4 22.3.1 相似三角形（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“相似三角形”核心内容，涵盖概念、中位线判定及平行线判定方法。通过吴伯伯家等边三角形空地等实际情境导入，结合预习问题与探究活动，搭建从三角形中位线、平行线性质到相似三角形新知的学习支架。 资料突出动手操作与问题解决，如用量角器刻度尺验证相似，培养学生几何直观与推理意识。典例精析与分层检测结合，强化比例式应用与模型意识，自主学习、合作探究到当堂检测的闭环设计，助力学生自主构建知识，提升数学思维与应用能力。

22.3 相似三角形 1. 相似三角形 学习目标： 1. 理解并掌握相似三角形的有关概念.（重点） 2.能够利用三角形中位线判定三角形相似并解决实际问题．（难点） 3.掌握运用平行线判定两个三角形相似的方法.（难点） 自主学习 一、新知预习 1.如图所示的两个三角形中,＝＝，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′. 此时△ABC与△A′B′C′相似，记作______________. 读作______________. 如果记＝＝＝k， 那么这个比值____就表示这两个相似三角形的相似比． 2.如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出他需要篱笆的长度吗？ 3.如图②，在△ABC中，D为边AB上任意一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似． 【归纳】 对应边_______、对应角______的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比叫做它们的______. 合作探究 一、探究过程 探究点1：相似三角形的概念 对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.反过来，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.△ABC与△A′B′C′相似记作△ABC∽△A′B′C′，读作△ABC相似于△A′B′C′. 【典例精析】 例1如图，△ADE∽△ACB，其中∠AED＝∠B，那么能成立的比例式是(　　) A．＝＝ B．＝＝[来源:Z|xx|k.Com] C．＝＝ D．＝＝[来源:学§ 【归纳总结】在相似三角形中找对应线段或对应角时，一定要结合图形来分辨．本题采用了数形结合法，通过图形寻找相似三角形的对应边． 【针对训练】 1.如图，△ABC∽△ACD，若AB=5，BC=4，AC=,求CD的长. 　　 探究点2：利用中位线判定三角形的相似 【典例精析】 例2 如图3，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(　　) A．80° B．90° C．100° D．110° 图3 图4 【针对训练】 2.如图4，△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC， DE∥AC交AB于E， 则S△EBD∶S△ABC=（　　） A.1∶2 B.1∶4 C.1∶3 D.2∶3 【归纳总结】三角形中位线容易和其他知识联系在一起，如例2中中位线与平行线结合求角度问题；针对训练中中位线与相似结合，由中位线知相似比进而求面积比.中位线还可以结合更多知识一起考察，比如结合角平分线等等. 探究点3：用平行线判定两个三角形相似 【问题】如图，已知DE∥BC，判断△AED与△ABC是否相似，并说明理由. 解：______.理由如下：∵DE∥BC， ∴__________, .（两直线平行，内错角相等） 作DF∥BE交CB的延长线于F， 则四边形DEBF是_____四边形， ∴_________________.（平行四边形对边相等）. ∴==，同理可证=, ∴==. 又∵∠E=∠EBC,∠DAE=∠BAC,∠CDE=∠C. ∴△ADE∽△ACB（相似三角形的定义）. 【归纳】平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形____. 【典例精析】 例3如图，已知DE∥BC，若AD=3cm，AE=2cm，DE=4cm，，求△ABC的周长． 【归纳总结】求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到. 【针对训练】 2.如例2图，已知DE∥BC，若AE＝3，EC＝5，DE＝3.6，则BC的长为__________． 二、课堂小结 相似三角形 内容 基本图形 概念 对应边_______、对应角______的两个三角形叫做相似三角形. 用平行线判定两个三角形相似 ①“A”字型：如左图，DE∥BC； ②“X”字型：如右图，DE∥BC； ③特殊情况：DE为△ABC中位线. 解题策略 题目中无图，题干中也未给出对应点，说明两三角形相似时，要注意分情况讨论. 当堂检测 1.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，且满足△APC∽△ACB，则下列比例式： ①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的是(　　) A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 第1题图 第2题图 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，在△ABC中，D、E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若AD＝3，EF=1,则AB的长为(　 　)　　　　　　　　　　 A.2 B．4 C．8 D．12 4.已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，若△ABC∽△A1B1C1，且△A1B1C1的最大边长是15，求△A1B1C1的面积． 5.如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.[来源:Z*xx*k.Com] (1)求证：△DQP∽△CBP； (2)当△DQP≌△CBP，且AB＝8时，求DP的长．[来源:学科网ZXXK] [来源:学科网] 参考答案 自主学习 一、新知预习 1. △ABC∽△A′B′C′ △ABC相似于△A′B′C′ k 2.解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，∴.∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC.∴∠AEF=∠B,.∵EF=5米，∴BC=2EF=10米.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴BE=CF=BC=5米.∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25(米)． 3.相似.量得∠A=50°，∠ADE=∠B=∠55°，∠AED=∠ACB=75°. AD=1.1cm, AE=1cm,DE=0.9cm, AB=2.2cm, AC=2cm,BC=1.8cm.所以,所以两个三角形相似. 【归纳】成比例 相等 相似比 合作探究 探究点1 【典例精析】 例1 A 【针对训练】 1. 解：∵△ABC∽△ACD，∴,即,解得CD=. 探究点2 【典例精析】 例2 A 【针对训练】 2.B 探究点3 【问题】 相似 ∠E=∠EBC ∠CDE=∠C 平行 DE=BF 【归纳】 相似 【典例精析】 例3解：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵AD=3 cm，AE=2 cm，DE=4 cm， ∴即解得AB=9cm，BC=12cm，AC=6cm. ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=9+12+6=27(cm)． 【针对训练】 2.9.6 二、课堂小结 成比例 相等 比例 相等 当堂检测 1. A 2.B 3.C 4.解：因为32＋42＝52，所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.[K]因为△ABC∽△A1B1C1，所以△A1B1C1也是直角三角形，且＝＝.所以A1C1＝·AC＝9，B1C1＝·BC＝12.所以S△A1B1C1＝A1C1·B1C1＝×9×12＝54. 5. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AQ∥BC，∴△DQP∽△CBP. (2) 解：∵△DQP≌△CBP，∴DP＝CP＝CD.∵AB＝CD＝8，∴DP＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $