第十五章 轴对称（章末检测•提高卷）-2026-2027学年八年级上册数学人教版

八年级上册 第十五章 轴对称 章末检测·提高卷 保密★启用前 第十五章 轴对称（章末检测•提高卷） 人教版数学八年级上册 （试卷总分：120分　建议用时：100分钟　测试范围：第十五章 轴对称） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请把学校、姓名、班级、考号填写在规定位置。 2．考试范围：人教版（2024）八年级上册第十五章 轴对称（含综合与实践 最短路径问题）。 3．证明题要写清每一步的依据，计算题要写出必要的演算步骤。 4．请按题号顺序在指定区域作答，超出区域的答案无效；写完后认真检查一遍。 内容速览　10 选／5 填／8 解，共 23 题，满分 120 分 配套解析：解析版 14 页，含速查表、答案、详解；题目配图 23 幅 考点覆盖：等腰三角形“等边对等角”求顶角、成轴对称的两个图形的性质、轴对称图形的识别、线段垂直平分线的判定、关于x轴对称的点的坐标（求参数）、等腰三角形“三线合一”（情境）、两个等腰三角形组合中的角度计算、等边三角形与全等的综合（求角）等 23 个 评卷人 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝68°，则∠A的度数是(____)。 A．68° B．44° C．112° D．56° 2．（本题3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，点A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′。下列结论中，一定正确的是(____)。 A．AB∥A′B′ B．AC＝A′B′ C．直线l垂直平分线段CC′ D．∠BAC＝∠A′C′B′ 3．（本题3分）如图，①是一个等腰梯形，②是一个邻边不相等且没有直角的平行四边形，③是一个等边三角形，④是一个两条直角边不相等的直角三角形。这四个图形中，是轴对称图形的有(____)。 A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 4．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC的内部，且DB＝DC，连接AD并延长，交BC于点E。那么在下面四个说法里，仅凭这些条件还不能保证成立的一项是(____)。 A．AE⊥BC B．BE＝CE C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝DE 5．（本题3分）如图，点A（3，m＋1）和点B（n－2，－5）是平面直角坐标系中关于x轴对称的两点，那么点C（m，n）位于(____)。 A．第三象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第二象限 6．（本题3分）如图是一个等腰三角形风筝面的示意图，AB＝AC，竖骨AD⊥BC于点D。量得AB＝45 cm，BD＝25 cm，现在给风筝面的三条边包上边框，边框的总长是(____)。 A．140 cm B．115 cm C．70 cm D．135 cm 7．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在边AC上，且BD＝BC，则∠ABD的度数是(____)。 A．40° B．35° C．30° D．50° 8．（本题3分）如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，以AD为边作等边三角形ADE（点E与点C在直线AD的同侧），连接CE。若∠BAD＝20°，则∠CED的度数是(____)。 A．20° B．100° C．80° D．40° 9．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E。给出下列结论：①∠BAD＝60°；②AB＝2AD；③BE＝3AE；④BC＝4AD。其中正确的是(____)。 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），O为原点。若点P在坐标轴上，且△AOP是等腰三角形，则符合条件的点P共有(____)。 A．8个 B．4个 C．6个 D．10个 评卷人 得分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，在6×5的正方形网格中，已有6个小方格涂上了阴影。要使阴影部分组成的图形关于虚线l成轴对称，至少还要再涂________个小方格。 12．（本题3分）如图，四边形ABCD关于直线AC对称，∠BAD＝64°，∠BCD＝96°，则∠B＝________°。 13．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，AB＝2x－3，BC＝x＋2，则△ABC的周长为________。 14．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°。将△ABC沿直线DE折叠，使点B与点A重合，折痕DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD。若∠CAD＝20°，则∠B＝________°。 15．（本题3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，交BC于点D。若CD＝2，则BC的长为________。 评卷人 得分 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝48°，∠ACB＝72°。点D，E在直线BC上，点D在点B的左侧，点E在点C的右侧，且BD＝BA，CE＝CA，连接AD，AE。 (1)求∠D的度数； (2)求∠E的度数； (3)求∠DAE的度数。 17．（本题9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BD＝CE，连接AD，AE。 (1)求证：AD＝AE； (2)若∠BAC＝100°，∠BAD＝25°，求∠ADE和∠DAE的度数。 18．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线m上各点的横坐标都为1，△ABC的三个顶点分别为A（－4，4），B（－2，1），C（－1，5）。 (1)把△ABC沿直线m翻折，点A，B，C分别落在A′，B′，C′处，求A′，B′，C′的坐标； (2)点P（a，b）关于直线m的对称点为P′，用含a，b的式子表示点P′的坐标； (3)若点E（2k＋1，5）与点F（k－5，5）关于直线m对称，求k的值。 19．（本题9分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°。直线DM，EN分别垂直平分边AB，AC，垂足依次为M，N，点D，E都在边BC上，连接AD，AE。 (1)求∠DAE的度数； (2)△ADE的另外两个内角∠ADE，∠AED各是多少度？ (3)若BC＝15，求△ADE的周长。 20．（本题9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连接DE交BC于点F。 (1)过点D作DG∥AC，交BC于点G，求证：DG＝DB； (2)求证：DF＝EF； (3)若∠B＝60°，BC＝12，BD＝3，求BF的长。 21．（本题10分）如图，一艘轮船沿笔直的航线由A向M方向航行，速度为每小时16海里。在A处测得灯塔C与航线的夹角∠CAM＝15°，航行1.5小时后到达B处，测得∠CBM＝30°。 (1)求∠ACB的度数； (2)求B处与灯塔C的距离； (3)已知灯塔C周围11海里内有暗礁，若轮船继续沿AM方向航行，通过计算判断轮船有没有触礁的危险。 22．（本题10分）如图，△ABC是边长为12 cm的等边三角形。点P以1 cm/s的速度从顶点A出发沿边AB向B移动，点Q以2 cm/s的速度从顶点B出发沿边BC向C移动，两点同时出发，点Q到达C后两点都停下。设运动时间为t s，连接PQ。 (1)运动t s后，线段BP与BQ各长多少厘米？ (2)当t为何值时，△PBQ是等边三角形？ (3)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 23．（本题13分）如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，3），B（4，3）都在x轴的上方，点P是x轴上的一个动点。 (1)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标； (2)在(1)的条件下，在x轴上另取一点P′（不与点P重合），求证：P′A＋P′B＞PA＋PB； (3)求此时∠APB的度数； (4)求此时△APB的面积。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上册 第十五章 轴对称 章末检测·提高卷 保密★启用前 第十五章 轴对称（章末检测•提高卷） 人教版数学八年级上册 （试卷总分：120分　建议用时：100分钟　测试范围：第十五章 轴对称） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请把学校、姓名、班级、考号填写在规定位置。 2．考试范围：人教版（2024）八年级上册第十五章 轴对称（含综合与实践 最短路径问题）。 3．证明题要写清每一步的依据，计算题要写出必要的演算步骤。 4．请按题号顺序在指定区域作答，超出区域的答案无效；写完后认真检查一遍。 内容速览　10 选／5 填／8 解，共 23 题，满分 120 分 配套解析：解析版 14 页，含速查表、答案、详解；题目配图 23 幅 考点覆盖：等腰三角形“等边对等角”求顶角、成轴对称的两个图形的性质、轴对称图形的识别、线段垂直平分线的判定、关于x轴对称的点的坐标（求参数）、等腰三角形“三线合一”（情境）、两个等腰三角形组合中的角度计算、等边三角形与全等的综合（求角）等 23 个 评卷人 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝68°，则∠A的度数是(____)。 A．68° B．44° C．112° D．56° 2．（本题3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，点A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′。下列结论中，一定正确的是(____)。 A．AB∥A′B′ B．AC＝A′B′ C．直线l垂直平分线段CC′ D．∠BAC＝∠A′C′B′ 3．（本题3分）如图，①是一个等腰梯形，②是一个邻边不相等且没有直角的平行四边形，③是一个等边三角形，④是一个两条直角边不相等的直角三角形。这四个图形中，是轴对称图形的有(____)。 A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 4．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC的内部，且DB＝DC，连接AD并延长，交BC于点E。那么在下面四个说法里，仅凭这些条件还不能保证成立的一项是(____)。 A．AE⊥BC B．BE＝CE C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝DE 5．（本题3分）如图，点A（3，m＋1）和点B（n－2，－5）是平面直角坐标系中关于x轴对称的两点，那么点C（m，n）位于(____)。 A．第三象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第二象限 6．（本题3分）如图是一个等腰三角形风筝面的示意图，AB＝AC，竖骨AD⊥BC于点D。量得AB＝45 cm，BD＝25 cm，现在给风筝面的三条边包上边框，边框的总长是(____)。 A．140 cm B．115 cm C．70 cm D．135 cm 7．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在边AC上，且BD＝BC，则∠ABD的度数是(____)。 A．40° B．35° C．30° D．50° 8．（本题3分）如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，以AD为边作等边三角形ADE（点E与点C在直线AD的同侧），连接CE。若∠BAD＝20°，则∠CED的度数是(____)。 A．20° B．100° C．80° D．40° 9．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E。给出下列结论：①∠BAD＝60°；②AB＝2AD；③BE＝3AE；④BC＝4AD。其中正确的是(____)。 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），O为原点。若点P在坐标轴上，且△AOP是等腰三角形，则符合条件的点P共有(____)。 A．8个 B．4个 C．6个 D．10个 评卷人 得分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，在6×5的正方形网格中，已有6个小方格涂上了阴影。要使阴影部分组成的图形关于虚线l成轴对称，至少还要再涂________个小方格。 12．（本题3分）如图，四边形ABCD关于直线AC对称，∠BAD＝64°，∠BCD＝96°，则∠B＝________°。 13．（本题3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，AB＝2x－3，BC＝x＋2，则△ABC的周长为________。 14．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°。将△ABC沿直线DE折叠，使点B与点A重合，折痕DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD。若∠CAD＝20°，则∠B＝________°。 15．（本题3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，交BC于点D。若CD＝2，则BC的长为________。 评卷人 得分 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝48°，∠ACB＝72°。点D，E在直线BC上，点D在点B的左侧，点E在点C的右侧，且BD＝BA，CE＝CA，连接AD，AE。 (1)求∠D的度数； (2)求∠E的度数； (3)求∠DAE的度数。 17．（本题9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BD＝CE，连接AD，AE。 (1)求证：AD＝AE； (2)若∠BAC＝100°，∠BAD＝25°，求∠ADE和∠DAE的度数。 18．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线m上各点的横坐标都为1，△ABC的三个顶点分别为A（－4，4），B（－2，1），C（－1，5）。 (1)把△ABC沿直线m翻折，点A，B，C分别落在A′，B′，C′处，求A′，B′，C′的坐标； (2)点P（a，b）关于直线m的对称点为P′，用含a，b的式子表示点P′的坐标； (3)若点E（2k＋1，5）与点F（k－5，5）关于直线m对称，求k的值。 19．（本题9分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°。直线DM，EN分别垂直平分边AB，AC，垂足依次为M，N，点D，E都在边BC上，连接AD，AE。 (1)求∠DAE的度数； (2)△ADE的另外两个内角∠ADE，∠AED各是多少度？ (3)若BC＝15，求△ADE的周长。 20．（本题9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连接DE交BC于点F。 (1)过点D作DG∥AC，交BC于点G，求证：DG＝DB； (2)求证：DF＝EF； (3)若∠B＝60°，BC＝12，BD＝3，求BF的长。 21．（本题10分）如图，一艘轮船沿笔直的航线由A向M方向航行，速度为每小时16海里。在A处测得灯塔C与航线的夹角∠CAM＝15°，航行1.5小时后到达B处，测得∠CBM＝30°。 (1)求∠ACB的度数； (2)求B处与灯塔C的距离； (3)已知灯塔C周围11海里内有暗礁，若轮船继续沿AM方向航行，通过计算判断轮船有没有触礁的危险。 22．（本题10分）如图，△ABC是边长为12 cm的等边三角形。点P以1 cm/s的速度从顶点A出发沿边AB向B移动，点Q以2 cm/s的速度从顶点B出发沿边BC向C移动，两点同时出发，点Q到达C后两点都停下。设运动时间为t s，连接PQ。 (1)运动t s后，线段BP与BQ各长多少厘米？ (2)当t为何值时，△PBQ是等边三角形？ (3)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 23．（本题13分）如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，3），B（4，3）都在x轴的上方，点P是x轴上的一个动点。 (1)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标； (2)在(1)的条件下，在x轴上另取一点P′（不与点P重合），求证：P′A＋P′B＞PA＋PB； (3)求此时∠APB的度数； (4)求此时△APB的面积。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D B A C D 题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 B A 4 100 21 35 6 　一、选择题 1．【答案】B 【解析】∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝68°（等边对等角）。 ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－68°－68°＝44°。 所以选B。 A项误以为顶角与底角相等，直接写∠A＝∠B，按此错法真算得68°；C项只减去了一个底角：180°－∠B，按此错法真算得112°；D项把68°当成顶角去求底角：(180°－68°)÷2，按此错法真算得56°。 2．【答案】C 【解析】成轴对称的两个图形全等，对应线段相等、对应角相等；并且连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 点C与点C′是一对对称点，所以直线l垂直平分线段CC′，C项一定正确。 所以选C。 A项把对应线段所在直线当成了一定平行：AB与A′B′所在直线关于l对称，只有AB∥l时二者才平行，一般情况下它们的延长线相交于l上的一点；B项找错了对应线段：AC的对应线段是A′C′，与A′B′不一定相等；D项找错了对应角：∠BAC的对应角是∠B′A′C′，而不是∠A′C′B′。 3．【答案】A 【解析】等腰梯形沿两底中点所在直线折叠，两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；等边三角形有3条对称轴，是轴对称图形。 邻边不相等且没有直角的平行四边形、两条直角边不相等的直角三角形，找不到一条直线使图形沿它折叠后两旁重合，都不是轴对称图形。 所以是轴对称图形的有①③，共2个。 所以选A。 B项误以为平行四边形沿对角线折叠后两旁能重合，多算了②，按此错法真算得3个；C项把②和④都当成了轴对称图形，四个全算上，按此错法真算得4个；D项漏掉了等腰梯形①（它沿上、下底中点的连线折叠，两旁能够重合），按此错法真算得1个。 4．【答案】D 【解析】∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上；∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。 两点确定一条直线，∴直线AD就是线段BC的垂直平分线，∴AE⊥BC，BE＝CE。 