第4期：一元二次方程2-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大中考第1~5期 数理括 答案详解 2026~2027学年 初中数学·华东师大中考第1~5期(2026年7月) 第1期2版 4.1)3万，(2)25，(3)0@，42 A 25 20.1认识二次根式 5.1;6.45 基础训练1.A;2.D; 7.(1)4:(2)3:(3)1;(4)2-27 7 3.1)5,(2)-6,(3),(4)m-3: 第1期3版 4.-b;5.-;6.8. 7.(1)由题意，得2a+1≥0， 题号12345 678 1 所以a≥-2时，式子√2a+T有意义. 答案CDBDDCDB (2)由题意，得a-1≥0，且a-3≠0， 9 104；154 所以：1且：时式子写有意义 129.@:13.8；14206 (3)因为a2-2a+3=(a-1)2+2≥0， 所以a取任意实数，式子√a-2a+3都有意义 三15()9；2)52，(3)36 能力提高8.因为a为正数， 16.(1)(45÷6)2=(22)2=8(cm2), 所以23-a<23. 即正方形彩纸的面积为8cm2. 因为√23-a为正整数， (245x26÷而=4x2×√0-45(em. 所以23-a<23. 因为4<23<5， 即正方形彩纸的面积为学5cm 所以√23-a的最大值为4. 17.(1)210. 此时23-a=16,即a=7. (2)因为min2√5，a=a,mim2√5，b}=2√5，所 20.2.1二次根式的乘法；20.2.2积的算术平方根 以a<215<b,即a<√60<b. 基础训练1.A;2.B:3.2;4.-√个-x. 因为49<√60<64，所以7<√60<8. 5.(1)65;(2)22;(3)242;(4)-2xy: 又因为a,b为两个连续的正整数，所以a=7,b=8. (5)6410. 6.由(x-13)(20-x)=x-13·√20-x, 所以27×√任=2万×√停=2√万x号=45 得-13≥0，解得13≤x≤20. 18.(1)由题意，得4-x≥0且x-4≥0，且x+2≠0.所 20-x≥0， 以x=4.所以y>1. 又因为x是有理数，所以x=16. 所以x-T-2x+杠=1x-11- 1-y 1-y 所以存在，√(x-13)(20-x)=√3×4=25. 20.2.3二次根式的除法 =3-Y-1=3+1=4 1-y 基础训练1.D:2.D;3.D; (2)因为a,b,c为△ABC的三边长， 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以a+b+c>0,b+c>a,a+c>b,a+b>c. :1)×(10-1)=48-(10-1)=39(m2): 所以√(a+b+c)7+√(a-b-c)7+√(b-a-c) 39×8×15=4680(元)，所以如果将所种蔬菜全部销售 -(c-b-a)2 =1a+b+cl+la-(b+c)1+l6-(a+ 完，销售收人为4680元. c)I-lc-(a+b)I=a+b+c-a+b+c-b+a+c+c- 能力提高7.(1)因为m=5+万，n=5-√7， a-b 4c. 所以m+n=10,mn=25-7=18. 1 所以m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=102-3×18=46. 19.(1)√4+6 =s石 (2)因为4<7<9，所以2<7<3.所以7<5+7< 1 (2)/n +n+2=（n+)）·√n+2证明如下： 8,-3<-√7<-2，所以2<5-7<3. 所以a=7,b=5-万-2=3-7. 1 m2+2n+1 (n+1)7 /n+n+2=W n+2 =(n+1)· n+2 所以ma+nb=7(5+万)+(3-万)(5-万) 1 =35+77+15-37-5万+7 Nn+2 (3)-7或-13. =57-7. 20.(1)因为3≤a≤7，所以原式=13-al+1a-71= 重点集训营 a-3+7-a=4. (1)26 (2)52-75;(3)14-45; (2)因为(a+1)7+(a-3)7=6,所以1a+11+ 1a-31=6. (49:(52-5:625+2 当a<-1时，1a+11+la-31=-(a+1)+(3-a) 第2期3,4版综合测评卷 =6,解得a=-2; 当-1≤a<3时，1a+11+la-31=(a+1)+(3- A卷 a）=6,此时方程无解； -、题号123456789101112 当a≥3时，1a+11+a-31=(a+1)+(a-3)=6, 答案CDDDCABBC ACD 解得a=4. 二13.7；14名；15.25或而；16.-6 综上所述，a的值为-2或4. 3 (3)因为(a-1)下+(a-6)产=5，所以1a-11+ 三17.(1)原式=√18×2+46÷(55-2)=35 1a-61=5. +46÷42=35+5=45. 当a≤1时，原式=(1-a)+(6-a)=5,解得a=1; (2)因为m=1+3,n=1-5,所以m+n=1+√5+ 当1<a<6时，原式=(a-1)+(6-a)=5,等式恒成 1-W5=2,mn=(1+5)(1-5)=1-3=-2. 立； 所以√m2+n2-4mn=√(m+n)2-6mn = 当a≥6时，原式=(a-1)+(a-6)=5,解得a=6. 综上所述，a的取值范围为1≤a≤6. √22-6×(-2)=√4+12=√16=4. 18.(1)二，52. 第2期2版 (2)若原式的计算结果为6-√2，即口×25-√2÷6 20.3二次根式的加减 =6-√2， 基础训练1.B;2.C;3.√2；4.√2m. 所以▣×23-2=6-2，所以口×23=√6. 1245:21:(6)2+46 以口语安√停：停 6.(1)2×(/72+√/32)=2×(62+42)=202(m), 19.128×√50-2×(3+1)×（√13-1）=80- 所以长方形ABCD的周长是20，√2m 2×12=56(平方米)， (2)由题意得，蔬菜地的面积为：√2×√32-（√10+ 则56×30=1680（元）， 2 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以要铺完整个通道，购买地砖需要花费1680元. 20.x的值为0.理由如下： 根题壶得防万后=35号35瓜=及 a 原武产+√+ 1 所以a=号6=27或a=76=3 所以ah=9或b=号 27.(1)①5+1：②15-2. 所以当x-3>0,即x>3时， 1 1 则，3+亡=宁解得5-3（不符合题意，合去）： 则t (2)原式= 十 十 √(2+1)2√(5+2)2(4+5)2 当x-3<0,即x<3时， 1 1 则，-分解得：0 √/(5+4)2 √（√2026+√2025） 1 1 1 经检验，x=0是分式方程的根. 综上所述，x的值为0. √/2026+√2025 21.(1)因为a= 1 2+1 2-1(2-1)(2+1)） =2+1, =2-1+5-2+4-5+5-4+…+ 所以a-1=√2. 2026-√2025 所以(a-1)2=2. =√2026-1. 所以d2-2a=1. (3)设小正方形的边长为xcm,大正方形的边长为ycm. 所以4a2-8a-3=4(a2-2a)-3=4×1-3=1. 根据题意，得x2=5,y2=32-6√5=（√27-5）2= (2)因为x=5-2,所以x+2=5. (35-5)2 所以(x+2)2=5. 所以x=5,y=35-5. 所以x2+4x=1.所以x2=1-4x. 所以2xy=2×5×(35-5)=615-10, 所以x3+6x2=x(x2+4x）+2x2=x+2x2=x+2(1- 即剩余部分的面积为(6√5-10)cm2. 4x)=2-7x 因为x=5-2,所以1=1 5+2 2(四当a>0时，图为u+音=(-26后+ x5-2(5-2)(5+2) (2)2+2a2=(后-2)2+4， 5+2所以子-=(5+2)-(5-2)=4 a Ja a 所似原式=(2-7)+子-2+7-)=2+7×4 1 所以当石：会即a=2时a+台的最小竹为4： 当a<0时，因为a+4=-(-a-4), =30. a a B卷 a 四22：23.7或9,24平m；52V个或2 五26(1)架据题这，得店方4=2 所(-。=-(。产-44 所以数对(25,4的一对对称数对”为兮，2)与2行》 所以当/a=2,即a=-2时，a+4的最大值为 (2)因为数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同， 所以=5： -4. w33 故填4，-4. 1 解得y=3 (2)当a>0时，因为30+4a+5=3a+4+三=3(a+ a a 一3 初中数学·华东师大中考第1~5期 +4=3(6-√层+4+2压， 5(m==1: 所以当石=√原即a=时，女如+5的最小值 1 3 (2)x1=x=-2 a 是4+215. (3)x1=5+√/2T,x2=5-√/2T: (3)设SAAo为a, 4四 3 3 因为Sa0D:SAA0B=OD:OB=SAcoD:SAcOB, 所以2：a=Sam3,所以S=合 第3期3版 所以四边形ABCD的面积为： 题号12345678 2+3+a+0 =(a+6)+5 答案DCBDBCBA a 二、9.x2-8x-4=0:10.m≥0；11.-2；12.-1： 6)2+5+26. =(后-√a 13.6或15或12；14.-3 4 因为a>0, 5,即a=石时，四边形ABCD面积的最 三，110%=是4=-2： 3 所以当√a= (2)x1=-7,x2=1; 小值为5+26. (3=1+9=1- 2 第3期2版 21 21.1认识一元二次方程 基础训练1.D;2.A;3.m≠1； 16.(1)③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方， 4.(20-2x)(15-2x)=252;5.-2. 而右边没有加. 6.填表如下： (2)2x2-8x-18=0. 移项、二次项系数化为1，得x2-4x=9. 方程 一般形式 二次项系数 次项系数常数项 2x2=7x 2x2-7x=0 -7 0 配方，得x2-4x+4=9+4. 5-3x2=6x 3x2+6x-5=0 3 6 -5 (x-2)2=13. x+1)(x-3》 x2-5x-7=0 -5 -7 由此可得x-2=±√13， =3x+4 所以x1=2+√3,2=2-√3. 21.2.1直接开平方法和因式分解法 17.(1)将x=1代入原方程，得(a-1)-2+a2+1=0. 基础训练1.C;2.B;3.D;4.-2. 整理，得a2+a-2=0.解得a1-1,a2=-2. 50454:2=33 29 因为a-1≠0，所以a≠1.所以a的值为-2. 13 (2)将a=-2代入原方程，得-3x2-2x+5=0,即x2+ (3)=2,6=14；(4)x=5=5. 21.2.2配方法 子 31 基础训练1.C;2.C;3.-12. 配方，得(x+宁》P=开方得x+日=±亭 4.(1)x=3+ 2 2； 所以该方程的解为x=1,。=一3 5 1,6 16 (2)x=-5+5=-5-5 18.(1)一元二次方程2x2+x-1=0是“C方程”.理由如 (3)无实数根 下： 21.2.3公式法 解2x2+x-1=0,得x1=0.5,x2=-1. 因为c=-1,所以一元二次方程2x2+x-1=0是“C方 基础训练 1.C;2.C;3.B:4.1+5 2 程”. -4 初中数学·华东师大中考第1~5期 (2)因为关于x的一元二次方程4x2+bx+c=0(c≠0) 方法二：如图2，用4个长都是(x+2),宽都是x的矩形拼 是“C方程”，所以4c2+bc+c=0. 成如图2所示的正方形， 又因为c≠0，所以b=-4c-1. 因为x2+2x=4,所以x(x+2)=4. 所以-4c-1=2+6=(6+号-子 所以一个矩形的面积是4. 所以(2x+2)2=4×4+22=20. 因为(6+2》≥0，所以-4e-1的最小值为-子 所以(x+1)2=5. 19.(1)因为(x+5)(x+9)=5, 所以该方程的一个正根为√5-1. 所以[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, 第4期2版 所以(x+7)2-22=5, 21.2.4一元二次方程根的判别式 所以(x+7)2=9, 所以x+7=3或x+7=-3, 基础训练 1A:2.D:3月：4=7吉6 6: 解得x1=-4,x2=-10. 5.没有. 所以上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为7,2，-4， 能力提高6.（1)证明：4=b62-4ac=(k-8)2-4×2 -10. ×(-4k)=(k+8)2≥0， 故填7；2；-4；-10. 所以该方程总有两个实数根。 (2)因为(x-5)(x+7)=12, (2)解方程，得 所以[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, 所以(x+1)2-36=12, x=-(k-8）±k+8_8-片±k+81 2×2 4 所以(x+1)2=48, 所以x=4,x=-2 所以x+1=4√5或x+1=-45, 解得x=-1+45,x2=-1-45. 因为该方程有-个根小于3，所以-令<3解得：>-6 20.(1)该方程的其中一个正根是线段AD的长.理由如 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 下： 基础训练1.C;2.A;3.4;4.11. 在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC2+AC= 5.因为关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+2= AB, 0有两个实数根， 所以（气）2+62=（冬+AD)户 所以4=[-(2m-1)]2-4(m2+2）=4m2-4m+1- 整理，得AD+a·AD=b2. 4m-8=-4m-7≥0.所以m≤-子 所以形如x2+ax=b2的方程的其中一个正根是线段AD 由根与系数的关系，得x1+x2=2m-1,x1·x2=m2+2. 的长 所以x2+x22=(x1+x2)2-2x1·x3=(2m-1)2-2(m2 (2)2x+10,6I-5. (3)因为x2+2x-4=0,所以x2+2x=4. +2）=27.解得m1=5,m2=-3. 又因为m≤-子，所以m=-3 7 方法一：如图1，作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC- 2,BC=1,在斜边AB上截取BD=BC. 21.3实践与探索 在Rt△ABC中，AB=√AC+BC=4+I=5, 基础训练1.A;2.C;3.1;4.6;5.0.4. 则该方程的一个正根为AD的长，即5-1. 6.设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 x+2 根据题意，得1+x+x(1+x)=225 x+2 解得1=14，x2=-16(不符合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人 7.设这4个数中最小的数为y,则最大的数为y+8. x+2 图1 图2 根据题意，得y(y+8)=105. 初中数学·华东师大中考第1~5期 整理，得y2+8y-105=0. -2m+13=(m-1)2+12>0, 解得y=7或y=-15(不符合题意，舍去). 所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根. 答：这4个数中最小的数为7. (2)设AB,CB的长分别为x1,x2, 能力提高8.(1)(20+2x),(40-x). 则x1,x2是方程x2-(m+3)x+2m-1=0的两个实数根. (2)根据题意，得(40-x)(20+2x)=1050. 根据根与系数的关系，得x1+x2=m+3,x2=2m-1. 整理，得2-30x+125=0. 因为△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC=35, 解得x1=25,x2=5. 所以x12+x22=AC2=35. 答：每件卫衣降价5元或25元时，平均每天可盈利1050 又因为x12+x22=(x+2)2-2x1x2, 元 所以(m+3)2-2(2m-1)=35. (3)不能实现.理由如下： 解得m=-6或m=4. 根据题意，得(40-x)(20+2.x)=1500. 因为AB,CB是△ABC的边长，所以x1>0,x2>0. 整理，得x2-30x+350=0. 所以x1+2=m+3>0,且xx2=2m-1>0. 因为4=(-30)2-4×1×350=-500<0， 1 解得m>2 所以此方程无实数根.。 所以每天的盈利不可能达到1500元，故店长的愿望不能 所以m=4, 即当m=4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形 实现 第4期3版 18.(1)1;3. (2)猜想：=5n-1+n-2 题号12345678 答案CAD C AD CB 证明：根据根的定义，得a2--1=0, 两边都乘以-2，得a”-a1-a-2=0①， =9.-6；10.10:11.k>-且6≠0：126； 同理，B-B-1-B-2=0②， 13.15;14.(5-2). ①+②，得(a”+B）-(a-1+B-）-(a-2+B-2)=0, 三、15.(1)根据题意，得4=b2-4ac=4-4m≥0，解得 因为s.=0+B81=a-+B-,82=-2+B2, m≤1. 所以8m-8-1-5n-2=0,即3n=5a-1+3m-2 故m的取值范围为m≤1. 19.(1)①(50-2x). (2)根据题意，得x+=-么=2，=上=m, ②根据题意，得(50-2x)x=92. a 整理，得x2-25x+46=0. 因为2x1+2x2+x12=0, 解得x1=2,x2=23. 所以2×2+m=0, 当x=2时，50-2x=50-2×2=46>10,不符合题意， 解得m=-4. 舍去； 16.(1)设进馆人次的月平均增长率为x 当x=23时，50-2x=50-2×23=4<10,符合题意. 根据题意，得7500(1+x)2=10800. 答：AB的长为23米. 解得5=20%品三-号（不符合题意，合去）小 (2)养蜂场的面积不能达到230平方米.理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到230平方米. 答：进馆人次的月平均增长率为20% (2)不能.理由如下： 因为AB长为x米，所以BC长为48+2+10-2红米=(30 2 由(1)得，第四个月的进馆人数为： -x)米. 10800×(1+20%)=12960>12000, 根据题意，得(30-x)x=230. 