第5期：11.2 整式的乘法-【数理报】2026-2027学年八年级上册数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大八年级第1~5期 线理橘 答案详解 2026~2027学年 初中数学·华东师大八年级 第1~5期(2026年7月) 第1期2版 7.瓶内溶液的体积V=πr2h=3×32×16=432(cm3). 10.1平方根和立方根 所以这个正方体容器的棱长为：432÷2=6(cm). 10.1.1平方根(1) 第1期3版 基础训练1.A;2.C;3.25;4.-3. 题号12345678 5(±4：2)±13：《(3)±08：（④）±是 答案DDCACDBA 4 6.(1)x=±8；(2)x=2或x=-1. 二9.±3；10.4；11.2；12.0或2或6. 7.(1)由题意，得a+2+3a-6=0.解得a=1.所以a+ 三13.(0-7：(2)±0.1：(3)号；(4)号 2=3.所以m=32=9. 14.(1)x=17或x=-11;(2)x=-5. (2)5a+m=5×1+9=14,因为14的平方根是±√14， 15.(1)因为2a-7和a+1是某正数的平方根，所以分两 所以5a+m的平方根是±√14. 种情况： 10.1.1平方根(2) ①2a-7+a+1=0.解得a=2. 基础训练1.B;2.A;3.B;4.7.223;5.9. ②2a-7=a+1.解得a=8. 6.1)10:(2)0.05:(3)号：(4)号 因为b-7的立方根为-2，所以b-7=-8.解得b=-1. 所以a的值为2或8，b的值为-1. 7.(1)设长方形的长为4xcm,则宽为3xcm 根据题意，得4x·3x=588. (2)由(1)，得a-b-=3或9.因为3的算术平方根是5,9 解得x=7(负值舍去) 的算术平方根是3，所以a-b的算术平方根是5或3. 所以4x=28,3x=21. 16.(1)答案不惟一，如/729+729=9+(-9)=0： 2×(28+21)=98(cm). (2)a+b=0: 答：绣布的周长为98cm. (3)因为3-2x与x+5的值互为相反数， (2)不能.理由如下： 所以3-2x+x+5=0. 由(1)知，可裁出的最大圆的直径为21cm.所以可裁出的 解得x=8. 最大圆的面积为：m×()2=30.7万<363.所以她不能裁出 附加题1.当9是4a的一个平方根时，4a=81,解得a= 符合条件的圆形绣布 4； 10.1.2立方根 当4是9a的-个平方根时，9a=16,解得a=16 9； 基础训练1.A;2.D;3.15.63;4.-4. 当a是36的一个平方根时，a=±√36=±6 5.(1)7；(2)-0.6(3)100:(4)-8 综上所述，口的值为或号或6或-6 6.(1)x=4:(2)x=-3 7 2.(1)(3,-1.6)和(-1.6,3)； 初中数学·华东师大八年级第1~5期 (249 “无理数”席：{π，√⑧，0.303003…（相邻两个3之间0的个 数逐次加1)，…. (3)当a=-4,-6=-5时，a=-64,b=25.所以a+ b=-64+25=-39. 7()的相反数是-牙绝对值是。 5； 当a=-5,-万=-4时，a=-125,b=16.所以a+b (2)-√2I的相反数是√2I,绝对值是√2ī： =-125+16=-109. (3)3.14-π的相反数是π-3.14，绝对值是T-3.14; 综上所述，a+b的值为-39或-109. (4)3-1的相反数是1-5，绝对值是5-1： 第1期4版 327 的相反数是-2 1.由题意，得2a+3=9,2-3b=-1. 解得a=3,b=1. 绝对值是宁： 所以a+b=4. (6)√5-万的相反数是万-√5，绝对值是万-5. 因为4的算术平方根是2， 8.(1)-万+2： 所以a+b的算术平方根是2. (2)当m=-√2+2时，m+1>0,m-1<0,所以1m+ 2.由题意，得5a+2=27,3a+b-1=16. 11+lm-11=m+1-(m-1）=2. 解得a=5,b=2. 10.2.3实数的大小比较与运算 所以a+2b=9. 基础训练1.C;2.B;3.答案不惟一，如-√2；4.2. 因为9的平方根是±3， 所以a+26的平方根是±3. 5-5<-a:②)9<5 3.由题意，得x+2=4,2x+y+7=27. 解得x=2,y=16. 32>子 3 所以x2+y=20, 6.(1)5.86;(2)3.38;(3)7.41, 因为20的立方根是/20，所以x2+y的立方根是20. 7.数轴表示略--√历1<-5<-号<1.5<E 第2期2版 第2期3版 10.2实数 10.2.1无理数 题号12345678 基础训练1.B;2.A;3.3. 答案CDACC B DD 4.(1)5; 二、9.2,2-5；10.>；11.2；12.0. (2)不能.理由如下： 三，13.正实数集合：号，9，-(-2)，401001001…（相邻 因为0和1的算术平方根分别是0,1，且0和1都是有理 数，所以若输入0和1，不能输出y 两个1之间0的个数逐次加1)，1.23，…}： (3)答案不惟一，如x=2或x=4. 负分数集合：-3子，-0.37，…： 10.2.2实数的认识与性质 无理数集合：号，4010010001（相邻两个1之间0的 基础训练1.B;2.B;3.C;4.10-3:5.2. 个数逐次加1)，…}； 6.(1)3: 非正整数集合：0，-42，…}. (2)“整数”席：-4,2026，-√16，…}； 14.(1)2.74;(2)0.33;(3)1. “分数席：-子0.3，… 15.(1)5-4: 2 初中数学·华东师大八年级第1~5期 (2)当m=5-4时，原式=(4+5-4)2+15-4+1+202610. 11=(5)2+√5-31=5+3-5=8-5 第2期4版 (3)由平移得，AB=4. 1.A;2.C;3.D;4.A. 因为BC=74B, 5.(1)因为A,B对应的数分别为1和3， 所以BC=2. 所以AB=√5-1. 因为点B表示的数为5-4， 因为C,0对应的数分别为x,0, 所以C0=0-x=-x. 所以当点C在点B右侧时，点C表示的实数c为：5-4+ 因为AB=CO, 2=5-2: 所以3-1=-x 当点C在点B左侧时，点C表示的实数c为：5-4-2= 所以x=1-5. 5-6. (2)由(1)得x=1-5.所以(x+5)2=(1-5+3)2 综上所述，实数c的值为5-2或5-6. =1. 16.(1)5,33-5; 因为1的平方根是±1， (2)因为11<143<12,6<43<7， 所以(x+5)2的平方根是±1. 所以√143的整数部分为11，小数部分a=√/43-11， 第3期综合测评卷 √43的整数部分b=6. 题号1234567891012 所以原式=√143-11+112-√1431=143-11+12 答案ABDAD C D C BABD -143=1. 二、13.√17-3；14.22-4；15.3；16.√2. (3)因为2<5<3， 三、17.正实数集合：T,0.1010010001(相邻两个1 所以12<10+5<13. 因为10+√5=2x+y,其中x是整数，且0<y<1, 之间0的个数逐次加1)，297，-（(-30%)，号，…： 所以x=6,y=10+√5-12=5-2. 无理数集合：{/T,0.1010010001…(相邻两个1之间0 所以x-y的相反数是：y-x=√5-2-6=5-8. 的个数逐次加1)，号，… 附加题1.(1)-2，-1+√2； (2)m+√3与2-√5不是关于1的“平衡数”.理由如下： 分数集合：-25,9297，-(-30%)…： 因为5(m+5)=3+5, 整数集合：{-31,0，-1-41，…}. 所以3m+3=3+3. 18把A=80代人h=g,得80= 2x10. 解得m=1. 解得t=4(负值舍去). 当m=1时，m+5+2-5=1+5+2-√5=3≠2. 答：一个物体从80m的高楼坠落，到达地面约需要4s. 所以m+√5与2-5不是关于1的“平衡数” 19.(1)因为5a+2的立方根是3,3a+b-1的算术平方根 2.(1)1+10: 是4，所以5a+2=27,3a+b-1=16.所以a=5,b=2.因 (2)因为正方形ABCD的边长是√0，第一次翻滚后点P 为3<√3<4，c是√3的整数部分，所以c=3. 表示的数是1+√而；第二次翻滚后点C对应的数是1+ (2)当a=5,b=2,c=3时，3a-b+4c=25.因为25的 2√0：第三次翻滚后点D对应的数是1+3√10；….因为经过 平方根是±5，所以3a-b+4c的平方根是±5. 第2026次翻滚后与数轴上的点Q重合，所以点Q表示的数是 20.(1）-√2+3. 3 初中数学·华东师大八年级第1~5期 (2)因为12c+d1与√d+4互为相反数， 能力提高7.(1)因为x*y=3×3', 所以12c+d1+√/d+4=0. 所以2*5=32×35=37=2187 所以2c+d=0,d+4=0. (2)因为1*(4x-3)=81, 解得c=2,d=-4. 所以3×34-3=3-2=34 所以2c+3d=-8. 所以4x-2=4. 所以2c+3d的立方根是-2. 廊得：子 21.(1)-3,-12,-27这三个数是“完美组合数”.理由如 (3)x*(y+z)=(x+y)*z.理由如下： 下： 因为x*(y+z)=3×3=3w+,(x+y）*z=3y× (-3)×(-12)=6,(-3)×(-27)=9, 3=3+y,所以x*(y+z）=（x+y）*z √/(-12)×(-27)=18. 11.1.2幂的乘方 因为6,9,18都是整数，所以-3，-12，-27这三个数是 基础训练1.D;2.C; “完美组合数” 3.(1)m,(2)-x8,(3)x0,(4)64;4.8. (2)因为-5，m,-20是“完美组合数”，且 5.(1)x4;(2)2x2;(3)-xm. /(-5)×(-20)=10, 能力提高6.(1)由题意，得a+3b+2z=3. 所以①若-5，m这两个数乘积的算术平方根为20，则 所以3“×27×9=3”×3“×32=3+32=32=27. -5m=400,解得m=-80. (2)因为22=3，所以(221)2-2=22-2=4× 此时√/(-5)×(-80)=20，√/(-20)×(-80)=40. (22)3-(22)2=4×33-32=108-9=99. ②若-20，m这两个数乘积的算术平方根为20，则-20m 11.1.3积的乘方 =400,解得m=-20(不合题意，舍去) 基础训练1.D;2.B; 综上所述，m=-80. 3.a)9e,2)25a6,(3)-y,46.4×10; 22.(1)0.1,10. 4.15. (2)①0.245； 5.()原式=(÷)×《-子)2×(-子) ②由√0.0012≈0.03464，√2m≈34.64可知0.03464 的小数点向右移动了3位得到34.64. 4 所以被开方数0.0012的小数点需向右移动6位才可得到 2m,即2m=0.0012×10 -1×(~) 解得m=600. (3)当0<a<1时，√a>a; (②)原式=空x(空×（受”×(-8 当a=0或1时，a=a: 当a>1时，a<a. 第4期2版 =-25. 11.1幂的运算 11.1.4同底数幂的除法 11.1.1同底数幂的乘法 基础训练1.B;2.C: 基础训练1.C;2.C;3.21: 3.(1)-a2,(2)a,(3)-x2;4.25. 4.9.6×102；5.64. 5.(1)x3;(2)-8x3;(3)-2x. 6.(1)-y';(2)(-a)7;(3)y;(4)am+3. 能力提高6.(1)因为2m=3,2”=5, -4 初中数学·华东师大八年级第1~5期 所以23m=(2m)3=33=27,22=(2")2=52=25. 解得m=2. 所以2-2=2÷2=25 27 (2)因为a=39=(33)3=273,b=4=(42)33=1633, c=53,又因为27>16>5， (2)因为10=20,10=号 所以273>163>5”，即a>b>c. 1 附加题1.因为[(a-2)2]3=(a-2)(a-2)(a≠2)， 所以10=10÷10=20÷5=100=10. 所以(a-2)6=(a-2) 所以a-b=2. ①当a+1=6,即a=5时，符合题意； 所以25÷52=(52)"÷52%=5÷52弘=52m-2h=54= ②当a-2=1,即a=3时，符合题意； 625. ③当a-2=-1,即a=1时，符合题意。 第4期3版 综上所述，a的值为5或3或1. 题号12345678 2.(1)3,-3; 答案BDADDCBC (2)因为(5,3)=a,(5,8)=b,(5,24)=c, =9.(a-b)5;10.18;11.8;12.3或7 所以由新定义可得：5=3,5=8,5=24. 因为3×8=24， 三、13.(1)x°；(2)-4x;(3)6a. 所以5”×5=5 14.(1)因为23×33=36-2， 所以a+b=c. 所以(2×3)+3=(62)-2=62-4 所以6*3=6244 （3)(8,125)+4,)=(2,5)+[2,(P]=(2,5) 所以x+3=2x-4. +2,号. 解得x=7. (2)因为(2m)2÷(2")2=256,所以22÷2=2.所以 设(25)=a,2,号)=6c=a+b=(2,5)+(2,. 22m-2=28,所以2m-2n=8.所以m-n=4. 15.(1)0.5,2,1; 所以c=(2,5×号)=2,8. 因为23=8， (2)原式=(-0.125)5x(2)5+(日2x(-号)2 所以c=3. x(-) 所以(8,125)+(4， )=3 =(-015×8)严+(-品×9m×(-号 第5期2版 11.2整式的乘法 =(-105+(-12题×(-号) 11.2.1单项式与单项式相乘 -1+号 基础训练1.B;2.B; 3.-4,15;4.22a2. 5.(1)2x3y;(2)-18xy; 16.(1)因为8m×16"×32m=2”÷8=222÷23, (3)3xyz;(4)3ab 所以(2)m×(2)m×(2)m=24. 能力提高6.yang8888. 所以23m×24m×25m=224. 11.2.2单项式与多项式相乘 所以23m+4m+5m=224. 基础训练1.C;2.A; 所以22m=224 3.1;4.72m2n+45mm2. 所以12m=24. 5.(1)-6ab-3b2;(2)-2xy2+4xy+2xy2; -5 初中数学·华东师大八年级第1~5期 (3)-2x2y+6x2y5-x2y% 即安装健身器材的区域面积为2942平方米. 6.(1)这个多项式是：x2-2x+1-(-3x2)=x2-2x+1 16.(1)4×5×100+25: +3x2=4x2-2x+1; (2)(a5)2=100a(a+1)+25.理由如下： (2)正确的计算结果为：(4x2-2x+1)·(-3x2)=-12x 因为(a5)2=(10a+5)(10a+5)=100a2+100a+25, +6x3-3x2. 100a(a+1)+25=100a2+100a+25, 能力提高7.原式=-a26+3a2b+2a62=-(ab2)3+ 所以(a5)2=100a(a+1)+25 3(ab2)2+2ab2. (3)根据题意，得(a5)2-100a2=525,即100a2+100a+ 因为ab2=-1,所以原式=1+3-2=2. 25-100a2=525, 11.2.3多项式与多项式相乘 解得a=5. 基础训练1.D;2.B;3.A; 附加题1.(1)B是A的“好多项式”.理由如下： 4.2；5.2x2+7x-4. 由题意，得C=A×B=(x-2)(x+3)=x2-2x+3x- 6.(1)2x2+9xy-5y2;(2)4a3+6a2b-8ab2-15b3. 6=x2+x-6. 7.a2+7a+10:a2+3a-10:a2-3a-10:a2-7a+10. 所以L(C)=3. (1)x2+(p+q)x+p9: 因为L(A)=2, (2)①x2-13x-230:②x2-45x+500: 所以L(A)<L(C)=L(A)+1. (3)因为x2-8x-3=0, 所以B是A的“好多项式” 所以x2-8x=3. (2)C=A×B=(x-3)(x2-ax+9)=x3-(a+3)x2 +3(a+3)x-27 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)=(x-1)(x-7)(x-3)(x -5)=(x2-8x+7)(x2-8x+15) 因为B是A的“极好多项式”， 把x2-8x=3代入，得原式=(3+7)×(3+15)=180. 所以L(A)=L(C)=2. 所以x3-(a+3)x2+3(a+3)x-27只有两项. 第5期3版 所以a+3=0. -、 题号12345678 解得a=-3. 答案DACC ABCA 2.因为6=192，所以(6*)￥=192，即6w=192'①. 二9.62-2x;10.-4xy°；11.-7； 因为32=192，所以(32)）=192，即32=192②. 12.1或4或9. ①②的两边分别相乘，得6”×32”=192'×192 三、13.(1)-24xy；(2)12x2y+8x2y2-4xy; 所以(6×32)w=192*+y. (3)13a2b-4ab2;(4)72x2+29x-6. 所以192”=192+y. 14.小明的发现是正确的.理由如下： 所以xy=x+y. 原式=3x23+2x2-3x2-8x2+6x2-8=-8. 所以(-6)-0(-12=(-6)-0-1)×(-6)2= 因为计算结果与x的取值无关，所以小明的发现是正确 (-6)w-(+01×36=(-6)×36=-216. 的， 15.(1)由题意，得(9a+1)(3b-4)-b(3a+1)=24ab -36a+2b-4, 即安装健身器材的区域面积为(24ab-36a+2b-4)平方 米； (2)当a=9,b=15时，24ab-36a+2b-4=24×9×15 -36×9+2×15-4=2942, 6素养·拓展 数理招 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 在我们的日常生活里，整式乘法有着许多 初学整式的乘法时，部分数学诊所 报纸发行质量反馈电话 巧妙且实用的“表演”，它就像一把隐藏在幕后同学由于对运算法则理解不 的神奇钥匙，默默解决着各种实际问题 透，方法掌握不牢，解题时一 整式乘法误中“ 0351-5271248 上接4版参考答案 一、种植基地的数量计算 不留神，就会陷入错解的“误 区”.下面举例予以剖析，希望 ◎福建肖竣怀 (2)因为a=39= 例1某种植基地有大、小两块长方形实 (33)33=273,b=40 剖析：此题中含有积的乘方运算、单项式乘 帮助同学们彻底走出学习的“误区” =(42)3=16,c= 验田，大长方形实验田每排种植(3a+2b)棵樱 以单项式的乘法运算，运算时要注意单项式中 桃树苗，种植了(3a-b)排，小长方形实验田每 误区一、漏乘因式 53,又因为27>16 系数的正负.因为第一个单项式的系数为正，第 5,所以273>16 7 排种植(a+b)棵樱桃树苗，种植了(a-b)排， 例1 计算-2a6·}bc 二个单项式的系数为正，所以积的系数为正， 53,即a>b>c 附加题1.因为 其中a>b>0. 正解： [(a-2)2]3=(a (1)大长方形实验田比小长方形实验田多 错解：原武=(-2×子)(aa)(6:6) 误区四、运算顺序混乱 2)(a-2)“(a≠2)， 种植多少棵樱桃树苗？ 例4计算：(-5a-6b+c)(3a-6b) 所以(a-2)6=(a 2)4* (2)当a=5,b=3时，两块试验田一共种 错解：原式 ①当a+1=6,即 植多少棵樱桃树苗？ 剖析：在进行单项式乘法运算时，对于只在 =-15a2+30ab+36b2-18ab+3ac a=5时，符合题意； 解：(1)由题意得 个单项式里含有的字母，应连同它的指数不 =-15a2+36b2+12ab+3ac. ②当a-2=1,即 (3a+2b)(3a-b)-(a+b)(a-b) 变，作为积的因式错解就因漏掉了第二个单项 剖析：多项式与多项式相乘时，要按照一定 a=3时，符合题意； =(9a2-3ab+6ab-2b2)-(a2-ab+ab 式中独有的字母c而致错. 的顺序进行，错解在相乘时因为顺序混乱，而发 ③当a-2=-1, 即a=1时，符合题意 正解： (此处填正解，请同学生漏乘错误.在计算时，应随时检查是否有漏乘 综上所述，a的值 们自行完成) 现象，其方法是：在未合并同类项之前，积的项 为5或3或1. =9a2+3ab-2b2-a2+b2 误区二、忽视常数项“1” 数应等于两个多项式项数的积 2.(1)3,-3; =8a2+3ab-b2, 例2计算：3x(2x2-x+1) 正解： (2)因为(5,3)= 即大长方形实验田比小长方形实验田多种 a,(5,8)=b,(5,24) 错解：原式=3x·2x2-3x·x=6x3-3x2. 误区五、结果不化简 =c,所以由新定义可 植(8a2+3ab-b2)棵樱桃树苗. 剖析：根据单项式与多项式相乘的法则，积 例5计算：x(x2-xy+y2)-y(x2+xy+ 得：5“=3,5=8,5= (2)(3a+2b)(3a-b)+(a+b)(a-b) 的项数与原多项式的项数相同.错解中忘记将y2), 24.因为3×8=24，所 9a2-3ab 6ab -2b2 +a2-ab ab-b2 以5"×5=5.所以a+ 多项式2x2-x+1中的1与3x相乘 错解：原式=x3-x2y+y2-y2-xy2-y3. b=c. =10a2+3ab-3b2, 正解： 剖析：错解在于计算结果不是最简形式，当 (3)(8,125)+(4, 当a=5,b=3时，10a2+3ab-3b2=10 误区三、忽视符号 结果中含有同类项时，应合并同类项，以得到最 爱)=(25+2 ×52+3×5×3-3×32=268 例3计算：3ab·(-2a)2. 简结果 即两块试验田一共种植268棵樱桃树苗： 错解：原式=3ab·(-4a2)=-12ab. 正解： (P门]=(25)+(2. 数眼看世泉 整式乘法，。， 第4期2版参考答案 3.(1)-a2,(2)a,(3)-x3:4.25 号设25)=.2， 11.1幂的运算 5.(1)x3;(2)-8x3;(3)-2x g)=6.e=a+6 ，》,生活秀 11.1.1同底数幂的乘法 能力提高6.(1)因为2m=3,2”=5,所以23m= 基础训练1.C;2.C;3.21; (2m)3=33=27,22m=(2")2=52=25.所以23m-2m= (2,5)+(2号).所以e ◎四川郭文彬 4.9.6×102；5.64. 6.(1)-y;(2)(-a);(3)y;(4)a+3. 22= =(25×9)=(2, 二、绿化工程的成本计算 能力提高7.(1)因为x*y=3*×3',所以2*5= (2)因为10=20,10=5，所以10=10÷10 8).因为23=8，所以c 例2如图，某市有 32×35=37=2187. =3.所以(8,125)+ -块长为(3a+b)米、 (2)因为1*(4-3)=81，所以3×3-3=32=20÷5=100=102.所以a-6=2.所以25°÷54= 4,=3 宽为(2a+b)米的长方 =3.所以4红-2=4解得x=子 (52)°÷5=5÷5=52-20=54=625. (全文完) 形地块，规划部门计划 (3)x*(y+z)=(x+y)*z.理由如下： 第4期3版参考答案 a46 因为x*(y+z)=3"×3+:=3+y:,(x+y)*z= -、题号12345678 将阴影部分进行绿化， 本期1版《整式 3+"×3=3+y,所以x*(y+z)=(x+y)*z 答案B D A DD C B C 乘法显身手》牛刀 中间将修建一座雕像。 11.1.2幂的乘方 小试参考答案 (1)绿化的面积是多少平方米（用含a,b 基础训练1.D:2.C: =9.(a-b)5;10.18;1.8;123或7 3.(1)m,(2)-x3,(3)x0,(4)64:4.8. 1.原式=x4-3x 的代数式表示)？ 三、15.(1)x9:(2)-4xm;(3)6a3 5.(1)x4:(2)2x2;(3)-x6m +qx2 px -3px2 +pqx 16.(1)因为23×3+3=36-2，所以(2×3)+3 (2)若a,b满足(x+1)(x+2)=x2+ax 能力提高6.(1)由题意，得a+36+2z=3.所以(6)2=624.所以63=624.所以x+3=2x-4.解 +b,且绿化成本为40元/m,则完成绿化工程 3”×27×9=3×30×32=3362=32=27. (2)因为22=3，所以(21)2-2=26：+2-2= 得x=7. (p-3)x3+(g-3p 共需要多少元？ 4×(22)3-(22)2=4×33-32=108-9=99. (2)因为(2")2÷(2")2=256，所以22÷22”=2 所以22m-2m=28.所以2m-2n=8.所以m-n=4. 3)x2+(pg+1)x 解：(1)由题意，得 11.1.3积的乘方 17.(1)0.5,2,1; (3a+b)(2a+b)-(a+b)(a+b)=6a 基础训练1.D;2.B; 39根据题意，得p-3 +3ab +2ab b2-(a2 abab +b2)=6a 3.(19,(2)2506,(3)-7,(46.4× (2)原式=(-012)“×(2)5+（召） =0,pg+1=0.解得p +5ab+b2-a2-2ab-b2=5a2+3ab, 102;4.15. (-号×(-) =(-0.125×8)5+ =3,9=-3 即绿化的面积是(5a2+3ab)平方米 2.设A=x2+3x,B =3x2+4x,则原式= (2)因为(x+1)(x+2)=x2+ax+b,所 (A+1)(B+1)-(A 以x2+3x+2=x2+ax+b.所以a=3,b=2. [号×(-子×(-子)=-1×(-子)=子（-号)=-1+号=9 1)(B-1)=AB+A+B 所以5d2+3ab=5×32+3×3×2=45 (2)原武=宫x(管"×（务）”×(-8)=-25× 18.(1)因为8m×16m×32m=2”÷8=22”÷2 +1-AB+A+B-1= 所以(23)m×(24)"×(2)m=224 2A+2B=2(x2+3x)+ +18=63. (空×8)”=-25 所以2×2"×2m=224.所以23mm+5m=224.所以 2(3x2+4x)=8x2+ 因为绿化成本为40元/m2,所以63×40= 22m=224.所以12m=24.解得m=2. 11.1.4同底数幂的除法 14x. 2520(元)，即完成绿化工程共需要2520元. 基础训练1.B;2.C; (下转1,4版中缝) 数理极 2026年7月29日·星期三 初中数学 第 5期总第1201期 华东师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-206 入门向导 聚焦整式的乘法 本周进 11.2整式的乘法 ⊙江西王清瑞 学习目标：1经历探索整式乘法法则的过程 整式的乘法运算不仅是本章的重点，还是 (2)原式= 并掌握法则 同学们今后学习其他知识的基础.整式的乘法 子(-8x)g 2能进行简单的整式乘法运算 运算在整个初中代数中起着承上启下的作用. 认知重点：1.能借助图形解释整式的乘法法 让我们一起来学习整式的乘法吧！ 则，发展几何观念 一、单项式与单项式相乘 - 2.体会乘法分配律在整式乘法运算中的作 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同 二、单项式与多项式相乘 用，发展运算能力 字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用 变，作为积的因式 单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. +c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分 单项式与单项式相乘，主要是利用乘法交 单项式与多项式相乘，应注意： 别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个 换律和结合律，在运用单项式与单项式相乘的 多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每 运算时，要注意积的符号，若将多项式中的 法则时，要注意以下几点： 每一项前面的“+”“_”号看作是性质符号，则 一项相乘，然后把所得的积相加.即(m+n)(a 1.积的系数等于各因式系数的积，先确定 +b+c)ma mb mc na nb nc. 单项式乘以多项式各项的结果要用“+”号连 符号，再计算绝对值 (2)在相乘时要防止漏项，检查有无漏项的 接，最后要写成省略加号的代数和的形式 2.相同字母的幂相乘，需运用同底数幂的 方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之 例2计算-x(x-1)的结果是( 乘法法则进行计算， 前，积的项数应是这两个多项式项数的积例 A.-x4-1 B. 3.只在一个单项式里含有的字母，要连同 如：(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3= C.-x+x D.x-x 6项. 它的指数作为积的一个因式 解析：原式=-x4+. 例3 计算：(a-2b)(a2-3ab+b2)= 4.单项式乘法法则对于三个及三个以上的 故选C. 单项式相乘同样适用 三、多项式与多项式相乘 5.单项式与单项式相乘，结果仍是单项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 例1计算： 每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所 解析：(a-2b)(a2-3ab+b2) (1)2x·(-3x2y); 得的积相加 (2)y2(-2w(3 多项式与多项式相乘，应注意：(1)运用多 =a3-3a2b+ab2-2a2b+6ab2-2b 项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相 =a3-5a2b+7ab2-2b3. 解：(1)原式=(-2×3)x+2y2=-6x2y2 乘时要按一定的顺序进行.例如：(m+n)(a+b 故填a3-5a2b+7ab2-2b3 学习了整式的乘法后，对于求待定字母值 名师点晴 的问题、较大数的计算问题以及比较大小问题 等，巧用字母表示数，进行以“式”代“数”，可巧 1 式乘法显身手 妙地利用整式的乘法提高解题效率.下面举例 重庆湛小刚 说明。 =2x2+(2-m)x-m 三、作差比较大小 一、妙求待定字母 因为原式的运算结果是关于x的二次二项 例4设A=(x-3)(x-7),B=(x 例1若(x+2)(x-n)=x2+mx+2,求 式，所以2-m=0或-m=0 2)(x-8),则A,B的大小关系为 ( m-n的值. 解得m=2或m=0. A.A>B B.A<B 分析：利用多项式与多项式相乘的法则计 故选B. C.A=B D.无法确定 算等式左边，再利用多项式相等的条件求出m, 二、巧设用于计算 分析：此题可以先分别计算出A,B的值，然 n的值即可. 后运用作差法比较大小 例3计算：3.78×2.78×5.78-3.783- 解：因为(x+2)(x-n)=x2+(2-n)x- 解：A=(x-3)(x-7)=x2-10x+21, 1.782 2n=x2+mx+2, B=(x-2)(x-8)=x2-10x+16. 分析：此题若直接计算，则运算量很大，由 所以2-n=m,-2n=2. 因为A-B=x2-10x+21-(x2-10x+ 解得m=3,n=-1. 于题目中数字的小数部分相同，若设3.78为a,16)=5>0, 所以m-n=4. 则其他数都可以用含α的代数式表示，然后运用 所以A>B. 例2若(2x-m)(x+1)的运算结果是关 整式的乘法计算即可 故选A. 于x的二次二项式，则m的值是 解：设3.78=a,则2.78=a-1,5.78=a 牛刀小试 A.-2或0 B.2或0 +2,1.78=a-2. C.-2或2 D.2或-2或0 所以原式=a(a-1)(a+2)-a3-(a-2)2 1若(x+m-子)(x-3x+9)的积中不 分析：先利用多项式与多项式相乘的法则 =a3+a2-2a-a3-a2+4a-4 含x项和x项，求p,9的值 进行计算，再根据一次项的系数或常数项为0计 =2a-4. 2.计算：(x2+3x+1)(3x2+4x+1)-(x 算m的值 因为a=3.78, +3x-1)(3x2+4x-1) 解：(2x-m)(x+1)=2x2+2x-mx-m 所以原式=2a-4=2×3.78-4=3.56 (参考答案见本期1,4版中缝)】 素养专练 数理极 11.2.2单项式与多项式相乘 11.2.3多项式与多项式相乘 跟踪训练 屋训练 垦础训练 bo o GENZONGXUNLIAN 1.计算-3mn(m- )的结果是 1.计算(2x+1)(x-3)的结果为( 11.2整式的乘法 A.2x2+5x+3 B.2x2+5x-3 11.2.1单项式与单项式相乘 A.3m'n mn B.-3m2n-3 2 mn C.2x2-5x+3 D.2x2-5x-3 2.若(x-3)(2x2+mx-5)的计算结果中x2 屋础训练 C.-mnun D.-3min -2mu 1 项的系数为-3，则m的值为 1.计算2x·x2025的结果是 2.一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为 A.-3 B.3 A.3x2026B.2x20s C.2x2025 D.050 2x+5,x,2x,则这个木制的长方体箱子的体积为 3.从前，一位庄园主把一块长为a米、宽为 2.下列计算正确的是 ( b米(a>b>100)的长方形土地租给租户张老 A.6x2·3xy=9xy3 A.4x3+10x2 B.4x3+10x 汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加 B.(2ab2)·(-3ab)）=-6a2b C.4x2+10x D.4x2+10x3 10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没 C.m2n·(-m2n)=-m2n3 3.若要使(x2+ax+5)·(-6x3)+6x4的展开 式中不含x项，则常数a的值为 有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租 D.(-3x3y）·(-3y）=9xy2 地面积会 () 3.若(mx)·(2x)=-8x8,则等式中的m= 10 ,k= 4定义三角 表示3abc,方框 A.变小了 B.变大了 /b y 3 C.没有变化 D.无法确定 4.如图1，计算图中阴影部分的面积为 4 n 4.若(x-3)(x+m)=x2-nx-3,则n= 示xz+y, 52m 的结果为 .5a 5.在综合与实践课上，小明设计了如下运算： 5.计算： a☒b=(ax+2b)(bx-a),则1⑧2经过运算可 .5d (1)-3b(2a+b); 化简为 a*2a2a*2a*a 6计算： 图1 (1)(x+5y)(2x-y); 5.计算： (-3g)(-号： (2)2xy2(-x2+22+1); (2)(-2x2)·(-3x2y2)2; )(-2y (2)(2a-3b)(2a2+6ab+5b2). (3)-2(-石)(9e月 6.某同学计算一个多项式乘-3x2时，因抄错 符号，算成了加上-3x2,得到的答案是x2-2x+1. (1)求这个多项式： (2)求正确的计算结果， 能力提高 7.计算下列各式，然后回答问题： (4)(-ab2)3+ab2·(ab)2·(-2b)2. (a+5)(a+2)= (a+5)(a-2)= (a-5)(a+2)= ； (a-5)(a-2)= (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示 能刀提高 为：(x+p)(x+g)= ； 6.如图2，王老师把家里的WFI密码设置成 (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： 了数学问题.小明同学来王老师家做客，看到WI 能刀提高 ①(x+10)(x-23)= ； 图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了 7.已知ab2=-1,求-ab(a26-3ab3-2b)的 ②(x-25)(x-20)= 王老师家里的网络，那么他输人的密码是值 (3)已知x2-8x-3=0,求(x-1)(x-3)(x 5)(x-7)的值. 账号：Mr·Wang's house 王☒[x5y2]=wang1314 浩8[xy5·x2.20]=hao31520 阳⑧[(x2y)4.(2“)2]=密码 数理报社试题研究中心 图2 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 16.(14分)设a5是一个两位数，其中a是十 同步检 位上的数字(1≤a≤9).例如：当a=4时，a5表 示的两位数是45. TONGBUJIANCE (1)尝试： 【检测范围：11.2】 ①当a=1时，152=225=1×2×100+25； 一、精心选一选（每小题4分，共32分） (2)4xy(3x2+2xy-1); ②当a=2时，252=625=2×3×100+25； 题号12345678 ③当a=3时，352=1225=3×4×100+25： ④当a=4时，452=2025= 答案 (2)归纳：(a5)2与100a(a+1)+25有怎样 1.计算3y2·(-y)的结果是 的大小关系？试说明理由. A.3y B.-3yC.3y3 D.-3y (3)运用：若(a5)2与100a2的差为525，求a 2.数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学 （3)6b(2a-2)-ad(-a+b: 的值. 回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题： -4xy(3y-2x-3)=-12xy2口+12xy,“☐”的地 方被墨水弄污了，你认为“口”内应填写 ( A.+8x2y B.-8xy C.+8xy D.-8xy2 3.在展开多项式(x2+x-3)(x2-2x+2a) 中，常数项为-30，则a等于 ( A.3 B.4 C.5 D.6 (4)2(x+2)(2x+3)-3(1-x)(x+6) 4.现有如图1所示 的正方形卡片A类，B类 和长方形卡片C类若干 图1 张，如果要拼一个长为3a+b,宽为a+3b的大长 方形，则需要C类卡片的张数为 ( ) 附加题⊙ A.6B.8 C.10 D.12 (以下试题供各地根据实际情况选用) 5.若-2x(x2+ax+5)-6x2的计算结果中不 14.(10分)小明在计算代数式x2(3x+2)- 1.(10分)定义：L(A)是多项式A化简后的项 含x2项，则a的值为 ）3x(:+令)+6(-手)的值时，发现当=数，例如多项式A=x+2x-3,则L(4)=3.-个 A.-3 C.0 D.3 多项式A乘多项式B化简得到多项式C(即C=A 2025和x=2026时，它们的值是相等的.小明的 ×B),如果L(A)≤L(C)≤L(A)+1,则称B是A 6.若n为整数，则代数式(3n+3)(n+3)+3发现正确吗？说明你的理由. 的“好多项式”；如果L(A)=L(C),则称B是A的 的值一定可以 “极好多项式”. A.被2整除 B.被3整除 (1)若A=x-2,B=x+3,则B是不是A的 C.被5整除 D.被9整除 “好多项式”？请说明理由。 7.若M=x(2x-7),N=(x+1)(x-8),则 (2)若A=x-3,B=x2-ax+9均是关于x M与N的大小关系是 ( 的多项式，且B是A的“极好多项式”，求a的值. A.M<N B.M=N C.M>N D.M与V的大小由x的取值而定 8.已知a2-a-3=0,则a2(a-4)的值为 ( 15.(12分)为了提升居民的幸福指数，某居民 A.-9B.9 C.-8D.8 小组规戈划将一长为(9a+1)米、宽为(3b-4)米的 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 长方形场地打造成居民健身场所，如图2所示，具 9.计算：2x(3x-1)= 体规划为：在这个场地中分割出一块长为(3a+1) 10.如果单项式-2x2my与xy的差仍是一米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方 个单项式，则这两个单项式的积是 :安装各种健身器材. 2.(10分)已知6x=192,32y=192,求 11.若(x+a)(x-2)=x2+5x+b,则a+b (1)求安装健身器材的区域面积； (-6)--*2的值。 (2)当a=9,b=15时，求安装健身器材的区 12.小林计算(x+ay)(x+by)(其中a,b是不域面积 9a+1 为零的整数)时发现，合并同类项后会得到整式x2 -cy(c为不大于10的整数)，则c的值为 三、耐心解一解（共52分） 图2 13.(16分)计算： (1)3x2y·(-2xy)3; 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)