第8期：13.2 命题与证明-【数理报】2026-2027学年八年级上册数学学案（沪科版·新教材 安徽专版）

4 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 疑维解行 第7期2版参考答案 报纸发行质量反馈电话 “对顶三角形”性质的探索与应用 13.1三角形中的边角关系 0351-5271248 13.1.1三角形中边的关系 基础训练1.C;2.C;3.8,4,BE,∠BEC; 【上接4版参考答案 ○福建李承泽 4.3;5.6. 16.(1)因为1a-b1 如图1，线段AB,CD相交 ∠D=25°.故填25°. +(b-c)2=0,所以a-b 6.在△ABP中，根据三角形的三边关系，得PA+ =0,b-c=0.所以a 于点O,连接AD,BC,我们把 探索二：探索角之间的关系 PB AB. b,b=c.所以a=b=c △AOD和△B0C叫作“对顶三 例2一 副三角板 同理，PB+PC>BC,PA+PC>AC. 所以△ABC是等边三角 角形”.根据三角形外角的性 如图3所示摆放，则∠α 以上三式相加，得2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC 质，得∠BOD=∠A+∠D: 1 与∠β的数量关系为 所以PA+PB+PC>(AB+BC+AC). (2)因为a=5,b =2,所以5-2<c<5 ∠BOD=∠B+∠C,从而有 ( +2,即3<c<7.因为 ∠B+∠C=∠A+∠D,这一结论称为“对顶三 7.(1)在△ABC中，因为AB=7,BC=2,所以AB 角形”的性质。 A.∠x+∠B=180° 三角形的周长为奇数， 图 BC<AC AB+BC.5<AC <9. B.∠a+∠B=225 所以c是偶数.所以c= 利用这一结论可巧妙地解决一些数学问 (2)因为△ABC的周长为偶数，AB+BC=9,为奇 4或6. 题，下面分类探索它的应用，供同学们参考 C.∠a+∠B=270 数，所以AC的长为奇数 (3)由三角形的三 D.∠a=∠B 边关系，得a-b<c,b 探索一：求角度 因为5<AC<9,所以AC=7=AB.所以△ABC -c<a,a+b>c.所以 例1如图2，线段 解析：如图3.根据直角三角形的性质，得 的周长为：9+7=16，△ABC是等腰三角形. 原式=-a+b+c+b- AD,BC交于一点，∠C= ∠A=90°-∠F=60°.根据三角形外角的性 13.1.2三角形中角的关系 -a+a+b-c=-a ∠A=90°，∠B=25°，则 质，得∠ACB=∠&-∠A=∠a-60°.由对顶 基础训练1.D;2.D;3.B;4.90°； +3b-c. 5.20°：6.50°或130°. 17.(1)120°，155 ∠D的度数是 角相等，得∠ACB=∠DCE.由图3知△CDE和 图2 7.因为FD∥EC,∠D=42°，所以∠ECB=42°. (2)猜想：∠BPC 解析：设AD,BC交于点O. △EFG是“对顶三角形”.根据“对顶三角形”的 因为∠ACE=∠ECB,所以∠ACB=2∠ECB= 由图2知△AOB和△COD是“对顶三角性质，得∠DCE+∠D=LF+∠EGF,即∠a- =90°+∠A理由如 84 形”.根据“对顶三角形”的性质，得∠A+∠B60°+45°=30°+180°-∠B.化简，得∠a+∠B 又因为∠A=46°，所以∠B=180°-∠A-∠ACB 因为△ABC的两条 =∠C+∠D,即90°+25°=90°+∠D.解得 =225°.故选B. =50°. 角平分线BD,CE交于 13.1.3三角形中几条重要线段 点P,所以∠PBC= 题垫 基础训练1.B;2.B;3.48;4.4;5.9. 1 ∠ABC,∠PCB 新式题型来集合 6.(1)因为DE∥BC,∠2=40°，所以∠1= ∠ACB,∠DCB=∠2=40°. ∠ACB.因为∠A+ 3 因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACB= ∠ABC+∠ACB= O黑龙江籍晓红 2∠DCB=80°. 180°，∠BPC+∠PBC+ 一、新定义型 例1如果一个三角形中有一个内角的度 2∠ACD (LACD-ZABC) 所以∠1=80°. ∠PCB=180°，所以 2 ∠ABC= (2)因为∠3=40°=∠DCB,所以FH∥CD. 数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个 子∠A因为BA,平分∠ABC,CA,平分∠A,CD, 因为FH⊥AB,所以∠FHB=90, ∠ACB)=∠BPC+ 三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形 所以∠CDB=90° 是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等所以∠A,BC= ∠A,BC,LA,D 所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高： 180°.所以∠BPC= 能力提高7.B. 解析：设这个三角形的最小内角为∠A,另 ∠A,CD.所以∠A,=∠A,CD-∠A,BC= 第7期3版参考答案 90°+2LA (3)由(2)，得∠P 个锐角为∠B.①若直角是∠B与∠A度数差 -、题号12345678 5(B”0:解得Aw 则{∠A+∠B=90, 3∠A,BC- (∠A,cD 答案BC C D AB DA =90°+2∠A,LR= 的2倍， 二、9.-3<a<0;10.115°；11.26；12.72 90+∠P所以LP LA=2.5°②若LA的度数是直角与∠B ∠ABC)=2∠A=2∠A,…,以此类推，得 三、13.因为CA平分∠BCD,∠BCD=50°， 所以LBCA=25° =90+7∠P=90°+ ∠B=67.5°. 因为∠A=25°， 度数差的2倍，则<1+∠B90°，解得 ∠A=∠A=受故填受 所以∠ABC=180°-∠A-∠BCA=130° 1∠A=2(90°-∠B). 三、探究型 因为∠ABD=70° 135°+∠A (LA=0°（不符合题意）.③若LB的度数是 例3如图2，AD,AE分 所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=130°-70°= 附加题(1)是 1∠B=90 别是△ABC的角平分线和高 60°. (2)由△ADC是 直角与∠A度数差的2倍，则 因为∠BCD=50°， “倍余三角形”，∠AD( 「∠A+∠B=90°， 线.若∠C>∠B,猜想∠DAE 所以∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-60 是钝角，分情况讨论： L∠B=2(90°-∠A). 解得A=90(不符与2C-∠B之间的数量关 L∠B=0° 图2 50°=70°. ①当2∠DAC+ ∠C=90°时，2∠DAC 合题意).故填22.5 系，并加以证明。 14.图略 +36°=90°，解得 15.(1)因为∠ADC=60°， 二、规律型 ∠DAC=27°，所以 解：∠DAE= 2(∠C-∠B).证明如下： 所以∠ADB=180°-∠ADC=120°. /ADCG=180°-/C 例2如图1，在△ABC 因为AE是△ABC的高线，所以∠AEC= 所以∠B+∠BAD=180°-∠ADB=609 ∠DAC=117°.所以 中，∠A=m°，点D在BC的 又因为∠B=2∠BAD, ∠ADB=180°-∠ADC 延长线上，∠ABC和∠ACD 90.所以∠EAC=90°-∠C.因为AD是△ABC =63°. 所以3∠BAD=60°. ②当2LC 的平分线交于点A1,∠A,BC 的角平分线，所以∠DAC=?LB1C.因为 解得∠BAD=20°. ∠DAC=90°时，即2× 和∠ACD的平分线交于点 (2)因为∠ADC=65° 36°+∠DAC=90°，解 A,…,LA-BC和∠A,-CD的平分线交于点∠BAC=180°-∠B-∠C,所以∠DAC= 所以∠ADB=180°-∠ADC=1159 得∠DAC=18°，所以 因为∠B=40°， ∠ADC=180°- ∠C- 解折：因为BA,平分∠ABC,C4,平分2(180°-∠B-∠C.所以∠D1E=∠DAC An,则∠An= ∠DAC=126°.所以 所以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=25° ∠ADB=180°-∠ADC 因为AD平分∠BAC, =54°.综上所述， ∠ACD,所以∠ABC=7ABC,∠A,CD=∠BAc=180-∠B-∠C-(0-∠C) 所以∠BAC=2LBAD=50 ∠ADB的度数是63°或 所以∠B+∠BAC=90° 54. (全文完 方∠4Cn所以∠A=∠AcD-∠ABC==(2C-∠B) 所以△ABC是直角三角形.（下转1,4版中缝） 数理超 2026年8月19日·星期三 初中数学 第 8期总第1204期 沪科 八年级(AH) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 公向景 命题学习自部曲 本周主讲 ◎四川王婧舒 13.2命题与证明 一、理解命题的定义 例2判断下列命题是真命题还是假命题， 学习目标：1.了解命题的含义，会区分命 可以判断正确或不正确的陈述语句叫作如果是假命题，请举出一个反例 题的条件和结论. 命题. (1)相等的角是对顶角： 2.会写一个命题的逆命题 例1下列语句中，哪些是命题？哪些不是 (2)同位角相等； 3.掌握三角形内角和定理及其外角的推 命题？ (3)若x>2,则x-3>0. 论 (1)如果a>0,b>0,那么ab>0; 解：(1)是假命题.如：如图1，若∠A0C= 认知重点：1.会判断命题的真假，初步掌 (2)如果∠A+∠B=90°，那么∠A与∠B互90°，0B是∠A0C的平分线，则∠A0B 握利用公理和定理进行证明的方法 为余角； ∠COB,但∠AOB与∠COB不是对顶角 2.理解、总结证明的基本步骤、书写格式及 (3)吸烟对身体有害； 方法 (4)画一个角； (5)对顶角； 来，即可改成“如果两个角是对顶角，那么这两 (6)内错角相等 个角相等” 解：(1)(2)(3)(6)是命题，它们都指出了 例3指出下列命题的条件和结论， 是什么或不是什么，其中(3)不是数学范畴的命 (2)是假命题.如：如图2，∠1和∠2是同位 (1)同角的补角相等； 题.(4)(5)不是命题，(4)只是描述一个过程，角，显然，∠1<∠2. (2)在同一平面内，两条直线不平行，它们 并没有作出判断，(5)是一个几何名词。 (3)是假命题.如：当x=2.5时，x-3<0. 一定相交； 二、识别真假命题 三、区分条件与结论 (3)如果两条直线都与第三条直线平行，那 如果条件成立，那么结论一定成立的命题 命题是由条件和结论两部分组成的.条件么这两条直线也互相平行 是真命题；如果条件成立时，但不能保证结论总 是已知事项，结论是由已知事项推出的事项这 解：(1)命题可改写成：如果两个角是同 是正确的，即结论不成立，这样的命题是假命 样的命题可写成“如果…那么…”的形式，个角的补角，那么这两个角相等.条件：两个角 题.判断一个命题是真命题时，可以用演绎推理用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的 是同一个角的补角；结论：这两个角相等， 加以论证；而判断一个命题是假命题时，只要举部分是结论.有些命题的条件和结论不是很明 (2)条件：在同一个平面内，两条直线不平 出一个符合该命题的条件，而不符合该命题结显，如“对顶角相等”，经过分析可以写成“如果 行；结论：这两条直线一定相交， 论的例子就可以了.在数学中，这种方法称为 …那么…”的形式，但在改写时，不能简单 (3)条件：两条直线都与第三条直线平行； “举反例” 地加上“如果”“那么”，应把省略的成分补充出 结论：这两条直线也互相平行 十十十十十n十n十十十十十十n十十n十十十十 一、什么是证明 名师点睛妇 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定 理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称 证明”座谈会 为演绎推理（或演绎法）.演绎推理的过程，就是 ⊙安徽孙慧民 演绎证明，简称证明.推理和证明是有区别的， 这种类型的推理，在具体证明时应根据需 解：已知：如图2，直线AB, 推理是证明过程的组成部分，一个证明过程往 往包含多个推理 要来选择多个“果”中的某一个或某几个 CD被直线EF所截，AB∥CD 二、证明的结构 (3)多因一果型 EG,FG分别是∠BEF,∠DFE的C 1.证明的基本结构是： 例如，因为a∥b,b∥c,(已知) 平分线 因为…，( 所以a∥b.(平行于同一直线的两直线平 求证：EG⊥FG ) 所以…，( 行) 证明：因为AB∥CD,(已知) “( )”里面写由因得果的依据，即“理 这种类型的推理，必须多“因”都具备时，才 所以∠BEF+∠DFE=180°.（两直线平 由” 能得出“果”。 行，同旁内角互补)》 例如，因为∠1和∠2是对顶角，（已知）】 三、证明的步骤 因为FG,EG分别是∠DFE,∠BEF的平分 所以∠1=∠2.（对顶角相等） 证明的一般步骤如下： 线，（已知) 证明由“因”“果”和“理由”三部分组成， (1)根据题意，画出图形，即把命题中的文 所以∠1=方∠nFE,∠2=子∠BER(角 2.推理的形式有三种. 字语言转化成图形语言.同时为了叙述的方便， 还要在图上标出必要的字母和符号. 平分线的定义) (1)一因一果型. 上述的例子就是这种类型， (2)根据条件和结论，结合图形，写出已知、 所以L1+∠2=(LDFE+∠BEF)= (2)一因多果型. 求证，这一步是向符号语言转化 如图1，因为AD∥BC,(已 (3)经过分析，找出由已知推出求证的途2×180°=90°.（等量代换） 知) 径，写出证明的过程.这一步是证明的核心.一 所以∠G=180°-（∠1+∠2）=90°.（三 所以∠1=∠B,(两直线 般情况下，分析过程不用写出来，只要求写出证角形内角和定理) 平行，同位角相等) 明过程 所以EG⊥FG.(垂直的定义)》 ∠2=∠C.(两直线平行， 例证明：两直线平行，同旁内角的平分线 温馨提示：证明时要注意“文字语言”“图形 内错角相等) 互相垂直， 语言”“符号语言”的相互转化. 素养专练 数理极 所以 (同角的余角相 6.如图4，在△ABC中，BD是AC边上的高 跟踪训练 等) LA=70°，CE平分∠ACB交BD于点E,∠DEC 因为AB∥CD,(已知) =70°，求∠ABC的度数 GENZONGXUNLIAN 所以∠1= .( 13.2命题与证明 所以∠2= ,(等量代换) 13.2.1命题 所以BE∥FC.( ) 垦础训练 能刀提高 1.下列语句是命题的是 8.如图2，AB,CD相交于点O,0E是∠A0C A.画直线AB 的平分线，0F是∠D0B的平分线.求证：OE与OF B.直线a∥b 在同一条直线上. D C.如果直线a∥b,b∥c,那么a∥c 能刀提高 D.点M与点N在线段AB上 2.下列命题是假命题的是 7.如图5，AD∥ A.如果a=b,那么a2=b2 BC,∠ABC=∠ACB, B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂 ∠BAC=2∠ACB+ 20°，在射线BC上存在B1 图5 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条 点M,使∠CAM= )∠ACB,则∠AMB9 直线平行 D.如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互 为补角 13.2.3三角形的外角及推论 3.把命题“三角形的内角和等于180”改写 成“如果…那么…”的形式为如果 堡础训练 一，那么 1.如图1，∠ACD是△ABC的外角，若∠A= 4. 命题“对顶角相等”的条件是 ,结论是 13.2.2三角形内角和定理的证明及推论 45°，∠ACD=120°，则∠B的度数为() A.75° B.60° C.55o D.45° 5.可以用一个m的值说明命题“如果m能被 堡础训练 2整除，那么它也能被4整除”是假命题，则m的值 可以是 1.如图1,4∥2，山314， 6.写出以下命题的逆命题，并判断逆命题的 ∠1=42°，那么∠2的度数为 真假. ( ) (1)若点(a,b)位于第一象限，则ab>0: A.21° B.38° 图1 图2 (2)等边三角形的三个角都是60. C.42 D.48° 图1 2.如图2，在△ABC中，点E在CB的延长线 2.在△ABC中，∠A= 3 ∠B= ∠C,则 上，过点E作EF⊥AB于点D,交AC于点F,∠E 5 =30°，∠C=35°，则∠A的度数为 △ABC是 3.如图3，∠ACD是△ABC的外角，CE平分 A.锐角三角形 B.直角三角形 ∠ACD交AD于点E,若∠BAC:∠CAD=3:2, C.钝角三角形 D.等腰三角形 ∠B=50°，∠DCE=40°，求∠CAD的度数. 3.在直角三角形中，一个锐角为57°，则另 个锐角为 4.如图2，线段AD和BC相交于点0.若∠A =70°，∠C=85°，则∠B-∠D= 图2 7.已知：如图1，AB∥ 5.已知：如图3，△ABC. 能刀提高 CD,DF⊥BE于点G,并分 求证：∠BAC+∠B+∠C=180°. 别与AB,CD交于点F,E, 证明：如图3，过点A作DE∥BC,延长CA, 4.已知△ABC中，AD为△ABC的高，AE为 其中∠1+∠D=90° △ABC的角平分线，∠B=40°，∠CAD=20°，求 BA,分别在CA,BA上取点F,G 求证：BE∥FC. 因为DE∥BC,(所作) ∠AEC的度数 补充完成下面证明过程，并填上适当的推理 所以∠C=∠DAF,∠B=∠GAE. 依据。 证明：因为DF⊥BE,(已知) 因为D,A,E三点共线，（所作） 所以∠EGD=90°.（垂直的定义） 所以LDAF+∠FAG+∠GAE= 因为∠EGD+∠2+∠D=180°，（三角形内（平角的定义） 角和定理) 因为∠FAG=∠BAC,( 所以∠2+∠D=90°.（等量代换） 所以∠B+∠BAC+∠C= 数理报社试题研究中心 因为∠1+∠D=90°，（已知） =180°.( (参考答案见10期) 数理极 素养·测评 线，点E是DA延长线上一点，过点E作EF⊥BC, 同步检 垂足为点F (1)若∠B=40°，∠C=60°，求∠E的度数； TONGBUJIANCE (2)若LC-∠B=m°，请直接写出∠E的度 数（用含m的代数式表示）. 【检测范围：13.2】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 11.命题“如果4=b,那么只=么”的逆命题 题号12345 678 是 ,它是 命题（填“真” 答案 或“假”) 1,下列语句中不是命题的是 12.如图7，已知∠B= A.负数大于正数 20°，∠C=35°，∠D=165°，则 B.鸟是动物 ∠A的度数为 B D 三、耐心解一解（共52分） 图7 C.连接A,B两点 D.两点之间，线段最短 13.(9分)将下列命题改写成“如果…那 2.如图1，若∠1=100° 么”的形式，并判断其真假。 17.(12分)问题情景：如图11-①，有一块直 ∠2=145°，那么∠3的度数 (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补 角三角板PMN放置在△ABC上（点P在△ABC 为 ( 角： A.55° B.65° (2)内错角相等； 内)，三角板PMN的两条直角边PM,PN恰好分别 (3)周长相等的两个三角形面积也相等. 经过点B和点C.试问∠ABP与∠ACP是否存在某 C.75° D.85c 种确定的数量关系？ 3.在△ABC中，∠A=100°，∠B-∠C=20° (1)特殊探究：如图11-①，∠PBC+∠PCB 则∠B的度数是 ( °，若∠A=50°，则∠ABP+∠ACP= A.60°B.50°C.40° D.30° 4.如图2，在四边形ABCD中，点E在BC上， (2)类比探究：请类比(1)，探究如图11-① AB∥DE,∠B=78°，∠C=60°，则∠EDC的度数 中∠ABP+∠ACP与∠A的关系； 为 (3)延伸探究：如图11-②，改变直角三角板 A.42° B.60 C.78 D.80 PMN的位置，使点P在△ABC外，三角板PMN的 14.(9分)如图8，点A,B在直线MN上，AB∥ 两条直角边PM,PN分别经过点B和点C,则(2)中 CD,点E为AC上一点，连接BE. 的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结 论，并说明理由 (1)若∠ACD=120°，∠ABE=40°，求 图2 ∠BEC的度数； 5.如图3是一副三角尺拼成的图案，则∠AED (2)若∠ACD=∠BEC,求证：∠EBN= 的度数是 ( )2∠BAC. B A.609 B.105 C.85 D.75° 6.下列选项中，可以用来证明命题“若ab< 0,则a+b<0”是假命题的反例是( 图8 A.a=1,b=2 B.a=1,b=-2 C.a=-1,b=2D.a=-1,b=-2 7.如图4，在△ABC中，∠C=90°，AE是 附加题⊙ △ABC的外角∠BAD的平分线，∠ABC的平分线 BF与AE的反向延长线相交于点F,则∠F的度数 (以下试题供各地根据实际情况选用) 15.(12分)如图9，已知 为 ( ∠1+∠2=180°，∠3=∠B,求 在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,点 A.35 B.40° C.45o D.50° 证：∠AED=∠4. E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作 对于本题小钟是这样证明 EF∥BC交射线BD于点F,∠CEF的平分线所在 的，请你将他的推理证据补充完 (4 直线与射线BD交于点G. 整 (1)如图，点E在线段AD上运动 ①若∠ABC=40°，∠C=70°，则∠BGE= 证明：因为∠1+∠BDF=180°，∠1+∠2= 180°，( ②若∠A=50°，则∠BGE= 8.如图5，在△ABC中，∠B=∠C,D为BC边 所以∠2=∠BDF.( ③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明 上的一点，点E在AC边上，∠ADE=∠AED.若 所以EF∥AB.( 理由. ∠BAD=24°，则∠CDE的度数为 所以∠3=∠ADE.( (2)若点E在线段DC上运动，请直接写出 A.12°B.14°C.16° D.24° 因为∠3=∠B,(已知) ∠BGE与∠A之间的数量关系. 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 所以∠B=∠ADE.(等量代换) 9.命题“同位角相等”的条件是 所以DE∥BC.( 结论是 所以∠AED=∠ACB.（两直线平行，同位角 10.小枣一笔画成了如图6所 相等) 示的图形，若∠A=60°，∠B= 因为∠ACB=∠4，( 40°，∠C=30°，则∠D+∠E等于 所以∠AED=L4.( 数理报社试题研究中心 16.(10分)如图10，AD是△ABC的角平分 (参考答案见10期)初中数学·沪科八年级(AH)第6~9期 数理柄 答案详解 2026~2027学年 初中数学·沪科八年级(AH)第6~9期(2026年8月) 第6期综合测评卷 (3)关于x的不等式-3x≥kx+b的解集是x≤-1. 题号12345678910 20.(1)由题意可得.3001000=80（来/分）.故填 25 80. 二.=2,12.4：13.<；14.号。 9 (2)由图象可得函数过(5,300)，(15,3000)这两点，设 ly=3; ≤≤ CD段一次函数的表达式为y=kx+b(5≤x≤15)，把(5， 15.(-4,0). 30),(15.300)代人，可得6+6=30.解得 三、16.(1)设直线AB的表达式为y=kx+b,将点A(-2, 115k+b=3000, k= 4 0),B1,4)代人，得2+6=0，解得 3 k=270,所以CD段一次函数的表达式为y=270x- 所以直线 lb=-1050. k+b=4. b= 1050(5≤x≤15). 31 (3)由图可得，当小亮回到家时，小明回家还需要：25-15 4 8 AB的表达式为y=3x+3 =10(分钟)，由(1)可得小明的速度为每分钟80米，所以小明 (2)记直线AB与y轴的交点C,因为将直线AB向下平移 与家的距离为：80×10=800（米）. 4个单位长度后得到直线，直线l与y轴交于点M,所以CM= 21.(1)①3，-1,2. 4.所以三角形ABM的面积=S角6u+S=CM小。 ②/=1， ly=2. -1=7×4×(1+2)=6 ③由①得，一次函数y=x+b的表达式为y=3x-1. 17.(1)对于y=x+1,当y=0时，有x+1=0,解得x= 因为-次函数y=3x-1的图象与x轴交于点C,所以C(分 -1.所以A(-1,0).对于y=-2x+4,当y=0时，有-2x+ 0)所以S=Sem-SC=之×2x1-7× 1 4=0,年得2所秋20解力程组4得 6 x=1所以P(1,2) y=2. (2)将B(0,-1)代入y=kx+b,得b=-1.所以直线BD (2)对于y=x+1,当x=0时，y=1,则Q(0,1).所以 的函数表达式为y=x-1.联立=缸-1解得 ly=x+1. S8a6m8=S”-S有6网=分X3x2-分×1×1= -2 x=1-k k+1 所以点D的坐标为（是 2 y=- 1-k 18.(1)根据题意，得y1=0.25x+800,y2=0.6x. (2)当y=1500时，0.25x+800=1500,解得x=2800, 因为点D始终在第三象限所以是<0且-<0 即选择公路运输时，运送葡萄2800千克；0.6x=1500,解得x 解得-1<k<1且k≠0. =2500,即选择铁路运输时，运送葡萄2500千克.所以选择公 第7期2版 路运输运送的葡萄多. 13.1三角形中的边角关系 19.(1)将P(m,3)代入y=-3x,得-3m=3.解得m= 13.1.1三角形中边的关系 -1.所以P(-1,3).把B(1,1),P(-1,3)代入y=kx+b,得 基础训练1.C;2.C;3.8,4,BE,∠BEC;4.3: +6三1，解得=，1，所以一次函数的表达式是y= 5.6. L-k+b=3. lb=2. 6.在△ABP中，根据三角形的三边关系，得PA+PB>AB. -x+2. 同理，PB+PC>BC,PA+PC>AC (2)点D的坐标是(0,2). 以上三式相加，得2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC 初中数学·沪科八年级(AH)第6~9期 所以PA+PB+PC>(AB+BC+AC). 所以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=25 因为AD平分∠BAC, 7.(1)在△ABC中，因为AB=7,BC=2,所以AB-BC< 所以∠BAC=2∠BAD=50° AC<AB+BC,即5<AC<9. 所以∠B+∠BAC=90° (2)因为△ABC的周长为偶数，AB+BC=9,为奇数，所以 所以△ABC是直角三角形 AC的长为奇数. 16.(1)因为1a-b1+(b-c)2=0, 因为5<AC<9,所以AC=7=AB.所以△ABC的周长 所以a-b=0,b-c=0. 为：9+7=16，△ABC是等腰三角形 所以a=b,b=c. 13.1.2三角形中角的关系 所以a=b=c. 基础训练1.D;2.D;3.B;4.90°；5.20°； 所以△ABC是等边三角形 6.50°或130°. (2)因为a=5,b=2, 7.因为FD∥EC,∠D=42°，所以∠ECB=42. 所以5-2<c<5+2,即3<c<7. 因为∠ACE=∠ECB,所以∠ACB=2∠ECB=84°. 又因为∠A=46°，所以∠B=180°-∠A-∠ACB=50°. 因为三角形的周长为奇数， 13.1.3三角形中几条重要线段 所以c是偶数. 基础训练1.B;2.B;3.4.8;4.4;5.9. 所以c=4或6. 6.(1)因为DE∥BC,∠2=40°，所以∠1=∠ACB, (3)由三角形的三边关系，得a-b<c,b-c<a,a+b> ∠DCB=∠2=40°. 因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACB=2∠DCB= 所以原式=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b 80°. C. 所以∠1=80°， 17.(1)120°，155°. (2)因为∠3=40°=∠DCB,所以FH∥CD. (2)猜想：∠BPC=0+7∠A理由如下： 因为FH⊥AB,所以∠FHB=90°. 所以∠CDB=90. 因为△ABC的两条角平分线BD,CE交于点P, 所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高. 所以∠PBC=∠ABC,∠PCB=7∠ACB 能力提高7.B. 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠PBC+ 第7期3版 ∠PCB=180°， 题号12345678 答案BC CDABDA 所以∠BPC+(∠ABC+∠ACB)=∠IBPC+(I80° 二9.-3<a<0:10.115°；11.26；12.72°. -∠A)=180° 三、13.因为CA平分∠BCD,∠BCD=50°， 所以∠BPC=0°+LA 所以∠BCA=25°. (③)由(2)，得∠P=90+2∠A,2P=90°+7∠P 1 因为∠A=25°， 所以∠ABC=180°-∠A-∠BCA=130°. 因为∠ABD=70°， 所以∠P=90°+分∠P=90+2(90°+分∠A)= 所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=130°-70°=60°. 135+子4 因为∠BCD=50°， 所以∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-60°-50°= 附加题(1)是. 70°. (2)由△ADC是“倍余三角形”，∠ADC是钝角，分情况讨 14.图略. 论： 15.(1)因为∠ADC=60°， ①当2∠DAC+∠C=90°时，2∠DAC+36°=90°，解得 所以∠ADB=180°-∠ADC=120. ∠DAC=27°， 所以∠B+∠BAD=180°-∠ADB=60°. 所以∠ADC=180°-∠C-∠DAC=117°. 又因为∠B=2∠BAD, 所以∠ADB=180°-∠ADC=63°. 所以3∠BAD=60°. ②当2∠C+∠DAC=90°时，即2×36°+∠DAC=90°， 解得∠BAD=20°. 解得∠DAC=18°， (2)因为∠ADC=65°， 所以∠ADC=180°-∠C-∠DAC=126°. 所以∠ADB=180°-∠ADC=115. 所以∠ADB=180°-∠ADC=54°. 因为∠B=40°， 综上所述，∠ADB的度数是63°或54°. 2 初中数学·沪科八年级(AH)第6~9期 第8期2版 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=30° 13.2命题与证明 又因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=方∠BAC=15 13.2.1命题 基础训练1.C;2.B; 所以∠AEC=∠B+∠BAE=55°. 综上所述，∠AEC的度数为75°或55°. 3.三个角是三角形的内角，它们的和等于180°； 4.两个角互为对顶角，这两个角相等； 第8期3版 5.答案不惟一，如14. 题号12345678 6.(1)逆命题为：若ab>0,则点(a,b)位于第一象限.是 答案C BBABCCA 假命题 二、9.两个角是同位角，这两个角相等；10.110°； （2)逆命题为：三个角都是60°的三角形是等边三角形. 是真命题， 1如果？=么那么a=6,真：210e 7.∠1，∠2（或∠2，∠1）；∠C;两直线平行，内错角相等； 三、13.(1)如果两个角的和等于平角，那么这两个角互为 ∠C;同位角相等，两直线平行. 补角.是真命题 能力提高8.因为AB,CD相交于点O(已知)，所以 (2)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.是假命题. ∠AOC=∠D0B(对顶角相等).因为OE,OF分别是∠AOC, (3)如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形的面 ∠0B的平分线（已知），所以1=子∠A0C,∠3= 积也相等.是假命题 14.(1)因为∠ACD=120°，AB∥CD,所以∠CAB=60° 7∠D0B(角平分线的定义).所以∠1=L3(等量代换).因 因为∠ABE=40°， 所以∠BEC=∠CAB+∠ABE=1O0°. 为∠A0D+∠2+∠3=180°（平角的定义），所以∠AOD+∠2 (2)因为AB∥CD,所以∠ACD+∠CAB=180° +∠1=180（等量代换）.所以OE与OF在同一条直线上. 因为∠ACD=∠BEC,所以∠BEC+∠CAB=180° 13.2.2三角形内角和定理的证明及推论 因为∠BEC+∠AEB=18O°，所以∠CAB=∠AEB. 基础训练1.D;2.C;3.33°；4.15°. 因为∠EBN=∠CAB+∠AEB,所以∠EBN=2∠BAC. 5.两直线平行，同位角相等；180°；对顶角相等；∠GAE, 15.平角的定义，已知；同角的补角相等；内错角相等，两直 ∠FAG,∠DAF;等量代换. 线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；对 6.因为BD是AC边上的高，所以∠ADB=∠BDC=90°. 顶角相等；等量代换。 因为∠DEC=70°，所以∠DCE=90°-∠DEC=20°.因为CE 16.(1)因为∠B=40°，∠C=60°，所以∠BAC=180°- 平分∠ACB,所以∠ACB=2∠DCE=40°.因为∠A=70°，所 ∠B-∠C=80°. 以∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-40°=70°. 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠DAC= 能力提高7.20°或60°. 13.2.3三角形的外角及推论 ∠BAC=40. 1 基础训练1A;2.25°. 所以∠EDF=∠BAD+∠B=80°. 3.因为CE平分∠ACD,∠DCE=40°，所以∠ACD= 因为EF⊥BC,所以∠E=90°-∠EDF=10°. 2∠DCE=80°. (2)因为∠BAC=180°-∠B-∠C,AD是△ABC的角平 又因为∠B=50°，所以∠BAC=∠ACD-∠B=30°. 又因为∠BAC:∠CAD=3:2,所以∠CAD=20°. 分线，所以∠BMD=180-∠B-∠C. 能力提高4.因为AD为△ABC的高，所以∠ADB=90°. 所以∠EDF=∠BAD+LB=90°-方∠C+7∠B 又因为∠B=40°，所以∠BAD=90°-∠B=50° ①当△ABC是锐角三角形时，如图1所示. 因为EF1BC,所以∠E=90°-∠EDF=(∠C-∠B) 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70° 1 又因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=2∠BAC=35. =2m, 17.(1)90,40. 所以∠AEC=∠B+∠BAE=75°. (2)由(1)知∠PBC+∠PCB=90°.