第21章 一元二次方程（8考点+8易错+易错训练）（知识清单）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“一元二次方程”单元内容，涵盖概念定义、解法技巧、实际应用及易错警示四大知识范畴，构建“定义理解-解法选择-问题解决”的递进式学习架构。 清单以“知识点分级+易错点专项突破”呈现知识体系，如解法标注“首选最快（因式分解法）”“万能解法（公式法）”，易错点总结“忽略二次项系数a≠0”等，培养数学思维与模型意识。设计“实际问题分类模型”“配方法步骤口诀”，学生可自主查漏，教师能精准教学，提升学习实效。

第21章 一元二次方程 知识点01一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 2.概念解析一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2. 3.判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高 次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”。 知识点02一元二次方程的一般形式 ：二次项系数， 是核心前提（ 则变成一元一次方程）； ：一次项系数，可为 0； ：常数项，可为 0。 知识点03:一元二次方程的解 1.一元二次方程的解(根)的意义: 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，又因为只含有一个未知数的方程的解 也叫作这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根， 2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量. ax12+bx1+c=0 (a≠0), ax22+bx2+c=0 (a≠0). 知识点04:解一元二次方程 1. 直接开平方法 适用形式： 或 要求： 才有实数根； 无解。 2. 因式分解法（首选最快） 步骤：移项使右边=0 → 左边因式分解 → 令每个因式=0 → 直接得根。 常用：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法。 3. 配方法（必考基础） 步骤：二次项系数化为 1 → 移常数项 → 两边加一次项系数一半的平方 → 写成完全平方 → 开方求解。 作用：推导求根公式、求最值、代数式配方。 4. 公式法（万能解法） 通用公式： 步骤：化为一般式→找 、、→算 →代入公式。 知识点05:配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程. 配方法的理论依据是公式a2土2ab+b2=(a土b)2 配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值. 关键是:二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方. 3.配方法的综合应用. 知识点06:一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 ①一元二次方程有两个不相等的实数根； ②一元二次方程有两个相等的实数根； ③一元二次方程无实数根。 3. 应用 ①不解方程判断一元二次方程根的情况； ②根据方程根的情况求字母系数的取值范围。 知识点07:根与系数的关系 1.若二次项系数为1，常用以下关系:x1，x2是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数. 2.若二次项系数不为1，则常用以下关系:,是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，. . 3.常用根与系数的关系解决以下问题: ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根。 ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知系数. ③不解方程求关于根的式子的值，如求，等等. ④判断两根的符号. ⑤求作新方程， ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值。这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，这两个前提条件. 知识点08:由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程， 1、列方程解决实际问题的一般步骤是:审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验 和作答. 2、列一元二次方程解应用题中常见问题: 1. 增长率问题： 1. 面积问题：道路、边框、裁剪图形，利用面积差列方程 1. 销售利润问题：单件利润×销量=总利润 1. 传播、分支问题：病毒传播、树枝分支递增模型 易错点1 求参数时忽略二次方程的定义 易错提醒 易错点总结 1. 含参数方程题目，只考虑根的情况、方程解的情况，忘记保证二次项系数 a≠0。 2. 参数求解后不检验，出现 a=0 仍然保留解，使一元二次方程退化为一次方程，导致整题错误。 3. 题目明确说是“一元二次方程”，却忽略最高次数为 2 的隐藏条件。 注意事项总结 1. 只要题干出现一元二次方程，第一条件必写：二次项系数≠0。 2. 求参数取值范围时，必须同时满足判别式条件且a≠0。 3. 算出参数后代回检验，舍去使二次项系数为 0 的解。 【对点训练】1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 易错点2 直接开平方法解一元二次方程时，出现漏解问题 易错提醒 ①当右边的常数n小于0时，方程没有实数根，不需要再进行开平方操作 ②对等式两边同时开平方，将二次方程转化为两个一元一次方程时，注意右边要带正负号，不要遗漏负号，否则会导致少解，只能得到一个根不符合要求 【对点训练】2．（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 易错点3 公式法解一元二次方程，判断a、b、c的取值时，出现符号错误。 易错提醒 ①先将方程整理为一般形式，准确确定a、b、c的取值，注意符号不要出错  ②代入数值时要带上系数的符号，尤其是b和c为负数时，符号处理要格外小心 【对点训练】3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程． 【答案】， 【详解】解：化为一般式： ∵， ∴ 解得：， 易错点4 配方法解一元二次方程时易出错 易错提醒 ①二次项系数化为1时，要给方程所有项都除以二次项系数，不能只除含未知数的项 ②配方时等号两边要同时加相同的数，只给左边加会破坏方程的相等关系 ③加的是一次项系数一半的平方，不要忘记平方，也不要误加一次项系数的平方 【对点训练】4．（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法把一元二次方程的左边化成完全平方式. 根据一元二次方程配方法的步骤解题. （1）移项：先化把常数项移到右边； （2）再化二次项系数为1； （3）配方：左右两边加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式即可得到答案. 【详解】解：（1）对，移项得：， 方程两边同除3，得：， 配方，得：即. 故答案为：. （2）对，移项得：， 方程两边同除5，得：， 配方，得：即. 故答案为： ． 易错点5 利用根的判别式证明根的情况时易出错 易错提醒 ①证明方程总有实数根时，需要分a=0和a≠0两种情况讨论，或者直接证明Δ恒大于等于0 ②证明方程没有实数根时，只需要证明Δ恒小于0，同时说明a≠0即可 ③对于系数含参数的判别式，通常可以通过配方的方式判断其正负性，不需要代入具体数值 【对点训练】5．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解； (3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值； 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）分和两种情况考虑：当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，根的判别式，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论； （2）由方程有两个根，可得出，利用求根公式求出、的值， （3）由和为整数以及k为正整数，即可求出k的值． 【详解】（1）证明：当，即时，原方程为， 解得：； 当，即时， ， ∴方程有实数根． 综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）∵方程有两个整数根， ∴，，且 （3）由（2）可得， ∵整数，k为正整数． ∴或． 【点睛】本题考查了根的判别式以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分和两种情况考虑；（2）找出，． 易错点6 利用根与系数的关系求参数的时忽略有实数根的前提 易错提醒 易错点总结 1. 直接套用韦达定理、，忘记前提 Δ≥0。 2. 算出参数后不验证方程是否真的存在实数根，出现无实数根仍用韦达的错误。 3. 只看式子代数成立，忽略“无根时韦达定理不能用”的规则，造成答案多解、错解。 注意事项总结 1. 韦达定理使用铁律：必须有实数根 Δ≥0。 2. 含参韦达题型解题顺序：先列式求值 → 再用 Δ≥0 筛解。 3. 最终参数取值必须同时满足 a≠0、Δ≥0 双重条件。 【对点训练】6．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 易错点7混淆单循环与双循环问题而致错 易错提醒 ①单循环是每两支队伍之间只比赛一次，总场次公式为，其中n为参赛队伍总数； ②双循环是每两支队伍之间要进行主客场两次比赛，总场次公式为。 ③解题时需要先明确题目要求是单循环还是双循环，再对应选择公式列方程，不要将两者的场次关系混淆， ④列方程后还要结合实际意义检验结果，参赛队伍数量必须是正整数，舍去不符合实际的负根。 【对点训练】7．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据球队总数×每支球队需赛的场数，就可列出方程． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， ∴方程为 故答案为：B． 易错点8 实际应用问题中忽略未知数的实际意义 易错提醒 易错点总结 1. 应用题解出两根，不舍去负数解、不合理解，直接双解作答。 2. 增长率、边长、人数、价格等出现负数、小数、超范围数值，不筛选。 3. 只解方程不验实际，数学成立但现实不成立，造成大题扣分。 注意事项总结 1. 应用题必须两步检验：检验方程、检验实际意义。 2. 长度、人数、增长率、价格：负数一律舍去。 3. 超出题目限定范围（如增长率不超 1、边长超图形范围）的根全部舍去。 4. 最终答案一定符合生活实际，不盲目照搬方程解。 【对点训练】8．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、， 该方程没有实数根，符合题意； C、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、， 该方程有两个相等的实数根，不符合题意． 2．（21-22八年级下·浙江湖州·阶段检测）已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入原方程，构建关于m的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入，得，解得． 3．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 4．（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 5．（2022·河南商丘·模拟预测）下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，逐一验证三个说法的正误即可． 【详解】解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误； ②对于方程，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得， 当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误； 综上，正确的说法有1个． 6．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】A 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 7．（21-22八年级下·浙江湖州·阶段检测）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 【答案】A 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，根据每天销售利润每件盈利销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，； ∵每件盈利不少于25元， ∴，即， ∴． 二、填空题 8．（22-23九年级上·山东临沂·开学考试）方程的解是 _____． 