专题06 二次根式的拓展（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式拓展的8类常考题型，通过隐含条件挖掘、配方法、整体思想等系统方法，构建从基础运算到综合应用的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|8题型32题（含隐含条件解题、配方法化简等典例）|隐含条件挖掘、分母有理化技巧、整体升（降）次求值法、配方法化简二重根式|从字母型运算到化简求值，再到综合应用，层层递进| |综合攻坚·知能拔高|3类15题（含选择、填空、解答）|概念辨析、规律探究、跨情境应用|整合二次根式性质与运算，强化知识迁移|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次根式的拓展 内容概览 目常考题型·精准突破 题型1双重非负性中a≥0 题型2双重非负性≥0 题型3双重非负性a≥0且a≥0 题型4(a)2=a(a≥0) 题型5√a2=al 题型6字母型二次根式的运算 题型7分母有理化 题型8与二次根式有关的整体升（降）次整体求值 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1双重非负性a中a≥0 1.(25-26七年级下-河南信阳期末)若y=V3x-7+7-3x+4,则xy= 2(25-26八年级下·全国暑假作业)若y=2-4x+(x-1)2+V4x-2,则(x+y)2026= 3.(25-26八年级下江苏宿迁期末)已知a-2026+a-2027=a,则a-20262的值是 4.(25-26八年级上·上海·阶段检测)已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足 a=5+V3b-9-3V3-b,则此三角形的周长是 ◆题型2双重非负性≥0 5.已知x+2+(x+y-1)2=0,则x2-xXy= 6.(25-26七年级下·天津南开期中)如果V2x-6与√2+y互为相反数，那么x+y的平方根是 7.(25-26七年级下.陕西宝鸡阶段检测)如果V2x6与2+y互为相反数，那么x+y的算术平方根是 8.已知m为实数，且15+m2-V19-m2=2,则19-m2+2V15+m2= 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3双重非负性≥0且a≥0 9.(24-25九年级下.广东广州自主招生)对一切实数k,有V8-x+Vx-3≥k成立，则k的最大值为 10.(25-26九年级下-重庆万州阶段检测)已知：7-9m+n-32=9m-7-Vm-4,求n-m2026= 11.(25-26八年级上·重庆期中)若m、x、y满足关系式Vm-2+V2-x+y+x-y-2=2,则m的值 为() A.V6 B.6 C.2 D.V2 12.(25-26八年级上·黑龙江绥化·期中)已知、b满足 2023-a(b-202④V2024-b=Rc-202+9225-c,则-a 6 ◆题型4(Va)2=a(a≥0) 13.(25-26九年级上·海南儋州·期中)化简5的结果是() A.5 B.25 c.2.5 D.10 14.(24-25七年级上广西桂林期末)化简：V2-x+x-32的结果是（) A.5-2x B.5 C.2x-5 D.-2X-1 15.(25-26九年级下山东烟台期末)化简V(x-2025)2-x-2026的值为 16.(24-25八年级下·重庆长寿·阶段检测)阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问 题 化简V1-3x-1-x: 解：隐含条件1-3x20,解得x≤写 所以1-x>0: 所以原式=1-3x-1-x=-2x. (1)按照上面的解法，化简：x-3-2-x=一： (2)若x-5P-8-x=3,求x的取值范围： ◆题型5V=al 1 12 17.(25-26八年级上·上海奉贤·期中)当a>1时，化简7 --a 的结果是() a 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 2 A.a B.-a C.a -a D.a a 18.(25-26九年级上·海南海口·期中)化简-62的结果是() A.-6 B.6 C.±6 D.V6 19.(25-26八年级下山东德州·期末)已知(x-3)=3-X,请写出一个满足上式的正整数x取值 20.(25-26八年级下，云南楚雄期中)若2m-1=5,则m= ◆题型6字母型二次根式的运算 21.计算 侣出a品沿b沿 m m Vn 2(Va+b-Vab -at")(a≠b)· a(bb*ab-a瑞 b a-b a-2ab+b 22.计算： Va+Vb Va-Vb b a+b 23.计算(a+a+那)÷(b+bab-agab(ab) 24.(25-26八年级上·上海浦东新期中)计算 (1)V24- ×3--27+127 -b8+1Vab-2ab(其中a>0,b>0) 2a9a V4b a 2ab 1a/4b (其中a>0,b>0) 3Va m- m-2Vmn+n .1 (4 m+五 Vn-Vm Vm+Vn (其中m≥0，n≥0，m≠n) ◆题型7分母有理化 2+32-3 25.(25-26八年级下浙江嘉兴·期末)计算：2-3+2+93 26(2026江苏南京二榄)计算18- 亚的结果是 27.可以用配方法化简二重根式， 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如：V4-23=3-1=3-1, 请化简式子：5-26+7-4形+42-4 4-2V2 V5+V105+3V7+5V3 28.化简 V3+2V5+V7 ◆题型8与二次根式有关的整体升（降）次整体求值 9(2526八年级下全国课后作业)已知次+汉=5，则咬3X的值为 30.(2526七年级上江苏苏州阶段检测)已知0<x<1,且x+=7,则- 胶的值为 31.(第02讲二次根式的运算(2大考点6种解题方法)-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略 3-23+2 (沪教版)已知x=3+2y=3-2: 求代数式20x2+55xy+20y2的值. 32.已知a=V2+1,求a3-a2-3a+2016的值， 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 x 1.等式3-x3 成立的条件是() A.X≥0且X≠3B.X≠3 C.0sx≤3 D.0sx<3 2.要使式子X-3有意义，则x的取值范围是() A.x≤3 B.X≥3 C.x≤-3 D.X≥-3 3.若Vx-34-x=x-3·V4-x成立，则x的取值范围是() A.x>3 B.X<4 C.3sx≤4 D.3<X≤4 4.若a>b>0,则/b2+b-aP的结果是() A.a B.2b-a C.a-2b D.-a A.a B.-a c.a-2 D. 23 a 6.已知实数a满足2024-a+a-2025=a,则a-2024的值为() 416 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2024 B.2025 C.20242 D.20252 二、填空题 7.若y=Vx-2026+2026-X-2025,则x+y= 8.若mn>0,m+n<0,则化简Vmn÷卫= 9.若最简二次根式3n-Vm+2与-√4n-m可以合并，则m+n= 1 1 10.计算： 1+33+5+5+7+… 2015+9V2017'V2017+9V2019 三、解答题 11.先化简，再求值： 72片6x91,中x23 2-x 12.化简下列各式： (1(V1-2x)2-1-x. (②)已知a,b,c为△ABC的三边长，化简代数式V(a+b-c)+V(b-a-c 13.计算： (1)8÷2+9V18: (223-123+1--62. 14.某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规 律.下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1： 11-4*2 特例2： 2+4-93哈 44-- 特例3： 特例4： 4+ 6 (2)观察、归纳，得出猜想. 如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为： (3)应用运算规律： 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ①化简： 2024+ ×V4052= 2026 - (a,b均为正整数)，则a+b= 15.在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知a 2+3,求2a2-8a+1的值. 他们是这样解答的： 1 2-3 =2-3, 2+32+V32-V3 ∴.a-2=-3, .(a-2)2=3,即a2-4a+4=3, .a2-4a=-1, ∴.2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×-1+1=-1. 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (①3+92 1 .1 1 1 2化简：2+13+24+5…*120+11912+元 8)若a-52求2a'-8a3-8a4的值. 616函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次根式的拓展 常考题型精准突破 ◆题型1双重非负性：中a≥0 28 2.1 3.2027 4.11或13 ◆题型2双重非负性≥0 5.10 6.±1 7.1 8.13 ◆题型3双重非负性≥0且a≥0 9.V5 10.1 11.A 12.4 ◆题型4(Va)2=a(a≥0) 13.A 14.A 15.1 16. 1 5≤x≤8 ◆题型5Va2=a 17.D 18.B 19.1（答案不唯一) 20.3或-2 1/3 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6字母型二次根式的运算 21.a月-ab+1 ab2 (2)-Va+V6 22.2Va-2V/6 23.-9Va+V6 24.(1)62+2 何6 (3)-3aVab (4)2m-2n ◆题型7分母有理化 25.14 26.V2 27.2 282+3 ◆题型8与二次根式有关的整体升（降）次整体求值 30.-V5 31.2015 32.2017 综合攻坚知能拔高 1.D 2.B 3.C 4.A 5.B 6.B 7.1 213 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.-m 9.2 92019-1 10.2 6 1.x3:3 12.(1)-x (2)2a 13.(1)4V2 (2)5 4.@5君 ②n+1 n+2 =n+11 (n为正整数) Vn+2 (3)①2025V2;②22 15.13-2 (2)10 (3)6 3/3 专题06 二次根式的拓展 常考题型·精准突破 题型1 中 题型2 题型3 且 题型4 题型5 题型6 字母型二次根式的运算 题型7 分母有理化 题型8 与二次根式有关的整体升（降）次整体求值 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1中 1.（25-26七年级下·河南信阳·期末）若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于的不等式组，求解得到的值，再代入原式求出的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ， ． 2.（25-26八年级下·全国·暑假作业）若，则________． 【答案】 【分析】根据表达式中包含二次根式，根号下的被开方数必须是非负数，求出，进而求出，再进行计算即可． 【详解】解： 根据二次根式有意义的条件可知， 让和有意义 ∴且， 解得和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知，则的值是____． 【答案】2027 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再化简绝对值，整理等式后两边平方变形，即可求出的值． 【详解】解：根据二次根式的定义，被开方数非负，可得， 解得， 因此，根据绝对值的性质，可得， 将代入原方程得， 移项整理得， 两边同时平方得， 移项得． 4.（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足，则此三角形的周长是________． 【答案】11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握二次根式有意义的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件得出：，解得：，把代入求出a的值，然后再分类分析，计算三角形的周长即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 把代入，得 当等腰三角形的腰长为3时，则三角形的三边为3，3，5， ， 能组成三角形， 三角形的周长为：； 当等腰三角形的腰长为5时，则三角形的三边为5，5，3， ， 能组成三角形， 三角形的周长为：， 综上所述，此三角形的周长为11或 故答案为：11或 ◆题型2 5.已知，则____________． 【答案】10 【分析】根据非负数的性质求出，再代入求解即可； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 解得：， 将代入得：． 6.（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 7.（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 8.已知为实数，且，则________． 【答案】13 【分析】本题考查了换元法，二次根式的非负性，完全平方公式变形，换元法是解本题的关键．设,，由已知条件得，且，解出和的值，再代入所求表达式计算 【详解】解：设,，则 由,，得 将代入，得 展开得，即 两边除以2得 解方程得或（舍去，因为） 则 故 ◆题型3 且 9.（24-25九年级下·广东广州·自主招生）对一切实数，有成立，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， 所以， 设， 则， 由于， 所以，即， 因此，的最小值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 10.（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【答案】1 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 11.（25-26八年级上·重庆·期中）若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件和相关计算，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根有意义的条件，得出 ，从而简化原方程，求出 ，进而得到 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，． 由 得 ， 由 得 ，即 ， ∴ ． 代入原式：， ， ∴ ， 两边平方得 ，即 ， ∴ ． 故选：A． 12.（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二次根式的定义和性质，求代数式的值，理解绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．根据平方根的非负性，确定c的值；再根据绝对值的非负性和平方根的定义，求出a和b的值；最后代入代数式计算。 【详解】解：且， ， ， ∴ 且， ，即：， ， 且， 解得，，， ， 故答案为：4． ◆题型4 13.（25-26九年级上·海南儋州·期中）化简的结果是（    ） A．5 B．25 C． D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 故选：A 14.（24-25七年级上·广西桂林·期末）化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A 15.（25-26九年级下·山东烟台·期末）化简的值为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围，再利用二次根式的性质，化简，最后合并同类项得到结果． 【详解】 解：要使有意义，可得 解得 由，可得 化简原式： ． 16.（24-25八年级下·重庆长寿·阶段检测）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简：_____； （2）若，求的取值范围：______． 【答案】 【分析】本题考查了化简二次根式，绝对值，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先将化简为，然后分类讨论：当时，当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴，即， ， ∴原式 ； （2） ， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． ◆题型5 17.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 18.（25-26九年级上·海南海口·期中）化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据算术平方根的定义，，结果应为非负数． 【详解】解： ， 故选：B． 19.（25-26八年级下·山东德州·期末）已知，请写出一个满足上式的正整数x取值____________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】利用二次根式的性质化简等式，再根据绝对值的性质确定的取值范围，从中选取符合要求的正整数即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，将化简得， 根据绝对值的性质，当时，， 因此可得不等式， 解得， 满足条件的正整数为，，，任取一个即可． 20.（25-26八年级下·云南楚雄·期中）若，则_____． 【答案】3或 【分析】根据，解方程求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． ◆题型6 字母型二次根式的运算 21.计算 (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可； （2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可． 【详解】（1） 解： ＝ ＝－＋ ． （2） 解： ＝· ． 【点睛】 本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 22.计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，分母不变，分子利用完全平方公式和平方差公式变形，然后化简求解即可．解题的关键是将分子利用完全平方公式和平方差公式变形． 【详解】 ． 23.计算（＋）÷（＋－）（a≠b）． 【答案】－ 【详解】解：原式＝÷ ＝÷ ＝· ＝－． 24.（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2)（其中） (3)（其中） (4)（其中） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法以及立方根和算术平方根的性质化简，再合并即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可 （3）根据二次根式的运算法则化简即可； （4）根据二次根式的运算法则化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ◆题型7 分母有理化 25.（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：______． 【答案】 【分析】先通分化成同分母再利用平方差公式、完全平方公式相加化简即可． 【详解】解：， ， ， ． 26.（2026·江苏南京·二模）计算的结果是______． 【答案】 【分析】先将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果即可． 【详解】解：． 27.可以用配方法化简二重根式， 例如：， 请化简式子：_______． 【答案】2 【分析】先把，分别化为与，再化简，结合分母有理化，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ； 故答案为：2 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方法与技巧是解本题的关键． 28.化简______． 【答案】 【分析】将原式变形为，再求出，继而化简得到． 【详解】解：设 则 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质． ◆题型8 与二次根式有关的整体升（降）次整体求值 29.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 30.（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的运算、完全平方公式等知识点，熟知分式混合运算的法则和换元法是解题的关键． 由已知条件，设，则，代入得，再利用完全平方公式求的值，结合确定符号即可解答． 【详解】解：设，则，且，代入得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即. 故答案为：． 31.（第02讲二次根式的运算（2大考点6种解题方法）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（沪教版））已知，，求代数式的值． 【答案】2015 【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形，进而代入得出答案． 【详解】解：∵x， y， ． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键． 32.已知a＝＋1，求a3－a2－3a＋2016的值． 【答案】2017 【分析】先根据a＝＋1,可得: a－1＝,然后利用完全平方公式两边平方可得: (a－1)2＝2,继而可得: a2－2a＝1,然后整体代入a3－a2－3a＋2016= a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解. 【详解】解:∵a＝＋1, ∴a－1＝, ∴(a－1)2＝2, 即a2－2a＝1, ∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017. 【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要利用完全平方公式巧变形,再整体代入思想求解. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．等式成立的条件是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【详解】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件进行分析即可． 【分析】解：要使等式成立， 则，， 解得，， 则． 2．要使式子有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵要使式子有意义， ∴ 解得． 3．若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：C． 4．若，则的结果是（　　） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，有理数的大小比较以及绝对值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先化简二次根式，再利用得到即可得到答案． 【详解】解：， ． 故选：A． 5．当时，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本题的关键． 先利用的取值范围判断的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：． ． ． 故选：B． 6．已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．若，则__________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求出的值，进而求出的值，从而求出的值即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得：， ， ． 8．若，则化简________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 9．若最简二次根式与可以合并，则___________． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式，最简二次根式的定义可得和，求出m，n的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，， 解得：；， ∴． 故答案为：2． 10．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，将原式变形为,，分母有理化得到，再根据二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式,， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的运算，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 12．化简下列各式： (1)． (2)已知，，为的三边长，化简代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，进而确定的符号，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可； （2）首先根据构成三角形的条件判断被开方数的底数的符号，进而利用化简即可． 【详解】（1）解：∵二次根式有意义， ， 解得． ． ； （2）解：，，为的三边长， ，， 即，． ． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 15．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)10 (3)6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再运用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， ， ． 1 / 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