第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 章末复习-【优化设计】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步测控全优设计(沪科版2024)

章末复习。数学 章末复习 昼引知识梳理 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫 三角形的定义与符号表示作三角形顶点为A,B,C的三角形，记作“△ABC”读作“三角形ABC 按边分类：不等边三角形、等腿三角形包括底边和腰不相等的等腰三角形与等边三角形) 三角形的分类 按角分类：直角三角形、斜三角形（悦角三角形、饨角三角形） 三角形的三边关系 三角形中任意两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差小于第三边. 三角形中的 三角形的内角和 边角关系 三角形的内角和等于180° 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高。 三角形的高线 三角形的三条高所在的直线相交于一点。 三角形的角平分线 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之闻的线段叫作三角形的 角平分线三角形的三条角平分线相交于一点， 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线，三角形三条中线交于一点， 三角形的中线这个交点就是三角形的重心. 角形中的边角 命与证明 定义能明确界定某个对橡含义的语句叫作定义 可以判断正确或不正确的陈述句叫作命题」 命题正确的命题叫作真命题错误的命题叫作假命题。 数学命题通常由条件和结论两部分组成，命顺常写成“如果…那么”的形式。 将命题“如果，那么g”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q,那么p”,我们把 互逆命题这祥样的两个命越称为至逆命题，其中一个时作原命道，另一个就叫作原命题的逆命题 反例符合命题条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例 命题与证明 公理通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫作公理。 定理从基本事实公理或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的真命题叫作定理。 推论由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论 证明 从已知条件出发。依据定义、基本事实、定理。并按照逻辑规圳，推导出结论，这一方法称为演绎 推理或演锋法)演绎推理的过程.就是演绎证明，简称证明. 直角三角形的两锐角互余 直角三角形的性质与判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。 三角形的外角三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 C.CF 昼|易错专练 D.BE 【拓展训练1】 易错点一三角形的高识别出错 1.如图，在△ABC中，∠ACB 【例1】如图，△ABC的边AC 90°，CD⊥AB于点D,图中线 上的高是( 段可以作为△ABC的高的 A.AF 有() B.DB A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 53 数学/第13章三角形中的边角关系、命题与证明 易错点二对命题的相关概念理解不透导致 易错点四证明过程中混淆平行线的判定与性质 出错 【例4】如图，下列推理所标注的依据正确的是 【例2】下列命题：①实数与数轴上的点是一一对 (填序号即可). 应的：②平方根和立方根相等的数有1和0； ①，AB∥CD, ③带根号的数是无理数；④无限小数都是无理 ∴∠1=∠D(同位角相等，两直 数；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂 线平行) 直：⑥内错角相等.其中真命题的个数是() ②.∠3=∠4， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ∴.AB∥CD(同位角相等，两直线平行)， 【拓展训练2】 ③，AB∥CD, 2.命题“平面内，垂直于同一条直线的两条直线 .∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）. 平行”是 命题（填“真”或“假”），其条 ④.∠1=∠2， 件是 ∴.AB∥CD同位角相等，两直线平行). 【拓展训练4】 易错点三马)忽视等腰三角形中的多解问题或三 4.如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据 边关系致错 错误的是( 【例3】如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC= BC=18cm,则折叠凳的宽AB可能为( A,∠1=∠3，∴.AB∥CD(内错角相等，两直线 平行) A.70 cm B.55 cm B.,AB∥CD,∠1=∠3（两直线平行，内 C.40 cm D.25 cm 错角相等) 【拓展训练3】 C.,AD∥BC,∴.∠BAD+∠ABC=180°（两 3.解答下面两个小题： 直线平行，同旁内角互补) (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这 D.,'∠DAM=∠CBM,.AB∥CD(两直线 个等腰三角形的周长； 平行，同位角相等) (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为 5,求它的另外两边的长. 昼引高频考点提升练 1.(陕西模拟)如图，AD,AE分别是△ABC的 高线和中线.若△ABC的面积为12，AD=4, 则BE的长为( A.1.5 B.3 C.4 D.6 54 章末复习。数学 2.(江苏宿迁中考)如图，在 8.已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE的平分线 △ABC中，∠A=70, 相交于点F. ∠C=30°，BD平分∠ABC (1)如图1，若BM,DM分别是∠ABF和 交AC于点D,DE∥AB,交BC于点E,则 ∠CDF的平分线，且∠BED=100°，求 ∠BDE的度数是() ∠M的度数： A.30° B.40° C.50 D.60° (2)如图2，若∠ABM=3∠ABF,∠CDM= 3.(广东中考)如图，一把直尺、两个含30°角的三 角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为( 号∠CDF,∠BED=a,求∠M的度数， (3)若∠ABM= :∠ABF,∠CDM= A.120 B.90° C.60° D.30° ∠CDF,清直接写出∠M与∠BED之 4.(江苏无锡中考)命题“若a>b,则a一3<b一 间的数量关系。 3”是 命题.（填“真”或“假”） 5.(江苏常州中考)如图，在 △ABC中，点D,E分别 在BC,AC上，∠B=40°， 图2 ∠C=60°，若DE∥AB, 则∠AED= 6.(山东淄博高青一模)如图， 在△ABC中，AD是BC边 上的高线，CE是一条角平 分线，且与AD相交于点P.已知∠APE= 55°，∠AEP=80°，则∠B为 7.（广西贵港二模)如图所示，△ABC,△CDE 均为直角三角形，且∠B=45°，∠D=30°，过 点C作CF平分∠DCE交DE于点F. (1)求证：CF∥AB; (2)求∠DFC的度数. 55①尚∠A=30,∠B”0时，∠A与∠B车是能得 ∠A+∠B=0” 第童养 路解(1)中延停多件可浮三个真◆腿，舟到是真命题1： D≥③14◆是2①02四：真◆理83，心3. 2)(等素不唯一】 选排4◆题2，①心一② 理山，CEAB, ,∠ACE-∠A,∠CE=∠ CE平f∠ACD ·∠CB-∠DCE, ∠A=∠R 第2课时证明 味茶聪 I,B3A3C4D克6 系闲位角相等，两直线平行阵直线平杆，间位角相等 ∠1一∠幻内错角制等，两直线平行 革桶整 3,CkD9,D10.011,n 上同角的种角相等 1314线，5 I4E膜”DGLC,AC⊥C, ∠DB=∠ACB=g'. CAC,C∠8-∠CA "∠1=∠2，∠1=∠DCA: EFCD,,∠AP-∠A 'EF⊥AB,∠AEF=90 ∠A汇=阳，年DLAM 军素养 15A 第3课时三角形的内角和定理及其推论 峰茶德 LC1.D320或m4.3m 多解E平分∠AC交AC边于点E, ÷∠ABE-号∠AC-S, ∠AB配■50， h∠C18-∠AC-∠BC-16-T-60-. YADLBC. ∠ADC-50, ÷∠DAC-r-∠C--r-, ∴∠DAC的是教为初： 6.C 7.B 解(1)∠A-∠2.