1 21.1 认识一元二次方程（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“一元二次方程”概念，通过绿地面积问题导入，引导学生从实际情境抽象方程，对比一元一次方程特征，梳理“只含一个未知数、最高次数2”的定义要点，搭建从具体到抽象的学习支架。 以实际问题驱动学习，通过合作探究分析二次项系数条件、转化方程形式，培养数学思维，列方程步骤与应用题训练强化数学语言表达。自主预习、探究训练与当堂检测结合，助力学生自主建构知识，提升运算能力与模型意识。

第21章 一元二次方程 21.1 认识一元二次方程 学习目标： 1.了解一元二次方程的相关概念（重点）； 2.会根据实际问题列出一元二次方程（难点）. 自主学习 一、新知预习 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 解： 设绿地的宽为x 米，则它的长为_________米， 根据题意，可得方程：______________. 整理，得__________________________. 观察上述得出的方程，这个方程的特点是： （1） 只含有一个未知数，都是关于x的 方程； （2） x的最高次数都为_________. 像这样的方程我们称之为一元二次方程. 一元二次方程的一般形式可以归纳为________________. 合作探究 一、探究过程 探究点1：一元二次方程的定义及一般形式 问题1 关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？ 解：关于x的方程的二次项系数为_________, 因为方程为一元二次方程，所以其二次项系数不为零. 所以___________________,即_________________. 综上所述，关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程的条件是________. 问题2 将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项． (1)2x2＋3x＝x2－3x－2； (2)(2x－1)(3x＋2)＝(x－2)2－1； (3)4x2＝3x－＋1. 【归纳总结】利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化为一般形式， 其步骤是去括号、去分母、移项、合并同类项. 【针对训练】 1.若关于x的方程(k－3)x|k|-1－x－2＝0是一元二次方程，则k=_____. 2.已知关于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x－9＝0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解． (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 探究点2：一元二次方程的解 问题 若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，求6m+2n的值. 【归纳总结】已知解求关于待定系数的代数式的值，将解代入方程，求得关于待定系数的等 量关系，通常运用整体代入的思想求解. 【针对训练】 已知一元二次方程ax2－8x＋b＝0的两根为x1＝3，x2＝－，求a，b的值． 探究点3：列一元二次方程 问题 列方程：某公司一月份营业额为10万元，三月份营业额为12.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？ 【归纳总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤如下： 【针对训练】 列方程：在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图，要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 二、课堂小结 定义及一般形式 一般式___________________ 二次项系数为_____,一次项系数为____,常数项为____. 一元二次方程的根（解） 使方程左右两边_______相等的未知数的值. 根据实际问题列一元二次方程 分析 找 设 列方程 当堂检测 1.将一元二次方程2(x＋1)(x－2)＝x(x＋3)－5化为一般形式为(　 　) A．x2－5x＋1＝0 B．x2＋x－9＝0 C．x2－4x＋3＝0 D．x2－x＋1＝0 2.下列各数是一元二次方程2x2＋5x＋2＝0的根的是(　 　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 3.若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一个根是1，那么c的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．用一根长为30cm的铁丝围成一个长方形，若设该长方形的一边长为x cm，面积为50 cm2，则可列方程为____________. 5.方程化为一般式为________，它的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为______. 6.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若LM=RS=x米，请根据题意列出方程. 7.有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和等于6，且这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的十位数字为x，求这个两位数．请根据题意列出方程并化为一般形式. 温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：www.youyi100.com(无须注册，直接下载) 参考答案 自主学习 一、新知预习 （x+10） x（x+10）=900 x²+10 x-900=0 （1）一元二次 （2）2 ax²+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0） 合作探究 一、探究过程 探究点1： 问题1 2a -4 2a -4≠0 a≠2 a≠2 问题2 解：（1）x²+ 6x+2=0；0，6，-2. （2）5x²+ 5x-5=0；5,5,-5. （3）4x²-3x+-1=0；4，-3，-1. 【针对训练】 1.-3 2. 解：（1）由题意，得m2－16＝0且m＋4≠0，则m=4.此时方程的解为x=. （2）由题意，得m2－16≠0，m≠±4. 这个方程的二次项系数为m2－16，一次项系数为m＋4，常数项为-9． 探究点2： 问题 解：由题意，得1+3m+n＝0，则3m+n＝-1，6m+2n=-2. 【针对训练】 3. 解：将x1＝3，x2＝－代入，得解得 探究点3： 问题 解：设这两个月营业额的平均增长率是x，由题意可得10（1+x）2=12.1. 【针对训练】 4.解：设小路的宽为xm，根据题意，得（20-x）（32-2x）=570． 二、课堂小结 ax²+bx+c=0 a b c 式子 题意 等量关系 未知数 当堂检测 1. A 2.D 3. A 4. x（15-x）=50 5. x²+3x-1=0 1 3 -1 6.解：由题意得（22-x）（17-x）=300. 7.解：根据题意，得x(6－x)＝[10x＋(6－x)]，即x2－3x＋2＝0. 温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：www.youyi100.com(无须注册，直接下载) 温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：www.youyi100.com(无须注册，直接下载) 学科网（北京）股份有限公司 $