第1章一元二次方程 易错集训-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程易错集训-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 一．选择题（共10小题） 1．（2026•扶绥县校级开学）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2+5x﹣1＝0 B． C．y2+2x＝1 D．2x+b＝0 2．（2026•桂林模拟）设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2027 3．（2026春•路桥区期末）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．2 B．±3 C．3 D．﹣3 4．（2025秋•桂林期末）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝4 D．（x+1）2＝2 5．（2026•沙坪坝区校级开学）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（　　） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 6．（2025秋•工业园区期末）如果关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等的实数根，且a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 7．（2025秋•随州期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 8．（2026春•锦江区校级期中）某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（　　） A．50（1+x）2＝200 B．50+50（1+x）2＝200 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝200 D．50（1+x）+50（1+x）2＝200 9．（2026•旌阳区二模）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 10．（2025秋•泸州期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“双倍方程”，以下关于双倍方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣6x+8＝0是双倍方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是双倍方程，则m+n＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是双倍方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是双倍方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•北海期末）若一元二次方程为x2﹣2x＝0，则方程的根为 　 　 ． 12．（2026春•桐城市期末）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣7x﹣1＝0的两个根，则x1+x2＝　 　 ． 13．（2026春•上城区校级期中）关于x的方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，则m能取的所有正整数的和为　 　 ． 14．（2026•任城区二模）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣10x﹣24＝0的解，则这个三角形的周长是　 　 ． 15．（2026•中山市校级开学）为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为620m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的出入门（如图），设垂直于墙的长方形边长为x（m），则根据题意，可列方程　 　 ． 16．（2026•西湖区校级三模）小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程x2+6ax＝16a2（a＞0）的过程如下：将方程配方得（x+3a）2＝（4a）2+（3a）2，以3a和4a为两直角边作Rt△ABC（如图），再在斜边AB及其延长线上截取BD＝BE＝BC，发现方程的解x1＝AD，x2＝﹣AE．若x1＝AD＝4，则x2的值为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•深圳同步）解方程： （1）x2+8x＝9（用配方法解）； （2）3x2﹣5x＝2（用公式法解）； （3）（x﹣4）2＝9； （4）（x+3）2＝2x+6． 18．（2026•泰兴市二模）如图所示，在一块长是20m、宽14m的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，花圃总面积为矩形空地面积的一半，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 19．（2026春•贵池区期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 20．（2026秋•同步）在数学活动课上，老师给出了这样一道题：“解方程：3（x+2）＝（x+2）2．”如表是小明和小亮两位同学的做法． 小明 解：3（x+2）＝（x+2）2，方程两边都除以（x+2），得3＝x+2，解得x＝1． 小亮 解：3（x+2）＝（x+2）2，移项，得3（x+2）﹣（x+2）2＝0，提取公因式，得（x+2）（3﹣x+2）＝0，∴x+2＝0或3﹣x+2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝5． （1）小亮解方程的方法为　 　 ． （2）小明和小亮的解题过程是否正确？若错误，请你指出具体原因，并写出正确的解题过程． （3）小明和小亮的解法体现的数学思想方法是　 　 ． 21．（2026•瑶海区二模）某机器人公司2023年的利润为4000万元．公司计划通过扩大生产线和增加研发投入，使利润逐年增长，已知2025年的利润达到5760万元． （1）假设2023年到2025年利润的年平均增长率相同，求该机器人公司这两年的年平均增长率； （2）按照（1）中的年平均增长率，请你通过计算预测该机器人公司2028年的利润能否超过1亿元？ 22．（2026•兴国县模拟）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AEc，这时我们把关于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根； （2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积． 第1章一元二次方程易错集训-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•扶绥县校级开学）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2+5x﹣1＝0 B． C．y2+2x＝1 D．2x+b＝0 【解答】解：A．关于x的方程x2+5x﹣1＝0是一元二次方程，选项A符合题意； B．∵关于x的方程不是整式方程， ∴关于x的方程不是一元二次方程，选项B不符合题意； C．∵方程y2+2x＝1含有两个未知数， ∴方程y2+2x＝1不是一元二次方程，选项C不符合题意； D．∵关于x的方程2x+b＝0的未知数的最高次数为1， ∴关于x的方程2x+b＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意． 故选：A． 2．（2026•桂林模拟）设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2027 【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根， ∴a2+a﹣2026＝0，即a2+a＝2026，a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2026﹣1＝2025， 故选：B． 3．（2026春•路桥区期末）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．2 B．±3 C．3 D．﹣3 【解答】解：x2﹣2mx+m2＝1， （x﹣m）2＝1， x﹣m＝±1， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+1，x2＝m﹣1， ∵x1＝2x2， ∴m+1＝2（m﹣1）， 解得m＝3． 故选：C． 4．（2025秋•桂林期末）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝4 D．（x+1）2＝2 【解答】解：由题意得，x2+2x＝3， ∴x2+2x+1＝3+1， ∴（x+1）2＝4． 故选：C． 5．（2026•沙坪坝区校级开学）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（　　） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 【解答】解：设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为件，即（20+2x）件， 依题意得（40﹣x）（20+2x）＝1200， 解得x1＝10，x2＝20， 当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20＜25，不符合题意， 当x＝10时，40﹣x＝40﹣10＝30＞25，符合题意， ∴每件商品降价10元． 故选：A． 6．（2025秋•工业园区期末）如果关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等的实数根，且a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【解答】解：原方程可化为（c﹣a）x2+2bx+（a+c）＝0， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：c2＝a2+b2且a≠c． 又∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴△ABC为直角三角形． 故选：C． 7．（2025秋•随州期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 【解答】解：由条件可知k≠0且Δ＞0， ∵a＝k，b＝﹣（2k+1），c＝k+2， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k（k+2） ＝4k2+4k+1﹣4k2﹣8k ＝﹣4k+1， ∵Δ＞0， ∴﹣4k+1＞0， 解得：， 综上且k≠0． 故选：D． 8．（2026春•锦江区校级期中）某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（　　） A．50（1+x）2＝200 B．50+50（1+x）2＝200 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝200 D．50（1+x）+50（1+x）2＝200 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：50（1+x）， 三月份生产机器为：50（1+x）2； 又知一、二、三月份共生产产品200台； 所以，可列方程：50+50（1+x）+50（1+x）2＝200． 故选：C． 9．（2026•旌阳区二模）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣6＝0， ∴x（x﹣5）＝6， 拼图如图， ∴中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25， 大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7， 因此，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是， 故选：A． 10．（2025秋•泸州期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“双倍方程”，以下关于双倍方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣6x+8＝0是双倍方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是双倍方程，则m+n＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是双倍方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是双倍方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【解答】解：根据新定义和一元二次方程的解法逐项分析判断如下： ①解方程x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， x1＝4，x2＝2，即x1＝2x2， ∴方程x2﹣6x+8＝0是双倍方程，故①正确，符合题意； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是双倍方程，其根为x1＝2，， 当x1＝2x2时，，得m+n＝0， 当x2＝2x1时，，得4m+n＝0， ∴不一定只有m+n＝0，故②错误，不符合题意； ③∵pq＝2，方程px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴，x2＝﹣q， ∵pq＝2， ∴，则， ∴该方程是双倍方程，故③正确，符合题意； ④设方程ax2+bx+c＝0的两根为x和2x， 分两种情况： 情况一：x1＝2x2， 由求根公式得： ， 两边同乘2a得：， 移项整理得：， 两边平方：b2＝9（b2﹣4ac）， 展开得：b2＝9b2﹣36ac， 整理得：2b2＝9ac； 情况二：x2＝2x1， 同理可得： 整理得：， 平方后同样得：2b2＝9ac， ∴若方程是双倍方程，则2b2＝9ac，故④正确，符合题意； 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•北海期末）若一元二次方程为x2﹣2x＝0，则方程的根为 x1＝0，x2＝2　 ． 【解答】解：x2﹣2x＝0， 因式分解得：x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2． 故答案为：x1＝0，x2＝2． 12．（2026春•桐城市期末）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣7x﹣1＝0的两个根，则x1+x2＝　7　 ． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣7x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x27． 故答案为：7． 13．（2026春•上城区校级期中）关于x的方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，则m能取的所有正整数的和为　6　 ． 