综合与实践 (一) 数形结合与方程思想（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

综合与实践（一）  数形结合与方程思想

1. 阅读材料，并解决问题．

【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：

首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．

（1）【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程（）的正确构图是________．（从序号①②③中选择）

（2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：

第一步：将原方程变形为，即；

第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；

第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________________________，解得原方程的一个根为________；

（3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．

已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数________，________，求得方程的正根为________．