又∵AB＝AC，AE⊥BC，∴AE平分∠BAC（等腰三角形底边上的高也是顶角的平分线），即∠BAD＝∠CAD。 点D在线段AE上的位置并不确定（只要DB＝DC，点D可以在AE上的不同位置），所以AD与DE不一定相等。 所以选D。 A项由直线AD垂直平分BC可得AE⊥BC，一定正确，不符合题意；B项由直线AD垂直平分BC可得BE＝CE，一定正确，不符合题意；C项由AB＝AC，AE⊥BC，根据“三线合一”可得AE平分∠BAC，一定正确，不符合题意。 5．【答案】B 【解析】点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），即横坐标相同，纵坐标互为相反数。 ∴n－2＝3，m＋1＝5，解得m＝4，n＝5。 ∴点C的坐标为（4，5），横、纵坐标都是正数，点C在第一象限。 所以选B。 A项把关于x轴对称当成了关于y轴对称：n－2＝－3，m＋1＝－5，按此错法真算得点C（－6，－1），在第三象限；C项误以为横、纵坐标都互为相反数：n－2＝－3，m＋1＝5，按此错法真算得点C（4，－1），在第四象限；D项误以为横、纵坐标都分别相等：n－2＝3，m＋1＝－5，按此错法真算得点C（－6，5），在第二象限。 6．【答案】A 【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）。 ∴BC＝2BD＝2×25＝50（cm），AC＝AB＝45 cm。 边框的总长＝AB＋AC＋BC＝45＋45＋50＝140（cm）。 所以选A。 B项把BD当成了底边BC的长：2×45＋25，按此错法真算得115 cm；C项只算了一条腰与BD的和，按此错法真算得70 cm；D项误以为底边BC也等于腰长：3×45，按此错法真算得135 cm。 7．【答案】C 【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝(180°－40°)÷2＝70°。 ∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝70°，∴∠DBC＝180°－2×70°＝40°。 ∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝70°－40°＝30°。 所以选C。 A项误以为AD＝BD，得∠ABD＝∠A，按此错法真算得40°；B项误以为BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠ABC，按此错法真算得35°；D项误以为BD⊥AC，得∠ABD＝90°－∠A，按此错法真算得50°。 8．【答案】D 【解析】∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE。 在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB。 在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－60°－20°＝100°，∴∠AEC＝100°。 ∴∠CED＝∠AEC－∠AED＝100°－60°＝40°。 所以选D。 A项误以为∠CED＝∠BAD，按此错法真算得20°；B项求出∠AEC＝∠ADB后忘了减去∠AED，按此错法真算得100°；C项把∠CED当成了∠ADC＝180°－∠ADB，按此错法真算得80°。 9．【答案】B 【解析】①：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC（三线合一），∠BAD＝×120°＝60°，正确。 ②：∠B＝(180°－120°)÷2＝30°，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝AB，即AB＝2AD，正确。 ③：在Rt△ADE中，∠ADE＝90°－∠DAE＝90°－60°＝30°，∴AE＝AD；又AB＝2AD＝4AE，∴BE＝AB－AE＝3AE，正确。 ④：BC＝2BD，而在Rt△ABD中，BD是直角边，AB是斜边，BD＜AB＝2AD，∴BC＜4AD，④错误。 所以选B。 A项漏选了正确的③；C项选入了错误的④，又漏掉了正确的①；D项把错误的④也当成了正确结论。 10．【答案】A 【解析】分三类讨论，每类在x轴、y轴上分别找： ①OP＝OA：以点O为圆心、OA长为半径作弧，与x轴、y轴各交于2个点，共4个； ②AP＝AO：此时点A在线段OP的垂直平分线上（点O本身也满足AP＝AO，但构不成三角形，舍去）。点P在x轴上时，过点A作x轴的垂线，垂足（3，0）就是OP的中点，得P（6，0）；点P在y轴上时，同理垂足（0，4）是OP的中点，得P（0，8）。共2个； ③PO＝PA：点P在线段OA的垂直平分线上，它与x轴、y轴各有1个交点，共2个。 以上各点互不重合，所以符合条件的点P共有4＋2＋2＝8个。 所以选A。 B项只在x轴上找，漏掉了y轴上的点，按此错法真算得4个；C项漏掉了以P为顶角顶点（PO＝PA）的两种情况，按此错法真算得6个；D项在x轴、y轴上分别解AP＝AO时，都把与点O重合的那个解算了进去，点O被计了两次（点O构不成三角形，应舍去），按此错法真算得10个。 　二、填空题 11．【答案】4 【解析】逐个找出已涂方格关于虚线l的对称方格：左边第1列、第2列的方格对称到右边第6列、第5列，第3列的方格对称到第4列。 已涂的6个方格中，第3列、第4列同一行的一对方格已经互相对称（共2个），其余4个方格的对称方格都还没有涂。 所以至少还要再涂6－2＝4个小方格。 所以答案为4。 12．【答案】100 【解析】∵四边形ABCD关于直线AC对称，∴△ABC与△ADC关于直线AC对称，对应角相等。 ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝32°，∠BCA＝∠DCA＝∠BCD＝48°。 在△ABC中，∠B＝180°－∠BAC－∠BCA＝180°－32°－48°＝100°。 所以答案为100。 13．【答案】21 【解析】∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），∴AB＝BC。 即2x－3＝x＋2，解得x＝5，∴BC＝5＋2＝7。 ∴△ABC的周长＝3×7＝21。 所以答案为21。 14．【答案】35 【解析】由折叠可知，点B与点A关于直线DE对称，∴DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B。 设∠B＝x，则∠DAB＝x，∠CAB＝90°－x。 ∵∠CAD＝∠CAB－∠DAB，∴90°－2x＝20°，解得x＝35°，即∠B＝35°。 所以答案为35。 15．【答案】6 【解析】∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°。∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝30°。 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AD，即AD＝2CD＝2×2＝4。 ∵∠BAD＝∠B＝30°，∴BD＝AD＝4（等角对等边）。 ∴BC＝CD＋BD＝2＋4＝6。 所以答案为6。 　三、解答题 16．【答案】（1）24°；（2）36°；（3）120° 【解析】(1)∵BD＝BA，∴∠D＝∠BAD（等边对等角）。 ∵∠ABC是△ABD的外角，∴∠D＋∠BAD＝∠ABC＝48°，∴∠D＝×48°＝24°。 (2)同理，∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∠E＋∠CAE＝∠ACB＝72°，∴∠E＝×72°＝36°。 (3)在△ADE中，∠DAE＝180°－∠D－∠E＝180°－24°－36°＝120°。 17．【答案】（1）见解析；（2）∠ADE＝65°，∠DAE＝50° 【解析】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角）。 在△ABD和△ACE中，AB＝AC（已知），∠B＝∠C（已证），BD＝CE（已知），∴△ABD≌△ACE（SAS）。 ∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）。 (2)∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝(180°－100°)÷2＝40°。 ∵∠ADE是△ABD的外角，∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝40°＋25°＝65°。 由(1)知AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝65°，∴∠DAE＝180°－2×65°＝50°。 18．【答案】（1）A′（6，4），B′（4，1），C′（3，5）；（2）P′（2－a，b）；（3）k＝2 【解析】(1)成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。直线m与y轴平行，所以对称点的纵坐标相同，且两点到直线m的距离相等。 点A到直线m的距离为1－(－4)＝5，∴A′的横坐标为1＋5＝6，A′（6，4）； 点B到直线m的距离为1－(－2)＝3，∴B′（4，1）；点C到直线m的距离为1－(－1)＝2，∴C′（3，5）。 (2)PP′被直线m垂直平分，∴P′的纵坐标为b；设P′的横坐标为x，则点P与点P′到直线m的距离相等，且分别在直线m的两侧，所以x比1大（或小）多少，a就比1小（或大）多少，即x－1＝1－a，解得x＝2－a。∴P′（2－a，b）。 (3)由(2)可知，点E关于直线m的对称点的横坐标为2－(2k＋1)，它就是点F的横坐标。 ∴k－5＝2－(2k＋1)，解得k＝2。 19．【答案】（1）40°；（2）∠ADE＝60°，∠AED＝80°；（3）15 【解析】(1)在△ABC中，∠BAC＝180°－30°－40°＝110°。 ∵点D在AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝30°；同理EA＝EC，∠CAE＝∠C＝40°。 ∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD－∠CAE＝110°－30°－40°＝40°。 (2)∠ADE是△ABD的外角，∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝30°＋30°＝60°；同理∠AED＝∠C＋∠CAE＝40°＋40°＝80°。 (3)△ADE的周长＝AD＋DE＋EA＝BD＋DE＋EC＝BC＝15。 20．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BF＝7.5 【解析】(1)证明：∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）。 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DGB＝∠B，∴DG＝DB（等角对等边）。 (2)证明：由(1)得DG＝DB，又BD＝CE，∴DG＝CE。 ∵DG∥AC，点E在AC的延长线上，∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）。 在△DGF和△ECF中，∠GDF＝∠CEF（已证），∠DFG＝∠EFC（对顶角相等），DG＝EC（已证），∴△DGF≌△ECF（AAS），∴DF＝EF。 (3)∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠ACB＝60°。由(1)得∠DGB＝∠B＝60°，∴△DBG是等边三角形，BG＝BD＝3。 ∴GC＝BC－BG＝12－3＝9。由(2)中△DGF≌△ECF得GF＝CF，∴GF＝GC＝4.5。 ∴BF＝BG＋GF＝3＋4.5＝7.5。 21．【答案】（1）15°；（2）24海里；（3）没有触礁的危险 【解析】(1)∵∠CBM是△ABC的外角，∴∠ACB＝∠CBM－∠CAB＝30°－15°＝15°。 (2)∵∠ACB＝∠CAB＝15°，∴BC＝AB（等角对等边）。 AB＝16×1.5＝24（海里），∴B处与灯塔C的距离BC＝24海里。 (3)过点C作CD⊥AM于点D，则CD的长就是灯塔C到航线的最短距离。 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×24＝12（海里）。 ∵12＞11，∴轮船继续沿AM方向航行，没有触礁的危险。 22．【答案】（1）BP＝(12－t) cm，BQ＝2t cm；（2）t＝4；（3）t＝2.4或t＝6 【解析】(1)AP＝t cm，∴BP＝(12－t) cm；BQ＝2t cm（0＜t≤6）。 (2)∵∠B＝60°，∴当BP＝BQ时，△PBQ是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 即12－t＝2t，解得t＝4，符合0＜t≤6，∴当t＝4时，△PBQ是等边三角形。 (3)∵∠B＝60°，∴∠B不可能是直角，分两种情况： ①若∠BQP＝90°，则∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即2t＝(12－t)，解得t＝2.4； ②若∠BPQ＝90°，则∠BQP＝30°，∴BP＝BQ，即12－t＝×2t，解得t＝6，此时点Q恰好到达点C，符合题意。 综上，当t＝2.4或t＝6时，△PBQ是直角三角形。 23．【答案】（1）P（1，0）；（2）见解析；（3）90°；（4）9 【解析】(1)作点B关于x轴的对称点B′，则B′（4，－3）。连接AB′，交x轴于点P。∵x轴垂直平分BB′，∴PB＝PB′，PA＋PB＝PA＋PB′＝AB′，此时PA＋PB的值最小（两点之间，线段最短）。 过点A作AH⊥x轴于点H，则H（－2，0），AH＝3；设B′B交x轴于点K，则K（4，0），B′K＝3。 在△AHP和△B′KP中，∠AHP＝∠B′KP＝90°，∠APH＝∠B′PK（对顶角相等），AH＝B′K，∴△AHP≌△B′KP（AAS），∴HP＝KP。 ∵HK＝4－(－2)＝6，∴HP＝HK＝3，点P的横坐标为－2＋3＝1，∴P（1，0）。 (2)证明：连接P′B′。∵x轴垂直平分BB′，∴P′B＝P′B′，PB＝PB′。 ∴P′A＋P′B＝P′A＋P′B′。∵直线AB′与x轴只有一个交点P，点P′与点P不重合，∴点A，P′，B′不在同一条直线上，在△AP′B′中，P′A＋P′B′＞AB′（三角形两边的和大于第三边）。 又AB′＝PA＋PB′＝PA＋PB，∴P′A＋P′B＞PA＋PB。 (3)由(1)得HP＝3＝AH，∠AHP＝90°，∴△AHP是等腰直角三角形，∠APH＝45°。 ∵KP＝4－1＝3，BK＝3，∴KP＝BK，同理∠BPK＝45°。 ∴∠APB＝180°－∠APH－∠BPK＝180°－45°－45°＝90°。 (4)∵点A，B的纵坐标都是3，∴AB∥x轴，AB＝4－(－2)＝6，点P到AB的距离为3。 ∴S△APB＝×6×3＝9。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $