3.1函数的概念及其表示导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·必修第一册（人教A版2019）学案（学生版）班级：_________ 姓名：_________ 日期：__________ 3.1 函数的概念及其表示 【学习目标】 • 1. 理解函数的概念，能用集合语言刻画"非空数集到非空数集的单值对应"。（数学抽象） • 2. 会用区间表示数集，能求简单函数的定义域（整式、分式、根式、组合）。（数学运算） • 3. 理解相等函数，会求 f(a) 与分段函数的值。（数学运算） • 4. 会用解析法、列表法、图象法表示函数，会用待定系数/换元/方程组法求解析式。（数学建模） 一、新知引入 【问题1·从图象到对应】二次函数 y=x² 把每个 x∈ℝ 唯一送到一个 y；恩格尔系数表把每个年份送到一个百分比；炮弹高度 h=130t−5t² 把飞行时间送到一个高度。它们有什么共同结构？ 【问题2·一个 x 能送两个 y 吗】"正方形边长→面积"是函数；"面积→边长（一个面积对应两个边长 ±√S）"是函数吗？为什么？ 【问题3·为什么强调"非空数集"】若 A={1,2}, B={3}，对应关系"x→x+1"，这是从 A 到 B 的函数吗？若 A 为空集会怎样？ 我的发现： 二、知识梳理 （一）函数的概念 设 A,B 是 ________，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 ________，在集合 B 中都有 ________ 与它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 ____。此时 x 叫自变量，____ 叫函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫 ____。 （二）区间表示（a<b） 名称 符号 含义 闭区间 [a,b] {x|a≤x≤b} 开区间 (a,b) {x|a<x<b} 半开半闭 [a,b) 或 (a,b] {x|a≤x<b} 或 {x|a<x≤b} 无穷区间 (−∞,a]、[a,+∞)、(−∞,+∞) 注意 ∞ 不是数，含∞的端点永远用小括号 （三）定义域的求法 ① 整式：定义域为 ____；② 分式：____；③ 偶次根式：____；④ 组合式：各部分定义域的 ____；⑤ 实际/几何问题：还需满足 ____。 （四）相等函数与 f(a) 1. 两个函数相等 ⇔ ________ 相同且 ________ 相同（与所用字母无关）。 2. f(a) 表示 ____ 在 x=a 时的函数值（一个 ____）；f(x) 表示 ____（一个 ____）。 （五）函数的表示法与分段函数 1. 表示法：____（最常用，便于运算）、____（直观，可能是离散点）、____（适合离散数据）。 2. 分段函数：在定义域的不同部分，有 ____ 的对应关系，用 ____ 表示。其定义域是各段定义域的 ____，值域是各段值域的 ____。 （六）求解析式常用方法 ① 待定系数法：已知 ____ 时设出形式，列方程（组）；② 换元法/配凑法：已知 f(g(x)) 求 f(x)，令 t=g(x) 解出 x 代入（注意 ____）；③ 方程组法：已知 f(x) 与 f(−x) 或 f() 的关系，再构造一个等式 ____ 求解。 三、典型例题（约18分钟） 例1.下列对应为从 A 到 B 的函数的是 ____（填序号）： ① A=ℝ,B={x|x>0}, f : x→y=|x|；② A=ℤ,B=ℕ*, f :x→y=x²；③ A=[−1,1],B={0},f : x→y=0；④ A=ℝ，B=ℝ,f : x→y=2x+1。 例2.用区间表示：(1){x|x≥−2}；(2){x|−1<x<1，或 2≤x<6}。 