∠1-∠B ∠L+∠2+∠1+∠Bm10w. YADLBC. ∠A+∠B=0, ∠DAC=9°- ∴.∠ACGB=0, ∠DAE-∠DMC-∠EC-9r-x-T-- ÷△AC是直角三角形 练素 (∠A十∠B-0°，∠A=∠2. 14.解[10 ∠2+∠B=朗°， ①0内情扇相等，秀直残平行 ∠CDB=0。 图中斯相等的角分为∠1=∠D,∠ CDLAB. ∠0MC 练接整 度w如V: ,A1aC11.15 AC⊥，BDLl.∠O-0,∠H0-0, 11解《)AB8E理电如了： 在R△AC0车Rt△8D中，∠1十∠0MC-0', W∠E-g,∠Du45, ∠2+∠OHD=0,E∠1+∠2=0. ,∠BCE=18-∠E-∠D=5时 ∴∠1■∠08D,∠2-■∠aMC "∠D-15 第4课时三角形的外角及性质 ∠E-∠CE-∠D= ∠8-3. 旅基础 ∠E=∠B,ABCE LCL.∠FAB∠ACD∠E (2)中腾，风来域具C交LB干点H 3C4.A5C6.7i 7.解∠A-药，∠C-9, “,∠AD==55=40 “HD是∠AC:的手分魏. ∠DHC=∠ABD=40 廿DEA ∠BDE=∠DBC-4U HEC⊥LAB 在△BDE中，∠HED=I-∠BDE-∠ABD ∠HB-9时 183-4-4=100 ”∠8-30， 坏观制 .∠CB=130-∠-∠EH8=0 8.C9C1.被少10 廿∠E-99.∠D=45 1L.期∠AD5,∠D=3°. ∠D=4 ∴∠CA=∠C1D+∠D=6+3=B ∠D185-∠ECD-∠HCB-75 ∠EBD=107, 13解10∠B=70,∠C-3w ÷∠HAC=∠书8D-∠A-4F ∠4C-1°-70°-30=8别 12.(ID证朝：∠ABC的平分栽交AC于点D,∠A8F的 :AB平9∠HC· 平舟线定CA岭晚长气十A写 i∠CAE-t∠HAC-o ∠ABE-Y∠AC,∠ABE-∠ABE YAD⊥BC, F∠ABC+∠ABF=1M, ∠DAC=9”-39'-60, ÷∠ABD+∠AE-LABC+∠An-w .∠DAE-∠DAC-∠EAC=6°-40°-m 聊D1E (2)境： 授∠C-x,n∠B=+4',∠HC=1知一” 2解有(1)加BD⊥BE, (x'+40=140-2x ÷∠DE=o: HAE平◆∠BAC, :∠B=可， ÷∠DE=-可-0 ∠CAE-∠iAC-7°- ∠C+∠CB0-∠BDE- V∠B.AG=∠C,∠CBD=∠DBM, ∠DBM+∠BAG=70 ∠ARB=14r-70-110 13.E用《1)？∠GH是△FG的外角， A∠EGH>∠B LDE&BC. ∠B-∠ADE ∠BH>∠ADE (2)∠BFF是△AFF的外角 ∠BFE=∠A+∠AEF 号∠EGH是△FG特外角 .∠EGH=∠B+∠BFE, :∠GH=∠B+∠A+∠AEF 美HDE8C, A∠B-∠ADR ∠BGH=∠ADE+∠A+∠AEP. 陈家郑 4解6+宁12w+字 《2∠0C--子，星电知下 ∠CD-2DBC,∠0-∠ECB,∠A- ∠C-1-客ZDHC+∠EC -1-号[3-（∠AC+∠AC -13w-7340-130-∠0j -10-号1r+a -1- 04a-2×1a- 章末复习 晨量专临 【例1】D 【拓展制修1】 1.B 【例】B 【拓展到临2】 工真.在闻一平面内，两条直线季直于一条直线 【例】D 【拓展刺临】 2.d. 226,胸不工角形，故雪★： ②音层表为5时：制三角利的三这表身期是8,8,2。 52+4>6, 二可内或天角彩 1三用移的网装55十6+2细14 这个平想工角利的周卡是 套5为是时，其他而速为525,5,2可以构点三角彩. 六得所填岭素是3,5,15或5,2 【例】@ 【拓限西等4】 4.D 南数考点望升蓝 1.B3丑3.C4假5.10064 7,(1证明：∠DCE=o,具CF本舟∠DE ÷∠FE之∠DC若-45 文：∠Bm45, .