6 21.2.4 一元二次方程根的判别式（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

第21章  一元二次方程

21.2 一元二次方程的解法

4. 一元二次方程根的判别式

学习目标：

1.理解一元二次方程根的判别式取值范围对根的情况的影响（难点）；

2.会运用根的判别式判断根的情况及进行相关计算（重点）.
 

自主学习

一、新知预习

我们在推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的配方过程中，得到

(x＋)2＝.     （*）

只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，得x＋＝±.

①   当_________>0时，方程（*）的右边是一个正数,得=____________.

       原方程有两个不相等的实数根： x1=  __________ ，x2=  ____________  .

②   当__________=0时，方程（*）的右边是0,得=____.

       原方程有两个相等的实数根：x1=x2=   ____  .

③   当_________<0时，方程（*）的右边是一个负数,而对于任何实数x，方程左边______.因此原方程没有实数根.

【自主归纳】 我们可以得到：

对于一元二次方程ax²+bx+c=0：

当________＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当_________= 0时，方程有两个相等的实数根；

当_________＜0时，方程没有实数根.

   

合作探究

一、探究过程

探究点：一元二次方程根的判别式

【概念补充】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判

别式，可用符号“Δ”表示.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.

 

【问题1】不解方程，判断下列方程的根的情况：

（1）

解：Δ=_____,方程___________实数根.

（2）

解：Δ=_____,方程___________实数根.

（3）

解：Δ=_____,方程___________实数根.

【问题2】已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围.

解：因为方程有实数根，所以Δ=____________,解得___________.

故m的取值范围是__________________.

【归纳总结】判断一元二次方程是否有实根，只需计算方程判别式，判断其正负即可.反过

来，若已知根的情况，求字母的取值，根据判别式的正负列方程或不等式求解

即可.

【针对训练】

1. 下列方程中，没有实数根的是                                              （    ）

1.    B.    C.   D.

2. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求整数m的最大值.

 

 

 

 

 

 

二、课堂小结

根的判别式及根的判对根的影响

对于，Δ=_________,当Δ＞0时，方程_________的实数根；当Δ=0，方程_________的实数根；当Δ＞0时，方程_________实数根.

当堂检测

1.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是