【解答】解：当m﹣1＝0时，m＝1， 方程为﹣4x+4+6＝0，方程的解为x， 当m﹣1≠0时，则Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0， 解得m≤3且m≠1． 故m能取的正整数值为1，2，3，其和为6． 故答案为：6． 14．（2026•任城区二模）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣10x﹣24＝0的解，则这个三角形的周长是　26　 ． 【解答】解：由方程x2﹣10x﹣24＝0可得x＝12或x＝﹣2， ∵三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣10x﹣24＝0的解， ∴第三边长为12， ∴这个三角形的周长是6+8+12＝26， 故答案为：26． 15．（2026•中山市校级开学）为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为620m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的出入门（如图），设垂直于墙的长方形边长为x（m），则根据题意，可列方程　（80+2﹣2x）x＝620　 ． 【解答】解：设垂直于墙的长方形边长为xm，则平行于墙的长方形边长为（80+2﹣2x） m， 根据题意得：（80+2﹣2x）x＝620． 故答案为：（80+2﹣2x）x＝620． 16．（2026•西湖区校级三模）小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程x2+6ax＝16a2（a＞0）的过程如下：将方程配方得（x+3a）2＝（4a）2+（3a）2，以3a和4a为两直角边作Rt△ABC（如图），再在斜边AB及其延长线上截取BD＝BE＝BC，发现方程的解x1＝AD，x2＝﹣AE．若x1＝AD＝4，则x2的值为　﹣16　 ． 【解答】解：x2+6ax＝16a2（a＞0）， 配方得：（x+3a）2＝（4a）2+（3a）2＝25a2＝（5a）2， 解得：x1＝AD＝2a，x2＝﹣AE＝﹣8a， ∵x1＝AD＝4， ∴2a＝4， ∴a＝2， ∴x2＝﹣8a＝﹣16， 故答案为：﹣16． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•深圳同步）解方程： （1）x2+8x＝9（用配方法解）； （2）3x2﹣5x＝2（用公式法解）； （3）（x﹣4）2＝9； （4）（x+3）2＝2x+6． 【解答】解：（1）x2+8x+16＝25， （x+4）2＝25， x+4＝±5， 所以x1＝1，x2＝﹣9； （2）方程化为一般式为3x2﹣5x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49， ∴x， ∴x1＝2，x2； （3）x﹣4＝±3， 所以x1＝1，x2＝7； （4）（x+3）2﹣2（x+3）＝0， （x+3）（x+3﹣2）＝0， x+3＝0或x+3﹣2＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝﹣1． 18．（2026•泰兴市二模）如图所示，在一块长是20m、宽14m的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，花圃总面积为矩形空地面积的一半，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 【解答】解：设两个花圃之间的草坪的宽度为xm，则两个花圃可合成长为（20﹣3x）m，宽为（14﹣2x）m的矩形， 根据题意得：（20﹣3x）（14﹣2x）20×14， 整理得：3x2﹣41x+70＝0， 解得：x1＝2，x2（不符合题意，舍去）． 答：两个花圃之间的草坪的宽度为2m． 19．（2026春•贵池区期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【解答】解：（1）将x＝1代入原方程可得1+（m+2）+2m＝0， 解得：m＝﹣1． （2）由题意可知：Δ＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0， 不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 20．（2026秋•同步）在数学活动课上，老师给出了这样一道题：“解方程：3（x+2）＝（x+2）2．”如表是小明和小亮两位同学的做法． 小明 解：3（x+2）＝（x+2）2，方程两边都除以（x+2），得3＝x+2，解得x＝1． 小亮 解：3（x+2）＝（x+2）2，移项，得3（x+2）﹣（x+2）2＝0，提取公因式，得（x+2）（3﹣x+2）＝0，∴x+2＝0或3﹣x+2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝5． （1）小亮解方程的方法为　因式分解法　 ． （2）小明和小亮的解题过程是否正确？若错误，请你指出具体原因，并写出正确的解题过程． （3）小明和小亮的解法体现的数学思想方法是　降次　 ． 【解答】解：（1）小亮解方程的方法为因式分解法， 故答案为：因式分解法； （2）小明和小亮的解题过程都有错误， 小明解题错误的原因是方程两边都除以（x+2）时，忽略了x+2可能是0， 小亮解题错误的原因是提公因式时，第二个因式中漏加括号导致2符号错误，正确的解题过程如下： 3（x+2）＝（x+2）2， 移项，得3（x+2）﹣（x+2）2＝0， 提取公因式，得（x+2）[3﹣（x+2）]＝0， 即（x+2）（1﹣x）＝0， 所以x+2＝0或1﹣x＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1． （3）小明和小亮的解法体现的数学思想方法是降次， 故答案为：降次． 21．（2026•瑶海区二模）某机器人公司2023年的利润为4000万元．公司计划通过扩大生产线和增加研发投入，使利润逐年增长，已知2025年的利润达到5760万元． （1）假设2023年到2025年利润的年平均增长率相同，求该机器人公司这两年的年平均增长率； （2）按照（1）中的年平均增长率，请你通过计算预测该机器人公司2028年的利润能否超过1亿元？ 【解答】解：（1）设该机器人公司这两年的年平均增长率为x， 根据题意得：4000（1+x）2＝5760， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该机器人公司这两年的年平均增长率为20%； （2）根据题意得：5760×（1+20%）3＝9953.28（万元）， ∵9953.28万元＜1亿元， ∴按照（1）中的年平均增长率，预计该机器人公司2028年的利润不能超过1亿元． 22．（2026•兴国县模拟）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AEc，这时我们把关于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根； （2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积． 【解答】（1）证明：， ∵a2+b2＝c2， ∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0， ∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （2）解：当x＝﹣1时，有，即， ∵四边形ACDE的周长是12， ∴，即， ∴， ∴a2+b2＝c2＝8， 又∵a+b＝4， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，即16＝8+2ab， ∴ab＝4， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $