1 21.1 认识一元二次方程（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

第21章  一元二次方程

21.1 认识一元二次方程

学习目标：

1.了解一元二次方程的相关概念（重点）；

2.会根据实际问题列出一元二次方程（难点）.
 

自主学习

一、新知预习

绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

解： 设绿地的宽为x 米，则它的长为_________米，

根据题意，可得方程：______________.

整理，得__________________________.

  观察上述得出的方程，这个方程的特点是：

（1）只含有一个未知数，都是关于x的         方程；

（2）x的最高次数都为_________.  

  像这样的方程我们称之为一元二次方程.

  一元二次方程的一般形式可以归纳为________________.   
           

合作探究

一、探究过程

探究点1：一元二次方程的定义及一般形式

问题1  关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？

解：关于x的方程的二次项系数为_________,

因为方程为一元二次方程，所以其二次项系数不为零.

所以___________________,即_________________.

综上所述，关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程的条件是________.

问题2  将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．

(1)2x2＋3x＝x2－3x－2；     (2)(2x－1)(3x＋2)＝(x－2)2－1；   (3)4x2＝3x－＋1.

 

 

 

 

 

 

【归纳总结】利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化为一般形式，

其步骤是去括号、去分母、移项、合并同类项.

 

【针对训练】

1.若关于x的方程(k－3)x|k|-1－x－2＝0是一元二次方程，则k=_____.   

2.已知关于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x－9＝0.

(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．

(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．

 

 

 

 

 

 

探究点2：一元二次方程的解

问题  若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，求6m+2n的值.

 

 

 

 

 

【归纳总结】已知解求关于待定系数的代数式的值，将解代入方程，求得关于待定系数的等

量关系，通常运用整体代入的思想求解.

【针对训练】

已知一元二次方程ax2－8x＋b＝0的两根为x1＝3，x2＝－，求a，b的值．

 

 

 

 

 

探究点3：列一元二次方程

问题  列方程：某公司一月份营业额为10万元，三月份营业额为12.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

 

 

 

 

 

 

 

【归纳总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤如下：