∠PE=∠B C下R 12解山(1)和，∠FCE=45 在△DE中，：∠D-=30. ∠E0, ÷∠DC-∠B+∠FCg=4+45=10, 采解C1》因，体GAB,FH成AB,连摇M银 YAB&CD. .EGAB&FHCD. ∴∠AF=∠FH,∠DF-∠DEH,∠ABB+ ∠B3C=1',∠GED+∠CDE18', ÷∠ABE+∠BG+∠GED+∠CDR-s ￥∠BED-∠8EG+∠D5T=10W ∠BE+∠CDE-80, :∠ABE和∠GDE时平令执和文下点F, ÷∠AF+∠CDF-1朗， ∠BFD=∠BFH+∠DFH=10, :BM,N鲁制是∠ABF和∠CDF的中冬线 +∠MBF=÷∠ABF,∠MDF-号∠CDF A∠AMBF+∠MDF-4S ∠ND=1f-45=45, ∠AM-于∠ABf,∠M-号∠CDP ∠ABF=3∠ABM,∠CDE=3∠CDL BP平CP,不香题意，量去 ”∠ABE身∠GDE两个角角+分相交于AF。 若BD鼻P是对R嘘，制BD=CP ∠ABB-∠AHM,∠CGDE=4∠CDM :5=8一，根得=1.开合理盒 6∠A+S∠CDM+∠BED=朗 绵上可知，点P场种的时间为1马 Y∠n=∠ABN+∠CDM, 14,2三角形全等的判定 ÷.6∠M+∠ED=30, ÷∠N-30-4 第1课时两边及其夹角分别相 等的两个三角形全等 (8》由(2)越论T得，2知∠ABM+2∠CD则+∠E 1',∠M-∠ABw+∠CDM, 练基 时2∠M+∠ED-3 1.B 1证明∠BAE-∠CAD, 第14章全等三角形 ,∠AE+∠EAC-∠CAD+∠EAC 14.1全等三角形及其柱质 年∠BC-∠EAD 在△A以C和△AED中 修基 AB-AF. 1.C2D3.与0，与 4D506.B ∠RAC-∠EAD 7.解(1)△A6a△058， ACAD, BE BCe3. △A边△AEDAS AE=A日-BE=8-=1. △Aa△DEn, 4848 ∠A=∠D=25,∠DBE=∠C=5, 5解W0⊥AC ∠AED=∠DBE+∠D=5+2■0， ∠80A=∠X 修接 象D9C1e.D 六△MOa△0h(sA 114512.12 BABC 练型密 6B1.A 暴如 见E用'BF=C, ,.8F-Cp-C-CF,牌hC-P 收【 欧2 西法1 在△AC和△DEF中， 14解I),△A△DEB AC-DP. DEAB.BEBC12. ∠1-∠2 ”A8=A尾十E=8+12=20, BC-EF. (2)△，ABC2△DEB AATO△，DEF5AS) ∠D=∠A=1 10(1证扇：ADL改2 ∠ADB=∠CDE= ”∠APD=∠A+∠AEF,∠AEF=∠D+∠EBD, ∠AFD=∠A+∠D+∠DBE=3+T+]6, AD-CD. ∠EFC= 点△ADB与ACDE中，∠DB-∠CDE DBDE. 15解D为AB然中在，A日燃0m, △ADma△CD5AS) .BD-AD-5 cm 2Y△ADB△(DE. ∠BAD=∠D,A8=E M,N分刺最ABCE的中A 若BD每OQ是对是线，制BD=CQ: 2AM-号A8.CN-2Cg 6一测，期得一宁 .AM.CN. (AM-CN. BP-3×号=5m》. △AD和△CDNt,∠MAD=∠NCD AD-CD. ∴.△AD2△CDW(SAS) ADMOCDV ∠CDN+∠DN= ∠AM+∠ADN-g ÷.∠NDN=9 1L《1)证明：C是我段AⅡ的今点， AC-BC. 发HCD平会∠ACE,CE平女，∠BCD, ∠ACD=∠DCE=∠BCa 在△ACD与△CE中， AC-BC. ∠DCA-∠CB, CD-CE. ,AACDABCE5A5 2)解由得∠ACD=∠DCE-∠ECB. 星nAD☒△■E L∠ACD+∠DE+∠CB-1 ∠ACD-∠DCE-∠BB-a 真∠0=4， ∠A=180-∠CA-∠D-0 具AACD△BCE, ,∠B■∠A=5 练素郑 12,解(1)4- (21△BPD方△0QP全￥，理由如T: 仁AD为AB的中A: 8-AB-1 备1=1时，BP-3,CP=4,- 509-BP.CP-BD 义∠B=∠C, :,△BPDK2QP(sAS. 第2课时两角及其夹边分别 相等的两个三角形全等 体基超 1.B 1期D述⊥A,ABC ÷∠DC-∠8=9 CDAB. ∠DCE=∠A 在△CED和△ABC中 ∠DC=∠B, CR-AB E=∠A, ÷△T%2△ABCKASA) 玉A A解AB9DC,DO⊥CD, H∠AO=∠CDO=0 天F∠A0=∠000，=D0 △M2△DOCABA) CD=A0-知来