【答案】 ， 【详解】解：原方程移项得， 提取公因式得，即， ∴或， 解得，. 9．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 10．（2022·贵州黔西南·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 【答案】且/且 【分析】需满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个不相等实数根要求根的判别式大于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． 11．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知，，，则______． 【答案】 【分析】和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系即可求得的值． 【详解】解： 由题意得 ，，且， 可知，是一元二次方程 的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得 ． 三、解答题 12．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）解方程： (1) (2)（配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先两边同时乘以2，然后用直接开方法即可解答； （2）先把二次项系数化为1，然后把常数项移到方程右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，最后利用开平方法求解即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 13．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的范围． 【答案】 【分析】利用根的判别式列出关于的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ． 14．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值. 【详解】（1）略 （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1) ，； ； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】 根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解： ， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 知识点01一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：只含有_____未知数，并且未知数的最高次数是____的整式方程叫一元二次方程 2.概念解析一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2. 3.判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高 次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”。 知识点02一元二次方程的一般形式 ：______________，_______ 是核心前提（ 则变成______________方程）； ：______________，可为 0； ：______________，可为 0。 知识点03:一元二次方程的解 1.一元二次方程的解(根)的意义: 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，又因为只含有一个未知数的方程的解 也叫作这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根， 2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量. ax12+bx1+c=0 (a≠0), ax22+bx2+c=0 (a≠0). 知识点04:解一元二次方程 1. 直接开平方法 适用形式： 或 要求： 才有实数根； 无解。 2. 因式分解法（首选最快） 步骤：移项使右边=0 → 左边因式分解 → 令每个因式=0 → 直接得根。 常用：______________、______________、______________、______________。 3. 配方法（必考基础） 步骤：二次项系数化为_______ → 移_______ → ____________________________ → 写成完全平方 → 开方求解。 作用：推导求根公式、求最值、代数式配方。 4. 公式法（万能解法） 通用公式： 步骤：化为一般式→找 、、→算 →代入公式。 知识点05:配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程. 配方法的理论依据是公式a2土2ab+b2=(a土b)2 配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值. 关键是:二次三项式是完全平方式，则常数项是_________一半的平方. 3.配方法的综合应用. 知识点06:一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由_______符号决定． 一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 ①一元二次方程有两个______的实数根； ②一元二次方程有两个_______的实数根； ③一元二次方程______实数根。 3. 应用 ①不解方程判断一元二次方程根的情况； ②根据方程根的情况求字母系数的取值范围。 知识点07:根与系数的关系 1.若二次项系数为1，常用以下关系:x1，x2是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数. 2.若二次项系数不为1，则常用以下关系:,是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，. . 3.常用根与系数的关系解决以下问题: ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根。 ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知系数. ③不解方程求关于根的式子的值，如求，等等. ④判断两根的符号. ⑤求作新方程， ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值。这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，这两个前提条件. 知识点08:由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程， 1、列方程解决实际问题的一般步骤是:审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验 和作答. 2、列一元二次方程解应用题中常见问题: 1. 增长率问题： 1. 面积问题：道路、边框、裁剪图形，利用面积差列方程 1. 销售利润问题：单件利润×销量=总利润 1. 传播、分支问题：病毒传播、树枝分支递增模型 易错点1 求参数时忽略二次方程的定义 易错提醒 易错点总结 1. 含参数方程题目，只考虑根的情况、方程解的情况，忘记保证二次项系数 a≠0。 2. 参数求解后不检验，出现 a=0 仍然保留解，使一元二次方程退化为一次方程，导致整题错误。 3. 题目明确说是“一元二次方程”，却忽略最高次数为 2 的隐藏条件。 注意事项总结 1. 只要题干出现一元二次方程，第一条件必写：二次项系数≠0。 2. 求参数取值范围时，必须同时满足判别式条件且a≠0。 3. 算出参数后代回检验，舍去使二次项系数为 0 的解。 【对点训练】1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 易错点2 直接开平方法解一元二次方程时，出现漏解问题 易错提醒 ①当右边的常数n小于0时，方程没有实数根，不需要再进行开平方操作 ②对等式两边同时开平方，将二次方程转化为两个一元一次方程时，注意右边要带正负号，不要遗漏负号，否则会导致少解，只能得到一个根不符合要求 【对点训练】2．（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 易错点3 公式法解一元二次方程，判断a、b、c的取值时，出现符号错误。 易错提醒 ①先将方程整理为一般形式，准确确定a、b、c的取值，注意符号不要出错  ②代入数值时要带上系数的符号，尤其是b和c为负数时，符号处理要格外小心 【对点训练】3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程． 易错点4 配方法解一元二次方程时易出错 易错提醒 ①二次项系数化为1时，要给方程所有项都除以二次项系数，不能只除含未知数的项 ②配方时等号两边要同时加相同的数，只给左边加会破坏方程的相等关系 ③加的是一次项系数一半的平方，不要忘记平方，也不要误加一次项系数的平方 【对点训练】4．（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 易错点5 利用根的判别式证明根的情况时易出错 易错提醒 ①证明方程总有实数根时，需要分a=0和a≠0两种情况讨论，或者直接证明Δ恒大于等于0 ②证明方程没有实数根时，只需要证明Δ恒小于0，同时说明a≠0即可 ③对于系数含参数的判别式，通常可以通过配方的方式判断其正负性，不需要代入具体数值 【对点训练】5．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解； (3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值； 易错点6 利用根与系数的关系求参数的时忽略有实数根的前提 易错提醒 易错点总结 1. 直接套用韦达定理、，忘记前提 Δ≥0。 2. 算出参数后不验证方程是否真的存在实数根，出现无实数根仍用韦达的错误。 3. 只看式子代数成立，忽略“无根时韦达定理不能用”的规则，造成答案多解、错解。 注意事项总结 1. 韦达定理使用铁律：必须有实数根 Δ≥0。 2. 含参韦达题型解题顺序：先列式求值 → 再用 Δ≥0 筛解。 3. 最终参数取值必须同时满足 a≠0、Δ≥0 双重条件。 【对点训练】6．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 易错点7混淆单循环与双循环问题而致错 易错提醒 ①单循环是每两支队伍之间只比赛一次，总场次公式为，其中n为参赛队伍总数； ②双循环是每两支队伍之间要进行主客场两次比赛，总场次公式为。 ③解题时需要先明确题目要求是单循环还是双循环，再对应选择公式列方程，不要将两者的场次关系混淆， ④列方程后还要结合实际意义检验结果，参赛队伍数量必须是正整数，舍去不符合实际的负根。 【对点训练】7．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（  ） A． B． C． D． 易错点8 实际应用问题中忽略未知数的实际意义 易错提醒 易错点总结 1. 应用题解出两根，不舍去负数解、不合理解，直接双解作答。 2. 增长率、边长、人数、价格等出现负数、小数、超范围数值，不筛选。 3. 只解方程不验实际，数学成立但现实不成立，造成大题扣分。 注意事项总结 1. 应用题必须两步检验：检验方程、检验实际意义。 2. 长度、人数、增长率、价格：负数一律舍去。 3. 超出题目限定范围（如增长率不超 1、边长超图形范围）的根全部舍去。 4. 最终答案一定符合生活实际，不盲目照搬方程解。 【对点训练】8．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·浙江湖州·阶段检测）已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（2022·河南商丘·模拟预测）下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 7．（21-22八年级下·浙江湖州·阶段检测）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 二、填空题 8．（22-23九年级上·山东临沂·开学考试）方程的解是 _____． 9．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 10．（2022·贵州黔西南·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 11．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知，，，则______． 三、解答题 12．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）解方程： (1) (2)（配方法） 13．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的范围． 14．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $