3.2.1 函数的单调性与最值导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数单调性与最值，是函数核心性质开篇内容。在学生掌握函数概念、三要素等基础上，从图像升降特征抽象定义，为后续幂函数等学习及高考备考奠定基础。 资料以数学抽象、逻辑推理、直观想象为核心素养导向，通过定义法证明五步口诀、分层例题（含高考及创新题型）构建学习路径，助力学生提升严谨推理与运算能力，培养数形结合思维与应用意识。

新课标高中数学导学案 第三章 函数的概念和性质 3.2函数的基本性质 3.2.1 单调性与最值导学案（人教A版2019） 【内容导航】 本节课为人教A版（2019）高中数学必修第一册第三章第二节第一课时内容，是函数核心性质的开篇内容。在学生掌握函数概念、三要素、函数表示方法与分段函数的基础上，本节课重点研究函数的单调性、最大值与最小值的定义、几何意义及判定方法。函数单调性是研究函数图像变化趋势的核心工具，最值是函数值域的特殊边界值，是后续幂函数、指数函数、对数函数、三角函数性质学习的基础，也是高考必考核心考点，广泛考查定义辨析、证明、求解、综合应用等题型。 【学习目标导航】 一、知识目标 · 理解函数单调性的定义，掌握增函数、减函数的文字定义、符号定义与几何图像特征。 · 理解函数单调区间的概念，能够准确辨析、书写函数的单调递增区间与单调递减区间。 · 掌握函数最大值、最小值的严格定义及几何意义，明确最值存在的条件。 · 熟练掌握定义法证明函数单调性、图像法判断单调性与最值、简单函数单调性求解的基本方法。 二、能力目标 · 培养学生利用定义进行逻辑推理、作差变形、符号判断的严谨推理能力。 · 提升学生结合函数图像直观分析单调区间、最值的直观想象能力。 · 锻炼学生分类讨论、数形结合解决函数单调性综合问题的解题能力。 · 强化学生利用单调性求解函数最值、比较函数值大小的应用能力。 三、素养目标 · 数学抽象：从函数图像升降特征中抽象出单调性、最值的严格数学定义，完成直观认知到抽象定义的转化。 · 逻辑推理：通过定义法证明函数单调性，培养严谨的演绎推理与逻辑论证素养。 · 直观想象：借助函数图像感知单调变化与最值位置，建立数形结合的思维模型。 · 数学运算：在作差变形、符号判断、最值求解过程中，提升精准运算与化简能力。 【学习重点】 1. 增函数、减函数的定义理解与单调区间的准确求解、书写； 2. 定义法证明函数单调性的标准步骤； 3. 函数最大值、最小值的求解方法与简单应用。 【学习难点】 1. 单调性定义中“任意”二字的理解，规避特殊值误判单调性的误区； 2. 复杂函数作差变形、因式分解、符号判断的完整流程； 3. 闭区间与开区间上函数最值存在性的辨析，单调区间的规范书写。 【知识框架】 函数图像升降特征 → 单调性严格定义（增函数、减函数） → 单调区间辨析与书写 → 定义法证明单调性步骤 → 函数最值定义与几何意义 → 区间上函数最值求解 → 单调性比较大小、解不等式 → 分段函数单调性 → 高考综合应用、创新题型拓展 【学习过程】 一、知识要点 1. 函数单调性的定义 设函数的定义域为，区间： （1）增函数：如果对于区间内任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上单调递增，为单调递增区间。 （2）减函数：如果对于区间内任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上单调递减，为单调递减区间。 2. 单调性核心关键 · 必须是区间内任意的，不能用特殊值代替； · 单调性是局部性质，仅针对某个区间成立，函数在定义域内不一定单调； · 单调区间必须是定义域的子集，书写区间不跨域、不合并不连续区间。 3. 函数最值的定义 设函数的定义域为： （1）最大值：若存在，使得对任意，都有，则为函数的最大值。 （2）最小值：若存在，使得对任意，都有，则为函数的最小值。 4. 最值存在条件 函数在闭区间上连续，则一定存在最大值和最小值；开区间上单调函数无最值。最值一定是函数值域中的最值。 5. 定义法证明单调性五步口诀 取值→作差→变形→判号→定论 取值：任取，且； 作差：计算； 变形：因式分解、通分、配方； 判号：判断差值正负； 定论：根据定义得出增减性。 二、公式推导 推导：一次函数单调性通用结论推导 设一次函数，定义域为。 任取，且，作差： 由得： 当时，，即，函数在上单调递增； 当时，，即，函数在上单调递减。 推导结论：一次函数单调性由斜率符号决定，递增，递减。 三、例题讲解 （一）中等难度例题（3道） 例1. 判断函数在R上的单调性。 例2. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3. 若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （二）提高题型例题（6道） 例4. 用定义证明：函数在上单调递减。 例5. 函数是定义在的增函数，求满足的x取值范围。 例6. 已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 例7. 若函数的最小值在内取得，则实数的取值范围为 . 例8. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 . （三）近三年高考题型例题（2道） 例9.（2024新高考I卷改编）已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例10.（2023新高考II卷改编）“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （四）创新题型例题（1道） 例11.（创新定义题型） 定义“恒增函数”：定义域内任意，均满足，判断是否为恒增函数。 四、方法分析 1. 单调性三种判断方法 定义法：严谨通用，适用于证明题、抽象函数； 图像法：直观快速，适用于选择填空； 结论法：一次、二次、反比例函数可直接用性质判断。 2. 单调区间书写规范 多个单调区间不能用并集符号连接，必须用逗号隔开；区间端点开闭不影响单调性，可灵活书写。 3. 最值求解核心思路 闭区间单调函数：最值在区间端点处取得；二次函数闭区间最值：优先判断对称轴与区间位置关系，再求值比较。 4. 单调性常用结论 增函数+增函数=增函数， 减函数+减函数=减函数； 负号反转单调性，复合函数“同增异减”。 五、变式练习（含答案解析） （一）提高题型变式 变式1. 若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2. 若函数的最小值为，求的值。 （二）高考题型变式 变式3.（高考变式） 定义在上的函数，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 六、方法归纳　 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性． ②利用单调性写出最值． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 七、本节知识总结 1. 单调性是函数局部性质，核心定义关键词：任意、区间、自变量大小、函数值大小； 2. 定义法证明单调性五步：取值、作差、变形、判号、定论，是解答题必考规范步骤； 3. 最值是函数整体边界值，闭区间连续函数必有最值，开区间单调函数无最值； 4. 核心应用：比较函数值大小、解抽象函数不等式、求参数范围、区间最值求解； 5. 易错点：不连续单调区间合并、忽略“任意”条件、二次函数区间最值漏判端点。 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学导学案 第三章 函数的概念和性质 3.2函数的基本性质 3.2.1 单调性与最值导学案（人教A版2019） 【内容导航】 本节课为人教A版（2019）高中数学必修第一册第三章第二节第一课时内容，是函数核心性质的开篇内容。在学生掌握函数概念、三要素、函数表示方法与分段函数的基础上，本节课重点研究函数的单调性、最大值与最小值的定义、几何意义及判定方法。函数单调性是研究函数图像变化趋势的核心工具，最值是函数值域的特殊边界值，是后续幂函数、指数函数、对数函数、三角函数性质学习的基础，也是高考必考核心考点，广泛考查定义辨析、证明、求解、综合应用等题型。 【学习目标导航】 一、知识目标 · 理解函数单调性的定义，掌握增函数、减函数的文字定义、符号定义与几何图像特征。 · 理解函数单调区间的概念，能够准确辨析、书写函数的单调递增区间与单调递减区间。 · 掌握函数最大值、最小值的严格定义及几何意义，明确最值存在的条件。 · 熟练掌握定义法证明函数单调性、图像法判断单调性与最值、简单函数单调性求解的基本方法。 二、能力目标 · 培养学生利用定义进行逻辑推理、作差变形、符号判断的严谨推理能力。 · 提升学生结合函数图像直观分析单调区间、最值的直观想象能力。 · 锻炼学生分类讨论、数形结合解决函数单调性综合问题的解题能力。 · 强化学生利用单调性求解函数最值、比较函数值大小的应用能力。 三、素养目标 · 数学抽象：从函数图像升降特征中抽象出单调性、最值的严格数学定义，完成直观认知到抽象定义的转化。 · 逻辑推理：通过定义法证明函数单调性，培养严谨的演绎推理与逻辑论证素养。 · 直观想象：借助函数图像感知单调变化与最值位置，建立数形结合的思维模型。 · 数学运算：在作差变形、符号判断、最值求解过程中，提升精准运算与化简能力。 【学习重点】 1. 增函数、减函数的定义理解与单调区间的准确求解、书写； 2. 定义法证明函数单调性的标准步骤； 3. 函数最大值、最小值的求解方法与简单应用。 【学习难点】 1. 单调性定义中“任意”二字的理解，规避特殊值误判单调性的误区； 2. 复杂函数作差变形、因式分解、符号判断的完整流程； 3. 闭区间与开区间上函数最值存在性的辨析，单调区间的规范书写。 【知识框架】 函数图像升降特征 → 单调性严格定义（增函数、减函数） → 单调区间辨析与书写 → 定义法证明单调性步骤 → 函数最值定义与几何意义 → 区间上函数最值求解 → 单调性比较大小、解不等式 → 分段函数单调性 → 高考综合应用、创新题型拓展 【学习过程】 一、知识要点 1. 函数单调性的定义 设函数的定义域为，区间： （1）增函数：如果对于区间内任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上单调递增，为单调递增区间。 （2）减函数：如果对于区间内任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上单调递减，为单调递减区间。 2. 单调性核心关键 · 必须是区间内任意的，不能用特殊值代替； · 单调性是局部性质，仅针对某个区间成立，函数在定义域内不一定单调； · 单调区间必须是定义域的子集，书写区间不跨域、不合并不连续区间。 3. 函数最值的定义 设函数的定义域为： （1）最大值：若存在，使得对任意，都有，则为函数的最大值。 （2）最小值：若存在，使得对任意，都有，则为函数的最小值。 4. 最值存在条件 函数在闭区间上连续，则一定存在最大值和最小值；开区间上单调函数无最值。最值一定是函数值域中的最值。 5. 定义法证明单调性五步口诀 取值→作差→变形→判号→定论 取值：任取，且； 作差：计算； 变形：因式分解、通分、配方； 判号：判断差值正负； 定论：根据定义得出增减性。 