11.3.1 两数和乘以这两数的差（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

11.3 乘法公式 1.两数和乘以这两数的差 学习目标： 1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点） 2.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点） 自主学习 一、知识链接 多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______． 二、新知预习 算一算：根据多项式乘以多项式的法则进行计算： ①（x ＋ 1)( x－1）=x2-x+x-1=_______________； ②（m ＋ 2)( m－2）=m2-2m+2m-4=_______________； ③（2m＋ 1)(2m－1）=_______________=_______________. 合作探究 一、探究过程 探究点1：平方差公式 问题 观察算一算中的式子与它的结果，它们有什么共同的特点？ 【要点归纳】当出现两个多项式相乘的时候，呈现的形式如(a+b)(a−b)=_________,（其中a,b代表数、字母或式子）即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________. 试一试：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？ 剩余部分的面积为：____________， 新长方形的面积为：____________， 则有等式为：___________________. 例1利用平方差公式计算： (1)(x－5)(x＋5)； (2)(－a－b)(b－a)； （3）（x+1）（﹣x+1）. 【针对训练】计算：(1)(a－1)(a＋1)； (2)(2m＋3n)(2m－3n)． 【方法总结】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 例2先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 【针对训练】先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1，其中x＝. 探究点2：平方差公式的应用 例3计算:(1) 51×49； (2)59.8×60.2. 【方法总结】根据平方差公式的特征，合理变形后，可以简化运算.例如（1）中的51可以化为（50+1），49可以化为（50-1）. 例4王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续以原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 【方法总结】解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题． 相同的项为a 二、课堂小结(a+b)(a-b)=a2-b2 符号相反的项为b 当堂检测 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 2.计算（2x2+1）（2x2-1）等于（　　） A．4x4-1 B．2x4-1 C．4x2-1 D．4x4+1 3.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________． 图1 图2 4.已知x2-y2=8，x+y=4，则x-y= . 5.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差 是________． 6.利用平方差公式计算： （1）(a+3b)(a- 3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)； （3）(－2x2－y)(－2x2+y). 7.计算：（1）20222 － 2021×2023； （2)(a-2)(a+2)(a2 + 4). 8.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2. 9.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 参考答案 自主学习 一、知识链接 乘以 相加 二、新知预习 算一算：①x2-1 ②m2-4 ③4m²-2m+2m-1 4m²-1 合作探究 一、探究过程 探究点1： 问题 解：都是二项式乘二项式，得到二项式，而且两个多项式只有中间的符号不一样. 【要点归纳】a²-b² 平方差 试一试：a²-b² ( a+b)( a-b) a²-b²=( a+b)( a-b) 例1 解：（1）原式=x2-25. （2）原式=a2-b2. （3）原式=1-x2. 【针对训练】解：（1）原式=a2－1. （2）原式=4m2－9n2 . 例2 解：原式=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2，当x=1，y=2时，原式=5×12-5×22=-15． 【针对训练】解：原式=1-9x2+9x2+2x-1=2x，当x=时，原式=1. 探究点2： 例3 解：（1）原式=(50+1)×(50-1)=50²-1=2499. （2）原式=(60-0.2)×(60+0.2)=60²-0.2²=3600-0.04=3599.96. 例4 解：李大妈吃亏了.理由如下：因为原正方形土地的面积为a2平方米，改变边长后土地的面积为（a+4）（a-4）=a2-16（平方米）.∵a2＞a2-16，∴土地面积减少了．∴李大妈吃亏了． 当堂检测 1.C 2.A 3.(a+b)(a−b)=a2- b2 4.2 5.10 6.解：（1）原式=a2-9b2. （2）原式=4a2－9. （3）原式=4x4－y2. 7.解：（1）原式=1. （2）原式=a4-16. 8.解：原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1，当x=2时，原式=7． 9.解：（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）=9n2-1-（9-n2）=9n2-1-9+n2=10n2-10=10（n2-1）．因为n为任意正整数，所以n2-1为整数.所以整式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的值一定是10的整数倍． 学科网（北京）股份有限公司 $