第一章一元二次方程单元测试2026-2027学年苏科版九年级数学上册

2026-2027学年苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程单元测试 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 2．（本题3分）用配方法解方程配方后可得（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C．或 D．或 4．（本题3分）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．（本题3分）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）若代数式的值为0，则x的值为（    ） A．2 B．0 C．或0 D． 8．（本题3分）相关数据显示，近年来高科技制造业日新月异，呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年9月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 10．（本题3分）某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______． 12．（本题3分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为________． 13．（本题3分）某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 14．（本题3分）已知方程的两个根分别是，，则的值为____________． 15．（本题3分）若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 16．（本题3分）一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 19．（本题8分）已知一元二次方程，且． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若，解一元二次方程． 20．（本题8分）习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，   第一步 所以，即，   第二步 所以方程没有实数根．   第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，   第一步 两边都除以，得．   第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 21．（本题9分）设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 22．（本题9分）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 23．（本题10分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 24．（本题12分）如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 试卷第4页（共5页） 第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程单元测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B A B C A A A 1．A 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 2．C 【详解】解：方程， 移项得， 配方得，即． 3．A 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合第三边需满足三角形三边关系，对根进行筛选后计算周长即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得，； 当第三边长为时，三边长为， 由，可知不符合构成三角形的三边关系， 不能构成三角形，即此种情况不存在； 当第三边长为时，三边长为，符合构成三角形的三边关系， 此时三角形周长为． 4．B 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 5．A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 6．B 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 7．C 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，解答即可． 【详解】解： 或 ． 8．A 【详解】解：设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为． 9．A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．A 【详解】解：每个站点到其余个站点各有1种去程车票，往返车票不同， 总车票数为，结合共56种往返车票， 得方程. 11． 【分析】设方程另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积建立等式求解． 【详解】解：设方程的另一个根为，已知一个根， ， 整理得， 解得． 12． 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于，据此列方程求解即可得到的值. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 13． 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 14． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ，， ． 15． 【分析】利用一元二次方程根的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根， 将代入方程得， ， 可得：， 把代入， 可得：原式． 16．31 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）用求根公式直接求解即可； （2）移项之后，用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：由方程的一般形式知， （2）解：原方程可化为， 因式分解得， 所以，或 解得，，． 18．(1)的取值范围是且； (2)所求代数式的值为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可求解； （2）根据（1）中m的取值范围确定m的值，代入一元二次方程，利用根与系数的关系得到、的值，对算式变形后代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：， 又∵， ∴， ∴m的取值范围为：且； （2）解：∵， ∴m的最大正整数值为2， 当时，一元二次方程为， ∴，， ∴原式 ． 19．(1)证明：， ， 方程有两个实数根； (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，结合条件化简，证明其非负性，从而证明方程有两个实数根； （2）先由求出未知系数，再将方程化为标准形式后利用求根公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 解得， 一元二次方程化为． ， 解得． 20．(1)嘉嘉的解法从第一步开始错误；琪琪的解法从第二步开始错误． (2)解：嘉嘉的解法： ， 原方程可化为， ， ， ， ，． 琪琪的解法：， ， ， ， ，． 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解题步骤就可以找出错误． （2）嘉嘉的解法是按照配方法解一元二次方程，琪琪的解法是按照提公因式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：嘉嘉在解方程移项时，未知数的符号没有变， 嘉嘉的解法从第一步就错了． 琪琪两边都除以了一个带未知数的整式， 琪琪的第二步解法是错误的． （2）略． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解． （2）根据完全平方公式变形，即可求解． （3）先进行分式的加法计算，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴． 22．(1)1600； (2)每个A商品的售价为37元 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 23．(1)是“伴根方程” (2)①或；② 【分析】（1）首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义判断； （2）①首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义求解； ②首先由得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，， ∵， ∴方程是“伴根方程”； （2）解：①∵， ∴或， ∴，， ∵方程（m是常数）是“伴根方程”， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴关于t的方程为， ∴， ∴． 24．(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 答案第10页（共11页） 第1页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $