江苏省苏州市2026-2027学年苏科版数学九年级上册第2章反比例函数单元测试卷

**基本信息** 苏州市初三数学反比例函数单元测试卷，覆盖反比例函数图象性质、k的几何意义、与一次函数综合及实际应用，梯度设计合理，注重抽象能力与模型意识培养，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|图象象限、点坐标比较、函数图象辨析|基础巩固，考查几何直观| |填空题|8题|k值求解、图形面积与k关系|能力提升，体现抽象能力| |解答题|11题|函数表达式、实际应用（电子屏幕、行车安全）、综合几何|创新应用，强化模型意识与推理能力|

苏州市初三数学反比例函数单元测试卷 1、 单选题 1．反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D．或 6．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 8．如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 10．已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 11．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 12．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 14．如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 16．如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 三、解答题 17．已知反比例函数． (1)写出这个函数自变量的取值范围； (2)当时，求函数y的值； (3)当时，求自变量x的值． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 20．生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 21．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．      (1)求反比例函数的解析式． (2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标． 23．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 24．如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 26．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 27．如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D D C C A B 1．C 【分析】通过确定反比例函数中的符号，判断图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限． 2．C 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 3．D 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象分布在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ∵点的纵坐标， ∴点在第四象限，， ∵点、的纵坐标，， ∴点、在第二象限，，， ∵在第二象限内随的增大而增大，且， ∴， ∴． 4．D 【分析】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴图象在第二、四象限内， ∵， ∴一次函数为， ∴图象经过第一、三、四象限， 联立两函数解析式可得：， 则， ∵， ∴两函数图象无交点， 综上：选项D符合题意． 5．C 【分析】先移项，变形不等式得，化成一次函数大于反比例函数的形式；找两个交点横坐标；看图像：找到直线在双曲线上方对应的的范围即可． 【详解】解：不等式： 把移到左边： 此题变为求一次函数的图像在反比例函数图像上方对应的取值． 两个函数交点：，，反比例函数． 观察图像： ：直线在双曲线上方； ：直线在双曲线上方． 解集为：或 6．C 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 【详解】解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 7．A 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 8．B 【分析】过点、分别作轴的垂线，构造直角三角形，利用等边三角形性质表示出、坐标，代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 设，则． 为边长为5的等边三角形， ，． 在中，，， ，． 点在第三象限， ． 在中，，， ，． ，点在第三象限， ． 点、在反比例函数图象上， ． ． ， ． ，解得． ． 9． 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而增大，说明反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数 中，比例系数， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即，解得 ． 10． 【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 11．3 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 12．32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 13． 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 14． 9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 15．24 【分析】根据全等三角形的判定方法可得求出C的坐标，代入，利用待定系数法求出k． 【详解】 解：如图，作轴于M， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过正方形顶点C， ∴． 16．2 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，即可解答． 【详解】解：设点的坐标为，其中 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为 轴，轴 点的坐标为，点的坐标为 的长度为 点在线段上，且 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同 点的坐标为 整理得： 解得． 17．(1)自变量的取值范围为 (2)函数y的值为 (3)自变量x的值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【详解】（1）解：自变量的取值范围为； （2）解：当时，； （3）解：当时， ， 解得． 18．(1)， (2)或 (3)8 【分析】（1）把代入，求出，可得反比例函数表达式，把代入，可求出，，利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时，对应的的取值范围即可； （3）设与轴的交点为，根据的表达式求出，根据，结合、坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， 把和分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵，， ∴由图象可知，不等式的解集为或． （3）解：如图，设与轴的交点为， 由（1）得直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∵， ∴ ． 19．(1)； (2) 或 (3)或． 【分析】（1）因为点A在一次函数上，所以将A点横坐标代入一次函数可求出n的值，得到A点完整坐标，再代入反比例函数即可求出k，得到反比例函数表达式． （2）先求出B点坐标，结合函数图象的上下位置关系，分、判断一次函数值大于反比例函数值的x范围． （3）先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，那么的面积可表示为与的面积的差，设P点坐标为，根据面积公式列方程求解即可得到P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上， ∴， 即． 把代入反比例函数， 得， 解得， ∴反比例函数表达式为． （2）解：将代入， 得， 解得， 即． ∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的范围． 结合两个函数的图象：反比例函数在和两个分支，两个交点横坐标为1和3， ∴满足条件的范围是或． （3）解：对：令，得， 即． 设点坐标为， 则轴上线段的长度为． ∵ ， 代入，，，得 ， 化简得， 解得或， ∴的坐标为或． 20．(1)反比例 (2)这个函数的解析式为； (3)它在该分辨率下的像素密度为． 【分析】（1）根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把代入求解即可． 【详解】（1）解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； （3）解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 21．(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 22．(1) (2)或 【分析】（1）作轴于点G，如图，证明四边形是矩形，得到， 推出，证明，得到，得出矩形是正方形，可得，然后由A、B的坐标求出，进而得到点C的坐标为，再代入反比例函数的解析式即可； （2）根据（1）中结论可得，由，利用两点距离公式求得，再由轴，，的平分线交直线于点，证明，即可分别求出的横纵坐标． 【详解】（1）解：作轴于点G，如图，          图1 ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，    ∴， ∵，， ∴， 设，则，解得：， ∴， ∴点C的坐标为， 代入，得； ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当在A点右侧时：如图1中图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵平分， ∴，   ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F的坐标是． ，， 当在A点左侧时，如图2： 轴，的平分线交直线于点， 点纵坐标为2，， ， ， 点横坐标为， ， 综上所述：F或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 23．(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 24．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数图像平移，得到函数中的值，再根据已知条件，得出点坐标，将点坐标代入反比例函数内，即可得到函数解析式． （2）根据为的中位线，得出，继而得出，两点坐标，通过，即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 将代入一次函数，得， ∴ ， 过点作轴于点，， ∴的横坐标为， 在上，代入，得， 点坐标为， 点B在反比例函数上， ∴将点B坐标代入得，， 则反比例函数表达式为； （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入，得， 点的坐标为 轴， ∴点的纵坐标为3， ∵交反比例函数的图象于点． ∴， ∴， 点的坐标为， ∴， ． 25．(1)， (2) 【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出的值得到点的坐标，将点的坐标代入一次函数解析式中，求出的值； （2）先求出点A、B的坐标，过点D作轴于点F，证明，由此求出点D的坐标，由平移知，可求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的图象交点即可得点E的坐标． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； （2）解：由（1）知， 令得；令得， ∴，， ∴，， 如图，过点D作轴于点F， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 26．(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为， (2) 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 27．(1)，， (2)或或 (3)不变，的定值为 如图，连接、、， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ∴，， ∴， ， 在四边形中，，而， ∴， ∴四边形内角和为， ∴， ∵是的中点， ， ，即的定值为． 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出、的值，从而可得，，由题意可得点的横坐标为，设，结合平行四边形的性质求出，最后再利用反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）求出反比例函数的解析式为，分三种情况：当为边时，此时四边形为平行四边形；当为边时，此时四边形为平行四边形；当为对角线时，此时四边形为平行四边形；利用平行四边形的性质计算即可得出结果； （3）连接、、，由线段垂直平分线的性质可得，证明，得出，求出，即可得出，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，， ∵为中点，且点在轴上， ∴点的横坐标为， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上，点在轴上， ∴设，， 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， 解得，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）略． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $