第21章 一元二次方程概念清单速记表（知识清单）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学一元二次方程知识清单系统梳理了第21章内容，涵盖概念认知、解法体系、实践应用三大知识范畴，为学生搭建了从“定义与一般形式”到“多元解法”再到“实际问题解决”的递进式学习架构。 清单采用“概念-解法-应用”三级分类呈现知识体系，如将“根的判别式”与根的情况对应标注，培养推理能力，“平均变化率问题”明确公式与检验方法，强化模型意识。通过“相关概念”列关联知识构建网络，不同基础学生可高效复习，教师能据此设计分层教学，提升课堂实效。

第21章 一元二次方程清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 21.1 认识一元二次方程 一元二次方程 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程。 整式方程、未知数、最高次数、一元二次方程 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 （、、 是已知数，）。 一元二次方程、二次项、一次项、常数项 二次项系数 在一元二次方程的一般形式 （）中， 叫做二次项系数。 一元二次方程的一般形式、二次项 一次项系数 在一元二次方程的一般形式 （）中， 叫做一次项系数。 一元二次方程的一般形式、一次项 常数项 在一元二次方程的一般形式 （）中， 叫做常数项。 一元二次方程的一般形式 21.2 一元二次方程的解法 直接开平方法 把形如 或 （）的方程，根据平方根的意义在方程两边直接开平方，得到方程的两个根，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 平方根、开平方、降次、一元二次方程 因式分解法 先使方程右边为 0，再把方程左边分解成两个一次因式的积，根据两个因式的积为 0、其中至少有一个因式为 0，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 因式分解、降次、一元一次方程、一元二次方程 两数积为 0 的性质 两数乘积等于 0，必须其中至少有一个乘数等于 0，即当且仅当 或 时，；反过来，若 ，那么必有 或 。这个结论为因式分解法解一元二次方程提供了逻辑依据。 因式分解法、逻辑依据、一元一次方程 配方法 通过方程的简单变形，将方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 完全平方式、直接开平方法、一元二次方程 求根公式 一元二次方程 （）的求根公式是 （）。 一元二次方程的一般形式、配方法、根的判别式 公式法 把一元二次方程中系数 、、 的值直接代入求根公式即可求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 求根公式、一元二次方程、根的判别式 根的判别式 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 表示，用它可以直接判断一元二次方程 （）的实数根的情况。 、、实数根、求根公式 一元二次方程有两个不相等的实数根的条件 当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 根的判别式、实数根 一元二次方程有两个相等的实数根的条件 当 时，一元二次方程有两个相等的实数根。 根的判别式、实数根 一元二次方程没有实数根的条件 当 时，一元二次方程没有实数根。 根的判别式、实数根 二次项系数为 1 的一元二次方程的根与系数的关系 设一元二次方程 的两根为 、，那么 ，。 一元二次方程、两根之和、两根之积 一元二次方程的根与系数的关系 设一元二次方程 （，）的两根为 、，那么 ，。 求根公式、两根之和、两根之积、韦达定理 21.3 实践与探索 列方程解应用题的一般步骤 在应用一元二次方程解决实际问题时，与应用一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决；求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的答案。 等量关系、一元二次方程、检验、实际问题 平均变化率问题 若原数量为 ，每次的增长率（或降低率）为 ，则经过两次增长（或降低）后的数量为 ，由此可列一元二次方程求平均增长（或降低）率；因为降价的百分率不可能大于 1，所以不符合题意的根应舍去。 增长率、降低率、一元二次方程、检验 面积问题 对于长方形中修路、剪拼一类的面积问题，可以根据“剩余面积等于总面积减去道路（剪去部分）的面积”寻找等量关系列出方程，也可以把道路平移到一边，将剩余部分化归为一个长方形来列方程，所列方程与道路的位置无关。 长方形面积、等量关系、平移、一元二次方程 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $