第1章 因式分解单元练习题 (2)2026-2027学年湘教版八年级数学上册

湘教版八年级数学上册第1章 因式分解单元练习题 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．若k为任意整数，则的值总能（　　） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 3．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 4．在中，若有一个因式为（x+2)，则k的值为（　　） A．2 B．-2 C．-6 D．6 5．（　　） A． B． C．28 D．2¹6 6．已知互不相等的实数a、b、c满足，，，则以下结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知a，b，c是的三边长，且，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 8． 若整数x，y，z满足，则x-y-z的值为（　　） A．-2 B．-1 C．0 D．1 二、填空题 9．因式分解：　 　． 10．分解因式：　 　． 11．对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为　 　． 三、解答题 12．计算： （1） （2） 13．把下列各式分解因式： （1）m2－9； （2）9a2（x－y）＋4b2（y－x）． 14．在当今“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式因式分解的结果为，当，时，，，其中，，分别为因式码，按从小到大的顺序就形成密码． （1）根据上述方法，当时，对于多项式分解因式后形成的密码是什么？ （2）将多项式因式分解后，利用题目中的方法，当时可以得到密码，求与的值． 15．拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：． （1）则图③可以解释为等式：______． （2）如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边，结合图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式为______． （3）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并通过拼图对多项式因式分解：______（拼图图形画在方框内）． 16．阅读材料： 常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法． 根据以上材料，解答下列问题： （1）按上述方法因式分解： ①； ②； （2）已知， ，为的三边，且，试判断的形状并说明理由． 17．某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题： 在长方形中，长为，长为，且． （1）若该长方形的周长为，面积为，求的值； （2）若a，b满足，求的值； （3）为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长． 18．综合与实践 （1）【问题情境】对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式，请写出这个等式。 （2）【探究实践】类比(1)，写出图2 中所表示的等式。 （3）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证(2)中的等式。 （4）利用(2)中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10， ab+ ac+ bc=33，求 c2 的值。 （5）【拓展应用】用图3中 2 张边长为 a 的正方形、3张边长为b的正方形、m张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，写出 m所有可能的取值。 19．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． （1）【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． （2）【应用公式】因式分解：． （3）【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】A 【解析】【解答】解： 有一个因式为(x+2)， 把x=-2代入 得-8+20-14+k=0， 解得k=2. 故答案为：A. 【分析】令x+2=0，则x=-2，然后代入代数式，利用0乘以任何数都为0得到-8+20-14+k=0，求出k的值解答即可. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：原式=1(2-1) 故答案为：D. 【分析】通过构造平方差乘(2-1)，可连续化简计算结果. 6．【答案】D 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ∴， ， ， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 故答案为：C． 【分析】将等式右边的项移到等式的左边，将等式左边利用“二二”分组为(a2-c2)+(2ab-2bc)=0，第一组利用平方差公式分解因式，第二组利用提取公因式法分解因式，然后组间再利用提取公式因式分解因式；根据几个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零，并结合三角形三边长都为正数，可得出a-c=0，从而根据两边相等的三角形是等边三角形可得结论. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：将方程分解为质因数幂 分解质因数： 化简为： ∴ 由第二式得，代入第一式： 代入第三式： 则， 解得： 计算代入得：， 故答案为：Ａ. 【分析】首先将方程分解为质因数幂的形式，通过比较指数建立方程组，解方程组后代入计算即可． 9．【答案】2(m+1)(m-1) 【解析】【解答】解：2（m2-1）=2(m+1)(m-1). 故答案为：2(m+1)(m-1). 【分析】首先提公因式2，然后再利用平方差公式进行第二次分解，即可得出答案. 10．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解： = 故答案为：. 【分析】先提公因式2，再根据完全平方公式进行因式分解，得出答案为：. 11．【答案】 12．【答案】（1） （2） 13．【答案】（1）(m+3)(m－3)；（2） 14．【答案】（1） （2）， 15．【答案】（1） （2）①②③④ （3）解：如图， 【解析】【解答】（1）解：由图可知， 故答案为：； （2）①，故正确； ②由图可知，，，故正确； ③由图可知，，，则，故③正确； ④， ∴，故④正确 综上，正确的选项为：①②③④． （3）如图， 故答案为：. 【分析】（1）观察图形，从整体看图③是一个长为a+2b，宽为2a+b的长方形，由长方形面积公式得该长方形的面积为(2a+b)(a+2b)；从部分看图③是由两个边长为a的正方形，两个边长为b的正方形及5个长为a宽为b的长方形拼成的，故该图形面积可表示出2a2+2b2+5ab，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等可得结论； （2）根据四个小长方形的面积等于大正方形面积减去小正方形面积建立等式后变形可判断①；根据大正方形边长与小长方形长宽的关系可判断②；由大正方形边长等于长方形的长与宽的和，小正方形的边长等于小长方形的长与宽的差可得x+y=m，x-y=n，再根据等式性质将两个式子相乘可判断③；将x+y=m与x-y=n分别平方后再相加即可判断④； （3）画出的矩形边长分别为和即可. （1）解：由图可知， 故答案为： （2）①，故正确； ②由图可知，，，故正确； ③由图可知，，，则，故③正确； ④， ∴，故④正确 综上，正确的选项为：①②③④． （3）如图， 故答案为： 16．【答案】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：是等腰三角形，理由如下， ， ， ， ， ∵， ，为的三边， ，，， ， ，即， 是等腰三角形． 【解析】【分析】 （1）①先分组，提取公因式，再结合公式法因式分解即可得到答案； ②先分组提取公因式，再结合公式法因式分解即可； （2）先对等式移项，分组后分解因式，根据三角形边长性质判断边的关系，确定三角形形状. 17．【答案】（1） （2） （3）和的长分别为，． 18．【答案】（1）解：大正方形的面积有两种求法：可以是 也可以是 （2）解：∵边长为 (a+b+c)的正方形的面积为： 分部分来看的面积为 两部分面积相等. ∴ （3）证明：左边= =(a+b+c)(a+b+c) =右边， 等式成立. （4）解： =34， 的值为34. （5）解：由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为： 从因式分解的角度看，可分解为 (2a+b)(a+3b)或(2a+3b)(a+b)， 或(2a+3b) 或7. 【解析】【分析】(1)大正方形的面积有两种求法，可得结论； (2) 边长为 ((a+b+c)的正方形的面积整体看和分部分来看两部分相等.问题可解； (3)根据多项式乘法法则展开运算即可； (4)由(1)中得到的结论得到 代入已知条件计算即可； (5)所拼成的长方形或正方形的面积为： 从因式分解的角度看，可分解为(2a+b)(a+3b)或(2a+3b)(a+b)展开计算即可得m的值. 19．【答案】（1） （2） （3）①20；②，24 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $