6 21.2.4 一元二次方程根的判别式（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根的判别式，引导学生从求根公式推导中的配方过程切入，通过自主预习填空发现判别式取值与根的关系，搭建从求根公式到判别式应用的学习支架。 资料以自主归纳与合作探究为特色，通过填空引导抽象判别式概念，问题解决培养运算与推理能力，当堂检测融入实际问题提升模型意识，结构完整助力自主学习与教学评估，发展数学思维与应用意识。

第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 4. 一元二次方程根的判别式 学习目标： 1.理解一元二次方程根的判别式取值范围对根的情况的影响（难点）； 2.会运用根的判别式判断根的情况及进行相关计算（重点）. 自主学习 一、新知预习 我们在推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的配方过程中，得到 (x＋)2＝. （*） 只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，得x＋＝±. 1 当_________>0时，方程（*）的右边是一个正数,得=____________. 原方程有两个不相等的实数根： x1= __________ ，x2= ____________ . 2 当__________=0时，方程（*）的右边是0,得=____. 原方程有两个相等的实数根：x1=x2= ____ . 3 当_________<0时，方程（*）的右边是一个负数,而对于任何实数x，方程左边______.因此原方程没有实数根. 【自主归纳】 我们可以得到： 对于一元二次方程ax²+bx+c=0： 当________＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当_________= 0时，方程有两个相等的实数根； 当_________＜0时，方程没有实数根. 合作探究 一、探究过程 探究点：一元二次方程根的判别式 【概念补充】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，可用符号“Δ”表示.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根. 【问题1】不解方程，判断下列方程的根的情况： （1） 解：Δ=_____,方程___________实数根. （2） 解：Δ=_____,方程___________实数根. （3） 解：Δ=_____,方程___________实数根. 【问题2】已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围. 解：因为方程有实数根，所以Δ=____________,解得___________. 故m的取值范围是__________________. 【归纳总结】判断一元二次方程是否有实根，只需计算方程判别式，判断其正负即可.反过 来，若已知根的情况，求字母的取值，根据判别式的正负列方程或不等式求解 即可. 【针对训练】 1. 下列方程中，没有实数根的是 （ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求整数m的最大值. 二、课堂小结 根的判别式及根的判对根的影响 对于，Δ=_________,当Δ＞0时，方程_________的实数根；当Δ=0，方程_________的实数根；当Δ＞0时，方程_________实数根. 当堂检测 1.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________. 2关于x的一元二次方程（m≠1）.求证：方程总有两个不相等的实数根. 3.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5.若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长. 参考答案 自主学习 一、新知预习 b²-4ac ± b²-4ac 0 b²-4ac ≥0 【自主归纳】b²-4ac b²-4ac b²-4ac b²-4ac 合作探究 一、探究过程 探究点 【问题1】 （1） 有两个不相等的 （2）0 有两个相等的 （3）-3 没有 【问题2】 4-4m ≥0 m ≤1 m ≤1 【针对训练】 1.D 2. 解：∵一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4-4m＞0，解得m＜1，故整数m的最大值为0. 二、课堂小结 b²-4ac 有两个不相等 有两个相等 没有 当堂检测 1. 2.证明：Δ=（2m）²-4（m-1）（m+1）=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根. 3. 解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.所以b=-10（舍去负值）或b=2.当c=b=2，a=3时，不满足三边关系； 当a=c=5，b=2时，满足三边关系. 所以△ABC 的三边长为5，2，5，其周长为2+5+5=12. 温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：www.youyi100.com(无须注册，直接下载) 温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：www.youyi100.com(无须注册，直接下载) 学科网（北京）股份有限公司 $