第1期：二次根式-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大中考第1~5期 数理括 答案详解 2026~2027学年 初中数学·华东师大中考第1~5期(2026年7月) 第1期2版 4.1)3万，(2)25，(3)0@，42 A 25 20.1认识二次根式 5.1;6.45 基础训练1.A;2.D; 7.(1)4:(2)3:(3)1;(4)2-27 7 3.1)5,(2)-6,(3),(4)m-3: 第1期3版 4.-b;5.-;6.8. 7.(1)由题意，得2a+1≥0， 题号12345 678 1 所以a≥-2时，式子√2a+T有意义. 答案CDBDDCDB (2)由题意，得a-1≥0，且a-3≠0， 9 104；154 所以：1且：时式子写有意义 129.@:13.8；14206 (3)因为a2-2a+3=(a-1)2+2≥0， 所以a取任意实数，式子√a-2a+3都有意义 三15()9；2)52，(3)36 能力提高8.因为a为正数， 16.(1)(45÷6)2=(22)2=8(cm2), 所以23-a<23. 即正方形彩纸的面积为8cm2. 因为√23-a为正整数， (245x26÷而=4x2×√0-45(em. 所以23-a<23. 因为4<23<5， 即正方形彩纸的面积为学5cm 所以√23-a的最大值为4. 17.(1)210. 此时23-a=16,即a=7. (2)因为min2√5，a=a,mim2√5，b}=2√5，所 20.2.1二次根式的乘法；20.2.2积的算术平方根 以a<215<b,即a<√60<b. 基础训练1.A;2.B:3.2;4.-√个-x. 因为49<√60<64，所以7<√60<8. 5.(1)65;(2)22;(3)242;(4)-2xy: 又因为a,b为两个连续的正整数，所以a=7,b=8. (5)6410. 6.由(x-13)(20-x)=x-13·√20-x, 所以27×√任=2万×√停=2√万x号=45 得-13≥0，解得13≤x≤20. 18.(1)由题意，得4-x≥0且x-4≥0，且x+2≠0.所 20-x≥0， 以x=4.所以y>1. 又因为x是有理数，所以x=16. 所以x-T-2x+杠=1x-11- 1-y 1-y 所以存在，√(x-13)(20-x)=√3×4=25. 20.2.3二次根式的除法 =3-Y-1=3+1=4 1-y 基础训练1.D:2.D;3.D; (2)因为a,b,c为△ABC的三边长， 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以a+b+c>0,b+c>a,a+c>b,a+b>c. :1)×(10-1)=48-(10-1)=39(m2): 所以√(a+b+c)7+√(a-b-c)7+√(b-a-c) 39×8×15=4680(元)，所以如果将所种蔬菜全部销售 -(c-b-a)2 =1a+b+cl+la-(b+c)1+l6-(a+ 完，销售收人为4680元. c)I-lc-(a+b)I=a+b+c-a+b+c-b+a+c+c- 能力提高7.(1)因为m=5+万，n=5-√7， a-b 4c. 所以m+n=10,mn=25-7=18. 1 所以m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=102-3×18=46. 19.(1)√4+6 =s石 (2)因为4<7<9，所以2<7<3.所以7<5+7< 1 (2)/n +n+2=（n+)）·√n+2证明如下： 8,-3<-√7<-2，所以2<5-7<3. 所以a=7,b=5-万-2=3-7. 1 m2+2n+1 (n+1)7 /n+n+2=W n+2 =(n+1)· n+2 所以ma+nb=7(5+万)+(3-万)(5-万) 1 =35+77+15-37-5万+7 Nn+2 (3)-7或-13. =57-7. 20.(1)因为3≤a≤7，所以原式=13-al+1a-71= 重点集训营 a-3+7-a=4. (1)26 (2)52-75;(3)14-45; (2)因为(a+1)7+(a-3)7=6,所以1a+11+ 1a-31=6. (49:(52-5:625+2 当a<-1时，1a+11+la-31=-(a+1)+(3-a) 第2期3,4版综合测评卷 =6,解得a=-2; 当-1≤a<3时，1a+11+la-31=(a+1)+(3- A卷 a）=6,此时方程无解； -、题号123456789101112 当a≥3时，1a+11+a-31=(a+1)+(a-3)=6, 答案CDDDCABBC ACD 解得a=4. 二13.7；14名；15.25或而；16.-6 综上所述，a的值为-2或4. 3 (3)因为(a-1)下+(a-6)产=5，所以1a-11+ 三17.(1)原式=√18×2+46÷(55-2)=35 1a-61=5. +46÷42=35+5=45. 当a≤1时，原式=(1-a)+(6-a)=5,解得a=1; (2)因为m=1+3,n=1-5,所以m+n=1+√5+ 当1<a<6时，原式=(a-1)+(6-a)=5,等式恒成 1-W5=2,mn=(1+5)(1-5)=1-3=-2. 立； 所以√m2+n2-4mn=√(m+n)2-6mn = 当a≥6时，原式=(a-1)+(a-6)=5,解得a=6. 综上所述，a的取值范围为1≤a≤6. √22-6×(-2)=√4+12=√16=4. 18.(1)二，52. 第2期2版 (2)若原式的计算结果为6-√2，即口×25-√2÷6 20.3二次根式的加减 =6-√2， 基础训练1.B;2.C;3.√2；4.√2m. 所以▣×23-2=6-2，所以口×23=√6. 1245:21:(6)2+46 以口语安√停：停 6.(1)2×(/72+√/32)=2×(62+42)=202(m), 19.128×√50-2×(3+1)×（√13-1）=80- 所以长方形ABCD的周长是20，√2m 2×12=56(平方米)， (2)由题意得，蔬菜地的面积为：√2×√32-（√10+ 则56×30=1680（元）， 2 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以要铺完整个通道，购买地砖需要花费1680元. 20.x的值为0.理由如下： 根题壶得防万后=35号35瓜=及 a 原武产+√+ 1 所以a=号6=27或a=76=3 所以ah=9或b=号 27.(1)①5+1：②15-2. 所以当x-3>0,即x>3时， 1 1 则，3+亡=宁解得5-3（不符合题意，合去）： 则t (2)原式= 十 十 √(2+1)2√(5+2)2(4+5)2 当x-3<0,即x<3时， 1 1 则，-分解得：0 √/(5+4)2 √（√2026+√2025） 1 1 1 经检验，x=0是分式方程的根. 综上所述，x的值为0. √/2026+√2025 21.(1)因为a= 1 2+1 2-1(2-1)(2+1)） =2+1, =2-1+5-2+4-5+5-4+…+ 所以a-1=√2. 2026-√2025 所以(a-1)2=2. =√2026-1. 所以d2-2a=1. (3)设小正方形的边长为xcm,大正方形的边长为ycm. 所以4a2-8a-3=4(a2-2a)-3=4×1-3=1. 根据题意，得x2=5,y2=32-6√5=（√27-5）2= (2)因为x=5-2,所以x+2=5. (35-5)2 所以(x+2)2=5. 所以x=5,y=35-5. 所以x2+4x=1.所以x2=1-4x. 所以2xy=2×5×(35-5)=615-10, 所以x3+6x2=x(x2+4x）+2x2=x+2x2=x+2(1- 即剩余部分的面积为(6√5-10)cm2. 4x)=2-7x 因为x=5-2,所以1=1 5+2 2(四当a>0时，图为u+音=(-26后+ x5-2(5-2)(5+2) (2)2+2a2=(后-2)2+4， 5+2所以子-=(5+2)-(5-2)=4 a Ja a 所似原式=(2-7)+子-2+7-)=2+7×4 1 所以当石：会即a=2时a+台的最小竹为4： 当a<0时，因为a+4=-(-a-4), =30. a a B卷 a 四22：23.7或9,24平m；52V个或2 五26(1)架据题这，得店方4=2 所(-。=-(。产-44 所以数对(25,4的一对对称数对”为兮，2)与2行》 所以当/a=2,即a=-2时，a+4的最大值为 (2)因为数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同， 所以=5： -4. w33 故填4，-4. 1 解得y=3 (2)当a>0时，因为30+4a+5=3a+4+三=3(a+ a a 一3 初中数学·华东师大中考第1~5期 +4=3(6-√层+4+2压， 5(m==1: 所以当石=√原即a=时，女如+5的最小值 1 3 (2)x1=x=-2 a 是4+215. (3)x1=5+√/2T,x2=5-√/2T: (3)设SAAo为a, 4四 3 3 因为Sa0D:SAA0B=OD:OB=SAcoD:SAcOB, 所以2：a=Sam3,所以S=合 第3期3版 所以四边形ABCD的面积为： 题号12345678 2+3+a+0 =(a+6)+5 答案DCBDBCBA a 二、9.x2-8x-4=0:10.m≥0；11.-2；12.-1： 6)2+5+26. =(后-√a 13.6或15或12；14.-3 4 因为a>0, 5,即a=石时，四边形ABCD面积的最 三，110%=是4=-2： 3 所以当√a= (2)x1=-7,x2=1; 小值为5+26. (3=1+9=1- 2 第3期2版 21 21.1认识一元二次方程 基础训练1.D;2.A;3.m≠1； 16.(1)③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方， 4.(20-2x)(15-2x)=252;5.-2. 而右边没有加. 6.填表如下： (2)2x2-8x-18=0. 移项、二次项系数化为1，得x2-4x=9. 方程 一般形式 二次项系数 次项系数常数项 2x2=7x 2x2-7x=0 -7 0 配方，得x2-4x+4=9+4. 5-3x2=6x 3x2+6x-5=0 3 6 -5 (x-2)2=13. x+1)(x-3》 x2-5x-7=0 -5 -7 由此可得x-2=±√13， =3x+4 所以x1=2+√3,2=2-√3. 21.2.1直接开平方法和因式分解法 17.(1)将x=1代入原方程，得(a-1)-2+a2+1=0. 基础训练1.C;2.B;3.D;4.-2. 整理，得a2+a-2=0.解得a1-1,a2=-2. 50454:2=33 29 因为a-1≠0，所以a≠1.所以a的值为-2. 13 (2)将a=-2代入原方程，得-3x2-2x+5=0,即x2+ (3)=2,6=14；(4)x=5=5. 21.2.2配方法 子 31 基础训练1.C;2.C;3.-12. 配方，得(x+宁》P=开方得x+日=±亭 4.(1)x=3+ 2 2； 所以该方程的解为x=1,。=一3 5 1,6 16 (2)x=-5+5=-5-5 18.(1)一元二次方程2x2+x-1=0是“C方程”.理由如 (3)无实数根 下： 21.2.3公式法 解2x2+x-1=0,得x1=0.5,x2=-1. 因为c=-1,所以一元二次方程2x2+x-1=0是“C方 基础训练 1.C;2.C;3.B:4.1+5 2 程”. -4 初中数学·华东师大中考第1~5期 (2)因为关于x的一元二次方程4x2+bx+c=0(c≠0) 方法二：如图2，用4个长都是(x+2),宽都是x的矩形拼 是“C方程”，所以4c2+bc+c=0. 成如图2所示的正方形， 又因为c≠0，所以b=-4c-1. 因为x2+2x=4,所以x(x+2)=4. 所以-4c-1=2+6=(6+号-子 所以一个矩形的面积是4. 所以(2x+2)2=4×4+22=20. 因为(6+2》≥0，所以-4e-1的最小值为-子 所以(x+1)2=5. 19.(1)因为(x+5)(x+9)=5, 所以该方程的一个正根为√5-1. 所以[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, 第4期2版 所以(x+7)2-22=5, 21.2.4一元二次方程根的判别式 所以(x+7)2=9, 所以x+7=3或x+7=-3, 基础训练 1A:2.D:3月：4=7吉6 6: 解得x1=-4,x2=-10. 5.没有. 所以上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为7,2，-4， 能力提高6.（1)证明：4=b62-4ac=(k-8)2-4×2 -10. ×(-4k)=(k+8)2≥0， 故填7；2；-4；-10. 所以该方程总有两个实数根。 (2)因为(x-5)(x+7)=12, (2)解方程，得 所以[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, 所以(x+1)2-36=12, x=-(k-8）±k+8_8-片±k+81 2×2 4 所以(x+1)2=48, 所以x=4,x=-2 所以x+1=4√5或x+1=-45, 解得x=-1+45,x2=-1-45. 因为该方程有-个根小于3，所以-令<3解得：>-6 20.(1)该方程的其中一个正根是线段AD的长.理由如 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 下： 基础训练1.C;2.A;3.4;4.11. 在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC2+AC= 5.因为关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+2= AB, 0有两个实数根， 所以（气）2+62=（冬+AD)户 所以4=[-(2m-1)]2-4(m2+2）=4m2-4m+1- 整理，得AD+a·AD=b2. 4m-8=-4m-7≥0.所以m≤-子 所以形如x2+ax=b2的方程的其中一个正根是线段AD 由根与系数的关系，得x1+x2=2m-1,x1·x2=m2+2. 的长 所以x2+x22=(x1+x2)2-2x1·x3=(2m-1)2-2(m2 (2)2x+10,6I-5. (3)因为x2+2x-4=0,所以x2+2x=4. +2）=27.解得m1=5,m2=-3. 又因为m≤-子，所以m=-3 7 方法一：如图1，作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC- 2,BC=1,在斜边AB上截取BD=BC. 21.3实践与探索 在Rt△ABC中，AB=√AC+BC=4+I=5, 基础训练1.A;2.C;3.1;4.6;5.0.4. 则该方程的一个正根为AD的长，即5-1. 6.设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 x+2 根据题意，得1+x+x(1+x)=225 x+2 解得1=14，x2=-16(不符合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人 7.设这4个数中最小的数为y,则最大的数为y+8. x+2 图1 图2 根据题意，得y(y+8)=105. 初中数学·华东师大中考第1~5期 整理，得y2+8y-105=0. -2m+13=(m-1)2+12>0, 解得y=7或y=-15(不符合题意，舍去). 所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根. 答：这4个数中最小的数为7. (2)设AB,CB的长分别为x1,x2, 能力提高8.(1)(20+2x),(40-x). 则x1,x2是方程x2-(m+3)x+2m-1=0的两个实数根. (2)根据题意，得(40-x)(20+2x)=1050. 根据根与系数的关系，得x1+x2=m+3,x2=2m-1. 整理，得2-30x+125=0. 因为△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC=35, 解得x1=25,x2=5. 所以x12+x22=AC2=35. 答：每件卫衣降价5元或25元时，平均每天可盈利1050 又因为x12+x22=(x+2)2-2x1x2, 元 所以(m+3)2-2(2m-1)=35. (3)不能实现.理由如下： 解得m=-6或m=4. 根据题意，得(40-x)(20+2.x)=1500. 因为AB,CB是△ABC的边长，所以x1>0,x2>0. 整理，得x2-30x+350=0. 所以x1+2=m+3>0,且xx2=2m-1>0. 因为4=(-30)2-4×1×350=-500<0， 1 解得m>2 所以此方程无实数根.。 所以每天的盈利不可能达到1500元，故店长的愿望不能 所以m=4, 即当m=4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形 实现 第4期3版 18.(1)1;3. (2)猜想：=5n-1+n-2 题号12345678 答案CAD C AD CB 证明：根据根的定义，得a2--1=0, 两边都乘以-2，得a”-a1-a-2=0①， =9.-6；10.10:11.k>-且6≠0：126； 同理，B-B-1-B-2=0②， 13.15;14.(5-2). ①+②，得(a”+B）-(a-1+B-）-(a-2+B-2)=0, 三、15.(1)根据题意，得4=b2-4ac=4-4m≥0，解得 因为s.=0+B81=a-+B-,82=-2+B2, m≤1. 所以8m-8-1-5n-2=0,即3n=5a-1+3m-2 故m的取值范围为m≤1. 19.(1)①(50-2x). (2)根据题意，得x+=-么=2，=上=m, ②根据题意，得(50-2x)x=92. a 整理，得x2-25x+46=0. 因为2x1+2x2+x12=0, 解得x1=2,x2=23. 所以2×2+m=0, 当x=2时，50-2x=50-2×2=46>10,不符合题意， 解得m=-4. 舍去； 16.(1)设进馆人次的月平均增长率为x 当x=23时，50-2x=50-2×23=4<10,符合题意. 根据题意，得7500(1+x)2=10800. 答：AB的长为23米. 解得5=20%品三-号（不符合题意，合去）小 (2)养蜂场的面积不能达到230平方米.理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到230平方米. 答：进馆人次的月平均增长率为20% (2)不能.理由如下： 因为AB长为x米，所以BC长为48+2+10-2红米=(30 2 由(1)得，第四个月的进馆人数为： -x)米. 10800×(1+20%)=12960>12000, 根据题意，得(30-x)x=230. 所以该博物馆不能接纳第四个月的进馆人次， 整理，得x2-30x+230=0. 17.(1)证明：4=62-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m 因为4=(-30)2-4×1×230=-20<0， -1)=(m+3)2-4(2m-1)=m2+6m+9-8m+4=m2 所以原方程没有实数根. 6 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以假设不正确，即养蜂场的面积不能达到230平方米.形 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E,图略.所以∠PEQ= 第5期综合测评卷 90° A卷 由题意，得AP=CQ=tcm,所以BE=CQ=tcm,所以PE 题号123456789101112 =18-2t1cm. 答案CBCBDDAC CBAB 在Rt△PQE中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=52 二、13.2x+x-4=0;14.k≤1且k≠7；1512； 解得t=2或t=6. 16.-2026. 所以P,Q两点从出发开始到2秒或6秒时，点P和点Q间 的距离是5cm. 三、17.x1=-2+23,x2=-2-25.第一步变形的依据 是等式的基本性质1. (2)连结PD,当点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形时 分三种情况： 18.设方程的另一个根为x2 ①当PD=PQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图1所示， 因为方程2x2-4x+3m=0的一个根为1-2， 所以DF=QF, 所以1-万+=-1-)·6=受 因为AP=CQ=tcm,所以QF=DF=AP=tcm, 因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=8cm, 所以与=反+1，m=子 所以CD=DF+FQ+CQ=3tcm=8cm, 即方程的另一个根为，万+1，m的值为-号 解得L=冬，即当P,Q两点从出发开始到氵秒时，点P, 3 19.设应邀请的俱乐部个数为n,则比赛总场数为 Q,D组成的三角形是等腰三角形； n(n-1) 2 根据题意，得n,)=21. 2 解得n=7或n=-6(不符合题意，舍去). 答：应邀请的俱乐部个数为7. 20.(1)解方程x2=2x,得x1=0,x2=2. 图1 图2 图3 因为x1≤x2,所以P(0,2) ②当QP=QD时，过点P作PF⊥CD于点F,如图2所示， 因为AP=CQ=tcm, (2)设方程x2-(m+√2)x-3=0的两根为x1和x2(x1 所以QP=QD=CD-CQ=(8-t)cm,DF=AP=tcm, ≤x2),则P(x1,2) 所以QF=CD-CQ-DF=(8-2t)cm, 因为点P在直线y=-x上， 在Rt△PQF中，由勾股定理，得(8-2)2+32=(8-t)2, 所以x1+x32=0,即m+√2=0，解得m=-√2. 解得1=16±148-8±37 21.(1)1和4. 6 39 (2)因为☐ABCD为正方形，所以方程x2-(2m+1)x+2m ③当DP=DQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图3所示， =0有两个相等的实数根。 因为AP=CQ=tcm, 所以4=[-(2m+1)]2-4×2m=0. 所以DP=QD=CD-CQ=(8-t)cm, 解得m1=m=2 1 在Rt△ADP中，由勾股定理，得+32=(8-t)2, 解得：=瓷 所以m的值为子 (3)因为口ABCD的一条对角线的长为m-3,所以(m- 综上所述，当P,Q两点从出发开始到3瓦秒或号秒 3 3)2-(2m+1)(m-3)+2m=0. 攻需秒或8+秒时，点P0,D组成的三角形是等极三角 解得m=4或m=-3. 当m=-3时，m-3=-3-3=-6<0,故此情况不符合 初中数学·华东师大中考第1~5期 题意，舍去 (3)解ax+bx+2=0,得x=二b±√F-8a 所以m的值为4. 2a B卷 因为该方程是“邻根方程”， 四、22.1或5；23.m=1或m>2;24.1,25; 所以-6+-8a-b-8a:1 2a 2a 25或-号 整理，得b2=a2+8a. 五、26.(1)设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月 因为t=12a-b2-4, 平均增长率为x 所以t=12a-(a2+8a)-4=-a2+4a-4=-(a-2)2. 由题意，得3(1+x)2=3.63. 因为a>0,所以t的最大值为0. 解得x=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去). 28.(1)设剪去的小正方形的边长为xcm 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1600. 率为10%. 解得x1=10,x2=60(60>40不符合题意，舍去). (2)设每架无人机的价格下调a万元，则下调后每架无人 答：剪去的正方形的边长为10cm. 机的售价为(2.5-a)万元. (2)不能.理由如下： 根据题意，设该收纳盒的高为acm, 由题意，得(2.5-1.5-a)(80+a05)=45 则收纳盒底面的长为100，-24cm=(50-a)cm,宽为(40 整理，得4a2+12a-7=0. 2 解得a1=0.5,a2=-3.5(不符合题意，舍去). -2a)cm. 所以2.5-0.5=2（万元） 根据题意，得(50-a)(40-2a)=608. 答：下调后每架无人机的售价为2万元 解得a1=12,a2=58(58>50不符合题意，舍去). 27.(1)解x2+3x+2=0,得x1=-2,x=-1. 所以50-a=38,40-2a=16, 因为-1-（-2)=1，所以该方程是“邻根方程”。 所以收纳盒的高为12cm,长为38cm,宽为16cm, (2)解x2-(m+2)x+2m=0,得x1=m,2=2. 因为35<38（玩具车长小于收纳盒长），但13>12（玩具 因为该方程是“邻根方程”， 车高大于收纳盒高)，17>16（玩具车宽大于收纳盒宽），所以 所以m=2-1=1或m=2+1=3. 玩具车不能完全立着放人该收纳盒并盖上盖子. 所以m的值为1或3. —8—4 素养·拓展 数理极 思维天地 闪耀在二次根式中的数学思想 铺助线周周练 ©河南艾静姝 一、数形结合思想助力二次根式化简 解：因为x2-3x+1=0, 本栏目聚焦中考几何核心题型，精选真题 例1实数a,b,c在数轴上对应点的位置 以x-3+=0,即x+ 与模拟试题，围绕图形性质变换、逻辑推理、综 =3 如图1所示，化简(a)2+√(a-b-c)7-lb 合证明等高频考点展开专项练习，以帮助同学 -u|的结果是 ( ,们梳理解题思路，突破难点，稳步提升解题素 所以原式= x+2-2=7. 养，从容备战中考. a 1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90° 图1 变式训练2：已知a-b=-2,ab= A.a-2b-c B.c-a 3,求 ∠BAC=60°，AC=2cm,DE是△ABC的中位 C.-a+2b+c D.a-c 代数式√a+b-2ab+a2+2+ab的值 线，将△BDE绕点E逆时针旋转得△B'ED',线 解：由题意，得a>0,c<b<0,Ic|>1al 段B'D'与AB相交于点F,当B'D'与△ABC某 三、分类讨论思想细解二次根式求值 >1b1. 条边平行时，BF的长为 所以a-b-c>0,b-a<0. 例3已知y=√2-4x+4-x+3,当x 所以(a)2+√(a-b-c)7-1b-al 分别取1,2,3，…，2024时，所对应的y值的总和 =a+(a-b-c)-(a-b) 是 =a+a-b-c-a+b a-c. 解：y=√2-4x+4-x+3=√(x-2) 故选D -x+3=1x-21-x+3. 图1 图2 变式训练1：实数a在数轴上的位置如图2 2.如图2，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 当x=1时，y=3; 所示，则化简√a+4a+4-√(a-5)7的结 120°，AD⊥BC.点E是DC边上一点，将线段AE 果为 当x≥2时，y=x-2-x+3=1,即当x分 绕点A逆时针旋转60°得到线段AF,连结CF和 别取2,3，…，2024时，y的值均为1 BF,取线段BF的中点H,连结AH. -3a-2 -1 0 综上所述，当x分别取1,2,3，…，2024时， (1)依据题意，补全图形： 图2 二、整体思想巧解二次根式求值 所对应的y值的总和是：3+2023×1=2026 (2)求证：CE=2AH; (3)连结EH,直接用等式表示线段AH,EH 故填2026. 例2 已知x2-3x+1=0,试求x2+2 和AC之间的数量关系， 的值 变式训练3：化简：3x-2) 3x-2 (参考答案见中缝) 十十十十= 十十 题型空间 (3)利用(2)中的规律计算： 二 次根式题型面面观 √1-x1-号)x1-62xx1- 25 6 ⊙山东郝文静 (2)根据题意知，第n个等式为： 一、开放型 所以Sac=√p(p-a)(p-b)(p-c) 2n+1 n2 例1如果一个无理数a与8的积是一个 =√9×(9-5)×(9-6)×(9-7) (n+1)2 - 有理数，写出a的一个值是 =6√6. 解：因为⑧=22，(2)2=2，所以a是化 n+了证明如下： 故填6√6. 简成最简二次根式后含有√2的数 小结：此类题型注重知识的应用.解题时， 左边=N《n+1) /(n+1)22n+1 (n+1)2 故填2（答案不唯一）. 特别要注意实际情况 小结：此类题不仅能巩固知识，形成技能， 三、规律型 = n2 而且能启发思维，培养能力.解题时，既要考虑问 例3观察下列等式： V(n+1)2 题及明确的条件，又要考虑隐藏的条件 第1个等式： 二、实际应用型 1 例2秦九韶公式是我国南宋数学家秦九 n 韶曾经提出的利用三角形的三边求面积的计算 第2个等式： n41 公式，如果一个三角形的三边长分别是a,b,c, 4 因为n为正整数， 记p=0++C,那么三角形的面积为S= =右边， 2 所以左边=十 第3个等式： 所以原等式成立. √p(p-a)(p-b)(p-c),这个公式在西方也 9 被称为海伦公式.如图，在△ABC中，∠A,∠B, (3)原式= 3 4 ∠C所对的边分别为a,b,c.若a=5,b=6,c= 第4个等式： 7,则△ABC的面积为 31 16 ×…×1-256 5 .2 =2×3× 4×…x 15 16 (1)按照你所发现的规律，请写出第5个等 式： 二6 解：根据题意，得p=a+b+c=9。 (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请 小结：此类题型考查归纳总结能力.解题时，要 2 用含n的式子表示第n个等式，并证明. 专注细节，重视变形和转化，多方位地分析观察 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 数理极 2026年7月2日·星期四 初中数学 报纸发行质量反馈电话： 期总第1197期 华东师大 0351-5271248 中考 辅助线周周线 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN140707/八F) 邮发代号：21-207 参考答案 cm或3cm 专题辅导日 一、a·型式子 提示：当BD' BC时，过点D'作DN⊥BC 的计算方法 于点N,过点F作FM 于点M:当B'D'∥AC时 聚焦三次根式的双重非负性 当a,b都不是平方 数或者a,b相乘可以约 分两种情况，当B'D'位于 DE左侧时，过点E作EO 分时，使用法则a·√B AB于点O,当B'D'位于DE ○四川 马知远 右侧时，设BC与B'D'交于 =√ab计算；当a,b中 点P,再进一步求解即可 -、二次根式的被开方数的非负性 的取值范围是 有平方因数时，则可以先 江苏 2.(1)补全图形略 (2)证明：延长B 例1若/x-2有意义，则点A(2-x,x) A.x≤2 B.x=2 利用√=1al化简，然 根式的 点G,使得AG=BA,连接 C.x>2 D.x≥2 后再求积 棉 除运算直 FG,图略.因为∠BAC 120°，∠EAF=60°，所 A.第二象限或x轴上 解：由题意，得√(x-2)7=2-x≥0. 例1 计算：⑧x ∠GAC=60°=∠EAF. B.第二象限或y轴上 LEAC ∠FAG. 为 解得x≤2. AB=AC,所以AC=AG C.第四象限或x轴上 故选A 转AE=AF D.第四象限或y轴上 解： 原式 AEC≌△AFG(SAS) 所 例4如果一个三角形的三边长分别为1， 以CE=FG.因为点H为 解：由题意，得x-2≥0.解得x≥2. /8× =4=2. BF的中点 BA =AG. ,所以 AH为△BFG的中位线所 所以2-x≤0. k,3,则化简7- 4k-36k+81-√(2k-3) 以FG=2AH.所以CE= 所以点A(2-x,x)在第二象限或y轴上. 的结果是 例2计算：18×12 2AH. 故选B. A.1 B.-5 解：原式=√9×2×√4×3 (3)AH+EH AC 连接EH,EF,CG,图 例2已知x,y都是实数，且y=√x-3+ C.13 D.19-4h =32×23=66 路.因为∠GAC=60°，AC 所以 △AGC为等边 3-x+4,则x+y= 解：由三角形的三边关系，得 二、型式子的计算方法 角形.所以∠B √b 同理 解：因为y=√x-3+√3-x+4, 3-1<k<3+1,即2<k<4 CG. AEF为等边三角形 所以-3≥0解得x=3. 所以2k-9<0,2k-3>0. 当6是4的约数时，可用兵=√ 进行计 以AE=EF,∠AEF=609 头为AB=AC./BAG l3-x≥0. 所以原式=7-√(2k-9)2-(2k-3) 算；当b不是a的约数且a,b都不是平方数时， 120° 所 ∠ABG ∠ACB=30°.由(2) 所以y=x-3+√3-x+4=4. =7-12k-91-12k-3 可以先类比分数的基本性质用仁=石·6变 △AFG≌△AEC, 所以x+y=3+4=7. =7-(9-2k)-(2k-3) ∠AGF= ∠ACE=3 天 ∠BGC=60° 所 故填7. =7-9+2k-2k+3 形 ,然后利用(a)2=a进行化简. FGC=30°= ∠A 因为GF=GF,所以△AGH 二、二次根式的非负性 3 1 ≌△CGF(SAS). A 例3 若二次根式√(x-2)2 =2-x,则x 故选A 例3 计算：√品÷√写 CF.又因为 AF 十+十十十十十十 =EF.过点 3 EC 点K,延长 AH 品味方法 解：原式= BC W20÷5 =90°，CE 由(2)得CE=2AH, 过关斩将破化简 3 3 05=√ = AH=EK.由(2)得AH △BFG的中位线，所以AH FG. 所 以 BAJ 例4 BGF=30.天为AB ©山西盛伊诺 计算：32 AC,∠BAC=120°，AD⊥ BC. 所以 ∠BAD 在化简二次根式时，很多同学不仔细审题 (2)2 ∠BAC=60°，∠ADE= A 是带分数，不能直接进行开方运算， 解：原式=35×5：6 往往一拿到题目就开方，造成无法化简或化简 √3×3 0.所以∠JAD= ∠BAD 应先将带分数化为假分数后，再根据二次根式的 ∠BAJ=30°.所以 错误现介绍几种二次根式的化简方法，供同学 三、二次根式的乘除混合运算 AJD=60°.所以∠JAC 们参考. 性质进行化简. 90°.设∠DAE=a,则 =5 在进行二次根式的乘除混合运算时，有括 一、先化成因数的乘积，再开方 解：(1)0.03= 3 3 ∠HAE=30°+Q,∠AED W100-/00 10 号的，先算括号里的，然后按照从左到右的顺序 =90°-a.所以∠FEK 当被开方数是整数时，应先化成几个因数 180°-∠AEF-∠AED 1 93 进行，注意结果要写成最简二次根式的形式 180°-60°-(90°-a) 的乘积，再开方 0°+ a.所以∠HAE (2)W2 2 例1化简√28的结果是 例5 FEK 在△AHE和 三、先化成平方形式，再开方 计克：vs35×√ EKE 中 AH EK, A.27 B.7 C.214D.2 当被开方数是单项式时，应先将被开方数 ∠HAE=∠KEF,所以 分析：将被开方数28写成平方数4与7的乘 写成含有平方的形式，再开方. 解：原式=45÷3厅×得 LAE EF. △AHE≌△EKF(SAS).所 积，再将平方数4开方即可. 例3若xy>0,则√-xy可化简为 4 以∠AHE=∠EKF=90° ×523 又因为∠HE= ∠ABC 解：28=√4×7=27 6 9 ∠BAJ=60°，所以∠HEJ 故选A. 分析：先判断x,y的正负，再根据二次根式 =30.所以=2E 二、先化成分数形式，再开方 的性质进行化简. 本周主讲 所以HE=√JE2-H 当被开方数是小数或带分数时，应先将其 解：因为y>0, 5HJ.同理：AC=5AJ.所 20.1认识二次根式 化成分数或假分数的形式，再开方. 所以x,y同号，且均不为0 以AC=√5AJ=3(AH+ HJ)=√3AH+HE,即3AH 例2化简： 又因为√x有意义， 20.2二次根式的乘除 EH AC. 所以-x2y>0. 主要内容：本期需了解二次根式、最简二 (1)0.03; 所以x<0,y<0. 次根式的概念，了解二次根式的乘、除运算法 所以原式=√辰·√y=-x 则，会对二次根式进行简单的乘除运算以及 分析：(1)0.03是小数，在化简时应先将其化 化简求值 为分数，然后再根据二次根式的性质进行化简； 故填-x√一y 2 素养·专练 数理极 20.2.1二次根式的乘法；20.2.2积的算术平方根 20.2.3二次根式的除法 跟踪训练 垦础训练 垦础训练 1.计算12×3= ( 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是 20.1认识二次根式 A.6 B.4√5 C.32D.25 () 屋础训练 2.若5=m,3=n,则下列表示√75正确 A.L B. C.√0.3D./3 的是 () 1.下列各式中，一定是二次根式的是( B.5 A.5m B.5n C.5mn D.5 mn A.2 之能使华式臣= 成立的x的取 x-7 3.若8×m=4,则n的值为 C.x+2 D.-3 值范围是 () 2.若二次根式√(3-a)=a-3,则a的取 4E(:-)√于权号外的式移人根 A.x≠7 B.x≥0且x≠7 值范围是 ) 号内，其结果为」 C.0≤x<7 D.x>7 A.a<3 B.a>3 3.下列计算正确的是 () 5.计算： C.a≤3 D.a≥3 (1)√/36×5； A.36=6 3.计算： 6 (1)√-5)= ； (2)-(6)2= 及而V好g ； c得g-3迈 2)厘× D.25÷√12=1 (4)√/(3-π)2= 4.化简： 4.若数a,b在数轴上的对应点的位置如图所 (1)63= 示，则√辰-√(a-b)= (2)9= 54321012 5.若y=√3-x+√2x-6+5,则点P(x, (3)25×46: y)在第 象限. 6.若(m)2=5,√n=3,mn<0,则m-n )器 5.若最简二次根式/2a+5与√4a+36相 7.a是怎样的实数时，下列各式有意义？ 1 等，则ab= (1)2a+1; (4)V6y2·2()<0): 6.一个三角形的面积为12，其中一边长为 25,则该边上的高为」 (结果化为最简二 次根式). 7.计算： (2)a1 (1)32 a-3i (5)30×400.5×4 22 (3)√a2-2a+3. (2)5×5 5 6.是否存在这样的整数x,使它同时满足以下 两个条件： 能刀提高 条件一：√(x-13)(20-)=√x-13. B3+5×有 20-x; 8.若a为正数，且√/23-a为正整数，求 条件二：√x的值是有理数 /23-a的最大值及此时a的值. 若存在，求出√(x-13)(20-x)的值；若不 存在，请说明理由. (4)28-2 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 18.(10分)(1)若x,y都是实数，且满足y> 同步 达 检测题（一 4-x+x-4 x+2 +1,试化简：√x-1)下- 2-2y+1 1-y 【检测范围：20.1~20.2】 (2)已知a,b,c为△ABC的三边长，试化简： (满分：120分) 大于1的整数，则n的最小值与最大值的和是 √(a+b+c) + √(a-b-c)' 一、精心选一选（每小题4分，共32分） (b-a-c)F-√(c-b-a)F. 14.若√m-2026+12025-ml=m,则m 题号12 34 567 8 20252= 答案 三、耐心解一解（本大题共6小题，共64分） 15.(12分)计算： 1.下列式子中，一定是二次根式的是( (1)46÷66; A.√x B.√I+x C.√2x2+1 D./-x2-1 19.(10分)观察下列各式： 2.等式“m÷√27=√3”中，m的值为 (2)丽×√厚2 ①-2 A.3 B.43 C.25 D.9 3.若要使代数式金+3有意义，则x的值可 x-3 以是 ( @6+写4g A.3 B.-3 C.-5 D.-7 (1)请观察规律，并写出第④个等式： 4.下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( (3)√24÷（√12÷√27）. (2)请用含n(n≥1)的式子写出你猜想的规 A.8 B..5 C. 律 ,并证明，。 D.√30 5.下列等式正确的是 (3)小丽写出一个等式，√m-2m+1+元 A.√-2)7=-2 =10√任a>0),右该专式符合上达规律，则m- B.45×25=85 16.(10分)山西剪纸是最古老的传统民间艺n的值为 C.√-2)÷(-3)=√2÷√3 术之一，剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以 n得 透空的感觉和艺术享受.张萌现用一张长方形彩 纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案，已知长方 6.已知ab>0,化简二次根式√-a26的正确形彩纸的长为45cm,宽为26cm. 结果是 (1)若长方形彩纸的长是正方形彩纸边长的 A.ab2 B.ab2√J-b √6倍，求正方形彩纸的面积； C.-ab2 D.-ab万 (2)若长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积 20.(12分)【阅读理解】阅读下列解题过程： 7.若5=a,√/4=b,则0.063= 例：若代数式√(2-a)了+√(a-4)的值 ( )的√⑥倍，求正方形彩纸的面积 B.3a6 是2，求a的取值范围 10 C.100 n 解：原式=1a-2|+la-41. 当a<2时，原式=(2-a)+(4-a)=6 8.已知√x(3-x)=E·√3-x成立，则化 2a=2,解得a=2(不符合题意，舍去)； 简/(x+1)2+|x-4「的结果是 ( 当2≤a<4时，原式=(a-2)+(4-a)= A.-3 B.5 2,等式恒成立； C.2x-3 D.3-2x 当a≥4时，原式=(a-2)+(a-4)=2a 二、细心填一填（每小题4分，共24分） -6=2,解得a=4. 9化简6于 17.(10分)对于实数m,n,定义minm,n}表 综上所述，a的取值范围是2≤a≤4. 示m,n两个数中的较小值.例如：min3,-5}= 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法， 10.若√12与最简二次根式√x-1的乘积是 -5,min{8,8}=8. 请你根据上述理解，解答下列问题： 有理数，则x的值为 (1)填空：min2√10，√52}= (1)当3≤a≤7时，化简：√(3-a)7+ 11.当x= 时，√5x-1+4的值最 √(a-7); 小，最小值是 (2)已知min215,a}=a,min2/15,b} 3 =215,且a和b为两个连续的正整数，求2√7× (2)若√(a+1了+√(a-3=6,求a的值； 12.计算0.7万÷ 的结果是 ,这 个数落在数轴（如图）上的 段 D的值 (3)若等式√(a-1)下+√(a-6)7=5成 立，求a的取值范围， ② 0 2 13.已知n为正整数，若√189m是整数，则根 据√/189m=√3×3×3×7m=3√3×7m可知 m有最小信3×7=21设a为正数，若四是 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)