所以∠ABP+∠ACP =180°-∠A-∠PBC-∠PCB=90°-∠A. (3)(2)中的结论不成立.结论：∠ACP-∠ABP=90°- ∠A.理由如下： 设AB与PC交于点D,图略. E D E 因为∠PDB=∠ADC,所以∠P+∠ABP=∠A+∠ACP 图1 图2 因为∠P=90°，所以∠ACP-∠ABP=∠P-∠A=90° ②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示. ∠A. 一3 初中数学·沪科八年级(AH)第6~9期 附加题(1)①55.②65 (2)因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAC=2∠BAD ③∠BGE=90°-7∠A理由如下： =70°.所以∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70° 19.(1)因为(a-3)2+1b-21=0, 因为BD平分LABC,所以∠DBC=∠ABC, 所以a-3=0,b-2=0. 解得a=3,b=2. 因为EF∥BC, 因为c为方程Ic-4|=2的解，所以c-4=±2. 所以∠F=∠DBC=∠ABC,∠CEF=∠C 解得c=6或2. 因为EG平分∠CEF, 因为a,b,c为△ABC的三边长，a+b<6,所以c=2. 所以∠FEG=3LCEF=分LC 所以△ABC是等腰三角形. (2)因为∠A-∠B=36°，所以∠A=∠B+36°. 所以∠BGE=∠FEG+∠F=3∠C+子LABC 因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠B+36°+∠B+∠C =2∠B+∠C+36°=180°. 7(2c+∠AB0)=2180-∠A)=90-7<A 所以2∠B+∠C=144①. 因为∠B-∠C=36②，所以①+②得3∠B=180°.解 (2)设EG交BC于点H,图略. 得∠B=60°. 因为BD平分∠ABC,所以∠GBH=∠ABC=(180 因为∠A=∠B+36°，所以∠A=60°+36°=96°.所以 -∠A-LC)=90-3∠A-∠C △ABC是钝角三角形. 20.因为AE平分∠CAD,所以∠CAF=∠DAF.由折叠得， 因为EF∥BC,所以∠CEF=180°-∠C,∠FEH= ∠BAD=∠DAF.所以∠CAF=∠DAF=∠BAD. ∠GHC. (1)因为∠B=40°，∠C=35°，所以∠BAC=180°-∠B 因为EH平分∠CEP,所以∠FEH=之∠CEF=之(IS0 -∠C=105所以∠CP=号∠BAC=35e -LC)=90°-2∠C=∠GMc, 由折叠得，∠E=∠B=40°. 因为∠EFC=∠C+∠CAF=∠EDF+∠E,所以∠EDF 所以∠BG6=∠GHC-∠6BH=90°-号∠G-(90- =30°. (2)因为∠EDF=20°，所以∠ADB+∠ADE=200°. A-0=A 由折叠得，∠ADB=∠ADE. 第9期综合测评卷 所以∠ADB=100°.所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B= 80°-∠B. 题号12345678910 所以∠BAC=3∠BAD=240°-3∠B. 答案ACB CACBBAD 因为∠B比∠C大10°， 二、11.同旁内角互补，两直线平行；12.6：13.20： 所以∠C=∠B-10° 14.74°；15.110，(80+2m×60) 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，即240°-3∠B +∠B+∠B-10°=230°-∠B=180°.解得∠B=50°. 三、16.(1)是真命题. 21.(1)115,25. (2)是假命题，反例如下：如图3，两 (2)∠DPC,∠Q的度数不会发生变化.理由如下： 条不平行的直线被第三条直线所截，很 因为∠A=50°，所以∠ACB+∠B=180°-∠A=130° 显然同位角不相等 因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B,∠PGD=∠PCB.因为DP 17.(1)由三角形的三边关系，得 图3 r3c-4>c, 平分∠ADE,CP平分∠ACB,所以∠PDG=号∠ADE= l2c-6< ∠B,∠ACP=∠PCB=寸∠ACa所以∠DPC=l80 1 解得2<c<6. (2)因为c为偶数，所以c=4. ∠PDG-∠PGD=180°-（∠ACB+∠B)=1I5 所以a+b=8. 所以△ABC的周长为：a+b+c=12. 因为CQ平分LACR,所以LACQ=∠ACR.所以 18.(1)因为∠BED=55°，∠BAD=35°，所以∠ABE= ∠BED-∠BAD=20° ∠PCQ=∠ACP+∠ACQ=2(LACB+∠ACF)=90°，所以 因为BE为△ABD的角平分线，所以∠ABC=2∠ABE= ∠Q=∠DPC-∠PCQ=25°. 40° 所以当∠B的度数发生变化时，∠DPC,∠Q的度数不会发 因为AF是△ABC的高，所以∠AFB=90°.所以∠BAF= 生变化 90°-∠ABF=50°. (3)45°或60°或120°或135°. -4