二、公式推导 推导：一次函数单调性通用结论推导 设一次函数，定义域为。 任取，且，作差： 由得： 当时，，即，函数在上单调递增； 当时，，即，函数在上单调递减。 推导结论：一次函数单调性由斜率符号决定，递增，递减。 三、例题讲解 （一）中等难度例题（3道） 例1. 判断函数在R上的单调性。 解析：任取，且， ， 由，得， 即， 故函数在上单调递增。 例2. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】由二次函数的单调性列不等式计算求参. 【解析】因为函数在上单调递增， 由题意可得，解得. 故选：B. 例3. 若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线， 要使得当，函数的最大值为，则满足且， 解得，所以实数的取值范围是. 故选D. （二）提高题型例题（6道） 例4. 用定义证明：函数在上单调递减。 【解析】任取， ， 由，得，即， 故函数在上单调递减。 例5. 函数是定义在的增函数，求满足的x取值范围。 【解析】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 即x取值范围. 例6. 已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 【答案】(1) (2)当时，函数的最大值为；当时，的最大值为 【解析】（1）由题意有函数， 可得二次函数的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足， 所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 综上，当时，函数的最大值为； 当时，的最大值为． 例7. 若函数的最小值在内取得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】时函数取得最小值， 所以由的最小值在内取得，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 例8. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析 】不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 设函数，，都是减函数， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. （三）近三年高考题型例题（2道） 例9.（2024新高考I卷改编）已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由是上的增函数， 需满足：解得， 故选：D. 例10.（2023新高考II卷改编）“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为在上是增函数，可得，即， 显然“”能推出“”，反之则不成立， 所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件. 故选：A. （四）创新题型例题（1道） 例11.（创新定义题型） 定义“恒增函数”：定义域内任意，均满足，判断是否为恒增函数。 【解析】任取， ，满足定义， 故该函数为恒增函数。 四、方法分析 1. 单调性三种判断方法 定义法：严谨通用，适用于证明题、抽象函数； 图像法：直观快速，适用于选择填空； 结论法：一次、二次、反比例函数可直接用性质判断。 2. 单调区间书写规范 多个单调区间不能用并集符号连接，必须用逗号隔开；区间端点开闭不影响单调性，可灵活书写。 3. 最值求解核心思路 闭区间单调函数：最值在区间端点处取得；二次函数闭区间最值：优先判断对称轴与区间位置关系，再求值比较。 4. 单调性常用结论 增函数+增函数=增函数， 减函数+减函数=减函数； 负号反转单调性，复合函数“同增异减”。 五、变式练习（含答案解析） （一）提高题型变式 变式1. 若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线， 要使得当，函数的最大值为，则满足且， 解得，所以实数的取值范围是. 故选D. 变式2. 若函数的最小值为，求的值。 【解析】函数开口向上，对称轴为， 若，即时，解得或（舍去）， 若，即时，函数在上单调递减，所以，解得， 若，即时，函数在上单调递增，所以， 解得（舍去）， 综上可得或. （二）高考题型变式 变式3.（高考变式） 定义在上的函数，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意，有， 所以函数在上单调递减， 又，则. 故选：A. 六、方法归纳　 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性． ②利用单调性写出最值． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 七、本节知识总结 1. 单调性是函数局部性质，核心定义关键词：任意、区间、自变量大小、函数值大小； 2. 定义法证明单调性五步：取值、作差、变形、判号、定论，是解答题必考规范步骤； 3. 最值是函数整体边界值，闭区间连续函数必有最值，开区间单调函数无最值； 4. 核心应用：比较函数值大小、解抽象函数不等式、求参数范围、区间最值求解； 5. 易错点：不连续单调区间合并、忽略“任意”条件、二次函数区间最值漏判端点。 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $