第2期：二次根式 复习与测试-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大中考第1~5期 数理括 答案详解 2026~2027学年 初中数学·华东师大中考第1~5期(2026年7月) 第1期2版 4.1)3万，(2)25，(3)0@，42 A 25 20.1认识二次根式 5.1;6.45 基础训练1.A;2.D; 7.(1)4:(2)3:(3)1;(4)2-27 7 3.1)5,(2)-6,(3),(4)m-3: 第1期3版 4.-b;5.-;6.8. 7.(1)由题意，得2a+1≥0， 题号12345 678 1 所以a≥-2时，式子√2a+T有意义. 答案CDBDDCDB (2)由题意，得a-1≥0，且a-3≠0， 9 104；154 所以：1且：时式子写有意义 129.@:13.8；14206 (3)因为a2-2a+3=(a-1)2+2≥0， 所以a取任意实数，式子√a-2a+3都有意义 三15()9；2)52，(3)36 能力提高8.因为a为正数， 16.(1)(45÷6)2=(22)2=8(cm2), 所以23-a<23. 即正方形彩纸的面积为8cm2. 因为√23-a为正整数， (245x26÷而=4x2×√0-45(em. 所以23-a<23. 因为4<23<5， 即正方形彩纸的面积为学5cm 所以√23-a的最大值为4. 17.(1)210. 此时23-a=16,即a=7. (2)因为min2√5，a=a,mim2√5，b}=2√5，所 20.2.1二次根式的乘法；20.2.2积的算术平方根 以a<215<b,即a<√60<b. 基础训练1.A;2.B:3.2;4.-√个-x. 因为49<√60<64，所以7<√60<8. 5.(1)65;(2)22;(3)242;(4)-2xy: 又因为a,b为两个连续的正整数，所以a=7,b=8. (5)6410. 6.由(x-13)(20-x)=x-13·√20-x, 所以27×√任=2万×√停=2√万x号=45 得-13≥0，解得13≤x≤20. 18.(1)由题意，得4-x≥0且x-4≥0，且x+2≠0.所 20-x≥0， 以x=4.所以y>1. 又因为x是有理数，所以x=16. 所以x-T-2x+杠=1x-11- 1-y 1-y 所以存在，√(x-13)(20-x)=√3×4=25. 20.2.3二次根式的除法 =3-Y-1=3+1=4 1-y 基础训练1.D:2.D;3.D; (2)因为a,b,c为△ABC的三边长， 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以a+b+c>0,b+c>a,a+c>b,a+b>c. :1)×(10-1)=48-(10-1)=39(m2): 所以√(a+b+c)7+√(a-b-c)7+√(b-a-c) 39×8×15=4680(元)，所以如果将所种蔬菜全部销售 -(c-b-a)2 =1a+b+cl+la-(b+c)1+l6-(a+ 完，销售收人为4680元. c)I-lc-(a+b)I=a+b+c-a+b+c-b+a+c+c- 能力提高7.(1)因为m=5+万，n=5-√7， a-b 4c. 所以m+n=10,mn=25-7=18. 1 所以m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=102-3×18=46. 19.(1)√4+6 =s石 (2)因为4<7<9，所以2<7<3.所以7<5+7< 1 (2)/n +n+2=（n+)）·√n+2证明如下： 8,-3<-√7<-2，所以2<5-7<3. 所以a=7,b=5-万-2=3-7. 1 m2+2n+1 (n+1)7 /n+n+2=W n+2 =(n+1)· n+2 所以ma+nb=7(5+万)+(3-万)(5-万) 1 =35+77+15-37-5万+7 Nn+2 (3)-7或-13. =57-7. 20.(1)因为3≤a≤7，所以原式=13-al+1a-71= 重点集训营 a-3+7-a=4. (1)26 (2)52-75;(3)14-45; (2)因为(a+1)7+(a-3)7=6,所以1a+11+ 1a-31=6. (49:(52-5:625+2 当a<-1时，1a+11+la-31=-(a+1)+(3-a) 第2期3,4版综合测评卷 =6,解得a=-2; 当-1≤a<3时，1a+11+la-31=(a+1)+(3- A卷 a）=6,此时方程无解； -、题号123456789101112 当a≥3时，1a+11+a-31=(a+1)+(a-3)=6, 答案CDDDCABBC ACD 解得a=4. 二13.7；14名；15.25或而；16.-6 综上所述，a的值为-2或4. 3 (3)因为(a-1)下+(a-6)产=5，所以1a-11+ 三17.(1)原式=√18×2+46÷(55-2)=35 1a-61=5. +46÷42=35+5=45. 当a≤1时，原式=(1-a)+(6-a)=5,解得a=1; (2)因为m=1+3,n=1-5,所以m+n=1+√5+ 当1<a<6时，原式=(a-1)+(6-a)=5,等式恒成 1-W5=2,mn=(1+5)(1-5)=1-3=-2. 立； 所以√m2+n2-4mn=√(m+n)2-6mn = 当a≥6时，原式=(a-1)+(a-6)=5,解得a=6. 综上所述，a的取值范围为1≤a≤6. √22-6×(-2)=√4+12=√16=4. 18.(1)二，52. 第2期2版 (2)若原式的计算结果为6-√2，即口×25-√2÷6 20.3二次根式的加减 =6-√2， 基础训练1.B;2.C;3.√2；4.√2m. 所以▣×23-2=6-2，所以口×23=√6. 1245:21:(6)2+46 以口语安√停：停 6.(1)2×(/72+√/32)=2×(62+42)=202(m), 19.128×√50-2×(3+1)×（√13-1）=80- 所以长方形ABCD的周长是20，√2m 2×12=56(平方米)， (2)由题意得，蔬菜地的面积为：√2×√32-（√10+ 则56×30=1680（元）， 2 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以要铺完整个通道，购买地砖需要花费1680元. 20.x的值为0.理由如下： 根题壶得防万后=35号35瓜=及 a 原武产+√+ 1 所以a=号6=27或a=76=3 所以ah=9或b=号 27.(1)①5+1：②15-2. 所以当x-3>0,即x>3时， 1 1 则，3+亡=宁解得5-3（不符合题意，合去）： 则t (2)原式= 十 十 √(2+1)2√(5+2)2(4+5)2 当x-3<0,即x<3时， 1 1 则，-分解得：0 √/(5+4)2 √（√2026+√2025） 1 1 1 经检验，x=0是分式方程的根. 综上所述，x的值为0. √/2026+√2025 21.(1)因为a= 1 2+1 2-1(2-1)(2+1)） =2+1, =2-1+5-2+4-5+5-4+…+ 所以a-1=√2. 2026-√2025 所以(a-1)2=2. =√2026-1. 所以d2-2a=1. (3)设小正方形的边长为xcm,大正方形的边长为ycm. 所以4a2-8a-3=4(a2-2a)-3=4×1-3=1. 根据题意，得x2=5,y2=32-6√5=（√27-5）2= (2)因为x=5-2,所以x+2=5. (35-5)2 所以(x+2)2=5. 所以x=5,y=35-5. 所以x2+4x=1.所以x2=1-4x. 所以2xy=2×5×(35-5)=615-10, 所以x3+6x2=x(x2+4x）+2x2=x+2x2=x+2(1- 即剩余部分的面积为(6√5-10)cm2. 4x)=2-7x 因为x=5-2,所以1=1 5+2 2(四当a>0时，图为u+音=(-26后+ x5-2(5-2)(5+2) (2)2+2a2=(后-2)2+4， 5+2所以子-=(5+2)-(5-2)=4 a Ja a 所似原式=(2-7)+子-2+7-)=2+7×4 1 所以当石：会即a=2时a+台的最小竹为4： 当a<0时，因为a+4=-(-a-4), =30. a a B卷 a 四22：23.7或9,24平m；52V个或2 五26(1)架据题这，得店方4=2 所(-。=-(。产-44 所以数对(25,4的一对对称数对”为兮，2)与2行》 所以当/a=2,即a=-2时，a+4的最大值为 (2)因为数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同， 所以=5： -4. w33 故填4，-4. 1 解得y=3 (2)当a>0时，因为30+4a+5=3a+4+三=3(a+ a a 一3 初中数学·华东师大中考第1~5期 +4=3(6-√层+4+2压， 5(m==1: 所以当石=√原即a=时，女如+5的最小值 1 3 (2)x1=x=-2 a 是4+215. (3)x1=5+√/2T,x2=5-√/2T: (3)设SAAo为a, 4四 3 3 因为Sa0D:SAA0B=OD:OB=SAcoD:SAcOB, 所以2：a=Sam3,所以S=合 第3期3版 所以四边形ABCD的面积为： 题号12345678 2+3+a+0 =(a+6)+5 答案DCBDBCBA a 二、9.x2-8x-4=0:10.m≥0；11.-2；12.-1： 6)2+5+26. =(后-√a 13.6或15或12；14.-3 4 因为a>0, 5,即a=石时，四边形ABCD面积的最 三，110%=是4=-2： 3 所以当√a= (2)x1=-7,x2=1; 小值为5+26. (3=1+9=1- 2 第3期2版 21 21.1认识一元二次方程 基础训练1.D;2.A;3.m≠1； 16.(1)③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方， 4.(20-2x)(15-2x)=252;5.-2. 而右边没有加. 6.填表如下： (2)2x2-8x-18=0. 移项、二次项系数化为1，得x2-4x=9. 方程 一般形式 二次项系数 次项系数常数项 2x2=7x 2x2-7x=0 -7 0 配方，得x2-4x+4=9+4. 5-3x2=6x 3x2+6x-5=0 3 6 -5 (x-2)2=13. x+1)(x-3》 x2-5x-7=0 -5 -7 由此可得x-2=±√13， =3x+4 所以x1=2+√3,2=2-√3. 21.2.1直接开平方法和因式分解法 17.(1)将x=1代入原方程，得(a-1)-2+a2+1=0. 基础训练1.C;2.B;3.D;4.-2. 整理，得a2+a-2=0.解得a1-1,a2=-2. 50454:2=33 29 因为a-1≠0，所以a≠1.所以a的值为-2. 13 (2)将a=-2代入原方程，得-3x2-2x+5=0,即x2+ (3)=2,6=14；(4)x=5=5. 21.2.2配方法 子 31 基础训练1.C;2.C;3.-12. 配方，得(x+宁》P=开方得x+日=±亭 4.(1)x=3+ 2 2； 所以该方程的解为x=1,。=一3 5 1,6 16 (2)x=-5+5=-5-5 18.(1)一元二次方程2x2+x-1=0是“C方程”.理由如 (3)无实数根 下： 21.2.3公式法 解2x2+x-1=0,得x1=0.5,x2=-1. 因为c=-1,所以一元二次方程2x2+x-1=0是“C方 基础训练 1.C;2.C;3.B:4.1+5 2 程”. -4 初中数学·华东师大中考第1~5期 (2)因为关于x的一元二次方程4x2+bx+c=0(c≠0) 方法二：如图2，用4个长都是(x+2),宽都是x的矩形拼 是“C方程”，所以4c2+bc+c=0. 成如图2所示的正方形， 又因为c≠0，所以b=-4c-1. 因为x2+2x=4,所以x(x+2)=4. 所以-4c-1=2+6=(6+号-子 所以一个矩形的面积是4. 所以(2x+2)2=4×4+22=20. 因为(6+2》≥0，所以-4e-1的最小值为-子 所以(x+1)2=5. 19.(1)因为(x+5)(x+9)=5, 所以该方程的一个正根为√5-1. 所以[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, 第4期2版 所以(x+7)2-22=5, 21.2.4一元二次方程根的判别式 所以(x+7)2=9, 所以x+7=3或x+7=-3, 基础训练 1A:2.D:3月：4=7吉6 6: 解得x1=-4,x2=-10. 5.没有. 所以上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为7,2，-4， 能力提高6.（1)证明：4=b62-4ac=(k-8)2-4×2 -10. ×(-4k)=(k+8)2≥0， 故填7；2；-4；-10. 所以该方程总有两个实数根。 (2)因为(x-5)(x+7)=12, (2)解方程，得 所以[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, 所以(x+1)2-36=12, x=-(k-8）±k+8_8-片±k+81 2×2 4 所以(x+1)2=48, 所以x=4,x=-2 所以x+1=4√5或x+1=-45, 解得x=-1+45,x2=-1-45. 因为该方程有-个根小于3，所以-令<3解得：>-6 20.(1)该方程的其中一个正根是线段AD的长.理由如 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 下： 基础训练1.C;2.A;3.4;4.11. 在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC2+AC= 5.因为关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+2= AB, 0有两个实数根， 所以（气）2+62=（冬+AD)户 所以4=[-(2m-1)]2-4(m2+2）=4m2-4m+1- 整理，得AD+a·AD=b2. 4m-8=-4m-7≥0.所以m≤-子 所以形如x2+ax=b2的方程的其中一个正根是线段AD 由根与系数的关系，得x1+x2=2m-1,x1·x2=m2+2. 的长 所以x2+x22=(x1+x2)2-2x1·x3=(2m-1)2-2(m2 (2)2x+10,6I-5. (3)因为x2+2x-4=0,所以x2+2x=4. +2）=27.解得m1=5,m2=-3. 又因为m≤-子，所以m=-3 7 方法一：如图1，作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC- 2,BC=1,在斜边AB上截取BD=BC. 21.3实践与探索 在Rt△ABC中，AB=√AC+BC=4+I=5, 基础训练1.A;2.C;3.1;4.6;5.0.4. 则该方程的一个正根为AD的长，即5-1. 6.设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 x+2 根据题意，得1+x+x(1+x)=225 x+2 解得1=14，x2=-16(不符合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了14个人 7.设这4个数中最小的数为y,则最大的数为y+8. x+2 图1 图2 根据题意，得y(y+8)=105. 初中数学·华东师大中考第1~5期 整理，得y2+8y-105=0. -2m+13=(m-1)2+12>0, 解得y=7或y=-15(不符合题意，舍去). 所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根. 答：这4个数中最小的数为7. (2)设AB,CB的长分别为x1,x2, 能力提高8.(1)(20+2x),(40-x). 则x1,x2是方程x2-(m+3)x+2m-1=0的两个实数根. (2)根据题意，得(40-x)(20+2x)=1050. 根据根与系数的关系，得x1+x2=m+3,x2=2m-1. 整理，得2-30x+125=0. 因为△ABC是以AC为斜边的直角三角形，AC=35, 解得x1=25,x2=5. 所以x12+x22=AC2=35. 答：每件卫衣降价5元或25元时，平均每天可盈利1050 又因为x12+x22=(x+2)2-2x1x2, 元 所以(m+3)2-2(2m-1)=35. (3)不能实现.理由如下： 解得m=-6或m=4. 根据题意，得(40-x)(20+2.x)=1500. 因为AB,CB是△ABC的边长，所以x1>0,x2>0. 整理，得x2-30x+350=0. 所以x1+2=m+3>0,且xx2=2m-1>0. 因为4=(-30)2-4×1×350=-500<0， 1 解得m>2 所以此方程无实数根.。 所以每天的盈利不可能达到1500元，故店长的愿望不能 所以m=4, 即当m=4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形 实现 第4期3版 18.(1)1;3. (2)猜想：=5n-1+n-2 题号12345678 答案CAD C AD CB 证明：根据根的定义，得a2--1=0, 两边都乘以-2，得a”-a1-a-2=0①， =9.-6；10.10:11.k>-且6≠0：126； 同理，B-B-1-B-2=0②， 13.15;14.(5-2). ①+②，得(a”+B）-(a-1+B-）-(a-2+B-2)=0, 三、15.(1)根据题意，得4=b2-4ac=4-4m≥0，解得 因为s.=0+B81=a-+B-,82=-2+B2, m≤1. 所以8m-8-1-5n-2=0,即3n=5a-1+3m-2 故m的取值范围为m≤1. 19.(1)①(50-2x). (2)根据题意，得x+=-么=2，=上=m, ②根据题意，得(50-2x)x=92. a 整理，得x2-25x+46=0. 因为2x1+2x2+x12=0, 解得x1=2,x2=23. 所以2×2+m=0, 当x=2时，50-2x=50-2×2=46>10,不符合题意， 解得m=-4. 舍去； 16.(1)设进馆人次的月平均增长率为x 当x=23时，50-2x=50-2×23=4<10,符合题意. 根据题意，得7500(1+x)2=10800. 答：AB的长为23米. 解得5=20%品三-号（不符合题意，合去）小 (2)养蜂场的面积不能达到230平方米.理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到230平方米. 答：进馆人次的月平均增长率为20% (2)不能.理由如下： 因为AB长为x米，所以BC长为48+2+10-2红米=(30 2 由(1)得，第四个月的进馆人数为： -x)米. 10800×(1+20%)=12960>12000, 根据题意，得(30-x)x=230. 所以该博物馆不能接纳第四个月的进馆人次， 整理，得x2-30x+230=0. 17.(1)证明：4=62-4ac=[-(m+3)]2-4×1×(2m 因为4=(-30)2-4×1×230=-20<0， -1)=(m+3)2-4(2m-1)=m2+6m+9-8m+4=m2 所以原方程没有实数根. 6 初中数学·华东师大中考第1~5期 所以假设不正确，即养蜂场的面积不能达到230平方米.形 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E,图略.所以∠PEQ= 第5期综合测评卷 90° A卷 由题意，得AP=CQ=tcm,所以BE=CQ=tcm,所以PE 题号123456789101112 =18-2t1cm. 答案CBCBDDAC CBAB 在Rt△PQE中，由勾股定理，得(8-2t)2+32=52 二、13.2x+x-4=0;14.k≤1且k≠7；1512； 解得t=2或t=6. 16.-2026. 所以P,Q两点从出发开始到2秒或6秒时，点P和点Q间 的距离是5cm. 三、17.x1=-2+23,x2=-2-25.第一步变形的依据 是等式的基本性质1. (2)连结PD,当点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形时 分三种情况： 18.设方程的另一个根为x2 ①当PD=PQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图1所示， 因为方程2x2-4x+3m=0的一个根为1-2， 所以DF=QF, 所以1-万+=-1-)·6=受 因为AP=CQ=tcm,所以QF=DF=AP=tcm, 因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=8cm, 所以与=反+1，m=子 所以CD=DF+FQ+CQ=3tcm=8cm, 即方程的另一个根为，万+1，m的值为-号 解得L=冬，即当P,Q两点从出发开始到氵秒时，点P, 3 19.设应邀请的俱乐部个数为n,则比赛总场数为 Q,D组成的三角形是等腰三角形； n(n-1) 2 根据题意，得n,)=21. 2 解得n=7或n=-6(不符合题意，舍去). 答：应邀请的俱乐部个数为7. 20.(1)解方程x2=2x,得x1=0,x2=2. 图1 图2 图3 因为x1≤x2,所以P(0,2) ②当QP=QD时，过点P作PF⊥CD于点F,如图2所示， 因为AP=CQ=tcm, (2)设方程x2-(m+√2)x-3=0的两根为x1和x2(x1 所以QP=QD=CD-CQ=(8-t)cm,DF=AP=tcm, ≤x2),则P(x1,2) 所以QF=CD-CQ-DF=(8-2t)cm, 因为点P在直线y=-x上， 在Rt△PQF中，由勾股定理，得(8-2)2+32=(8-t)2, 所以x1+x32=0,即m+√2=0，解得m=-√2. 解得1=16±148-8±37 21.(1)1和4. 6 39 (2)因为☐ABCD为正方形，所以方程x2-(2m+1)x+2m ③当DP=DQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图3所示， =0有两个相等的实数根。 因为AP=CQ=tcm, 所以4=[-(2m+1)]2-4×2m=0. 所以DP=QD=CD-CQ=(8-t)cm, 解得m1=m=2 1 在Rt△ADP中，由勾股定理，得+32=(8-t)2, 解得：=瓷 所以m的值为子 (3)因为口ABCD的一条对角线的长为m-3,所以(m- 综上所述，当P,Q两点从出发开始到3瓦秒或号秒 3 3)2-(2m+1)(m-3)+2m=0. 攻需秒或8+秒时，点P0,D组成的三角形是等极三角 解得m=4或m=-3. 当m=-3时，m-3=-3-3=-6<0,故此情况不符合 初中数学·华东师大中考第1~5期 题意，舍去 (3)解ax+bx+2=0,得x=二b±√F-8a 所以m的值为4. 2a B卷 因为该方程是“邻根方程”， 四、22.1或5；23.m=1或m>2;24.1,25; 所以-6+-8a-b-8a:1 2a 2a 25或-号 整理，得b2=a2+8a. 五、26.(1)设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月 因为t=12a-b2-4, 平均增长率为x 所以t=12a-(a2+8a)-4=-a2+4a-4=-(a-2)2. 由题意，得3(1+x)2=3.63. 因为a>0,所以t的最大值为0. 解得x=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意，舍去). 28.(1)设剪去的小正方形的边长为xcm 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 根据题意，得(100-2x)(40-2x)=1600. 率为10%. 解得x1=10,x2=60(60>40不符合题意，舍去). (2)设每架无人机的价格下调a万元，则下调后每架无人 答：剪去的正方形的边长为10cm. 机的售价为(2.5-a)万元. (2)不能.理由如下： 根据题意，设该收纳盒的高为acm, 由题意，得(2.5-1.5-a)(80+a05)=45 则收纳盒底面的长为100，-24cm=(50-a)cm,宽为(40 整理，得4a2+12a-7=0. 2 解得a1=0.5,a2=-3.5(不符合题意，舍去). -2a)cm. 所以2.5-0.5=2（万元） 根据题意，得(50-a)(40-2a)=608. 答：下调后每架无人机的售价为2万元 解得a1=12,a2=58(58>50不符合题意，舍去). 27.(1)解x2+3x+2=0,得x1=-2,x=-1. 所以50-a=38,40-2a=16, 因为-1-（-2)=1，所以该方程是“邻根方程”。 所以收纳盒的高为12cm,长为38cm,宽为16cm, (2)解x2-(m+2)x+2m=0,得x1=m,2=2. 因为35<38（玩具车长小于收纳盒长），但13>12（玩具 因为该方程是“邻根方程”， 车高大于收纳盒高)，17>16（玩具车宽大于收纳盒宽），所以 所以m=2-1=1或m=2+1=3. 玩具车不能完全立着放人该收纳盒并盖上盖子. 所以m的值为1或3. —8—20.(9分)小明在写作业时，不慎将墨水滴在作业上，有一道题 23.如图4，在△ABC中，AB=AC=10,BC= 1 1 1 (2)计算： 的数据被沾染后看不清了，题日为：当x=口时，（√产）+ 2I0,点D在边AC上，CD=3.若点E在边AB上， √3+22√5+26 √7+2√12 且CE=BD=37,则AE的长是 1 1 …+ 24.如图5-①是一张等腰直角三角形纸片，AC /9+220 /4051+2√/2025×2026 √x2-6x+9 ,小明查看答案发现该题的结果为}，请 =BC=125cm,现要求按照图5-②的方法裁剪 【拓展提升】 你求出x的值，并说明理由， 几条宽度都为√27cm的长方形纸条，用这些纸条为 (3)如图6，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM 图4 一幅正方形美术作品E℉GH镶边（如图5-③，纸条不重叠且刚好用 和BEFG,若两个小正方形的面积分别为5cm2和(32-6√15)cm2, 完)，则正方形美术作品的面积为 求剩余部分的面积 鼇 图5 数 报 21.(10分)小明在解决甸题“已知a2十后求2-8+1 25.已知√3x+2-5x-4=3-x,则V3x+2+5x-4的 报 初 值为 的值”时，他是这样分析与解答的： 五、耐心解一解（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 28.阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念， 1 2-5 =2-5,所以a-2= 26.我们规定用(a,b)表示一对数对，给出如下定义：记m= 数 因为a= 2+万(2+5)(2-5 同学们可以发现以下结果： 学 ,n=√b(a>0,b>0),将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一 -5.所以(a-2)2=3.所以a2-4a=-1.所以2a2-8a+1=2(a2 当a>0时，因为a+ 1=(a)2-2a·2+(2)2+2a. 东 Ja Ja 师 -4a)+1=2×(-1)+1=-1. 大 请你根据小明的分析过程，解答如下问题： 对“对称数对”，如(4,1)的一对“对称数对”为(3,1)与(1,2)。 ↓=(a- )+2,所以当a=二即a=1时，a+。的最小值 师 a (1)求数对(25,4)的一对“对称数对”； (1)若a= 1,求4n2-8a-3的值： 为2. 综 2-1 (2)若数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的 请利用以上结果解决下面的问题： (2)若x=5-2,求x+62+2的值 值； ;当a<0时，a+ 评 (3)若数对(a,b)的一对“对称数对”的一个数对是(5,35)， (1)当a>0时，a+4的最小值为 合测评 卷 求ab的值. 4 a 的最大值为 卷 (2)当4>0时，求30+4a+5的最小值 (3)如图7，已知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若 △AOD的面积为2，△BOC的面积为3，求四边形ABCD面积的最小 值 27.阅读并回答问题：为了化简√a±2万，我们尝试找到两个 数m,n,使m2+n2=a且mn=√b,则回将a±26化为m2+n2± 2mn,即(m±n)2,从而可化简√a±2万 B卷（共60分） 例如：5+26=3+2+26=(5)2+(2)2+22×5= 四、细心填一填（本大题共4小题，每小题6分，共24分） (5+2)2,所以√5+2=√(5+2)下=5+2. 2已知+7>0.且y=3.则y√+任- 【类比归纳】 (1)填空： ①√4+25 = ;②√19-415= (参考答案见下期) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 数淫极 2026年7月9日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 2 期总第1198期 华东师大 0351-5271248 中考 【上接2版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-207 17.(1)210 名师点晴 (2)27× b 强化四种意识解题如虎添翼 本周主讲 20.3二次根式的加减 =42. 第20章整章复习 18.(1)由题 广东 焦文静 主要内容：本期需了解同类二次根式的定 意，得4-x≥0且x 一、化简意识 减，有括号的要先算括号里面的 一定要有顺序 义及二次根式加、减运算法则，会进行简单的 -4≥0，且x+2≠ 例1计算：27-√18-(3-√8). 意识，切不可盲目进行 四则运算，并对整章内容进行复习回顾 0.所以x=4.所以y 解：原式=33-32-5+22 三、运算律意识 >1. 在进行二次根式的运算 =25-2. 所 以 例3计算（√27-√2）×、 仁的结果是 巧思州 点评：在二次根式的混合运算中，一般要先将 时，如果能运用整式运算中 √(x-1) 题中的二次根式化成最简二次根式，被开方数相同 的相关技巧，可使运算简便， -2y+1 的二次根式要及时合并，这样可简化运算过程 解：原式= V27×3- 2×3 现举例加以分析，供同学们 二、顺序意识 N 1-y 参考 Iy-1 =何-4 技巧一、运用乘法公式 x-11- 例2计第：×√+√ =3-2=1 例1计算： 3 3 故填1. 次根式 =3+1 解：原式=23- /18x 1 点评：整式运算中的运算律和运算性质在 (4-25)(5+1)2 6+√3x3 二次根式的运算中仍然适用， 解：原式=(4-23)(4 的 (2)由题意，得 =25-5+ 3 四、分母有理化意识 +25)=4. a+b+c>0b+c> 45 当分母含有二次根式时，可运用平方法或 例2计算（√3+1）（√6 1,a+c>b,a+b> = 3 平方差公式进行分母有理化，化繁为简，让计算 √2)的结果是 点评：二次根式的运算顺序与实数的运算 更高效准确.详见本期1版《详解“分母有理 所以 顺序一样，都是先算乘方，再算乘除，最后算加 化”》一文 解：原式=(3+1)× /(a+b+c)2 十十十十十十十十十十十十 [2×(3-1)]=2× /(a-b-c) 专题辅导 [(5+1)(3-1)]=22 (b-a-c)2 故填22， √(e-b-a)7 详解“分母有理化” 技巧二、逆用幂的运算法则 a+b+cl +l a- ©四川 吴江敏 例3计算：(3-√0)23×(3+√/0)24 (b+c)1+16-(a 一、分母有理化的定义 0)时，我们通常会利用平方差公式(x+y)(x +c)I-c-(a+ 分母有理化，简单来说，就是通过特定的运 y)=x2-y2来进行分母有理化.如： 解：原式=[(3-√0)(3+√0)]23×(3+ b)I=a+b+c-a 算，将分母中的根式（无理数形式）转化为有理 m+元 10) +b+c-b+a+c+ a-b =4c 数的过程例如，在计算 时，由于分母是无理 a(m-√n) am-a/n =(-1)23×(3+√10) 9 (m+√n)(m-√n)m-n (1) =-3-√0 数2，无论是进行加减乘除等基本运算，还是进 例2观察下列式子： 1 =5 6 一步分析式子的性质，都不太直观而经过分母 6 1 2-1 故填-3-√0. 有理化，将其转化为号后，分母变成了有理数2， =2-1; 2+1(2+1)(2-1) 技巧三、运用因式分解 (2) 1 5-2 例4已知a=2+5,b=2-√5，则代数 1 计算和理解都会变得更加容易 =5-2; n+ n+2 =(n+ 5+2 (5+2)(5-2) 式a2b+ab2的值为 二、分母有理化的基本方法 1 1 5-2 解：因为a=2+5,b=2-5,所以a2b+ ）· √n+2证明 1.分母为单项根式 =5-2;… 5+2 (5+2)(5-2) ab2=ab(a+b)=(2+5)(2-5)(2+5+ 如下： 当分母是单项根式，如后(a,6为实数，6> 试求： √5)=(-1)×4=-4. 1 1 √n+n+2 0)的形式时，我们可以利用分数的基本性质，给 3+23的值； (1) 故填-4. 分子分母同时乘以万来实现分母有理化如： 1 例5若x=2-1,则x2+2x+1= n2+2n+1 (2) (n为正整数)的值； n+2 n+1+n /n+1)2 b b·B 1 1 万++5+万+4+后 (3) 解：当x=2-1时，原式=(x+1)2=(2 n+2 =（n+ 例1 请你用两种方法计算：石 -1+1)2=(2)2=2. 100+V9的值. 故填2. n+2 解：方法一： 15 15 (3)-7或 5 5 解：(1)原式= 3-22 =3-22 :牛刀小武 13. (3+22)(3-22) 20.略 方法二： 15 ×5555 5×5 5 1.已知a=7-1,则代数式(a-1)2+6(a (2)原式= n+I-元 (全文完) 2.分母为两项之和或差（含根式） (n+1+n)(n+1-n) 1)+9的值是 当分母是两项根式之和或差的形式，如 n+1-√n. 2.已知a=22-3,b=22+3. (3)原式=2-1+5-2+…+√00 或 (a,m,n为实数，m≠n且n> (1)求a2-b2的值； m n m -n 9=10-1=9. (2)求a2+b2-ab的值. 2 素养专练 数理极 能刀提高 第1期2版参考答案 跟踪训练 7.已知m=5+万，n=5-万 20.1认识二次根式 (1)求m2-mn+n2的值； 基础训练1.A;2.D: 20.3二次根式的加减 (2)若m的整数部分是a,n的小数部分是b, 求ma+nb的值. 3.(105,(2)-6,(3)3,(4)m-3: 堡四训练 4.-b;5.-;6.8. 1.计算5-23= ( 7.(1)由题意，得2a+1≥0， A.√5B.-5 C.-1 D.-2 所以a≥-分时，式子a+T有意义. 2.下列各式中，与2是同类二次根式的是 (2)由题意，得a-1≥0，且a-3≠0， () A.4 B.√6 C.8 D.20 以0≥1里a3时，式子写有能义 3.计算6 的结果是」 (3)因为a2-2a+3=(a-1)2+2≥0， 12-3 重点集训喜 所以a取任意实数，式子√-2a+3都有意 4.定义新运算：么⑧4=6+巨，则l8m 义. c a2+c2 计算： 能力提高8.a=7. ⑧8m(m>0)的运算结果是 1 √5 (1)√5×80÷6： 20.2.1二次根式的乘法；20.2.2积的算术平方根 5.计算： 基础训练1.A;2.B; (1)25-5+V5 1 3.2；4.-个-x. 5.(1)65；(2)22;(3)242; (4)-2xy;(5)64√0. (2)√32-22-(27-2)： 6.由√/(x-13)(20-x)=√x-13 /20-x, (2(原-)÷s: 得-1B≥0，解得13≤4≤20. 120-x≥0， 又因为是有理数，所以x=16. 所以存在，√(x-13)(20-x)=√/3×4= 25 (3)75÷5+50.2+(-5+3)2; (3)(6+2)2+(6+2)(6-2). 20.2.3二次根式的除法 基础训练1.D;2.D;3.D; 4.(1)37, (2)25,(3)502@ 4 (4)20 25 6.如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD, (42厘+3√号-号丽： 5.1;6.45 长方形空地的长BC为√72m,宽AB为√32m,现 要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即 7.(1)4；(2)3；(3)1；(4)2-27 7 图中阴影部分)，其余部分种植蔬菜，长方形小鱼 塘的长为（√10+1）m,宽为(10-1)m. 第1期3版参考答案 (1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为 最简二次根式) (5)5+-√20： 一、 (2)若市场上某种蔬菜售价为8元/千克， 3-5 题号12345678 农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克， 答案CD BD D C D B 如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少 元？ 二、9.37 ；10.4:1.54: 12.5,②：13.78；14.2026 (6)27-2÷2+(3-5)(1+). ；(2)352 三15.(1)6 4；(3)36. 16.(1)正方形彩纸的面积为8cm2. 数理报社试题研究中心 （2)正方形纸的面积为5cm (参考答案见下期) (下转1,4版中缝) A.+ B. C.× D.÷ (2)已知m=1+5,n=1-5,求代数式√m2+n2-4mn的 《二次根式》综合测评卷 9.实数a,b在数轴上的位置如图1所示，则化简(b)2+ 值 √(b-a)7-la1的结果是 ( ) ◆数理报社试题研究中心 (考试用时：120分钟 满分：160分) -2 -1 0 1 图1 题号 二 三 四 五 总分 A.2a B.26+2a C.2b D.26-2a 得分 10.若等腰三角形的两边长分别为√2和√50，则这个三角形 的周长为 ( 18.(8分)计算：“口×25-√2÷6”，其中“口”部分印刷 A卷 (共100分) A.25+102 B.45+52 不清楚 C.45+102 D.45+52或25+102 (1)若“口”代表的数是6，如下是嘉淇的运算过程，他是从第 、精心选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 11.按如图2所示的程序计算，若开始输入的n的值为5，则最 步开始出错的，正确的结果应该是 题号123456789101112 后输出的结果是 ( 6×25-12÷6 答案 =28-2÷6…第一步 1.下列式子中，一定是二次根式的是 输入n 计算n(n+1) 输出结果 =(2-1)18-12÷√6…第二步 A.-2 B.x C.√+1 D.8 图2 =6÷6…第三步 A.25 B.27 初 =1.…第四步 2.使3，：有意义的x的取值范围是 数理报·初中 中 ( C.15+73 D.25+3 x-2 (2)若原式的计算结果为6-√2，求“口”代表的数. A.x≠2 B.x≤3 12.已知-组数据为0,2,2,6,22，√10,23，…，若第10个 华 C.x<3 D.x≤3且x≠2 数据用字母a表示，则下列各数中，与(3+a)的积为有理数的是 东 3.下列二次根式中，是最简二次根式的是 师 A.22-1 B.25+2 A.1.2 R层 C.√27 D.√10 数学·华东师大中 C.5-1 D.2-1 考 4.若√m×√5=52，则m的值为 ( 二、细心填一填（本大题共4小题，每小题5分，共20分） A.2 19.(9分)如图3，某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD, 考综 B.10 C.2 D.10 13.若最简二次根式√x-2与25是同类二次根式，则x的值 5.下列计算结果正确的是 ( 长BC为√28米，宽AB为√50米，现要在长方形绿地中修建两个形 A.√(-3)2=-3 B.5-2=5 状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长 14.若5=a,N5=b,用含a,b的式子表示√0.6为 评 卷 15.已知a,b是Rt△ABC的两边长，且满足2a2-4a+4=2 为（√3+1）米，宽为（√3-1）米.除去修建花坛的地方，其他地 卷 C.2×10=25 D◆5-2 5√B-3,则Rt△ABC的第三边的长为」 方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺 6.设x,y为实数，且y=4+√5-x+√x-5,则x+y的值 完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 16.我们可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无 是 理数，如：对于√3+5-√3-5，设x=√3+5-√3-5，易 A.3 B.±3 C.9 D.±9 7.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛 知√3+5>√3-5，故x>0,由x2=(√3+5-√3-5)2 物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= =3+5+3-5-2√(3+5)(3-5)=2，解得x=2,即 √？（不考海风建的影的》.设从(m)高商空越物到落电所需时间为 √3+5-√3-5=2.根据以上方法，化简√6-35 √6+35的结果为 41,从3a(m高空抛物到落地所需时间为2，则2的值为 三、耐心解一解（本大题共5小题，共44分） A停 B.5 C.5 D.26 17.(本题两个小题，每个小题4分，共8分) 5 8.若使算式32○⑧的运算结果最小，则“○”表示的运算符 )计算：丽×，√+%÷(0-瓦). 号是