能-8器=号，△0E 4 初中数学·华东师大中考第6~9期 △c0B,所u=8=子 第9期2版 22.4位似图形 DE 因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以△E=（P BC 基础训练1.C;2.D;3.C;4.1:2:5.2 =2务设Sam=4(x>0),则Sam=25x因为四边形BCED 能力提高6.(1)如图2所示，△MBN即为所求. M 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以S△Bc=50. 18.(I)因为AD∥AD,所以△PAD~△PAD,所以 A'D' =祭所以号.，”，解得PW=180m,所以灯泡离地 36 C 面的高度PM为180cm. 图2 图3 (2)设横向影子A'B,D'C的长度和为xcm,同理可得 (2)如图3所示，△BDE即为所求，此时△ABC∽△EBD, △PD~△PM0,所以品=别即0=解得 相似比为2. 22.5.1用坐标确定位置 12,经检验，x=12是原方程的解.所以横向影子A'B,D'C的长度 基础训练1.D;2.C; 和为12cm 3.(北偏东40°，35海里). 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC, 4.建系略.湖心亭(2,5)，望春亭(3,2)，牡丹亭(8,6)，东 因为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=180°-∠BGF,因为∠AGB 门(9,3). =180°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB.又因为∠ABG= 5.以D为坐标原点，DC和AD所在直线为x轴和y轴建立 ∠MBA,所以△BAG△BMA 平面直角坐标系，图略.则点A(0,4),点B(6,4),点C(6,0), (2)连结CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 点D(O,O).过点E作EG⊥CD于点G,交AB于点F.因为AE= CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= CB=CD.又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥ BE,所以AF=之4B=分×6=3在R△AEF中，由勾股定 BC,所以CM⊥BC 理，得EF=√AE2-AF2=52-32=4,所以EG=4+4= 由(I)得品-e所以BG,BN=AB,所以BG·BM 8,所以点E(3,8).(答案不唯一) 22.5.2图形的变换与坐标 BC.所以EC=BC BC=BM 基础训练1.A;2.D;3.(4,-3);4.1:3;5.9. 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC∽△BCM.所以 6.(1)图略。 ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. (2)图略。 20.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,所 (3)点A2的坐标为(3,6)，△ABC与△A2B2C2的周长比是 以∠ADG=∠EBG,∠DAG=∠BEG,所以△ADG∽△EBG, 1:2. 所以%-品 能力提高7.(1)(-5,6). (2)当△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单 由题意，得AD∥CE,AD=CE,所以四边形ACED是平行 位长度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F 四边形，所以ACDE,所以∠AFG=∠EDG,∠FAG= 的坐标是(4，-1)； ∠DsG,所以△4K△EGD.所光-品所以-e 当△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长 BG =DG' 度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F的坐 所以DG2=FG·BG. 标是(5，-5).故填(4，-1)或(5，-5). (2)因为四边形ACED为平行四边形，AE,CD相交于点H, (3)若平移方式为：向上平移1个单位长度，向右平移3个 所以DM=2DC=B=7,AD=CE=24, 单位长度，则点Q(0,y+1),分别过点Q,B作x轴，y轴的平行 线，两平行线交于点H,连接PH,则BH=y+2,QH=4, 在Rt△ADH中，AP=AD2+DF,所以AH=7+24 =25,所以AE=50. 因为Sa网=Sa聊-Sm-Se,所以5=分×(y+ 因为△40G~△BC,所以瓷=品-分，所以4G= 2)×4- ×(+2)×1-7×4×1，解得y=号，因为号 6E,所以4G=宁4-号所以6M=A-4G= 25 3 <3,所以点P的坐标是(-3，号： -5 初中数学·华东师大中考第6~9期 若平移方式为：向下平移3个单位长度，向右平移4个单位】×4×3=5. 2 长度，则点Q(1,y-3),分别过点Q,B作y轴的平行线，再过点 P作x轴的平行线，三条平行线交于点M,N,则BM=y+1,QW (3)设点P的坐标为(a,0),由(1)得点C1的坐标为(4， =3,NP=4,PM=1,MW=5, 0),则CP=14-al, 因为San=S#形w0-SAP-SAP0,所以5=Y+】+3 因为以4，C,P为顶点的三角形面积为弓，所以宁×4- 2 ×5-子×(y+1)×1-7×3×4,解得y=子，因为子< a1×3=子，所以a=3或a=5, 所以点P的坐标为(3,0)或(5,0) 3,所以点P的坐标是(-3，子). 20.(1)因为(a+b-6)2+6-a-2=0,所以 所以点P的坐标为(-3，受)或(-3，子 「a+b-6=0 0所以0=2所以4(0,2），B4,2. L6-a-2=0,b=4, 第9期3版 将点A,B分别向下平移2个单位长度，再向左平移1个单 题号12345678 位长度，分别得到点A,B的对应点C,D,所以C(-1,0),D(3, 答案CDCABCAB 0), 二、9.(2，-5)： 5 10.(2,4):1山.54)12.7或号3 因为AB∥CD,AB=CD=4,所以SAD= CD:04- 13.(7,2)；14.3 5 4. 三、15.略. (2)因为△BMD的面积是△BCD面积的氵，所以△BMD 16.(1)如图4所示，△A1BC1即为所求. 的面积 4×4=5, (2)如图4所示，△AB2C2即为所求. 当点M在x轴正半轴上时，设点M(m,0),所以S△wD=2 65 ·DM·A0=5,所以DM=5,且点D(3,0),所以点M(8,0)或 点M(-2,0)(舍去)： 当点M在y轴正半轴上时，设点M(0,n),点M在线段OA C1 012345678910x 上时，因为S△wD=S梯形ODB-S△ABw一S△MOD=5,所以 图4 17.(1)建立平面直角坐标系略.坐标为：点A(-3,-1), 3+2-分×3xn-7×4x(2-)=5,所以n=4(合 2 点B(-2,0),点E(1,3),点F(2,4) 去).当点M在线段OA的延长线上时，因为S△Bw=S梯形OD+ (2)0.3×(8+8)×2=9.6(平方米). s6w-5am=5,所以3±9x2+7×4x(n-2)-分 2 答：地毯要9.6平方米 ×3×n=5,所以n=4,所以M(0,4). I&(1)因为△ABC与△DEF的相似比为1：2，所以S = 综上所述，当点M(0,4)或(8,0)时，△BMD的面积是 之，所以DF=2AC=4 △BCD面积的子 (2)因为∠0=22°，∠ABC=38°，所以∠0CB=180°- 第9期4版 22°-38°=120° 重点集训营 因为△ABC与△DEF位似，点0为位似巾心，所以e 1.(2m,2m）:2.(分，10. 器器 3.(1)图略. (2)(-4,-6). 所以△OBC∽△OEF,所以∠OFE=∠OCB=120°. 19.(1)图略，顶点A的坐标为(0,3) (3)6×4-7×4x4-合x2×2-分x2x6=8 (2)△A,B,G的面积=4×4-7×2×4-7×2×1- 所以△A1B,C1的面积为8. 一6