第二章反比例函数单元测试2026-2027学年苏科版九年级数学上册

2026-2027学年苏科版九年级数学上册第二章反比例函数单元测试 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列函数中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知反比例函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随着的增大而减小 D．当时， 3．（本题3分）若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 4．（本题3分）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 5．（本题3分）对于反比例函数，下列说法中错误的是（     ）． A．图象分布在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 7．（本题3分）若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．（本题3分）已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，平分，，反比例函数的图象经过、两点，点在轴上，若的面积为6，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 12．（本题3分）如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 13．（本题3分）一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则，两点的坐标分别为________． 14．（本题3分）函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 15．（本题3分）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 16．（本题3分）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数关系式； (2)当时，求的值． 18．（本题8分）如图，，是反比例函数图像上的两点，线段的延长线交轴于点，过作轴，过作轴，已知为的中点，的面积为4． （1）若，则点的坐标是________． （2）的值是________． 19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 20．（本题8分）如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 21．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，其一边长为4，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数（，k为常数，）的图象与交于点F，与矩形的对角线交于点D，与交于点E，连接，已知点D的坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积． 22．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为______； (3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 23．（本题10分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 24．（本题12分）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)已知点，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点M，交反比例函数的图象于点N．若，结合函数图象直接写出a的取值范围． 第8页（共8页） 第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年苏科版九年级数学上册第二章反比例函数单元测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C B A B D B C 1．B 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不合题意； B、是反比例函数，故本选项符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不合题意； D、不是反比例函数，故本选项不合题意． 2．C 【详解】解：由得，将代入解析式，得，故A正确； 函数图象在第一、三象限，故B正确； 该函数仅在每个象限内随的增大而减小，并非对任意都成立，故C错误； 当时，随的增大而减小，且时，故，D正确． 3．A 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 4．C 【分析】对于反比例函数：当时，在第一象限内（），随的增大而减小；当时，在第四象限内（），随的增大而增大，据此可确定的符号，进而判断一次函数的大致图象． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，从左上到右下，与轴交于正半轴， 只有C选项满足题意． 5．B 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∴A选项正确，不符合题意；B选项缺乏前提条件，错误，符合题意； ∵，， ∴图象与坐标轴无交点， ∴C选项正确，不符合题意； ∵若点在图象上， ∴，即， ∴点也在图象上， ∴D选项正确，不符合题意． 6．A 【分析】根据反比例函数中的几何意义分别求出的面积和的面积，根据坐标特征求出四边形的面积，结合图形计算即可． 【详解】解：如图，设交轴于，交轴于， ∵、两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 7．B 【分析】先利用的非负性确定反比例函数比例系数的符号，再结合图象的象限分布与增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在第二象限，． ∵，， ∴点、在第四象限，，． ∵第四象限内y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 8．D 【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围． 【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ，在y轴的两侧， 又，点，点在上， 点，点分别位于第二、四象限， 根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即， 解得． 9．B 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 10．C 【分析】利用角平分线性质得出与的面积比，结合反比例函数的几何意义及梯形面积公式建立方程求解. 【详解】解：过点作于，作于，过点作于 平分， ， ， ， ，， ， 即， 设，，则， 点在反比例函数图象上， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， . 11． 【分析】根据反比例函数的增减性确定比例系数的范围，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 比例系数， ∴ 解得． 12．6 【分析】设点的坐标为，利用垂直确定的坐标，根据矩形的面积推出即可求出 的值，根据求出的唯一值． 【详解】解：设点的坐标为， 在上， ，即． 由题意，轴于，轴于，点的坐标为， 点的坐标为点的坐标为， 矩形的面积为 ，， ， 矩形面积为， ， 或． 由图可知，点在第一象限（，）， ， ∴． 13．， 或， 【分析】利用交点联立方程，求出的值，即可求出两个交点的坐标． 【详解】解：联立方程组： 将①代入②， 两边同乘得，， 去括号得， 移项得，， 系数化为1得，， 因式分解：， 解得：或． 当时， 当时， ∴， 或，． 14． 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得：． 15． 4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 16．①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 17．(1) (2)4 【分析】（1）设反比例函数为（），将x、y的对应值代入求出k的值即可； （2）将代入（1）的解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数为（）， 将，代入，得， 解得， ∴关于的函数关系式为； （2）解：将代入中，得， ∴当时，． 18． 【分析】（1）先利用中点坐标求出点坐标，再写出，两点坐标，然后设直线解析式，代入，两点求出一次函数表达式，最后令，求出直线与轴的交点的坐标； （2）由（1）得到点，的坐标，从而确定的底和高的值，再根据三角形面积公式列方程求出，然后根据反比例函数图像所在象限，判断的符号，从而确定的值． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， ∵，是反比例函数图像上的两点，且轴，轴， ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， 解得， 又∵点是直线与轴的交点， ∴点的坐标是； （2）由（1）可知：，，轴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴， ∴． 19．(1)， (2)或 【分析】（1）先根据求出反比例函数解析式，再据此求出B点坐标，再根据A、B两点坐标求出一次函数解析式即可作答； （2）问题转换为求不等式的解集，即：一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，自变量x的取值范围，结合A、B两点坐标以及函数图象即可作答． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ，解析式为． 在上， ，即． 将、代入：， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）由图像可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值． 20．(1) (2)当一条边长为时，另一条边的长度为 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式，可得出，进而可得出y； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出另一边的长度． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴． （2）解：当时，； 当时，， 解得． ∴当一条边长为时，另一条边的长度为． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，再求出点，，的坐标，进而可得，的长，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，将点代入函数得：， 则该反比例函数的解析式为． （2）解：由题意得：点的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 将代入函数得：， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴的面积为． 22．(1)； (2)或 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． （2）解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． （3）解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 23．(1)6 (2)线段的函数关系式为，双曲线的函数关系式为 (3)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题 【分析】本题结合分段函数的图像性质分步求解，先根据图像给出的特殊点坐标求出各段函数解析式，再通过等式计算即可． （1）分别计算第6分钟和第30分钟对应的注意力指数数值，比较两个数值的大小即可； （2）根据待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的解析式； （3）分别在段和段计算注意力指数的时间点，再求得时长，将该时长与需要讲题的15分钟进行比较即可． 【详解】（1）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为， 把代入，得， 把代入，得， ， 第6分钟时学生的注意力更集中； （2）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为； （3）解：由题意得， 在线段段时，， 解得， 在双曲线段，， 解得， 注意力指数不低于40的总时长为（分钟）， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 24．(1)， (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）根据题意作出图象，观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于，两点． ∴， ∴， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为，； （2）解：设直线交y轴于点C， 把代入得：， ∴，即， ∴的面积； （3）解：由题意可得如图所示，由图象可得：当时，． 答案第2页（共16页） 答案第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $