第1期：10.1 平方根和立方根-【数理报】2026-2027学年八年级上册数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大八年级第1~5期 线理橘 答案详解 2026~2027学年 初中数学·华东师大八年级 第1~5期(2026年7月) 第1期2版 7.瓶内溶液的体积V=πr2h=3×32×16=432(cm3). 10.1平方根和立方根 所以这个正方体容器的棱长为：432÷2=6(cm). 10.1.1平方根(1) 第1期3版 基础训练1.A;2.C;3.25;4.-3. 题号12345678 5(±4：2)±13：《(3)±08：（④）±是 答案DDCACDBA 4 6.(1)x=±8；(2)x=2或x=-1. 二9.±3；10.4；11.2；12.0或2或6. 7.(1)由题意，得a+2+3a-6=0.解得a=1.所以a+ 三13.(0-7：(2)±0.1：(3)号；(4)号 2=3.所以m=32=9. 14.(1)x=17或x=-11;(2)x=-5. (2)5a+m=5×1+9=14,因为14的平方根是±√14， 15.(1)因为2a-7和a+1是某正数的平方根，所以分两 所以5a+m的平方根是±√14. 种情况： 10.1.1平方根(2) ①2a-7+a+1=0.解得a=2. 基础训练1.B;2.A;3.B;4.7.223;5.9. ②2a-7=a+1.解得a=8. 6.1)10:(2)0.05:(3)号：(4)号 因为b-7的立方根为-2，所以b-7=-8.解得b=-1. 所以a的值为2或8，b的值为-1. 7.(1)设长方形的长为4xcm,则宽为3xcm 根据题意，得4x·3x=588. (2)由(1)，得a-b-=3或9.因为3的算术平方根是5,9 解得x=7(负值舍去) 的算术平方根是3，所以a-b的算术平方根是5或3. 所以4x=28,3x=21. 16.(1)答案不惟一，如/729+729=9+(-9)=0： 2×(28+21)=98(cm). (2)a+b=0: 答：绣布的周长为98cm. (3)因为3-2x与x+5的值互为相反数， (2)不能.理由如下： 所以3-2x+x+5=0. 由(1)知，可裁出的最大圆的直径为21cm.所以可裁出的 解得x=8. 最大圆的面积为：m×()2=30.7万<363.所以她不能裁出 附加题1.当9是4a的一个平方根时，4a=81,解得a= 符合条件的圆形绣布 4； 10.1.2立方根 当4是9a的-个平方根时，9a=16,解得a=16 9； 基础训练1.A;2.D;3.15.63;4.-4. 当a是36的一个平方根时，a=±√36=±6 5.(1)7；(2)-0.6(3)100:(4)-8 综上所述，口的值为或号或6或-6 6.(1)x=4:(2)x=-3 7 2.(1)(3,-1.6)和(-1.6,3)； 初中数学·华东师大八年级第1~5期 (249 “无理数”席：{π，√⑧，0.303003…（相邻两个3之间0的个 数逐次加1)，…. (3)当a=-4,-6=-5时，a=-64,b=25.所以a+ b=-64+25=-39. 7()的相反数是-牙绝对值是。 5； 当a=-5,-万=-4时，a=-125,b=16.所以a+b (2)-√2I的相反数是√2I,绝对值是√2ī： =-125+16=-109. (3)3.14-π的相反数是π-3.14，绝对值是T-3.14; 综上所述，a+b的值为-39或-109. (4)3-1的相反数是1-5，绝对值是5-1： 第1期4版 327 的相反数是-2 1.由题意，得2a+3=9,2-3b=-1. 解得a=3,b=1. 绝对值是宁： 所以a+b=4. (6)√5-万的相反数是万-√5，绝对值是万-5. 因为4的算术平方根是2， 8.(1)-万+2： 所以a+b的算术平方根是2. (2)当m=-√2+2时，m+1>0,m-1<0,所以1m+ 2.由题意，得5a+2=27,3a+b-1=16. 11+lm-11=m+1-(m-1）=2. 解得a=5,b=2. 10.2.3实数的大小比较与运算 所以a+2b=9. 基础训练1.C;2.B;3.答案不惟一，如-√2；4.2. 因为9的平方根是±3， 所以a+26的平方根是±3. 5-5<-a:②)9<5 3.由题意，得x+2=4,2x+y+7=27. 解得x=2,y=16. 32>子 3 所以x2+y=20, 6.(1)5.86;(2)3.38;(3)7.41, 因为20的立方根是/20，所以x2+y的立方根是20. 7.数轴表示略--√历1<-5<-号<1.5<E 第2期2版 第2期3版 10.2实数 10.2.1无理数 题号12345678 基础训练1.B;2.A;3.3. 答案CDACC B DD 4.(1)5; 二、9.2,2-5；10.>；11.2；12.0. (2)不能.理由如下： 三，13.正实数集合：号，9，-(-2)，401001001…（相邻 因为0和1的算术平方根分别是0,1，且0和1都是有理 数，所以若输入0和1，不能输出y 两个1之间0的个数逐次加1)，1.23，…}： (3)答案不惟一，如x=2或x=4. 负分数集合：-3子，-0.37，…： 10.2.2实数的认识与性质 无理数集合：号，4010010001（相邻两个1之间0的 基础训练1.B;2.B;3.C;4.10-3:5.2. 个数逐次加1)，…}； 6.(1)3: 非正整数集合：0，-42，…}. (2)“整数”席：-4,2026，-√16，…}； 14.(1)2.74;(2)0.33;(3)1. “分数席：-子0.3，… 15.(1)5-4: 2 初中数学·华东师大八年级第1~5期 (2)当m=5-4时，原式=(4+5-4)2+15-4+1+202610. 11=(5)2+√5-31=5+3-5=8-5 第2期4版 (3)由平移得，AB=4. 1.A;2.C;3.D;4.A. 因为BC=74B, 5.(1)因为A,B对应的数分别为1和3， 所以BC=2. 所以AB=√5-1. 因为点B表示的数为5-4， 因为C,0对应的数分别为x,0, 所以C0=0-x=-x. 所以当点C在点B右侧时，点C表示的实数c为：5-4+ 因为AB=CO, 2=5-2: 所以3-1=-x 当点C在点B左侧时，点C表示的实数c为：5-4-2= 所以x=1-5. 5-6. (2)由(1)得x=1-5.所以(x+5)2=(1-5+3)2 综上所述，实数c的值为5-2或5-6. =1. 16.(1)5,33-5; 因为1的平方根是±1， (2)因为11<143<12,6<43<7， 所以(x+5)2的平方根是±1. 所以√143的整数部分为11，小数部分a=√/43-11， 第3期综合测评卷 √43的整数部分b=6. 题号1234567891012 所以原式=√143-11+112-√1431=143-11+12 答案ABDAD C D C BABD -143=1. 二、13.√17-3；14.22-4；15.3；16.√2. (3)因为2<5<3， 三、17.正实数集合：T,0.1010010001(相邻两个1 所以12<10+5<13. 因为10+√5=2x+y,其中x是整数，且0<y<1, 之间0的个数逐次加1)，297，-（(-30%)，号，…： 所以x=6,y=10+√5-12=5-2. 无理数集合：{/T,0.1010010001…(相邻两个1之间0 所以x-y的相反数是：y-x=√5-2-6=5-8. 的个数逐次加1)，号，… 附加题1.(1)-2，-1+√2； (2)m+√3与2-√5不是关于1的“平衡数”.理由如下： 分数集合：-25,9297，-(-30%)…： 因为5(m+5)=3+5, 整数集合：{-31,0，-1-41，…}. 所以3m+3=3+3. 18把A=80代人h=g,得80= 2x10. 解得m=1. 解得t=4(负值舍去). 当m=1时，m+5+2-5=1+5+2-√5=3≠2. 答：一个物体从80m的高楼坠落，到达地面约需要4s. 所以m+√5与2-5不是关于1的“平衡数” 19.(1)因为5a+2的立方根是3,3a+b-1的算术平方根 2.(1)1+10: 是4，所以5a+2=27,3a+b-1=16.所以a=5,b=2.因 (2)因为正方形ABCD的边长是√0，第一次翻滚后点P 为3<√3<4，c是√3的整数部分，所以c=3. 表示的数是1+√而；第二次翻滚后点C对应的数是1+ (2)当a=5,b=2,c=3时，3a-b+4c=25.因为25的 2√0：第三次翻滚后点D对应的数是1+3√10；….因为经过 平方根是±5，所以3a-b+4c的平方根是±5. 第2026次翻滚后与数轴上的点Q重合，所以点Q表示的数是 20.(1）-√2+3. 3 初中数学·华东师大八年级第1~5期 (2)因为12c+d1与√d+4互为相反数， 能力提高7.(1)因为x*y=3×3', 所以12c+d1+√/d+4=0. 所以2*5=32×35=37=2187 所以2c+d=0,d+4=0. (2)因为1*(4x-3)=81, 解得c=2,d=-4. 所以3×34-3=3-2=34 所以2c+3d=-8. 所以4x-2=4. 所以2c+3d的立方根是-2. 廊得：子 21.(1)-3,-12,-27这三个数是“完美组合数”.理由如 (3)x*(y+z)=(x+y)*z.理由如下： 下： 因为x*(y+z)=3×3=3w+,(x+y）*z=3y× (-3)×(-12)=6,(-3)×(-27)=9, 3=3+y,所以x*(y+z）=（x+y）*z √/(-12)×(-27)=18. 11.1.2幂的乘方 因为6,9,18都是整数，所以-3，-12，-27这三个数是 基础训练1.D;2.C; “完美组合数” 3.(1)m,(2)-x8,(3)x0,(4)64;4.8. (2)因为-5，m,-20是“完美组合数”，且 5.(1)x4;(2)2x2;(3)-xm. /(-5)×(-20)=10, 能力提高6.(1)由题意，得a+3b+2z=3. 所以①若-5，m这两个数乘积的算术平方根为20，则 所以3“×27×9=3”×3“×32=3+32=32=27. -5m=400,解得m=-80. (2)因为22=3，所以(221)2-2=22-2=4× 此时√/(-5)×(-80)=20，√/(-20)×(-80)=40. (22)3-(22)2=4×33-32=108-9=99. ②若-20，m这两个数乘积的算术平方根为20，则-20m 11.1.3积的乘方 =400,解得m=-20(不合题意，舍去) 基础训练1.D;2.B; 综上所述，m=-80. 3.a)9e,2)25a6,(3)-y,46.4×10; 22.(1)0.1,10. 4.15. (2)①0.245； 5.()原式=(÷)×《-子)2×(-子) ②由√0.0012≈0.03464，√2m≈34.64可知0.03464 的小数点向右移动了3位得到34.64. 4 所以被开方数0.0012的小数点需向右移动6位才可得到 2m,即2m=0.0012×10 -1×(~) 解得m=600. (3)当0<a<1时，√a>a; (②)原式=空x(空×（受”×(-8 当a=0或1时，a=a: 当a>1时，a<a. 第4期2版 =-25. 11.1幂的运算 11.1.4同底数幂的除法 11.1.1同底数幂的乘法 基础训练1.B;2.C: 基础训练1.C;2.C;3.21: 3.(1)-a2,(2)a,(3)-x2;4.25. 4.9.6×102；5.64. 5.(1)x3;(2)-8x3;(3)-2x. 6.(1)-y';(2)(-a)7;(3)y;(4)am+3. 能力提高6.(1)因为2m=3,2”=5, -4 初中数学·华东师大八年级第1~5期 所以23m=(2m)3=33=27,22=(2")2=52=25. 解得m=2. 所以2-2=2÷2=25 27 (2)因为a=39=(33)3=273,b=4=(42)33=1633, c=53,又因为27>16>5， (2)因为10=20,10=号 所以273>163>5”，即a>b>c. 1 附加题1.因为[(a-2)2]3=(a-2)(a-2)(a≠2)， 所以10=10÷10=20÷5=100=10. 所以(a-2)6=(a-2) 所以a-b=2. ①当a+1=6,即a=5时，符合题意； 所以25÷52=(52)"÷52%=5÷52弘=52m-2h=54= ②当a-2=1,即a=3时，符合题意； 625. ③当a-2=-1,即a=1时，符合题意。 第4期3版 综上所述，a的值为5或3或1. 题号12345678 2.(1)3,-3; 答案BDADDCBC (2)因为(5,3)=a,(5,8)=b,(5,24)=c, =9.(a-b)5;10.18;11.8;12.3或7 所以由新定义可得：5=3,5=8,5=24. 因为3×8=24， 三、13.(1)x°；(2)-4x;(3)6a. 所以5”×5=5 14.(1)因为23×33=36-2， 所以a+b=c. 所以(2×3)+3=(62)-2=62-4 所以6*3=6244 （3)(8,125)+4,)=(2,5)+[2,(P]=(2,5) 所以x+3=2x-4. +2,号. 解得x=7. (2)因为(2m)2÷(2")2=256,所以22÷2=2.所以 设(25)=a,2,号)=6c=a+b=(2,5)+(2,. 22m-2=28,所以2m-2n=8.所以m-n=4. 15.(1)0.5,2,1; 所以c=(2,5×号)=2,8. 因为23=8， (2)原式=(-0.125)5x(2)5+(日2x(-号)2 所以c=3. x(-) 所以(8,125)+(4， )=3 =(-015×8)严+(-品×9m×(-号 第5期2版 11.2整式的乘法 =(-105+(-12题×(-号) 11.2.1单项式与单项式相乘 -1+号 基础训练1.B;2.B; 3.-4,15;4.22a2. 5.(1)2x3y;(2)-18xy; 16.(1)因为8m×16"×32m=2”÷8=222÷23, (3)3xyz;(4)3ab 所以(2)m×(2)m×(2)m=24. 能力提高6.yang8888. 所以23m×24m×25m=224. 11.2.2单项式与多项式相乘 所以23m+4m+5m=224. 基础训练1.C;2.A; 所以22m=224 3.1;4.72m2n+45mm2. 所以12m=24. 5.(1)-6ab-3b2;(2)-2xy2+4xy+2xy2; -5 初中数学·华东师大八年级第1~5期 (3)-2x2y+6x2y5-x2y% 即安装健身器材的区域面积为2942平方米. 6.(1)这个多项式是：x2-2x+1-(-3x2)=x2-2x+1 16.(1)4×5×100+25: +3x2=4x2-2x+1; (2)(a5)2=100a(a+1)+25.理由如下： (2)正确的计算结果为：(4x2-2x+1)·(-3x2)=-12x 因为(a5)2=(10a+5)(10a+5)=100a2+100a+25, +6x3-3x2. 100a(a+1)+25=100a2+100a+25, 能力提高7.原式=-a26+3a2b+2a62=-(ab2)3+ 所以(a5)2=100a(a+1)+25 3(ab2)2+2ab2. (3)根据题意，得(a5)2-100a2=525,即100a2+100a+ 因为ab2=-1,所以原式=1+3-2=2. 25-100a2=525, 11.2.3多项式与多项式相乘 解得a=5. 基础训练1.D;2.B;3.A; 附加题1.(1)B是A的“好多项式”.理由如下： 4.2；5.2x2+7x-4. 由题意，得C=A×B=(x-2)(x+3)=x2-2x+3x- 6.(1)2x2+9xy-5y2;(2)4a3+6a2b-8ab2-15b3. 6=x2+x-6. 7.a2+7a+10:a2+3a-10:a2-3a-10:a2-7a+10. 所以L(C)=3. (1)x2+(p+q)x+p9: 因为L(A)=2, (2)①x2-13x-230:②x2-45x+500: 所以L(A)<L(C)=L(A)+1. (3)因为x2-8x-3=0, 所以B是A的“好多项式” 所以x2-8x=3. (2)C=A×B=(x-3)(x2-ax+9)=x3-(a+3)x2 +3(a+3)x-27 (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)=(x-1)(x-7)(x-3)(x -5)=(x2-8x+7)(x2-8x+15) 因为B是A的“极好多项式”， 把x2-8x=3代入，得原式=(3+7)×(3+15)=180. 所以L(A)=L(C)=2. 所以x3-(a+3)x2+3(a+3)x-27只有两项. 第5期3版 所以a+3=0. -、 题号12345678 解得a=-3. 答案DACC ABCA 2.因为6=192，所以(6*)￥=192，即6w=192'①. 二9.62-2x;10.-4xy°；11.-7； 因为32=192，所以(32)）=192，即32=192②. 12.1或4或9. ①②的两边分别相乘，得6”×32”=192'×192 三、13.(1)-24xy；(2)12x2y+8x2y2-4xy; 所以(6×32)w=192*+y. (3)13a2b-4ab2;(4)72x2+29x-6. 所以192”=192+y. 14.小明的发现是正确的.理由如下： 所以xy=x+y. 原式=3x23+2x2-3x2-8x2+6x2-8=-8. 所以(-6)-0(-12=(-6)-0-1)×(-6)2= 因为计算结果与x的取值无关，所以小明的发现是正确 (-6)w-(+01×36=(-6)×36=-216. 的， 15.(1)由题意，得(9a+1)(3b-4)-b(3a+1)=24ab -36a+2b-4, 即安装健身器材的区域面积为(24ab-36a+2b-4)平方 米； (2)当a=9,b=15时，24ab-36a+2b-4=24×9×15 -36×9+2×15-4=2942, 64 素养拓展 数理招极 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 专题辅导 报纸发行质量反馈电话： 兄弟联合俅方根 专项训练 0351-5271248 2026-2027学年 ◎四川王清瑞 八年级数学华东师大 1.已知2a+3的平方根是±3,2-3b的立方 平方根、算术平方根和立方根是三个重要的 所以6ú+6的平方根是±6. 第一学期编辑计划 根是-1，求a+b的算术平方根. 知识点，频繁出现在各种不同类型的考试题中， 二、平方根、立方根联合算术平方根 第1期 这“三兄弟”经常一起出场，互相搭桥，联合演绎 例3已知某正数的两个平方根分别是-1 10.1平方根和立方根 一道道好题下面撷取几例，供同学们参考 和a-4,b+12的立方根是-2，求a-b的算术 第2期 一、平方根联合立方根 平方根. 10.2实数 例1已知3x+1的平方根是±4，求9x+ 解：根据题意，得a-4=1,b+12=-8. 2.已知5a+2的立方根是3,3a+b-1的算 第3期 19的立方根 解得a=5,b=-20. 术平方根是4，求a+2b的平方根 第10章复习与小结 解：因为3x+1的平方根是±4， 所以a-b=25. 第4期 所以3x+1=(±4)2=16. 因为25的算术平方根是5， 11.1幂的运算 解得x=5. 所以a-b的算术平方根是5. 第5期 所以9x+19=64. 三、立方根、算术平方根联合立方根 11.2整式的乘法 因为64的立方根是4， 例4已知2a-1的算术平方根是3,3a 第6期 所以9x+19的立方根是4. b-4的立方根是2，求a+40b的立方根， 3.已知x+2的平方根是±2,2x+y+7的立 11.3乘法公式： 例2已知4a+7的立方根是3，求6a+6 解：根据题意，得2a-1=32=9,3a-b- 方根是3，求x2+y的立方根. 11.4整式的除法 的平方根. 4=23=8. 第7期 解：因为4a+7的立方根是3， 解得a=5,b=3. 所以4a+7=33=27. 11.5因式分解 所以4+40b=125. 第8期 解得a=5. 因为125的立方根是5， 第11章复习与小结 所以6a+6=36. 所以a+40b的立方根是5 数理报社试题研究中心 因为36的平方根是±6， (参考答案见下期) 第9期 【对应练习见本版《专项训练》】 12.1命题、定义、定 题型全间 平方根节是数学爱好 理与证明； →方根题型面面观 者的节日之一，这一天的月© 12.2.1全等三角形 份和日期的数字正好是这 福建 的判定条件； 一年份最后两位数字的平 12.2.2边角边 ©山东康丽君 方根，例如：2009年的3月 平方根是初中数学中的一个重要概念，它 =n(n+1) 第10期 2 3日，2016年的4月4日.那 岳春生 的题型较多，下面列举两种题型让我们一起领 根 期中复习 么同学们知道21世纪中有 略一下吧！ 二、实际应用型 第11期 哪些日期是平方根节吗？根 一、规律型 例2某小区为了促进全民健身活动的开 12.2.3角边角； 据平方根节的定义，我们应 例1阅读下面材料： 展，决定在一块面积为1000m2的正方形空地 12.2.4边边边 该首先确定月份和日期，最 √不=√F=1; 上建一个篮球场.已知篮球场的面积为420m2, 第12期 后确定年份即可.所以除了 √+2=√32=3； 其中长是宽的斧倍，篮球场的四周必须留出1m 所举例子外，我们可以找到的平方根节还有： 12.2.5斜边直角边 第13期 /+23+3=√6=6； 宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这 2001年1月1日，2004年2月2日，2025年5月 5日，2036年6月6日，2049年7月7日，2064年 12.3等腰三角形 √+2+3+4=√/102=10： 块空地上建一个篮球场？ 8月8日，2081年9月9日.这些日子看以稀奇 第14期 +2+3+4+5=√15=15； 分析：设氢球场的宽为m,剥长为得m 但在数学爱好者眼中却是相当珍贵的，因为 12.4逆命题和逆定理 要判断能否按规定在这块空地上建一个篮球 个世纪只会出现9次 第15期 第12章复习与小结 根据上面的规律，解决下列问题： 场，只高判断（ 当平方根节到来的时候，一些数学爱好 x+2)2是否小于或等于1000 (1)√3+23+33+43+53+6 者都会开展形式多样的庆祝活动，比如有人 第16期 即可 把生日蛋糕做成方形的，也有人制作方形 13.1勾股定理及其 逆定理； (2)求√/+2+3+…+元的值（用含 解：设篮球场的宽为xm,则长 28 明治等等」 :m. 在刚刚过去的一个平方节(2025年5月5 13.2勾股定理的应用 n的代数式表示). 日)，同学们都庆祝了吗？要知道，下一个平方根 第17期 分析：(1)观察各个等式中最左边的被开方 根据题意，得容·=40 节需要等到2036年6月6日.如果那天同学们 第13章复习与小结 数中各个幂的底数的和与最右边的结果的关系 解得x=±15. 还记得这个节日，大家可以把根类蔬菜切成正 第18期 即可得出结论； 因为x为正数， 方体形状，也可以把食物制作成根号模样以示 14.1数据的收集； (2)利用发现的规律解答即可. 所以x=15. 庆祝让我们一起来期待下一个平方根节吧！ 14.2数据的表示； 解：(1)√217,21； 所以该篮球场的长和两侧空地的总长为： 第14章复习与小结 (2)根据上述材料中发现的规律，可得 符+2=器×15+2=30(m). 第19~26期 √+2+33+…+n 巩固提高（合刊） 因为302=900<1000 =√(1+2+3+…+n)月 所以能按规定在这块空地上建一个篮球场， 益理极 2026年7月1日·星期三 初中数学 期总第1197期 华东师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-206 知识梳理 学习方根三对比 10.1平方根和立方根 ■■■■■■ ■■■ ■■■ 学习目标：1.了解平方根、算术平方根的 O安徽 吴雨华 概念，明确算术平方根与平方根的区别和联 系 平方根、算术平方根和立方根是初中数学 平方根记作±2；一个非负数a的算术平方根 2.了解立方根的概念，会求一个数的立 的重要知识，因为它们的概念相近，表示形式相 记作√a,如2的算术平方根记作2. 方根 似，所以初学者很容易混淆.为了帮助同学们正 3认识平方与开平方、立方与开立方之 温馨提示：±√a是a与-√a(a>0)的合 确理解和区分，现解读如下： 间的关系」 一、概念对比 写，a≠-√a,所以我们要分清±a,√a 1.平方根：如果一个数的平方等于a,那么 -√a(a>0)这三种形式的区别. 已知一个正数的平方根 求这个正数时，需正确理解 这个数叫做a的平方根. 2.一个数a的立方根记作a,如2的立方根记 题意，依据平方根的性质列 2.算术平方根：正数a的正的平方根，叫做作迈. a的算术平方根。 方程求解下面举例说明 温馨提示：对于符号“a”,n表示根指数，a 3.立方根：如果一个数的立方等于a,那么 一、已知一个正数的平 表示被开方数，在符号“±a”中，根指数n=2, 这个数叫做a的立方根 陈 方根是两个式子 例1已知一个正数a 温馨提示：算术平方根从属于平方根，是平 可以省略不写，而在符号“a”中，根指数n= 根 的平方根是2m-1和 方根的一部分，知道了一个正数的平方根也就3，不能省略. 知道了这个正数的算术平方根，同样，知道了一 三、性质对比 个正数的算术平方根，也就知道了这个正数的 1.平方根的性质：一个正数有两个平方根 求原 -3m+,则这个正数a为 平方根 它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方 解：因为一个正数a的 4.开平方：求一个数的平方根的运算，叫做根.如49有两个平方根，是7和-7，它们互为相 反数. 平方根是2m-1和-3m+ 开平方 9数 5.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做 2.算术平方根的性质：一个正数a的算术平 开立方 方根有一个，是a的正的平方根，0的算术平方 温馨提示：开平方与平方互为逆运算，开立根是0，负数没有算术平方根.如49的算术平方 所以2m -3m+ 2 )=0. 方与立方互为逆运算，因此可根据这种关系求 根只有一个，是7 解得m= 3 一个数的平方根和立方根， 3.立方根的性质：正数的立方根是正数，负 2 二、符号对比 数的立方根是负数，0的立方根是0.如216= 所以a=(2×子-1)2=4 1.一个非负数a的平方根记作±a,如2的6,216=-6,0=0. 十十十十 故填4. 精讲课堂 说明：如果已知一个正数的两个平方根，那 么这两个平方根互为相反数，根据互为相反数 立方根的“个人专辑 的两个数的和为零，列方程即可解决问题， 二、已知两个式子是一个正数的平方根 ◎山西 吴豫良 例2若3-a和2a+3都是某正数的平方 立方根是方根家族中的重要成员，今天立 解析：先求立方根，然后再作加减运算即可 根，则这个数为 方根“个人专辑”正式发行，下面让我们先睹为 解：分两种情况讨论： 快吧！ ①当3-a与2a+3表示一个正数的同 曲目一、求立方根 个 曲目三、解方程 例1求下列各数的立方根： 平方根时，此时3-a=2a+3. 例3已知(2x-1)3-8=0,求x的值， 解得a=0. (1)-8:(2)2=；(3001 解析：由已知，得(2x-1)3=8.根据立方根 所以3-a=3. 解析：求一个数的立方根可借助立方来求， 的意义可知，2x-1是8的立方根.因为8的立方 因为32=9，所以这个数为9 同时要注意正数的立方根是正数，负数的立方 根是2所以2x-1=2解得x=多 ②当3-a与2a+3表示一个正数的两个不 根是负数，0的立方根是0. (1)因为(-2)3=-8，所以-8的立方根 曲目四、实际应用 同的平方根时，此时3-a+2a+3=0. 是-2，即8=-2； 例4一块长方体红砖，体积为1728立方厘 解得a=-6. (2)因为(-罗.所以的立方根是 米，长宽、高的此是4：2：1，求它的长、宽、高 所以3-a=9. 解析：设这个长方体红砖的长是4x厘米，则 因为92=81，所以这个数为81. 宽是2x厘米，高是x厘米 综上所述，这个数为9或81. 故填9或81. (3)因为0.13=0.001，所以0.001的立方 根据题意，得4x·2x·x=1728,即8x3= 根是0.1，即/0.001=0.1. 1728. 说明：已知两个式子表示同一个正数的平 曲目二、化简求值 解得x=6.所以4x=24,2x=12. 方根，此时存在两种情况，一是两个式子相等， 7 答：这个长方体红砖的长是24厘米，宽是 二是两个式子互为相反数，需分类讨论求解， 例2 计算：/(-5)- 1-81 12厘米，高是6厘米 2 素养专练 数理极 10.1.1平方根(2) 10.1.2立方根 跟踪训练 垦砂训练 垦础训练 】 gEnzoNGXUNLIAN 1.计算√任的值为 1.8的立方根是 10.1平方根和立方根 A.2 B.-2 C.±2 D.±4 10.1.1平方根(1) A-B 2.有下列说法：①一个数的立方根有两个 D 2 它们互为相反数；②负数没有立方根：③任何数 垦础训练 2.下列说法正确的是 ( 的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根， 1.36的平方根是 ( A.√25表示25的算术平方根 那么这个数也一定有平方根，其中正确的有 A.±6 B.6 B.-2表示2的算术平方根 C.-6 D.±6 C.2的算术平方根记作±2 A.4个 B.3个C.2个 D.1个 2.下列各数中，没有平方根的是 3.用计算器计算：/3816≈ （精确 D.2是2的算术平方根 A.(-2)2 B.1-3 到0.01). 3.面积为8的正方形的边长为a,则a的大致 C.-1 D.0 4.若a的平方根是±8，则-a的立方根是 范围是 ( 3.若一个数的平方根为±5，则这个数是 A.1和2之间 B.2和3之间 5.求下列各式的值： C.3和4之间 D.大于4 4.已知5x-1的平方根是±3，x-y-3的平 4.用计算器计算：√52.17≈ (1)343; (2)-0.216; (精确 方根是±2，则x+y= 到0.001). 5.求下列各数的平方根： 5.若-3是m的一个平方根，则m+72的算 (1)16; (2)169; 术平方根是 6.求下列各数的算术平方根： (1)100; (2)0.0025; (3)10: 3512 ! (4)√-125 (3)0.64; (4)1 瓷 6.求下列各式中x的值： (3)333 (4(-3 (1)2(x-1)3=54: 6.求下列各式中x的值： (1)2x2-128=0; (2)27(x+1)3+64=0. 7.《清秘藏》是明代所著中国古代工艺美术 鉴赏著作，其中记载的刺绣在中国经过长时间的 (2)4(2x-1)2=36. 发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺 门类.现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣 布的面积为588cm2. (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张长方形绣布裁出 7.已知一个底面半径为3cm的瓶子内装着 张面积为363cm2的完整圆形绣布，用于绣花鸟 些溶液，溶液的高度为16cm.若瓶内的溶液正 图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3） 好倒满2个一样大的正方体容器，求这个正方体 容器的棱长（π取3，容器的厚度不计）. 7.已知一个数m的两个不相等的平方根分别 为a+2和3a-6. (1)求这个数m; (2)求5a+m的平方根 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 16.(16分)观察下列式子： 同步检测 ①万+1=1+(-1)=0： ②8+8=2+(-2)=0： TONGBUJIANCE ③/1000+-1000=10+(-10)=0： 【检测范围：10.1】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 4语（ (2)±√0.0169； 2 … 题号1 3456 78 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： 答案 (1)根据以上等式的规律，写出一个类似的等 16的平方根是 式： (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳 为一个这样的结论：对于任意两个有理数a,b,若 ,则a+拓=0，反之也成立； c-4 D± (3)若3-2x与x+5的值互为相反数， 2.算术平方根是它本身的数是 求x的值 A.0 B.1 1 C.±1 D.0和1 3.某商店出售一种体积为36πcm3的小球，已 灯球的体积公式为V-号(，为缘的半径)，则 364 这种小球的半径为 (4)-√-729 A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4cm 4.估计√23的值在 ( A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 5.下列说法中，正确的是 ( A.√16的算术平方根是4 14.(10分)求下列各式中x的值： 附加题⊙ B.-32的平方根是±3 (1)(x-3)2-56=140; (以下试题供各地根据实际情况选用) C.-5是5的一个平方根 1.(10分)已知9,4，a这三个数满足一个数是 D.8的立方根是±2 另外两个数乘积的一个平方根，求α的值 6.若-3xy与2x"y的和是单项式，则(n- m)2的平方根是 ( A.2 B.±2 C.3 D.±3 7.若1x1=3,y是4的算术平方根，且1y-x1= x-y,则x+y的值是 ( (2)2(x+10)3-250=0. A.-5 B.5 C.-1 D.5或-1 8.已知0.5≈0.7937,5≈1.7100，则 500≈ ( A.7.937 B.79.37 2.(10分)我们用(a,b)表示一个数对，其中a C.17.100 D.171.00 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 为任意数，b≥0.记a=m,-万=n,将数对(m, 15.(14分)已知2a-7和a+1是某正数的平n)和(n,m)称为数对(a,b)的一对“开方对称数 9.1号的平方根是 方根，b-7的立方根为-2. 对”.例如：数对(8,25)的开方对称数对为(2， 10.若0.25的算术平方根是x,-27的立方根 (1)求a,b的值； -5)和(-5,2). 是y,则2x-y的值为 (2)求a-b的算术平方根. (1)数对(27,2.56)的“开方对称数对”是 11.若m,n满足1m+1|+√n+4=0,则 √mn的值为 (2)若数对(x,y)的一个“开方对称数对”是 12.已知x-1=x-1,则x2+x的值为 (-7,2则x ,y= (3)若数对(a,b)的一个“开方对称数对”是 三、耐心解一解（共52分） (-4,-5),求a+b的值. 13.(12分)求下列各式的值： (1)7: 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)