第 10 章 数的开方 总复习学案 2026-2027学年 华东师大版 八年级数学上册

该初中数学导学案以“数的开方”为单元核心，围绕平方根、算术平方根、立方根、无理数及实数等概念，通过知识点系统梳理与分层专项练习相结合，构建从概念理解到性质应用再到综合拓展的递进式学习路径，形成完整的知识建构体系。 亮点在于设置平方根与立方根对比表格强化概念辨析，高频易错点汇总助力精准突破，分层练习题从基础巩固到拓展冲刺，如“求式子中x的值”“比较大小”等任务培养运算能力与推理意识。既支持学生系统复习提升数学思维，又为教师单元教学提供结构化指导，促进深度学习与能力发展。

第 10 章 数的开方 总复习 第1部分 本章复习讲义 1、 本章知识点总结 第 10 章 数的开方 1.平方根、算术平方根（开平方） 2.立方根（开立方） 3.无理数、实数 实数分类、实数与数轴一一对应、实数相反数 / 绝对值 / 大小比较、实数运算 知识点 1 平方根与算术平方根 1.平方根定义 如果一个数x的平方等于，即，那么x叫做的 ，记作 . 前提条件：被开方数 ；负数没有平方根。 2.算术平方根定义 正数的 平方根称为的算术平方根，符号：。 规定：0的算术平方根是 ，即= 。 3.算术平方根双重非负性 ，只要式子中出现，就隐含。 4.平方根三条核心性质 ① 正数有 个平方根，互为 ； ② 0只有一个平方根，就是 ； ③ 任何负数都不存在平方根。 5.两个核心公式 （1） （2） 知识点 2 立方根 1. 定义 若，则x叫做的立方根，记作 。 取值范围：全体实数都有 立方根，正数、0、负数都能开立方。 2.立方根性质 正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根是 。 3.方根公式 知识点 3 平方根与立方根对比表格 对比项目 平方根​ 立方根​ 被开方数范围 根的个数 符号特征 特殊值 知识点 4 无理数与实数 1.无理数定义：无限不循环小数 三类典型无理数： 1 开方开不尽的数，例如： 2 含π的数，例如： 3 有规律但不循环的无限小数，例如： 概念辨析：带根号不一定是无理数 2.实数定义：有理数和 统称为实数。 3.实数两种分类方式 按定义分类： 按正负分类： 4. 实数与数轴关系 实数和数轴上的点 。 1 任意一个实数，都能在数轴上找到唯一对应的点； 2 数轴上任意一点，都对应唯一的实数。 知识点 5 实数相关概念与运算 1.相反数：实数的相反数是 ，0 的相反数为 0； 2.绝对值：绝对值法则与有理数完全相同 3.实数大小比较： ① 数轴上右边的实数一定 左边； ② 正实数＞0＞负实数；两个负实数，绝对值越大，数值 ； ③ 含根号无理数可用估值法比较大小； 4.实数运算：有理数全部运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内依然成立。 知识点 6 本章高频易错点汇总 1.混淆平方根与算术平方根：16 的平方根是，算术平方根只有 4； 2.忽略双重非负性，求字母取值范围遗漏； 3.误认为“带根号的数都是无理数”； 4.负数没有平方根，但负数有立方根； 5.化简直接写，忘记添加绝对值； 6.无限小数≠无理数，无限循环小数属于有理数； 7.平方根有正负双解，解方程容易漏掉负根。 第2部分 分层专项练习题 模块一 基础巩固篇（必做） 一、填空题 1.81 的平方根是________，算术平方根是________； 2.= ，= ； 3.-64的立方根是________，= ； 4.若有意义，则x的取值范围是________； 5.的相反数是________，=________； 6.实数与数轴上的点是________关系； 7.若则= ，= ； 二、判断题（对打√，错打 ×） 1.任何实数都有平方根（ ） 2.无理数一定是无限小数（ ） 3.=（ ） 4.0 的平方根和立方根都是 0（ ） 5.无限循环小数是无理数（ ） 6.（ ） 三、数的分类 给出数字： 有理数集合：｛ ｝ 无理数集合：｛ ｝ 实数集合：｛ ｝ 4、 基础计算 1. 2. 3. 模块二 能力提升篇 一、求式子中x的值 1. 2. 3. 4. 二、求值与比较大小 1.已知一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数； 2. 若求的值； 3. 比较大小：（1）和5；（2）-和-2.3 三、化简计算 1.+ 2. 模块三 拓展冲刺篇 1. 化简：已知，化简； 2. 已知的算术平方根是3，的平方根是，求的平方根； 3. 写出大于且小于的所有整数； 4. 若与互为相反数，求的值； 5.若，求的算术平方根。 参考答案： 模块一 基础巩固篇（必做） 一、填空题 1.，9 2.0.3，- 3.-4，5 4.x≥3 5.， 6.一一对应 7.0，1 2、 判断题 1. ×；2.×；3.×；4.√；5.×；6.√ 3、 数的分类 有理数集合：｛ ｝ 无理数集合：｛， ， ｝ 实数集合：｛ ｝ 四、基础计算 1. =12 2. =-0.2 3.= 模块二 能力提升篇 一、求式子中x的值 1. 2. 3. 4.或 二、求值与比较大小 1.解：由题意知+=0，解得m=-1，所以这个数的平方根为，所以这个数是25。 2.解：因为，所以，= 3.解：（1）＜5；（2）-＞-2.3 三、化简计算 解：1.+==3 2.= 模块三 拓展冲刺篇 1.解：= 2.解：由题意知，，所以，所以=9，其平方根为 3.解：所有整数为-3，-2，-1，0，1，2，3 4.解：+=0，所以=0，=0，所以，所以 5.解：因为，所以x=3，y=4，的算术平方根是 学科网（北京）股份有限公司 $