第3期：一元二次方程1-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大中考第1~5期 数理括 答案详解 2026~2027学年 初中数学·华东师大中考第1~5期(2026年7月) 第1期2版 4.1)3万，(2)25，(3)0@，42 A 25 20.1认识二次根式 5.1;6.45 基础训练1.A;2.D; 7.(1)4:(2)3:(3)1;(4)2-27 7 3.1)5,(2)-6,(3),(4)m-3: 第1期3版 4.-b;5.-;6.8. 7.(1)由题意，得2a+1≥0， 题号12345 678 1 所以a≥-2时，式子√2a+T有意义. 答案CDBDDCDB (2)由题意，得a-1≥0，且a-3≠0， 9 104；154 所以：1且：时式子写有意义 129.@:13.8；14206 (3)因为a2-2a+3=(a-1)2+2≥0， 所以a取任意实数，式子√a-2a+3都有意义 三15()9；2)52，(3)36 能力提高8.因为a为正数， 16.(1)(45÷6)2=(22)2=8(cm2), 所以23-a<23. 即正方形彩纸的面积为8cm2. 因为√23-a为正整数， (245x26÷而=4x2×√0-45(em. 所以23-a<23. 因为4<23<5， 即正方形彩纸的面积为学5cm 所以√23-a的最大值为4. 17.(1)210. 此时23-a=16,即a=7. (2)因为min2√5，a=a,mim2√5，b}=2√5，所 20.2.1二次根式的乘法；20.2.2积的算术平方根 以a<215<b,即a<√60<b. 基础训练1.A;2.B:3.2;4.-√个-x. 因为49<√60<64，所以7<√60<8. 5.(1)65;(2)22;(3)242;(4)-2xy: 又因为a,b为两个连续的正整数，所以a=7,b=8. (5)6410. 6.由(x-13)(20-x)=x-13·√20-x, 所以27×√任=2万×√停=2√万x号=45 得-13≥0，解得13≤x≤20. 18.(1)由题意，得4-x≥0且x-4≥0，且x+2≠0.所 20-x≥0， 以x=4.所以y>1. 又因为x是有理数，所以x=16. 所以x-T-2x+杠=1x-11- 1-y 1-y 所以存在，√(x-13)(20-x)=√3×4=25. 20.2.3二次根式的除法 =3-Y-1=3+1=4 1-y 基础训练1.D:2.D;3.D; (2)因为a,b,c为△ABC的三边长， 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以a+b+c>0,b+c>a,a+c>b,a+b>c. :1)×(10-1)=48-(10-1)=39(m2): 所以√(a+b+c)7+√(a-b-c)7+√(b-a-c) 39×8×15=4680(元)，所以如果将所种蔬菜全部销售 -(c-b-a)2 =1a+b+cl+la-(b+c)1+l6-(a+ 完，销售收人为4680元. c)I-lc-(a+b)I=a+b+c-a+b+c-b+a+c+c- 能力提高7.(1)因为m=5+万，n=5-√7， a-b 4c. 所以m+n=10,mn=25-7=18. 1 所以m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=102-3×18=46. 19.(1)√4+6 =s石 (2)因为4<7<9，所以2<7<3.所以7<5+7< 1 (2)/n +n+2=（n+)）·√n+2证明如下： 8,-3<-√7<-2，所以2<5-7<3. 所以a=7,b=5-万-2=3-7. 1 m2+2n+1 (n+1)7 /n+n+2=W n+2 =(n+1)· n+2 所以ma+nb=7(5+万)+(3-万)(5-万) 1 =35+77+15-37-5万+7 Nn+2 (3)-7或-13. =57-7. 20.(1)因为3≤a≤7，所以原式=13-al+1a-71= 重点集训营 a-3+7-a=4. (1)26 (2)52-75;(3)14-45; (2)因为(a+1)7+(a-3)7=6,所以1a+11+ 1a-31=6. (49:(52-5:625+2 当a<-1时，1a+11+la-31=-(a+1)+(3-a) 第2期3,4版综合测评卷 =6,解得a=-2; 当-1≤a<3时，1a+11+la-31=(a+1)+(3- A卷 a）=6,此时方程无解； -、题号123456789101112 当a≥3时，1a+11+a-31=(a+1)+(a-3)=6, 答案CDDDCABBC ACD 解得a=4. 二13.7；14名；15.25或而；16.-6 综上所述，a的值为-2或4. 3 (3)因为(a-1)下+(a-6)产=5，所以1a-11+ 三17.(1)原式=√18×2+46÷(55-2)=35 1a-61=5. +46÷42=35+5=45. 当a≤1时，原式=(1-a)+(6-a)=5,解得a=1; (2)因为m=1+3,n=1-5,所以m+n=1+√5+ 当1<a<6时，原式=(a-1)+(6-a)=5,等式恒成 1-W5=2,mn=(1+5)(1-5)=1-3=-2. 立； 所以√m2+n2-4mn=√(m+n)2-6mn = 当a≥6时，原式=(a-1)+(a-6)=5,解得a=6. 综上所述，a的取值范围为1≤a≤6. √22-6×(-2)=√4+12=√16=4. 18.(1)二，52. 第2期2版 (2)若原式的计算结果为6-√2，即口×25-√2÷6 20.3二次根式的加减 =6-√2， 基础训练1.B;2.C;3.√2；4.√2m. 所以▣×23-2=6-2，所以口×23=√6. 1245:21:(6)2+46 以口语安√停：停 6.