所以该博物馆不能接纳第四个月的进馆人次， 整理，得x2-30x+230=0. 17.(1)证明：4=62-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m 因为4=(-30)2-4×1×230=-20<0， -1)=(m+3)2-4(2m-1)=m2+6m+9-8m+4=m2 所以原方程没有实数根. 6 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以假设不正确，即养蜂场的面积不能达到230平方米.形 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E,图略.所以∠PEQ= 第5期综合测评卷 90° A卷 由题意，得AP=CQ=tcm,所以BE=CQ=tcm,所以PE 题号123456789101112 =18-2t1cm. 答案CBCBDDAC CBAB 在Rt△PQE中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=52 二、13.2x+x-4=0;14.k≤1且k≠7；1512； 解得t=2或t=6. 16.-2026. 所以P,Q两点从出发开始到2秒或6秒时，点P和点Q间 的距离是5cm. 三、17.x1=-2+23,x2=-2-25.第一步变形的依据 是等式的基本性质1. (2)连结PD,当点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形时 分三种情况： 18.设方程的另一个根为x2 ①当PD=PQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图1所示， 因为方程2x2-4x+3m=0的一个根为1-2， 所以DF=QF, 所以1-万+=-1-)·6=受 因为AP=CQ=tcm,所以QF=DF=AP=tcm, 因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=8cm, 所以与=反+1，m=子 所以CD=DF+FQ+CQ=3tcm=8cm, 即方程的另一个根为，万+1，m的值为-号 解得L=冬，即当P,Q两点从出发开始到氵秒时，点P, 3 19.设应邀请的俱乐部个数为n,则比赛总场数为 Q,D组成的三角形是等腰三角形； n(n-1) 2 根据题意，得n,)=21. 2 解得n=7或n=-6(不符合题意，舍去). 答：应邀请的俱乐部个数为7. 20.(1)解方程x2=2x,得x1=0,x2=2. 图1 图2 图3 因为x1≤x2,所以P(0,2) ②当QP=QD时，过点P作PF⊥CD于点F,如图2所示， 因为AP=CQ=tcm, (2)设方程x2-(m+√2)x-3=0的两根为x1和x2(x1 所以QP=QD=CD-CQ=(8-t)cm,DF=AP=tcm, ≤x2),则P(x1,2) 所以QF=CD-CQ-DF=(8-2t)cm, 因为点P在直线y=-x上， 在Rt△PQF中，由勾股定理，得(8-2)2+32=(8-t)2, 所以x1+x32=0,即m+√2=0，解得m=-√2. 解得1=16±148-8±37 21.(1)1和4. 6 39 (2)因为☐ABCD为正方形，所以方程x2-(2m+1)x+2m ③当DP=DQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图3所示， =0有两个相等的实数根。 因为AP=CQ=tcm, 所以4=[-(2m+1)]2-4×2m=0. 所以DP=QD=CD-CQ=(8-t)cm, 解得m1=m=2 1 在Rt△ADP中，由勾股定理，得+32=(8-t)2, 解得：=瓷 所以m的值为子 (3)因为口ABCD的一条对角线的长为m-3,所以(m- 综上所述，当P,Q两点从出发开始到3瓦秒或号秒 3 3)2-(2m+1)(m-3)+2m=0. 攻需秒或8+秒时，点P0,D组成的三角形是等极三角 解得m=4或m=-3. 当m=-3时，m-3=-3-3=-6<0,故此情况不符合 初中数学·华东师大中考第1~5期 题意，舍去 (3)解ax+bx+2=0,得x=二b±√F-8a 所以m的值为4. 2a B卷 因为该方程是“邻根方程”， 四、22.1或5；23.m=1或m>2;24.1,25; 所以-6+-8a-b-8a:1 2a 2a 25或-号 整理，得b2=a2+8a. 五、26.(1)设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月 因为t=12a-b2-4, 平均增长率为x 所以t=12a-(a2+8a)-4=-a2+4a-4=-(a-2)2. 由题意，得3(1+x)2=3.63. 因为a>0,所以t的最大值为0. 解得x=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去). 28.(1)设剪去的小正方形的边长为xcm 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1600. 率为10%. 解得x1=10,x2=60(60>40不符合题意，舍去). (2)设每架无人机的价格下调a万元，则下调后每架无人 答：剪去的正方形的边长为10cm. 机的售价为(2.5-a)万元. (2)不能.理由如下： 根据题意，设该收纳盒的高为acm, 由题意，得(2.5-1.5-a)(80+a05)=45 则收纳盒底面的长为100，-24cm=(50-a)cm,宽为(40 整理，得4a2+12a-7=0. 2 解得a1=0.5,a2=-3.5(不符合题意，舍去). -2a)cm. 所以2.5-0.5=2（万元） 根据题意，得(50-a)(40-2a)=608. 答：下调后每架无人机的售价为2万元 解得a1=12,a2=58(58>50不符合题意，舍去). 27.(1)解x2+3x+2=0,得x1=-2,x=-1. 所以50-a=38,40-2a=16, 因为-1-（-2)=1，所以该方程是“邻根方程”。 所以收纳盒的高为12cm,长为38cm,宽为16cm, (2)解x2-(m+2)x+2m=0,得x1=m,2=2. 因为35<38（玩具车长小于收纳盒长），但13>12（玩具 因为该方程是“邻根方程”， 车高大于收纳盒高)，17>16（玩具车宽大于收纳盒宽），所以 所以m=2-1=1或m=2+1=3. 玩具车不能完全立着放人该收纳盒并盖上盖子. 所以m的值为1或3. —8—素养·拓展 数理极 (上接第3版) 20.(14分)如图3，在矩形ABCD中，AB= 19.(10分)如图2，小澜家有一块空地，空8cm,AD=3cm,动点P,Q分别从A,C点同时 地上有一面长为10米的围墙MW,小澜打算利用出发，点P以1cm/s的速度向点B移动，一直到 辅助线周练 围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD,已知木点B为止，点Q以1cm/s的速度向点D移动， 栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇 直到点D为止.设运动时间为t秒. 1.如图1，在矩形ABCD中，已知AB=4,AD 宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米. (1)P,Q两点从出发开始到几秒时，点P和 =8,F为CD中点，点E在AD上，且AE=2,动 (1)如图2-①，当AD≤MN时， 点Q间的距离是5cm? 点P从E点出发沿射线ED运动，动点Q从A点 ①4D=米（用含x的代数式表示）； (2)P,Q两点从出发开始到几秒时，点P, 出发沿射线AB运动，两点同时出发，并且速度 ②若围成的养蜂场的面积为92平方米，求 Q,D组成的三角形是等腰三角形？ 相同，连接PF,PQ,当点P,Q运动时，FP+ AB的长 (2)如图2-②，当AD>MN时，养蜂场的 2P0的最小值为， 面积是否能达到230平方米？请说明理由. M 图3 图1 2.如图2，正方形ABCD的边长为22，点E 是AB边上的一个动点，点F是CD边上的一个 动点，且AE=CF,过点B作BG⊥EF于点G,连 接AG,则AG长的最小值为」 [H厚弯慧1‘关三阴：三斯部‘H9‘HV 接‘H学中明80连‘a0Tv0日‘0学g a8m‘a日妻‘学中用Ov音0学辨‘HOV :d马本惬量‘0学学交明Ha与Ov Ova0‘V要【些】1-S乙 凿界乐一采[弯3d+dH阳 形并学三9‘1乐‘(1-‘1-)9学用叫 数理报社试题研究中心 (参考答案见6期) ‘M0=3‘M3=HdM(SVV)M03V 云HdV▣‘(8-)H‘(0‘乙-D-)d 学m‘((x)3‘(D0)0学‘H学壬M3 第3期2版参考答案 (2)x1=x2= 2； THd‘M学王陟(TM330d:三其 21.1认识一元二次方程 (3)x,=5+21,x,=5-/21; 厚鄱毙0d尹印楼头0d(‘不 基础训练1.D;2.A;3.m≠1； 厚里本不啮（头彩厚业V啮x形厚 4.(20-2x)(15-2x)=252;5.-2 3 IW学4v学M【些】8s/I 6.略. 【荸品每】 第3期3版参考答案 21.2.1直接开平方法和因式分解法 ”十十十十十 基础训练1.C；2.B;3.D;4.-2. 一、 题号12345678 所以x1=2+√3,2=2-√3. 5.(1)x1=4,x2=-4; 答案DCBD BCBA 17.(1)将x=1代入原方程，得(a-1)-2 2西=3-万 (2)x=3+万 二、9.x2-8x-4=0;10.m≥0； +a2+1=0. 2 11.-2;12.-1; 整理，得2+a-2=0. (3)x1=2,x2=14; (4)x÷13 136或15或12：14-子 解得a1=1,a2=-2. 因为a-1≠0，所以a≠1. x2=5 21.2.2配方法 三5.(14=36=-： 所以a的值为-2. (2)将a=-2代人原方程，得-3x2-2x+ 基础训练1.C；2.C;3.-12 (2)x1=-7,x2=1; (0=1+1- 3 5=0,即+子= 41=是+9=2， 2 配方，得(+-9 55 开方，得+片=±号 (3)无实数根 16.(1)③，只在方程的左边加上一次项系 21.2.3公式法 数一半的平方，而右边没有加 所以该方程的解为=1，。=-号 基础训练1.C;2.C;3.B; (2)2x2-8x-18=0. 18.(1)一元二次方程2x2+x-1=0是“C 4.1+5 移项、二次项系数化为1，得x2-4x=9. 方程”.理由如下： 2 配方，得x2-4x+4=9+4. 解22+x-1=0,得x1=0.5,x2=-1. 5.()=3=15 (x-2)2=13. 因为c=-1,所以一元二次方程2x2+x-1 由此可得x-2=±√3， =0是“C方程”. (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 兹理据 2026年7月23日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 4 期总第1200期 华东师大 0351-5271248 中考 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-207 (2)因为关于 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 题型空间： 的一元二次方程4x 根的判别式△=b2-4ac是初中数学的高频考 +bx+c=0(c≠0) 点，考试题型相对固定，主要分为四大类，下面 根的判别式使用指南 是“C方程”，所以 结合典型例题逐一讲解. 4c2+bc+c=0. 题型一：不解方程，判断根的情况 ◎湖南靳杰浩 又因为c≠0 【解题思路】直接算出判别式的值，根据正 解：当k=0时，原方程为-2x-1=0,解 解：(1)证明：4=[-(3k+1)]2-4(2k2+ 所以b=-4c-1. 负判断根的个数， k)=k2+2k+1=(k+1)2 得x=- 所以b2-4c-1 ①4>0，方程有两个不相等的实数根： 2,所以k=0符合题意； 因为(k+1)2≥0，所以4≥0. =b2+b=(b+ ②4=0，方程有两个相等的实数根： 当k≠0时，4=(-2)2-4×k×(-1)≥ 所以此方程一定有两个实数根， ③4<0，方程无实数根 0,解得k≥-1，所以k≥-1且k≠0. (2)解x2-(3k+1)x+2k2+k=0,得x 41 例1已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第 综上所述，k的取值范围为k≥-1. =k,x2=2h+1. 四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 因为(6+2) 故填k≥-1. 若k=5,则2k+1=11,此时等腰三角形的 0的根的情况为 ( 例3若关于x的一元二次方程(m-1)x2 三边长分别为5,5,11,5+5=10<11，不能构 ≥0，所以62-4c-1 A.有两个相等的实数根 成三角形，不符合题意，舍去； 的最小值为-4 B.有两个不相等的实数根 -4x+1=0有两个相等的实数根，则实数m的 值是」 若2k+1=5,则k=2,此时等腰三角形的 C.没有实数根 解：因为方程(m-1)x2-4x+1=0是关于 三边长分别为2,5,5,2+5=7>5，能构成三角 19. (1)7;2: D.无法判断 形，周长为：2+5+5=12； -4;-10. 解：因为点P(a,c)在第四象限，所以a> x的一元二次方程，且有两个相等的实数根， 若2k+1=k,则k=-1,此时等腰三角形 (2)因为(x 0,c<0. 所以△=(-4)2-4×(m-1)×1=0且 的边长为负数，不符合题意，舍去 5)(x+7)=12, 所以ac<0 m-1≠0，解得m=5. 综上所述，这个等腰三角形的周长为12. 所以[(x+1) 所以方程ax2+bx+c=0的判别式△=2 故填5. -4ac>0. 61「(x+1)+61= 题型三：证明方程总有实数根 本周主讲 所以方程有两个不相等的实数根， 12, 【解题思路】计算判别式，通过配方证明△ 故选B. 所以(x+1)2 恒大于或等于0. 21.2.4一元二次方程根的判别式 题型二：已知根的情况，求参数的值或取值 36=12, 范围 例4已知关于x的一元二次方程x2-(3k 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 所以(x+1)2 【解题思路】根据题意列出关于△的等式或 +1)x+2k2+k=0. 21.3实践与探索 48 不等式，同时注意一元二次方程的二次项系数 (1)证明：此方程一定有两个实数根； 主要内容：本期需掌握根的判别式、以及 所以x+1=4 不为0. (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另外 3或x+1=-43 例2若关于x的方程x2-2x-1=0有 两边的长是该方程的两个根，求这个等腰三角 根与系数的关系，学会运用一元二次方程解 解得x 实数根，则k的取值范围是 形的周长 决实际问题！ -1+45,x2 题，型空间 当t=4时，点Q和点C重合，不能围成四边 -1-43 形APQC,应舍去，所以t=2. 20.(1)该方程 藏在图形面积中的方程密码 答：经过2s时，四边形APQC的面积等于 的其中一个正根是 16cm2 线段AD的长.理由 O四川卞佳宁 四、围栏问题 如下： 一、加框问题 整理，得x2-60x+59=0. 例4如图4，老李 在直角三角形 例1四川川省优秀非 解得x1=59(不符合题意，舍去)，x2=1. 想用长为70m的栅栏 ABC中，根据勾股定 遗工坊—一妙善观音绣 答：所修道路的宽为1m 再借助房屋的外墙（外 B E F 工坊以针为笔、以线为墨 三、动点问题 墙足够长)围成一个矩 图4 理，得BC2+AC2= 形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门 AB2 将遂宁民俗文化不断创 例3如图3，在△ABC中 新和传承.如图1，要在一 ∠B=90°，AB=6cm,BC= (建在EF处，另用其他材料) 所以（号）2+6 幅长80cm,宽60cm的绣品四周镶嵌宽度相同8cm,点P从点A开始沿边AB (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围 的边框，制成一幅面积是6300cm2的矩形挂图，向点B以1cm/s的速度移动，点 成一个面积为640m2的羊圈？ (+AD) (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能 那么边框的宽度为 cm. Q从点B开始沿边BC向点C以 请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 整理，得AD2+ 解：设边框的宽为xcm.根据题意，得(80+ 2cm/s的速度移动，如果点P,Q 解：设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC= 2x)(60+2x)=6300.解得x1=5,x2=-75(不分别从点A,B同时出发，当点Q 图3 ·AD=b2 (70-2x+2)m=(72-2x)m. 所以形如x2+ 符合题意，舍去).所以x的值是5.故填5 运动到点C时，两点同时停止移动，那么经过多 (1)根据题意，得x(72-2x)=640 二、修路问题 36m 长时间，四边形APQC的面积等于16cm2? ax=b2的方程的其 解得x1=16,x2=20. 中一个正根是线段 例2如图2是某 解：由题意得，点P从点A到点B的时间为： 当x=16时，72-2x=72-32=40; 校的一块长方形劳动场 ÷1=6(s),点Q从点B到点C的时间为：8： AD的长. 当x=20时，72-2x=72-40=32. 地，长36m,宽24m,要 2 =4(s). 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为 (2)2x +10, 求在场地内修同样宽的 设点Q运动的时间为ts(0≤1≤4).所以32m,宽为20m时，能围成一个面积为640m2的 /61-5. 道路（图中阴影部分）， 图2 =tcm,BQ=2tcm.所以BP=(6-t)cm. 羊圈 (3)略 余下部分作为种植区.若种植区的总面积为 因为四边形APQC的面积等于16cm2 (2)不能.理由如下： (全文完) 805m2,求所修道路的宽 根据题意，得x(72-2x)=650 解：设所修道路的宽为xm.则种植区的面 所以Sm-Sm=方BBC-BP 整理，得x2-36x+325=0. 积等同于长为(36-x)m,宽为(24-x)m的矩 因为4=(-36)2-4×325=-4<0， 形的面积 BQ=16cm2,即7x6x8-2(6-1)21=16 所以一元二次方程没有实数根。 根据题意，得(24-x)(36-x)=805 整理，得2-6t+8=0.解得b1=2,b3=4. 所以羊圈的面积不能达到650m2 素养·专练 A 数理极 3.已知菱形的两条对角线长分别是方程x2- 表现在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒” 12x+32=0的两个实数根，则与该菱形面积相等 跟踪训练 如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225 的正方形的边长为 人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人 4.若m,n是方程x2-10x-1=0的两个实数 传染了几个人？ 21.2.4一元二次方程根的判别式 根，则代数式m2-9m+n的值为 5.已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x 垦础训练 +m2+2=0的两个实数根分别为1,2，若x,2+ 1.一元二次方程x2-6x+4=0的根的情况 x22=27,求m的值 是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 2.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x 7.如图3，这是一张2026年1月的月历表.在 +2=0有实数根，则k的取值范围是() 此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数 Aks (如2,3,9,10).若圈出的4个数中最大的数与最 B6≤ 小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数 Ck<子且6≠16≤子且长≠1 2026年1月 二三四五六日 1234 3.已知关于x的方程x2-2x+3k-4=0有 5 678910 两个相等的实数根，那么k的值是」 12 13 15 1617 21.3实践与探索 19 232425 4.关于x的一元二次方程3x2-7x+m=0根 26 8 9 30 的判别式的值是6，则此方程的解为 垦和训练 5.定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都 1.开窗见蓝天、出门迎白云，如今已成为太原 有a*b=ab+3.例如：3*4=3×4+3=15.若 市民的日常.一组数据印证了这份“蓝天幸福 关于x的方程x*(x+1)=0,则此方程 感”：2023年全年太原市空气污染天数为121天， 实数根（填“有两个不相等”“有两个相等”或“没 2025年全年太原市空气污染天数为83天设连续 有”) 两年太原市空气污染天数的平均减少率为x,则 能力提高 下面所列方程正确的是 ( 能刀提高 A.121(1-x)2=83 6.已知关于x的一元二次方程2x2+(k-8)x B.121(1-x%)2=83 8.某童装店销售一款儿童加绒卫衣.经核算， -4k=0. C.83(1+x)2=121 该卫衣进价为40元/件.当销售价定为80元/件 (1)求证：该方程总有两个实数根； D.121(1-2x)=83 时，平均每天可售出20件.为了迎接元旦，商店决 (2)若该方程有一个根小于3，求k的取值范 2.小明在计算正数a的平方时，误算成a与2 定采取降价措施，以便达到薄利多销的效果.市场 围， 的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为 调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出 ( 2件.设每件卫衣降价x元(x为非负整数，且售价 不低于进价). A.1 B.2-1 (1)每天可销售 件，每件盈利 C.2+1 D.1或2+1 元（用含x的代数式表示） 3.如图1，某小区计划在一块长为32m,宽为 (2)为了扩大销售量，每件卫衣降价多少元 20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余 时，平均每天可盈利1050元？ 的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2,则道 (3)店长希望平均每天能盈利1500元，这个 路宽x为 m. 愿望能实现吗？请说明理由。 32m 20n 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 图1 图2 4.《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两 垦础训练 两揖让.礼毕，共揖十五次问诸侯几何？”译文 1.若1，x2是方程x2-4x-5=0的两个根， 为：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数 则 为15次.则诸侯有一个人 A.x1x2=5 B.x1+x2=-4 5.如图2，在△ABC中，∠B=90°，AB= c.1+1 5 6cm,BC=3cm,点P以1cm/s的速度从点A开 D.x1x2=-4 始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点 2.已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两个 B开始沿边BC向点C移动，如果点P,Q分别从点 根分别为a,b,且b<a,则a,b两数在数轴上的位 十 A,B同时出发同时停止， s后，P,Q之间 置表示可能是 ) 的距离等于42cm. a 0 b 0 a 6.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道 数理报社试题研究中心 C 0 传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要 (参考答案见6期) 数理极 素养·测评 3 16.(8分)据统计，云梦县博物馆开馆第一个 同步 达 月进馆7500人次，近日，跟随习近平总书记的考 标 检测题（三 察足迹，云梦县博物馆受到广泛关注，进馆人数逐 月增加，第三个月进馆10800人次，若进馆人次的 【检测范围：21.2.4~21.3】 月平均增长率相同. (1)求进馆人次的月平均增长率； an2 +bn c. (满分：120分) 其中正确的有 (2)因条件限制，该博物馆月接纳能力不能超 过12000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的 一、精心选一选（每小题4分，共32分） A.①②④ B.①②④⑤ C.①②345 D.①②③ 条件下，该博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？ 题号12345 6 7 8 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 并说明理由。 答案 9.方程x2-mx+3m=0的两个根为1,2，若 1.如果x1,x2是一元二次方程-2x2+3x+6= :x1+x2=-2,则xx2= 0的两个根，则x1+x2= 10.已知矩形相邻两边的长是一元二次方程 A- B.-3 c D.3 i x -5x+6=0的两个根，则这个矩形的周长是 2.一元二次方程x2-6x+1=0的根的判别式 11.对于实数a,b定义新运算：a※b=ab2-b, 的值是 () 若关于x的方程k※x=1有两个不相等的实数根， A.32 B.-40C.40 D.-32 !则k的取值范围是 3.已知关于x的方程x2-3x+k=0有两个不 12.《李白饮酒》数谜诗—一李白每天不离 相等的实数根，则k的值可能是 ( 酒，三餐依次增一斗；三餐斗数两两乘，乘积相加 A.5 B.4 C.3 D.2 一四六；要知酒仙量如何，求出每餐饮几斗.则早 4.随着校级足球联赛的持续升温，校园足球 餐饮— 斗 氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团 13.山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤 17.(10分)已知关于x的一元二次方程x2- 队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛.第一阶段为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一” (m+3)x+2m-1=0. 采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需 (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相 的美誉.某店铺销售一批箱装小米，每箱的进价为 与其他所有球队各进行一场比赛.已知共进行2880元，售价为110元，每天可销售20箱.春节期间， 等的实数根； 场比赛，且无任何重复对阵.若设参赛球队总数为 为了让利于顾客，该店铺计划降价销售.根据销售 (2)若△ABC的一条边AC的长为√35，另两 n支，则回可列出关于n的方程为 ( ）经验，单价每降低0.5元，每天可多销售1箱.若要 边AB,CB的长是该一元二次方程的两个实数根. A.n(n-1)=28 B.n(n+1)=28 使顾客尽量得到实惠，且该店铺每天获得的利润 当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角 c.n(n-12=28 D.nn+1=28 为750元，则每箱小米应降价 形？ 元. 2 2 14.某园林设计师规划一个矩形花坛ABCD 5.关于x的元二次方程2x2-mx-2+m= :并在其中种植一株景观树（记作，点P),要求将矩 0的根的情况，下列说法正确的是 A.有两个实数根 形花坛的长边AB分成两段，且满足AP2=AB· B.有两个不相等的实数根 PR已知该矩形张为，宽为长一治，毛从树的 C.有两个相等的实数根 位置作一条垂直于长边的直线，将花坛分为两个 D.无实数根 小矩形区域，那么分割得到的较小矩形的面积是 6.取一张长与宽 (用含t的代数式表示). 之比为5：2的长方形 三、耐心解一解（本大题共6小题，共64分） 纸板，剪去4个边长为 15.(10分)关于x的一元二次方程x2-2x+m 5cm的小正方形（如 =0的两个实数根分别为x1,x2 图1)，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒 (1)求m的取值范围； 18.(10分)已知a,B(ax>B)是一元二次方程 要使包装盒的容积为200cm(纸板的厚度忽略不 (2)若2x1+2x2+x1x2=0,求m的值 x2-x-1=0的两个实数根，s1=a+B,s2=a2+ 计)，则这张长方形纸板的周长为 B2,…,3n=a+B A.7 cm B.14 cm C.42 cm D.84 cm (1)直接写出s1,2的值：s1= ,52= 7.关于x的方程x2-2mx+m2=4的两个根 x1,x2满足1=2x2+3且x1>x2,则m的值为 (2)经过计算，可得s3=4,54=7,55=11,当 n≥3时，请猜想s,心-1心-2之间满足的数量关系， A.-3B.1C.3D.9 并给出证明. 8.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0),有下列说法： ①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0； ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根， 则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根； ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则 定有ac+b+1=0成立； ④若是一元二次方程ax2+bx+c=0的 根，则b2-4ac=(2ax0+b)2; ⑤存在实数m,n(m≠n),使得am2+bm+c (下转第4版)】