例3.求下列函数定义域：(1) y=；(2) y=+；(3) y=。 例4.(1) 已知 f(x) 定义域为[1,3]，求 f(2x+1) 的定义域；(2) 已知 f(2x+1) 的定义域为[1,3]，求 f(x) 的定义域。 例5.下列函数中与 y=x 相等的是 ____：① y=()²；② y=；③ y=；④ y=|x|。 例6.设 f(x)= 。求 f(−2), f(0), f(f(−1))。 例7. (1) 已知 f(x) 是一次函数且 f(f(x))=4x+8，求 f(x)； (2) 已知 f(x+1)=x²−3x+2，求 f(x)； (3)已知 2f(x)+f()=3x(x≠0)，求 f(x)。 四、变式探究 【变式1】已知 f(x) 定义域为[−2,3]，求 f(2x−3) 的定义域。 【变式2】函数 f(x)= ，求 f(f(1))。 【探究】若 f(x+1)=x²+4x−5，能否用"配凑法"直接得到 f(x)？ 五、分层训练 基础巩固（人人过关） 1. 下列图形中 y 是 x 的函数的是( )。 2. 用区间表示：(1){x|x>−3}；(2){x|2≤x≤5}；(3){x|x≤0 或 x>1}。 3. 求下列函数定义域：(1) y=；(2) y=。 4. 下列函数中与 y=x 相等的是（ ）：A.y=()³；B.y=；C.y=；D.y=。 能力提升（+做） 5. 已知 f(x) 定义域为[−2,3]，求 f(2x+3) 的定义域。 6. 已知 f(2x−1) 定义域为[0,2]，求 f (x) 的定义域。 7. 设 f(x)= ，求 f (f (0))。 8.已知 f(x) 是一次函数，f(1)=2, f(2)=5，求 f(x)。 拓展挑战（+做） 9. 已知 2f(x)+f()=3x(x≠0)，求 f(x)。 10. 已知 f(x+1)=x²−3x，求 f(x)。 11. 某市出租车计费：3 km 内 10 元；超过 3 km 部分每 km 2 元（不足 1 km 按 1 km 计）。设行驶 x km 的付费为 y 元（x 为正整数），用分段函数表示 y=f(x)。 六、课堂小结（约2分钟） 我的疑问与收获： 七、课后作业（分层布置） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 函数的概念及其表示 高中数学·必修第一册（人教A版2019）教案（教师版·详案） ◆ 教学设计说明（课前必读） 【课时】 建议 2 课时。第1课时：函数概念、三要素、区间、定义域求法（例1~例5）；第2课时：表示法、分段函数、求解析式（例6、例7）。若 1 课时完成，例7 改为课后选做。 【重难点】 重点：函数的概念（非空数集→非空数集的单值对应）、定义域的求法、分段函数求值。难点：①抽象函数定义域的"范围传递"；②相等函数的判定（看定义域+对应法则，不看字母）；③求解析式（换元/配凑/方程组）。 【分层策略】 普通班：概念+区间+具体定义域+分段求值；重点班：+抽象定义域+相等函数+换元求解析式；清北班：+方程组法求解析式+分段函数实际应用。 【板书 】左：函数定义三句话（非空数集、任意、唯一）+ 区间表；中：例3 定义域求法、例4 抽象定义域；右：例6 分段函数、例7 解析式求法。 【衔接】 2.3 已用"三个二次"统一二次函数；本节把"对应关系"正式定义为函数，区间是集合的简化记法，为 3.2 单调性（要比较 f(x₁),f(x₂) 大小）、第四章指数对数函数打底。 【学习目标】（对标数学核心素养） • 1. 理解函数的概念，能用集合语言刻画"非空数集到非空数集的单值对应"。（数学抽象） • 2. 会用区间表示数集，能求简单函数的定义域（整式、分式、根式、组合）。（数学运算） • 3. 理解相等函数，会求 f(a) 与分段函数的值。（数学运算） • 4. 会用解析法、列表法、图象法表示函数，会用待定系数/换元/方程组法求解析式。（数学建模） 【强调】 目标第1条是本章"逻辑起点"——函数不是公式，是对应关系；第2、3条保底；第4条是工具。 一、新知引入（约6分钟） 【问题1·从图象到对应】二次函数 y=x² 把每个 x∈ℝ 唯一送到一个 y；恩格尔系数表把每个年份送到一个百分比；炮弹高度 h=130t−5t² 把飞行时间送到一个高度。它们有什么共同结构？ 【问题2·一个 x 能送两个 y 吗】"正方形边长→面积"是函数；"面积→边长（一个面积对应两个边长 ±√S）"是函数吗？为什么？ 【问题3·为什么强调"非空数集"】若 A={1,2}, B={3}，对应关系"x→x+1"，这是从 A 到 B 的函数吗？若 A 为空集会怎样？ 【师生活动】 问题1 归纳"输入→唯一输出"；问题2 点出"单值性"（多对一可以，一对多不行）；问题3 用空集/值域超界反例说明"非空数集"与"任意x都在B中有唯一像"的必要性。 【设计意图】 从三个不同情境抽象出函数本质，避免学生把函数等同于"公式"。 【讲解·如何讲清】 下定义三句话钉死：①A、B是非空数集；②A中任意一个x；③B中都有唯一确定的y与之对应。强调"唯一"——一对多不是函数，多对一仍是函数。 二、知识梳理（约14分钟，学生先填，教师再讲） （一）函数的概念 设 A,B 是 ________，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 ________，在集合 B 中都有 ________ 与它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 ____。此时 x 叫自变量，____ 叫函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫 ____。 【讲解·如何讲清】 三要素：定义域A、对应法则f、值域{f(x)|x∈A}。值域由定义域和对应法则完全决定，不由B决定。B只需"包含"值域，常说B是"值域所在的数集"。 （二）区间表示（a<b） 名称 符号 含义 闭区间 [a,b] {x|a≤x≤b} 开区间 (a,b) {x|a<x<b} 半开半闭 [a,b) 或 (a,b] {x|a≤x<b} 或 {x|a<x≤b} 无穷区间 (−∞,a]、[a,+∞)、(−∞,+∞) 注意 ∞ 不是数，含∞的端点永远用小括号 【易错】 ①数集不一定都能用区间表示，如离散集 {1,2,3} 不能用区间；②∞ 不是数，含∞的端点永远用小括号；③[a,b] 要求 a<b，否则无意义。 （三）定义域的求法（使解析式有意义） ① 整式：定义域为 ____；② 分式：____；③ 偶次根式：____；④ 组合式：各部分定义域的 ____；⑤ 实际/几何问题：还需满足 ____。 【重点】 定义域是"自变量 x 的允许取值范围"，是函数的第一要素。求定义域本质是解不等式（组）。 （四）相等函数与 f(a) 1. 两个函数相等 ⇔ ________ 相同且 ________ 相同（与所用字母无关）。 2. f(a) 表示 ____ 在 x=a 时的函数值（一个 ____）；f(x) 表示 ____（一个 ____）。 【易错】 判断相等函数不能看"长相"，要看定义域和对应法则。如 f(x)=x 与 g(x)=x²/x 不相等，因为 g 在 x=0 无定义（定义域不同）。 （五）函数的表示法与分段函数 1. 表示法：____（最常用，便于运算）、____（直观，可能是离散点）、____（适合离散数据）。 2. 分段函数：在定义域的不同部分，有 ____ 的对应关系，用 ____ 表示。其定义域是各段定义域的 ____，值域是各段值域的 ____。 【重点】 分段函数是一个函数（不是多个），求值时"先看自变量落在哪一段，再代入该段解析式"。 （六）求解析式常用方法（二级结论） ① 待定系数法：已知 ____ 时设出形式，列方程（组）；② 换元法/配凑法：已知 f(g(x)) 求 f(x)，令 t=g(x) 解出 x 代入（注意 ____）；③ 方程组法：已知 f(x) 与 f(−x) 或 f(1/x) 的关系，再构造一个等式 ____ 求解。 【对应练习】 讲完概念→做例1、2；讲完定义域→做例3、4、训练3~7；讲完分段→做例6、训练8；讲完解析式→做例7、训练9~12。 三、典型例题（约18分钟） 例1（基础·概念理解）下列对应为从 A 到 B 的函数的是 ____（填序号）：① A=ℝ,B={x|x>0}, f:x→y=|x|；② A=ℤ,B=ℕ*, f:x→y=x²；③ A=[−1,1],B={0},f:x→y=0；④ A=ℝ,B=ℝ,f:x→y=2x+1。 【讲评要点】 ①中 x=0 在B无像；②中 x=0 时 y=0∉ℕ*；③中 A 任一x都对应唯一的0∈B，是函数；④显然是。答案：③④。 【对应练习】 做分层训练1、2。 例2（基础·区间表示）用区间表示：(1){x|x≥−2}；(2){x|−1<x<1，或 2≤x<6}。 【讲评要点】 (1)[−2,+∞)；(2)(−1,1)∪[2,6)。注意"或"用并集∪，不能用"、"连成一段。 【对应练习】 做分层训练3。 例3（基础·求定义域）求下列函数定义域：(1) y=1/(x−2)；(2) y=√(x+1)+1/(x−3)；(3) y=√((x−1)(x−2))。 【讲评要点】 (1)x≠2，即 (−∞,2)∪(2,+∞)；(2)x≥−1 且 x≠3；(3)(x−1)(x−2)≥0 ⇒ x≤1 或 x≥2。 【讲解·如何讲清】 逐条套"求法"：分式分母≠0、偶次根式≥0、组合取交集。板书把约束条件并列写清楚再解。 【对应练习】 做分层训练4、5。 例4（提高·抽象函数定义域）(1) 已知 f(x) 定义域为[1,3]，求 f(2x+1) 的定义域；(2) 已知 f(2x+1) 的定义域为[1,3]，求 f(x) 的定义域。 【讲评要点】 (1) f 作用对象须∈[1,3]，故 1≤2x+1≤3 ⇒ 0≤x≤1，定义域[0,1]。(2) 由 1≤x≤3 得 3≤2x+1≤7，故 f 的定义域为[3,7]。 【易错】 核心口诀："f( ) 括号内整体∈f 的定义域"。(1)是求新函数定义域（x的范围），(2)是反推原f作用范围。两问方向相反，学生极易混。 【对应练习】 做分层训练6、7。 例5（提高·相等函数）下列函数中与 y=x 相等的是 ____：① y=(√x)²；② y=∛(x³)；③ y=x²/x；④ y=|x|。 【讲评要点】 ①定义域 x≥0，不等；②y=x 且定义域ℝ，相等；③x≠0，不等；④y=|x|≠x（x<0时）。答案：②。 例6（拓展·分段函数）设 f(x)= 。求 f(−2), f(0), f(f(−1))。 【讲评要点】 f(−2)=−1；f(0)=0；f(−1)=0 ⇒ f(f(−1))=f(0)=0。关键：先判断自变量落在哪一段。 【对应练习】 做分层训练8。 例7（拓展·清北·求解析式）(1) 已知 f(x) 是一次函数且 f(f(x))=4x+8，求 f(x)；(2) 已知 f(x+1)=x²−3x+2，求 f(x)；(3) 已知 2f(x)+f(1/x)=3x(x≠0)，求 f(x)。 【讲评要点】 (1)设 f(x)=ax+b ⇒ a²=4, ab+b=8 ⇒ a=2,b=8/3 或 a=−2,b=−8；(2)换元 t=x+1⇒x=t−1 ⇒ f(t)=(t−1)²−3(t−1)+2=t²−5t+6 ⇒ f(x)=x²−5x+6；(3)用 1/x 替换 x 得 2f(1/x)+f(x)=3/x，联立消去 f(1/x) 得 f(x)=2x−1/x。 【讲解·如何讲清】 (2)换元后注意新元范围（t=x+1 仍为ℝ）；(3)方程组法是"对称构造"——把 x 换成 1/x 得到第二个等式，两式联立。板书把方程组对齐。 【对应练习】 做分层训练9、10、11、12。 四、变式探究（约5分钟） 【变式1】已知 f(x) 定义域为[−2,3]，求 f(2x−3) 的定义域。 【变式2】函数 f(x)=，求 f(f(1))。 【探究】若 f(x+1)=x²+4x−5，能否用"配凑法"直接得到 f(x)？（提示：x²+4x−5=(x+1)²+2(x+1)−6） 【探究】 变式1：−2≤2x−3≤3 ⇒ 1/2≤x≤3；变式2：f(1)=−1 ⇒ f(f(1))=f(−1)=1；探究：配凑法 f(x+1)=(x+1)²+2(x+1)−6 ⇒ f(x)=x²+2x−6，与换元法一致。 【师生活动】 变式1 学生口述"f( )内整体∈定义域"；变式2 强化分段判断；探究题展示配凑与换元的一致性。 五、分层训练（课堂/课后均可，约4分钟布置） 【选题说明】 普通班保底概念+区间+具体定义域+分段求值；重点班加抽象定义域+相等函数+换元求解析式；清北班加方程组法+实际应用。 【普通班】基础巩固（人人过关） 1. 下列图形中 y 是 x 的函数的是（填序号）：____。（图形中任作 x 轴垂线，与图象至多一个交点） 2. 用区间表示：(1){x|x>−3}；(2){x|2≤x≤5}；(3){x|x≤0 或 x>1}。 3. 求下列函数定义域：(1) y=1/(x+1)；(2) y=√(2x−1)。 4. 下列函数中与 y=x 相等的是（ ）：A.y=(∛x)³；B.y=x²/x；C.y=√x²；D.y=|x|/x。 【重点班】能力提升（+做） 5. 已知 f(x) 定义域为[−2,3]，求 f(2x+3) 的定义域。 6. 已知 f(2x−1) 定义域为[0,2]，求 f(x) 的定义域。 7. 设 f(x)= ，求 f(f(0))。 8. 已知 f(x) 是一次函数，f(1)=2, f(2)=5，求 f(x)。 【清北班】拓展挑战（+做） 9. 已知 2f(x)+f(1/x)=3x(x≠0)，求 f(x)。 10. 已知 f(x+1)=x²−3x，求 f(x)（换元或配凑均可）。 11. 某市出租车计费：3 km 内 10 元；超过 3 km 部分每 km 2 元（不足 1 km 按 1 km 计）。设行驶 x km 的付费为 y 元（x 为正整数），用分段函数表示 y=f(x)。 【对应练习·闭环】 例1↔训练1；例2↔训练2；例3↔训练3、4；例4↔训练5、6；例6↔训练7；例7↔训练8、9、10、11。 六、课堂小结（约2分钟） 1. 函数 = 非空数集→非空数集的单值对应（三要素：定义域、对应法则、值域）。 2. 区间简化记法；定义域求法"看式子有意义"；抽象定义域口诀"f( )内整体∈定义域"。 3. 分段函数是一个函数；求解析式三法：待定系数、换元/配凑、方程组。 【流程】 让学生闭卷默画区间表与函数概念三句话；教师补全板书——定义三句话 + 区间表 + 例4 抽象定义域口诀。 【板书设计】左：函数定义三句话 + 区间表；中：例3 定义域求法、例4 抽象定义域；右：例6 分段函数、例7 解析式求法。 七、课后作业（分层布置） ● 普通班：课本 P68 练习 1~4；分层训练 1~4。 ● 重点班：课本练习全做；分层训练 1~8，并整理"定义域漏限制"错题 3 道。 ● 清北班：课本练习全做 + 分层训练 1~11，另完成方程组法求解析式 2 道。 【反思】 下节课前 2 分钟抽测：①口述函数概念三句话；②求 y=√((x−1)(x+2)) 定义域；③判断 f(x)=x 与 g(x)=|x| 是否相等。本节为 3.2 单调性（比较 f(x₁),f(x₂) 大小）与本册后续函数打底。 学科网（北京）股份有限公司 $