(1)2×(/72+√/32)=2×(62+42)=202(m), 19.128×√50-2×(3+1)×（√13-1）=80- 所以长方形ABCD的周长是20，√2m 2×12=56(平方米)， (2)由题意得，蔬菜地的面积为：√2×√32-（√10+ 则56×30=1680（元）， 2 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以要铺完整个通道，购买地砖需要花费1680元. 20.x的值为0.理由如下： 根题壶得防万后=35号35瓜=及 a 原武产+√+ 1 所以a=号6=27或a=76=3 所以ah=9或b=号 27.(1)①5+1：②15-2. 所以当x-3>0,即x>3时， 1 1 则，3+亡=宁解得5-3（不符合题意，合去）： 则t (2)原式= 十 十 √(2+1)2√(5+2)2(4+5)2 当x-3<0,即x<3时， 1 1 则，-分解得：0 √/(5+4)2 √（√2026+√2025） 1 1 1 经检验，x=0是分式方程的根. 综上所述，x的值为0. √/2026+√2025 21.(1)因为a= 1 2+1 2-1(2-1)(2+1)） =2+1, =2-1+5-2+4-5+5-4+…+ 所以a-1=√2. 2026-√2025 所以(a-1)2=2. =√2026-1. 所以d2-2a=1. (3)设小正方形的边长为xcm,大正方形的边长为ycm. 所以4a2-8a-3=4(a2-2a)-3=4×1-3=1. 根据题意，得x2=5,y2=32-6√5=（√27-5）2= (2)因为x=5-2,所以x+2=5. (35-5)2 所以(x+2)2=5. 所以x=5,y=35-5. 所以x2+4x=1.所以x2=1-4x. 所以2xy=2×5×(35-5)=615-10, 所以x3+6x2=x(x2+4x）+2x2=x+2x2=x+2(1- 即剩余部分的面积为(6√5-10)cm2. 4x)=2-7x 因为x=5-2,所以1=1 5+2 2(四当a>0时，图为u+音=(-26后+ x5-2(5-2)(5+2) (2)2+2a2=(后-2)2+4， 5+2所以子-=(5+2)-(5-2)=4 a Ja a 所似原式=(2-7)+子-2+7-)=2+7×4 1 所以当石：会即a=2时a+台的最小竹为4： 当a<0时，因为a+4=-(-a-4), =30. a a B卷 a 四22：23.7或9,24平m；52V个或2 五26(1)架据题这，得店方4=2 所(-。=-(。产-44 所以数对(25,4的一对对称数对”为兮，2)与2行》 所以当/a=2,即a=-2时，a+4的最大值为 (2)因为数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同， 所以=5： -4. w33 故填4，-4. 1 解得y=3 (2)当a>0时，因为30+4a+5=3a+4+三=3(a+ a a 一3 初中数学·华东师大中考第1~5期 +4=3(6-√层+4+2压， 5(m==1: 所以当石=√原即a=时，女如+5的最小值 1 3 (2)x1=x=-2 a 是4+215. (3)x1=5+√/2T,x2=5-√/2T: (3)设SAAo为a, 4四 3 3 因为Sa0D:SAA0B=OD:OB=SAcoD:SAcOB, 所以2：a=Sam3,所以S=合 第3期3版 所以四边形ABCD的面积为： 题号12345678 2+3+a+0 =(a+6)+5 答案DCBDBCBA a 二、9.x2-8x-4=0:10.m≥0；11.-2；12.-1： 6)2+5+26. =(后-√a 13.6或15或12；14.-3 4 因为a>0, 5,即a=石时，四边形ABCD面积的最 三，110%=是4=-2： 3 所以当√a= (2)x1=-7,x2=1; 小值为5+26. (3=1+9=1- 2 第3期2版 21 21.1认识一元二次方程 基础训练1.D;2.A;3.m≠1； 16.(1)③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方， 4.(20-2x)(15-2x)=252;5.-2. 而右边没有加. 6.填表如下： (2)2x2-8x-18=0. 移项、二次项系数化为1，得x2-4x=9. 方程 一般形式 二次项系数 次项系数常数项 2x2=7x 2x2-7x=0 -7 0 配方，得x2-4x+4=9+4. 5-3x2=6x 3x2+6x-5=0 3 6 -5 (x-2)2=13. x+1)(x-3》 x2-5x-7=0 -5 -7 由此可得x-2=±√13， =3x+4 所以x1=2+√3,2=2-√3. 21.2.1直接开平方法和因式分解法 17.(1)将x=1代入原方程，得(a-1)-2+a2+1=0. 基础训练1.C;2.B;3.D;4.-2. 整理，得a2+a-2=0.解得a1-1,a2=-2. 50454:2=33 29 因为a-1≠0，所以a≠1.所以a的值为-2. 13 (2)将a=-2代入原方程，得-3x2-2x+5=0,即x2+ (3)=2,6=14；(4)x=5=5. 21.2.2配方法 子 31 基础训练1.C;2.C;3.-12. 配方，得(x+宁》P=开方得x+日=±亭 4.(1)x=3+ 2 2； 所以该方程的解为x=1,。=一3 5 1,6 16 (2)x=-5+5=-5-5 18.(1)一元二次方程2x2+x-1=0是“C方程”.理由如 (3)无实数根 下： 21.2.3公式法 解2x2+x-1=0,得x1=0.5,x2=-1. 因为c=-1,所以一元二次方程2x2+x-1=0是“C方 基础训练 1.C;2.C;3.B:4.1+5 2 程”. -4 初中数学·华东师大中考第1~5期 (2)因为关于x的一元二次方程4x2+bx+c=0(c≠0) 方法二：如图2，用4个长都是(x+2),宽都是x的矩形拼 是“C方程”，所以4c2+bc+c=0. 成如图2所示的正方形， 又因为c≠0，所以b=-4c-1. 因为x2+2x=4,所以x(x+2)=4. 所以-4c-1=2+6=(6+号-子 所以一个矩形的面积是4. 所以(2x+2)2=4×4+22=20. 因为(6+2》≥0，所以-4e-1的最小值为-子 所以(x+1)2=5. 19.(1)因为(x+5)(x+9)=5, 所以该方程的一个正根为√5-1. 所以[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, 第4期2版 所以(x+7)2-22=5, 21.2.4一元二次方程根的判别式 所以(x+7)2=9, 所以x+7=3或x+7=-3, 基础训练 1A:2.D:3月：4=7吉6 6: 解得x1=-4,x2=-10. 5.没有. 所以上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为7,2，-4， 能力提高6.（1)证明：4=b62-4ac=(k-8)2-4×2 -10. ×(-4k)=(k+8)2≥0， 故填7；2；-4；-10. 所以该方程总有两个实数根。 (2)因为(x-5)(x+7)=12, (2)解方程，得 所以[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, 所以(x+1)2-36=12, x=-(k-8）±k+8_8-片±k+81 2×2 4 所以(x+1)2=48, 所以x=4,x=-2 所以x+1=4√5或x+1=-45, 解得x=-1+45,x2=-1-45. 因为该方程有-个根小于3，所以-令<3解得：>-6 20.(1)该方程的其中一个正根是线段AD的长.理由如 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 下： 基础训练1.C;2.A;3.4;4.11. 在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC2+AC= 5.因为关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+2= AB, 0有两个实数根， 所以（气）2+62=（冬+AD)户 所以4=[-(2m-1)]2-4(m2+2）=4m2-4m+1- 整理，得AD+a·AD=b2. 4m-8=-4m-7≥0.所以m≤-子 所以形如x2+ax=b2的方程的其中一个正根是线段AD 由根与系数的关系，得x1+x2=2m-1,x1·x2=m2+2. 的长 所以x2+x22=(x1+x2)2-2x1·x3=(2m-1)2-2(m2 (2)2x+10,6I-5. (3)因为x2+2x-4=0,所以x2+2x=4. +2）=27.解得m1=5,m2=-3. 又因为m≤-子，所以m=-3 7 方法一：如图1，作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC- 2,BC=1,在斜边AB上截取BD=BC. 21.3实践与探索 在Rt△ABC中，AB=√AC+BC=4+I=5, 基础训练1.A;2.C;3.1;4.6;5.0.4. 则该方程的一个正根为AD的长，即5-1. 6.设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 x+2 根据题意，得1+x+x(1+x)=225 x+2 解得1=14，x2=-16(不符合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人 7.设这4个数中最小的数为y,则最大的数为y+8. x+2 图1 图2 根据题意，得y(y+8)=105. 初中数学·华东师大中考第1~5期 整理，得y2+8y-105=0. -2m+13=(m-1)2+12>0, 解得y=7或y=-15(不符合题意，舍去). 所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根. 答：这4个数中最小的数为7. (2)设AB,CB的长分别为x1,x2, 能力提高8.(1)(20+2x),(40-x). 则x1,x2是方程x2-(m+3)x+2m-1=0的两个实数根. (2)根据题意，得(40-x)(20+2x)=1050. 根据根与系数的关系，得x1+x2=m+3,x2=2m-1. 整理，得2-30x+125=0. 因为△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC=35, 解得x1=25,x2=5. 所以x12+x22=AC2=35. 答：每件卫衣降价5元或25元时，平均每天可盈利1050 又因为x12+x22=(x+2)2-2x1x2, 元 所以(m+3)2-2(2m-1)=35. (3)不能实现.理由如下： 解得m=-6或m=4. 根据题意，得(40-x)(20+2.x)=1500. 因为AB,CB是△ABC的边长，所以x1>0,x2>0. 整理，得x2-30x+350=0. 所以x1+2=m+3>0,且xx2=2m-1>0. 因为4=(-30)2-4×1×350=-500<0， 1 解得m>2 所以此方程无实数根.。 所以每天的盈利不可能达到1500元，故店长的愿望不能 所以m=4, 即当m=4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形 实现 第4期3版 18.(1)1;3. (2)猜想：=5n-1+n-2 题号12345678 答案CAD C AD CB 证明：根据根的定义，得a2--1=0, 两边都乘以-2，得a”-a1-a-2=0①， =9.-6；10.10:11.k>-且6≠0：126； 同理，B-B-1-B-2=0②， 13.15;14.(5-2). ①+②，得(a”+B）-(a-1+B-）-(a-2+B-2)=0, 三、15.(1)根据题意，得4=b2-4ac=4-4m≥0，解得 因为s.=0+B81=a-+B-,82=-2+B2, m≤1. 所以8m-8-1-5n-2=0,即3n=5a-1+3m-2 故m的取值范围为m≤1. 19.(1)①(50-2x). (2)根据题意，得x+=-么=2，=上=m, ②根据题意，得(50-2x)x=92. a 整理，得x2-25x+46=0. 因为2x1+2x2+x12=0, 解得x1=2,x2=23. 所以2×2+m=0, 当x=2时，50-2x=50-2×2=46>10,不符合题意， 解得m=-4. 舍去； 16.(1)设进馆人次的月平均增长率为x 当x=23时，50-2x=50-2×23=4<10,符合题意. 根据题意，得7500(1+x)2=10800. 答：AB的长为23米. 解得5=20%品三-号（不符合题意，合去）小 (2)养蜂场的面积不能达到230平方米.理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到230平方米. 答：进馆人次的月平均增长率为20% (2)不能.理由如下： 因为AB长为x米，所以BC长为48+2+10-2红米=(30 2 由(1)得，第四个月的进馆人数为： -x)米. 10800×(1+20%)=12960>12000, 根据题意，得(30-x)x=230. 所以该博物馆不能接纳第四个月的进馆人次， 整理，得x2-30x+230=0. 17.(1)证明：4=62-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m 因为4=(-30)2-4×1×230=-20<0， -1)=(m+3)2-4(2m-1)=m2+6m+9-8m+4=m2 所以原方程没有实数根. 6 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以假设不正确，即养蜂场的面积不能达到230平方米.形 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E,图略.所以∠PEQ= 第5期综合测评卷 90° A卷 由题意，得AP=CQ=tcm,所以BE=CQ=tcm,所以PE 题号123456789101112 =18-2t1cm. 答案CBCBDDAC CBAB 在Rt△PQE中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=52 二、13.2x+x-4=0;14.k≤1且k≠7；1512； 解得t=2或t=6. 16.-2026. 所以P,Q两点从出发开始到2秒或6秒时，点P和点Q间 的距离是5cm. 三、17.x1=-2+23,x2=-2-25.第一步变形的依据 是等式的基本性质1. (2)连结PD,当点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形时 分三种情况： 18.设方程的另一个根为x2 ①当PD=PQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图1所示， 因为方程2x2-4x+3m=0的一个根为1-2， 所以DF=QF, 所以1-万+=-1-)·6=受 因为AP=CQ=tcm,所以QF=DF=AP=tcm, 因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=8cm, 所以与=反+1，m=子 所以CD=DF+FQ+CQ=3tcm=8cm, 即方程的另一个根为，万+1，m的值为-号 解得L=冬，即当P,Q两点从出发开始到氵秒时，点P, 3 19.设应邀请的俱乐部个数为n,则比赛总场数为 Q,D组成的三角形是等腰三角形； n(n-1) 2 根据题意，得n,)=21. 2 解得n=7或n=-6(不符合题意，舍去). 答：应邀请的俱乐部个数为7. 20.(1)解方程x2=2x,得x1=0,x2=2. 图1 图2 图3 因为x1≤x2,所以P(0,2) ②当QP=QD时，过点P作PF⊥CD于点F,如图2所示， 因为AP=CQ=tcm, (2)设方程x2-(m+√2)x-3=0的两根为x1和x2(x1 所以QP=QD=CD-CQ=(8-t)cm,DF=AP=tcm, ≤x2),则P(x1,2) 所以QF=CD-CQ-DF=(8-2t)cm, 因为点P在直线y=-x上， 在Rt△PQF中，由勾股定理，得(8-2)2+32=(8-t)2, 所以x1+x32=0,即m+√2=0，解得m=-√2. 解得1=16±148-8±37 21.(1)1和4. 6 39 (2)因为☐ABCD为正方形，所以方程x2-(2m+1)x+2m ③当DP=DQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图3所示， =0有两个相等的实数根。 因为AP=CQ=tcm, 所以4=[-(2m+1)]2-4×2m=0. 所以DP=QD=CD-CQ=(8-t)cm, 解得m1=m=2 1 在Rt△ADP中，由勾股定理，得+32=(8-t)2, 解得：=瓷 所以m的值为子 (3)因为口ABCD的一条对角线的长为m-3,所以(m- 综上所述，当P,Q两点从出发开始到3瓦秒或号秒 3 3)2-(2m+1)(m-3)+2m=0. 攻需秒或8+秒时，点P0,D组成的三角形是等极三角 解得m=4或m=-3. 当m=-3时，m-3=-3-3=-6<0,故此情况不符合 初中数学·华东师大中考第1~5期 题意，舍去 (3)解ax+bx+2=0,得x=二b±√F-8a 所以m的值为4. 2a B卷 因为该方程是“邻根方程”， 四、22.1或5；23.m=1或m>2;24.1,25; 所以-6+-8a-b-8a:1 2a 2a 25或-号 整理，得b2=a2+8a. 五、26.(1)设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月 因为t=12a-b2-4, 平均增长率为x 所以t=12a-(a2+8a)-4=-a2+4a-4=-(a-2)2. 由题意，得3(1+x)2=3.63. 因为a>0,所以t的最大值为0. 解得x=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去). 28.(1)设剪去的小正方形的边长为xcm 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1600. 率为10%. 解得x1=10,x2=60(60>40不符合题意，舍去). (2)设每架无人机的价格下调a万元，则下调后每架无人 答：剪去的正方形的边长为10cm. 机的售价为(2.5-a)万元. (2)不能.理由如下： 根据题意，设该收纳盒的高为acm, 由题意，得(2.5-1.5-a)(80+a05)=45 则收纳盒底面的长为100，-24cm=(50-a)cm,宽为(40 整理，得4a2+12a-7=0. 2 解得a1=0.5,a2=-3.5(不符合题意，舍去). -2a)cm. 所以2.5-0.5=2（万元） 根据题意，得(50-a)(40-2a)=608. 答：下调后每架无人机的售价为2万元 解得a1=12,a2=58(58>50不符合题意，舍去). 27.(1)解x2+3x+2=0,得x1=-2,x=-1. 所以50-a=38,40-2a=16, 因为-1-（-2)=1，所以该方程是“邻根方程”。 所以收纳盒的高为12cm,长为38cm,宽为16cm, (2)解x2-(m+2)x+2m=0,得x1=m,2=2. 因为35<38（玩具车长小于收纳盒长），但13>12（玩具 因为该方程是“邻根方程”， 车高大于收纳盒高)，17>16（玩具车宽大于收纳盒宽），所以 所以m=2-1=1或m=2+1=3. 玩具车不能完全立着放人该收纳盒并盖上盖子. 所以m的值为1或3. —8—4 素养·拓展 数理极 (上接第3版) x+10 20.（14分)综合与实践 【初步探索】(1)欧几里得的《几何原本》记 铺助线周周练 载，对于形如x2+ax=6的方程，可用如图2所 +10 示的几何解法：作直角三角形ABC,其中∠C= 图2 图3 1.如图1，直线1分别交正方形ABCD的对 90,AC=6,BC=号，在斜边AB上截取BD= 边AD,BC于点P,Q,正方形ABCD和正方形 EFGH组成的图形关于直线l成轴对称，点H在 BC,则该方程的其中一个正根是哪条线段的长？ CD边上，点A在EF边上，BC,HG交于点M,AB, 说明你的理由 FG交于点N.若CD=5,DH=2,则△GQM的 【再次探索】(2)我国数学家赵爽在其所著 周长为 的《勾股圆方图注》中也记载着关于一元二次方 程的几何解法：以方程x2+10x=36为例，因为 x2+10x=36,所以x(x+10)=36.用4个长都 是(x+10),宽都是x的相同矩形拼成如图3所 示的正方形 在图3中，大正方形的面积可以表示为 图1 图2 2.如图2，在矩形ABCD中，AB=8,BC= )(用含x的代数式表示)；另一方 12,点F在线段AB上，AF=5,点E在线段AD 面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方 上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边 形的面积，即等于4×36+100，故可得原方程的 上的点G处，点H在线段CD上，将矩形沿GH折 个正根是 叠，点C恰好落在线段EG上的点M处，则点M 【类比运用】(3)请分别用上述两种几何方 到线段DC的距离为 法直观地求方程x2+2x-4=0的一个正根（请 在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段 ▣怕WW葛厘 数理报社试题研究中心 的长度) (参考答案见下期) 明H3W:冉三群￥售‘W学士O T NW动 N学g斗阴0)用米口Y厘阴狂典三出出 专题辅导 “0学士H9WO瓣秉‘b=OH=WH=Ha 十字相乘巧解方程 冊‘Hd3V云HW又H口怕‘Ha 买‘乙=a0=Wa庋‘斗明Wa‘aaR￥‘d 学壬☑vTd3W3学‘斗明3a‘34用2￥2 ⊙广东韩云骁 解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 5.令每个因式为0，解得x1= 2 鸿面授婚科【坐群】，乙 时，十字相乘法是一种快速、直观的因式分解 m ·加怕易热形转阴碎里量‘半世￥斗 法，尤其适用于系数为整数（或可化为整数）的 9 情况它的核心思想是：将二次项和常数项分 n W09V冰‘a0=90口唑必科‘y 解，通过交又相乘再相加，凑出一次项。 三、典型例题 =N8‘Hy=Hanavvnd云YVVH 一、基本原理 例用十字相乘法解下列一元二次方程： “HYVV1H云HaVVy伯‘WWHV④买‘Y 对于二次三项式ax2+bx+c,如果能找到 (1)x2-2x=3; 学上3HTVV学丹【些群】I 四个整数满足： (2)2x2-3x-2=0. 【嵩品华乡】 ·二次项系数a=m·n, 解：(1)x2-2x-3=0, -3 ,常数项c=P·9, (x-3)(x+1)=0, 第2期2版参考答案 ·m·q+n·p=b, x-3=0或x+1=0, t-3x=-2x 那么原式可因式分解为： 即x1=3,x2=-1. 20.3二次根式的加减 ax2+bx +c=(mx +p)(nx +q). (2)2x2-3x-2=0. 基础训练1.B;2.C;3.√2； 画成十字图如下： (2x+1)(x-2)=0 2x八/ 4.√2m 即左上左下凑二次， 2x+1=0或x-2=0, x八-2 5.(1)21⑤ 右上右下凑常数， 5； (2)1:(3)12+4√6 即=-2=2 2x×(-2)+r=-3x 交叉相乘再相加， 6.(1)2×(2+√32)=2×(62+4 结果等于一次项 四、常见错误与技巧 t2)=202(m),所以长方形ABCD的周长是20 二、标准步骤 1.忘记符号：常数项为负时，两因数一正一负. 1.整理方程为一殷形式ax2+bx+c=0(a 2.分解不唯一：同一个a或c可能有多种分 2m. >0). 解方式，需多次尝试 (2)由题意得，蔬菜地的面积为：√72× 2.分解系数：将a分解成两个因数m,n,将c 3.系数较大时：可先提取公因数，或检验判√32-（√0+1）×（√0-1）=48-(10- 分解成两个因数p,9.c>0时，P,9同号，与b的别式4=b-4c是否为完全平方数，若不是，1)=39(m2). 正负一致；c<0时，P,9异号. 则不能用十字相乘法（有理数范围内）. 39×8×15=4680(元)，所以如果将所种 3.交叉验证：计算mg+np,看是否等于b. 4.化分数为整数：若系数含分母，先将方程蔬菜全部销售完，销售收入为4680元 4.将方程左边分解因式为(mx+p)(nx+两边乘以公分母化为整数系数，再尝试使用十 能力提高7.(1)m2-mn+n2=46. q）=0. 字相乘法 (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 初中数学 0351-5271268 2026年7月16日·星期四 报纸发行质量反馈电话： 数理相 3期总第1199期 华东师大 0351-5271248 中考 (上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-207 (2)ma nb 入门向导 配方法是解一元二次方程 57-万. 名 的基本方法，也是解决代数中 重点集训营 二元二次方程 有关二次式最值问题的常用方 )26 法之一.下面就让我们一起来 配葡 ⊙山西尹舒然 体会配方法的无限魅力吧！ (2)5√2-73； 元二次方程的概念是学习一元二次方程 注意：(1)在确定一元二次方程各项及其系 一、配方法的基本思路 江 的前提和基础，现剖析如下，供同学们参考 (3)14-45; 数时，一定要先化为一般形式后再确定，且不要 用配方法解一元二次方程 一、一元二次方程的概念 漏掉各项的符号.如：方程2x2=3x+2先化为 4)9; 整式方程中只含有一个未知数，并且未知般形式为2x-3x-2=0,那么它的二次项为2x?, 的基本思路是将方程转化为 数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方 一次项为-3x,常数项为-2. (:+加)：n的形式，然后利晨 直 (5)2-5: 程 用开平方达到“降次”的目的 (2)形式不完全（即缺一次项或常数项）的 (6)23+2. 一元二次方程必须同时满足三个条件： 当n≥0时，根据平方根的意 通 第2期3,4版 元二次方程的各项及其系数需正确叙述.当 (1)方程是整式方程； 义可求出它的根为x=-m± 缺一次项时，如：方程3x2-12=0,可以说一次 综合测评卷参考答案 (2)只含有一个未知数； √元；当n<0时，原方程在实数 A卷 (3)未知数的最高次数是2. 项为0x或无一次项，但不能说一次项为0；当缺 常数项时，如：3x2+2x=0,可以说常数项为0， 范围内无解 -、1.C;2.D 注意：判断一个方程是不是一元二次方程， 也可以说无常数项， 二、配方法的步骤 3.D;4.D; 在确定已知方程是整式方程的前提下，必须把 (3)已知ax2+bx+c=0是一元二次方程， 情况1：如果方程的二次项系数是1，以x2-4x 5.C;6.A; 它化简整理后才能判断，这里的化简指的是去 则隐含a≠0这一条件. +1=0为例，那么一般可按以下步骤解方程： 7.B;8.B; 分母，去括号、移项、合并同类项如： -=x+1, 三、一元二次方程的解（根】 (1)移项：使方程的左边为含有未知数的 9.C;10.A: xy+y2=2,x3-x2=1,(x+1)(x-3)=x2 使一元二次方程左右两边相等的未知数的 项（即二次项与一次项），右边为不含未知数的 11.C;12.D. x+1均不是一元二次方程 值，就是这个一元二次方程的解（根）. 项（即常数项），由此可得x2-4x=-1; 二、13.7； 二、一元二次方程的一般形式 注意：(1)一元二次方程不存在只有一个根 (2)配方：在方程两边都加上一次项系数 148 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c= 的情况，如：方程(x-1)2=0的根不能写为x= 一半的平方，把方程左边写成完全平方的形式， 0(a≠0)，其各项及其系数如图所示： 15.22或/10； 1,而应写为x1=x2=1,即写成两个相等的实数 由此可得-4+(-)2=-1+(-号)3，(x 2 16.-6. 二次项系数 一次项系数 根的形式 -2)2=3: (2)若一元二次方程无实数根时，要正确叙 三、17.(1)原 @x -00≠0 述.如：方程x2+3=-2,说它无解或无根均不 (3)开方：根据平方根的意义，直接开平方 式=45」 得到两个一元一次方程，从而达到“降次”的目 二次项 一次项 常数 严谨，而应说“无实数解或无实数根” (2)/m2+n2-4mn -十十 一十十十十十十 的，由此可得x-2=5或x-2=-5; =4 专题铺导 (4)求解：解两个一元一次方程，得x1=2 18.(1)二，52. 抓住“根”本 巧用定义求值 +5,x2=2-5. (2)“☐”表示 情况2：如果一元二次方程的二次项系数不 22 ◎河北史启恒 为1，通常是移项后利用等式的基本性质将其化 若a后+bx+c=0,则x0是一元二次方程 方程cx-bx+a=0(ac≠0)必有一根为 为1，再按上述步骤解题， 19.要铺完整个 ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根；反之，若x是 例 用配方法解方程：3x2-4x-12=0. 通道，购买地砖需要 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个 A.-m B.I C.m D.- 解：移项，得3x2-4x=12。 花费1680元 根，则可得ax哈+bx0+c=0.这就是一元二次方 m m 解：由题意，得am2+bm+c=0.所以a+ 20.x的值为0. 程根的定义，利用其解题是中考的常见考点。 二次项系数化为1，得2- 3t4. 理由略 +号=0.所以c…(-1)2-b(-1)+a m m m 配方得-身+号=4+号 21.(1)4a2-8a 例题呈现 =0.所以x= 3=1. 是方程c2-bx+a=0(ac m 例1 若关于x的一元二次方程x2+2x-m 9 (2)原式=30. =0的一个根是2，则m= ≠0)的一个根.故选D. B卷 解：由题意，得4+4-m=0.解得m=8. 解得x1= 2 +210 2210 3 四、22.23； 故填8. 变式训练 23.7或9； 例2设x=a是方程x2-2x-2026=0 的一个实数根，则(a-1)2= 1.若关于x的一元二次方程(a-3)x2-x+ 本周主讲 24.27 m; 解：由题意，得a2-2a-2026=0,即a2- a2-9=0的一个根是0，则a= 2a=2026.所以(a-1)2=a2-2a+1=2026 2.若1-a+b=0,则关于x的一元二次方 25.211或2： +1=2027.故填2027. 程x2+ax+b=0必有一根为 21.1认识一元二次方程 五、26.略 例3若关于x的一元二次方程ax2+bx+ 3.若x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx 21.2.1直接开平方法和因式分解法 +1=0的一个根，则2024-2a+2b= 27.略. 2=0(a≠0)有一根为2027，则一元二次方程 4.若关于x的一元二次方程a(x-m)2+n 21.2.2配方法 28.略 a(x+1)2+b(x+1)+2=0必有一根为 =0(a≠0)的解为x1=-3,x2=1,则方程a(x (全文完) 21.2.3公式法 解：由题意，得x+1=2027.解得x= -m-2)2+n=0的解为 2026.故填2026. 主要内容：本期需掌握一元二次方程的定 ￡=xI-=xb 例4若关于x的一元二次方程ax2+bx+ c=0(ac≠0)有一根为m,则关于x的一元二次 907￡I-乙8-1鼻条 义，学会运用不同的方法解一元二次方程 2 素养专练 人 数理极 (2)(2x-3)2=7; 21.2.3公式法 跟踪训练 垦训练 1.用求根公式解一元二次方程3x2-2x=1 21.1认识一元二次方程 时，a,b,c的值是 () 屋础训练 A.a=3,b=-1,c=-2 B.a=3,b=-2,c=1 1.下列方程是一元二次方程的是 ( (3)x2-16x+28=0; C.a=3,b=-2,c=-1 A.x2-x3+4=0 B.2x2-y+1=0 D.a=3,b=2,c=1 c-是=0 D.x2+2x=0 2.已知代数式x(x+1)+2与代数式2x-1的 值互为相反数，则x的值为 () 2.把一元二次方程(x+2)(x-2)=4x化成 般形式，正确的是 () 4.-3+5 B.-3-5 2 2 A.x2-4x-4=0 B.x2-4x+4=0 C.x2+4x-4=0D.x2+4x+4=0 (4)9(x-3)2=4(x-2)2. C.-3±5 2 D.无法确定 3.若方程(m-1)x2+x=1是关于x的一元 二次方程，则m的取值范围是 3.一元二次方程7-37x+19=0的较小 4.如图，为助力 的实数根应在 ( 乡村振兴，某村规划 A.1和2之间 B.2和3之间 建设“小微特色果蔬 C.3和4之间 D.4和5之间 种植园”，计划将一块 4.有一个正数m,它与1的和乘以它与1的差 长20m,宽15m的矩形荒地改造为种植区，同时 21.2.2配方法 仍得m,则m的值为 在四周保留等宽的田间步道.若改造后种植区的 5.用公式法解下列一元二次方程： 面积为252m,设步道的宽度为xm,则可列方程 垦础训练 (1)2x2-5x+3=0; 为 1.若关于x的一元二次方程x2+6x+3=0配 5.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 方后得到(x+3)2=c,则c的值为 中的a,b,c满足4a-2b+c=0,则方程必有一根 A.0 B.3 C.6 D.9 为 2.用配方法解一元二次方程2x2-5x-1= 6.填表（要求一般形式的二次项系数为正）： 0,配方正确的是 () 二次项 方程 一般形式 一次项 常数项 系数 系数 B-= 2x2=7x (2)4x2+1=-4x: 5-3x2=6x (x+1)(x-3) =3x+4 3.用配方法解一元二次方程4x2+bx+a=0 得2x-3=±6，则b的值为 21.2.1直接开平方法和因式分解法 4.解方程： (1)-x2+3x+2=0; 屋础训练 1.方程x2=2026x的解是 A.x=0 B.x=2026 (3)(x-2)2=6x; C.x1=0,x2=2026 D.无实数根 2.解一元二次方程(x+2)2=4时，通常将其 转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为 x+2=2,则另一个方程为 A.x-2=-2 B.x+2=-2 (2)5x2+2x-1=0: C.x-2=2 D.x+2=2 3.已知一元二次方程(x+3)2=4x+12的两 根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在( (3)-2-3=0 A.第一象限 B.第二象限 C.第一象限或第三象限 D.第二象限或第四象限 (3)(x+1)(x+3)=-5. 4.若(m-2)x22+x-3=0是关于x的一 元二次方程，则m的值是 5.解下列一元二次方程： (1)3x2-48=0: 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 17.（10分)已知关于x的一元二次方程(a- 1)x2-2x+a2+1=0. 同步达 标 检测题（二 （1)若该方程的一个根是x=1,求a的值； (2)在(1)的条件下，用配方法解该方程. 【检测范围：21.1-21.2.3】 (满分：120分) :方程√2x+3=x的根为 A.x=3 B.x=-1 一、精心选一选（每小题4分，共32分） C.x1=3,x2=-1D.x1=3,x2=1 题号1 23456 7 8 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 答案 9.将一元二次方程(1+3x)(x-3)=2x2+1 化为一般形式为 1.一元二次方程2x2=x+3的二次项系数为 10.已知关于x的一元二次方程(x+1)2=m 2,则一次项系数和常数项分别是 ( 有实数根，则m的取值范围是 A.0,-3 B.0,3 11.若关于x的一元二次方程(3a-6)x2+(a2 C.1,3 D.-1,-3 4)x+a+9=0没有一次项，则a= 2.若x=1是关于x的一元二次方程2x2-3x 12.当x= 时，代数式4x2+2x-1的 18.(10分)定义：如果关于x的一元二次方程 +a=0的一个解，则a的值为 ( 值与代数式3x2-2的值相等 ax2+bx+c=0(ac≠0)有一个根是c,那么我们 A.3B.2 C.1 D.0 13.若等腰△ABC的三边长都是方程x2-7x+ 称这个方程为“C方程”。 3.若关于x的一元二次方程的根为x=10=0的根，则△ABC的周长是 (1)判断一元二次方程2x2+x-1=0是否为 1±-1)-4×3×(-5】，则这个方程是 14.已知关于x的两个方程x2-x+5c=0,x2 “C方程”，请说明理由； 2×3 +x+c=0(c≠0).若前一个方程中有一个根是后 (2)已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c ( 一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 =0(c≠0)是“C方程”，求代数式b2-4c-1的最 A.3x2+x-5=0 三、耐心解一解（本大题共6小题，共64分） 小值 B.3x2-x-5=0 15.(12分)解方程： C.x2-3x-5=0 (1)4x2-3=6; D.x2+3x-5=0 4.用配方法将方程x2-8x-2008=0转化为 (x+m)2=n的形式，则m-n的值为 A.2028 B.-2004 C.2004 D.-2028 (2)x2+6x-7=0: 5.如图1是某地下停车场的平面示意图，停车 19.(10分)小明在解一元二次方程时，发现有 场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相 这样一种解法，如：解方程x(x+4)=6. 等，若停车位的占地面积为595m,求车道的宽度 解：原方程可变形，得[(x+2)-2][(x+2) （单位：m).设停车场内车道的宽度为xm,根据题 +2]=6,即(x+2)2-22=6,移项，得(x+2)2= 意所列方程为 (3)4x2-8x+1=0(配方法)； 10,直接开平方并整理，得x1=-2+√10，x2= 40m -2-√10. 停车位 我们称小明这种解法为“平均数法”。 车道宽度 (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+ 车性 出口 (4)2x2+3(2x+1)=0(公式法) 5)(x+9)=5时写的解题过程. 图1 解：原方程可变形，得[(x+a)-b][(x+a) A.(40-2x)(22-x)=595 +b]=5,即(x+a)2-b2=5,移项，得(x+a)2= B.(40-x)(22-x)=595 5+b2,直接开平方并整理，得x=c,=d. C.(40-x)(22-2x)=595 上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为 D.(40-2x)(22-2x)=595 16.(8分)阅读下列关于解方程2x2-8x-18 6.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+ =0的过程，并解决问题. (2)请用“平均数法”解方程：(x-5)(x+7) m2-3m+2=0的一个根为0，则一次函数y=(m =12. 解：移项，得2x2-8x=18.① -3)x+m+5的图象经过 ( 二次项系数化为1，得x2-4x=9.② A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限 配方，得x2-4x+4=9.③ C第一、二、四象限D.第一、三、四象限 (x-2)2=9. 7.对于两个不相等的实数α，b,我们规定符号 由此可得x-2=±3，④ max(a,b)表示a,b中的较大值.例如：max(3,5) =5,mx(-3,-5)=-3.按照这个规定，若 x1=5,x2=-1.⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤 maxx,-x=x2-3x-5,则x的值是（ (填序号)，错误的原因是 A.5 B.5或1-6 (2)请你写出正确的解答过程 C.-1或1-6D.5或1+6 8.数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转 化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种 方法，我们可以用因式分解把方程x+x2-2x=0 转化为x=0或x2+x-2=0,从而求出方程的三 个根：x1=0,x2=1,x3=-2,再如，我们可以用两 边平方的方法把方程x+1=2转化为x+1= 4,从而求出方程的根：x=3.则通过转化可以求出 (下转第4版)