3.4 相似三角形的性质（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本同步练习通过A/B/C组分层与中考拓展设计，构建从基础概念到综合应用的梯度化巩固路径，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|对应线段成比例、性质求解、判定综合|基础题型（选择/证明），强化核心概念理解与推理意识| |B组|综合应用、动点问题、实际应用|动态情境题为主，发展抽象能力与空间观念| |C组|跨学科（物理杠杆/反射）、数学文化、最值问题|创新情境设计，融入模型构建，提升创新意识| |拓展|中考真题|对接中考考点，强化综合解题能力，培养应用意识|

分层作业 4 相似三角形的性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 证明相似三角形的对应线段成比例 题型02 利用相似三角形的性质求解 题型03 相似三角形的性质与判定综合 题型04 利用相似的性质作图 题型05 与相似三角形有关的动点问题 题型06 相似三角形的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )证明相似三角形的对应线段成比例 1．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 2．如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点．求证：． 【解析】证明： ， ，， ，， ，， ，， ． 3．如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ( 题型0 2 )利用相似三角形的性质求解 4．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 5．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【解析】∵，相似比为，∴的周长的周长，∵的周长为，设的周长为，，即，解得，即的周长为12． 6．（25-26九年级下·重庆开州·期中）已知和分别是和的角平分线，，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，和分别是和的角平分线 ∴ 两三角形的相似比为，∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴ 与的面积比为． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，即，解得． 8．如图，已知，且，，，则____． 【答案】 【解析】∵，∴，∵，，，∴，解得：，． 9．（2026·甘肃天水·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，的面积，则的面积为_________． 【答案】 【解析】∵，∴，∵，，的面积为，∴，∴的面积为． ( 题型0 3 )相似三角形的性质与判定综合 10．如图，已知在正方形网格内有两个三角形（、），则________． 【答案】45 【解析】由图可得，，，；，，，，，，，，，由图可得，，，在中，． 11．如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】/ 【解析】∵，∴，∵是边上的高，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，则，∴． 12．（2026·湖南长沙·三模）如图，中，是的中点，连接，相交于点，过点作，交于点，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】四边形是平行四边形，，，，，点是的中点，，，，，，，，． 13．如图，已知：点、分别在线段和上，，是与的交点．求证：． 【解析】证明：， ， 又为公共角， ， ， 又， ． 14．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，．求证：． 【解析】证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． 15．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，，连接，交于点C． (1)求证：； (2)若，则的度数为_____． 【解析】（1）证明：∵， ∴，， 即，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 16．如图，在中，平分交于点D，点E在边上，满足．连接交于点F，过点F作交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【解析】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ； （3）解：∵，， ， ， ， 又由（1）可得， ， 由（2）知， ． ( 题型0 4 )利用相似的性质作图 17．（2026·陕西榆林·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【解析】如图，点D、E即为所求． 18．如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，即作，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【解析】如图，． 19．（2026·安徽安庆·一模）图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图1中，画一条线段，将线段分为的两部分；（要求：点E，F均在格点上） (2)在图2中的上找一点N，连接，使，且相似比为． 【解析】（1）解：如图，取格点E、F，使得且，连接， ∵，∴，∴，即线段即为所求． （2）解：如图，取格点M使得，取格点G使得，连接交于N，则， ∴，∴，即点N即为所求． ( 题型0 5 )与相似三角形有关的动点问题 20．（2024·河北石家庄·三模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】根据函数图象有：当时，，此时：，∵，∴，∴，∵矩形中，，∴，∴，∴，∴，∴． 21．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【解析】设经过秒时与相似，∵动点的速度为，动点的速度为，∴，，∵，∴，∵是和的公共角，分两种情况讨论：①当时，，即，解得；②当时，，即，解得；综上，符合条件的的值为或． ( 题型0 6 )相似三角形的实际应用 22．（25-26九年级下·山西运城·期末）如图，桌子上放着一根与地面平行的木棒，在灯光的照射下在地面形成影子．已知灯到木棒的距离与灯到地面的距离之比为，木棒的长为米，则影子的长为______米． 【答案】 【解析】依题意，灯到木棒的距离与灯到地面的距离之比为，木棒的长为米，∴，即解得：． 23．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是某款折叠凳的侧面示意图，凳面地面，经过点O，且垂直于．若，，，则的长为__________． 【答案】30 【解析】∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得． 24．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处到地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若的长度是9米，则车宽的长度为___________米. 【答案】 【解析】如图，过点作于点，交于点H．依题意可得，米，，，∴设米，米，∵，∴，∴，即，解得：，米． 1．（2026·云南楚雄·二模）的三边长分别为3，4，5，另有一个与它相似的，其最长边为15，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵∽，的最长边长为，的最长边长为， ∴两三角形的相似比为， ∵的周长为，且相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为． 2．如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于_____． 【答案】 【解析】四边形，，都是边长为1的正方形，，，，，，，．又，，，，． 3．（2026·福建泉州·二模）灯光透过柔光板后照明，有保护视力的作用．小明利用家里的圆形柔光板对房间的灯具进行改造，已知小明房间为长4米、宽3米的矩形，灯在房间的正中央，距离地面超过3米，圆形柔光板直径米，装上后距离地面3米，且灯具光线通过柔光板后正好可以覆盖整个房间地面，则柔光板距离吸顶灯至多_________米． 【答案】 【解析】确定地面最远点距离：房间为长4米、宽3米矩形，中心到角落的距离为半对角线，即（米），设柔光板距离吸顶灯米，柔光板半径米，灯到地面距离为米，光线从灯经柔光板边缘到地面角落，形成相似三角形，比例关系为，即，解得，∴柔光板距离吸顶灯至多米． 4．如图，中，D为边上一点，且，E为中点，则________． 【答案】 【解析】过E作，如图所示：∵E为中点，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴． 5．如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为_____________． 【答案】 【解析】如图，过点作，交的延长线于点，∴，∵，，，∴由勾股定理得，；∵，，∴由勾股定理得，；∵，∴，∴，∴，∴，即，解得，∴，由勾股定理得，． 6．（2026·北京大兴·一模）如图，在正方形中，点E是中点，连接，点F为上一点，．若，则的面积为____． 【答案】/ 【解析】过点A作的垂线，垂足为G，如图，四边形是正方形，，，，，，，，，，，． 7．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．当时，_______秒． 【答案】/2.5 【解析】∵四边形为矩形，点，∴，，，∵，∴，∴，，∴，∴，由题意知，设，，，∴，即，解得，即t的值为． 8．（2026·山西运城·三模）如图，菱形中，E为边的中点，交的延长线于点F，连接并延长交的延长线于点G，连接，已知，，则四边形的面积为______． 【答案】20 【解析】如解图，连接交于点O，交于点H，∵四边形是菱形，∴，，，，∵E为的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，∴，∴，即，∴，∴四边形的面积为． 9．（2026·浙江金华·一模）如图，在边长为2的正六边形中，点G为的中点，连接交于点H，则四边形的周长为_____________． 【答案】 【解析】如图，连接，交于点O，连接，∵正六边形的边长为2，∴点O在上，，，，∴，，是等边三角形，∴，∴，∵正六边形，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵点G为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴四边形的周长为． 10．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，点E在边上，平分． (1)尺规作图：在射线上求作点F，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若E是的中点，，，求的长． 【解析】（1）解：如图，过点E作的垂线交于点F即可； 由作图可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 11．作图题 (1)已知线段，在线段上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)如图，点、点、点、点都是格点，请你使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）在边上作出点，使得与相似． 【解析】（1）解：点C如图所示. （2）解：点M如图所示： 12．（2026·吉林松原·三模）图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中的上找一点，使； (2)在图2中的上找一点，使； (3)在图3中的上分别找一点，使． 【解析】（1）解：如图1，点即为所求； 将看作正方形的对角线，作另一条对角线与相交于点， ∵正方形对角线互相平分， ∴， 根据中线的性质可得：； （2）解：如图2，点即为所求； 根据网格图可知，， 且， ∴； （3）解：如图3，点，即为所求． 根据网格图可知,， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ． 13．（2026·上海普陀·二模）已知：如图，在四边形中， ，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴即， 又， ∴． 14．（2026·安徽·二模）如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，求的值． 【解析】（1）证明：四边形是矩形， ， ∴， 垂直平分， 关于对称， 关于对称， 四边形与四边形关于对称， ， ， ， ∵， ； （2）解：如图，过点F作于点H， 四边形是矩形， ，，， ∵ ∴四边形为矩形，， ∴，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． （3）解：如图，过点N作交于点I， 设，则， 垂直平分 ， ， 在中，， ， ，即． ， 由（1）可知，， ． ， ∴， ∴， ， 与关于对称， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 15．（2026·广东广州·三模）中，， （ ），点 为线段 上一动点，点为射线上一点， （为常数），且 ． (1)如图1， 时，若 ，请求出的值． (2)如图2，线段 上是否只存在唯一的点 ，使 ，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若 ，，作 ，与线段交于点，当点 从点运动到点时，请求出点的运动路径长． 【解析】（1）解：∵ ， ，， 设 ，则 ， ， ∵ ， ∴， ∴， 解得：； （2）解：设 ，则 ，， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， ∵线段 上是否只存在唯一的点 ，使 ∴关于的一元二次方程，有两个相等的实数解， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴； （3）解：如图，作 ，延长交于点， 设 ，则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 整理得：， 当时，， 当时，， ∴的运动轨迹是从出发，再回到点，总路径长为， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即时，， ∴点的运动路径长为． 1．【跨学科——物理问题】（2026·湖北荆门·一模）如图所示是用杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．若动力臂，阻力臂，则的长度是_____． 【答案】90 【解析】根据题意得：，∴，∴，∴，∵，，∴，∴． 2．【跨学科——物理问题】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为__________米． 【答案】/ 【解析】设米，米，米，由物理性质可得入射角等于反射角，，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，即，解得，即米． 3．【数学文化】（25-26九年级上·江苏南京·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 【答案】 【解析】由题意可知，步，步，步，∴，，又，，，，． 4．【几代结合】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 【答案】一、三、四 【解析】∵，其相似比为k，∴，∴直线的解析式为，∵，，∴直线的图象必定经过一、三、四象限． 5．【规律探索】（2026·河南周口·二模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边三角形的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点作，∵是边长为的等边三角形，∴，∴，∴，∵点、、分别为等边的边、、的中点，∴，，，∴，相似比为，面积比为相似比的平方，即，∴每个新三角形的面积是前一个三角形面积的，时，，时，，依此类推，可得的面积为：． 6．【最值问题】如图，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________ 【答案】 【解析】∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴的值最小时，的值最小，此时的值最小，∵，∴，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时，∵，∴，∴，∴的最小值为． 7．【手拉手相似模型】如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为________． 【答案】 【解析】如图，以为底边构造顶角为的等腰三角形，过点E作，连接，，，，，，，，，，，即，，，，根据三角形三边关系可知，故当三点共线时，最长，最长为． 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点作于点，，，∴，，， ，，， ，设，∵，∴，即， ，∵，∴，即，， ，，解得 ，，，∴，，在中， ． 2．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，由折叠得，，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴当时，取得最大值，将代入得，． 4．（2026·四川泸州·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点，，分别是边，，的中点，与交于点，与，分别交于点，．则的长为__________． 【答案】 【解析】四边形是正方形，边长为，，，，，、、分别是、、的中点，，在和中，，，，，，，即，在中，由勾股定理得，，，，，，，，，，连接，，，四边形为平行四边形，，，，，，，，在中，，. 5．（2026·河南·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点为边上一点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】或 【解析】过点作于点，∵，，∴，∴，当点在左侧时，记作点，∴，∴，，∵平分，∴，过点作于点，则，∴，∴，∴，∴，∴；当点在右侧时，记作点，则同理，∴，过点作交延长线于点，则，，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，同理可得，，∴，∴，，∴，∴，综上：的长为或． 6．（2026·四川南充·中考真题）在菱形中，对角线相交于点O，． (1)【初步感知】如图1，点P在线段上，若，，求的长． (2)【深入探究】如图2，点P在线段上，若，设长为x，长为y，求y与x之间的函数关系式． (3)【拓展运用】如图3，点P在线段上，将沿直线折叠，若点D落在边上，求的值． 【解析】解：（1）∵四边形是菱形， ， ∴， ， ， ； （2）过点P作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ，， 在中， 在中，     即 ， 整理得 即 (舍去)； ∴y与x之间的函数关系式为 （3）如图，设交于点F，将沿直线折叠，使点D落在边上的，连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， ， ， 设，则， ， ， ， 取正数解得：， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4相似三角形的性质 目录 A组巩固过关 题型01证明相似三角形的对应线段成比例 题型02利用相似三角形的性质求解 题型03相似三角形的性质与判定综合 题型04利用相似的性质作图 题型05与相似三角形有关的动，点问题 题型06相似三角形的实际应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 颗型01 证明相似三角形的对应线段成比例 1.B 2.【解析】证明：·EF‖BC, ∴.∠AEP=∠ABD,∠AFP=∠ACD, .:∠EAP=∠BAD,∠FAP=∠CAD, ∴.△EAP一△BAD,△FAP~△CAD, :EP=AP PE-AP BD AD'DC AD EP_PF BD DC 3.【解析】(1)证明：，ABCG, 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABF=∠G, 又∠ABF=∠ACF, ∴.∠ECF=∠G 又，∠CEF=∠CEG, ∴△ECF一△EGC, CE FE GECE 即CE=EF·EG: (2)解：平行四边形ABCD中，AB=CD, 又，DG=DC, ..AB=CD=DG .AB:CG=1:2, .AB CG, ABBE_1 CG GE2' 7_1 即EG2' .EG=14,BG=21, .AB DG BF_A =1, GF DG 、·BF=ZBGS21 2 F=B股-能=-7子 2 题型02 利用相似三角形的性质求解 4.B 5.A 6.c7.B8.8.59.9 题型03 相似三角形的性质与判定综合 10.45 11. 5/0.2 12.2 13.【解析】证明：.AD·AB=AE·AC, 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB_AE AC AD 又：∠A为公共角， ∴.△ABE一△ACD, ∠B=∠C, 又·∠DFB=∠EFC, ∴.∠FDB=∠FEC. 14.【解析】证明：DFBE, .AF_AD FE DB .AF-AE FE CE ADAE ·DBCE1 AD_AE ·ABAC' 又∠DAE=∠BAC, :.△ADE一△ABC, .∠ADE=∠ABC, ∴.DEBC 15.【解析】(1)证明：：△AOB一△AOB, 、AO-OB AOOB,∠AOB=∠AOB, AOAO 即OBOB,∠AOA=∠BOB, ∴△AOA-△BOB; (2)解：△AOA一△BOB, ∴.∠OAA=∠OBB, ∠ACB=180°-（∠AAB+∠ABC)=180°-（∠AAB+∠ABO+∠BBO)=180°-（∠AAB+∠ABO+∠ 16.【解析】(1)证明：，BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD, ,FG‖BC, .∠FGA=∠ACB, 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BAE=∠ACB, ∴，∠BAE=∠ACB=∠FGA, ,∠AFD=∠BAE+∠ABD,∠ADB=∠CBD+∠ACB, ∴.∠AFD=∠ADB ..AF=AD. (2)证明：FG‖BC, ∴，∠CBD=∠DFG,∠ACB=∠FGA, 由(1)得∠ABD=∠CBD,∠BAE=∠ACB, .∠ABD=∠DFG,∠BAE=∠FGD, ·△DFG△FBA: (3)解：∠BFE=∠AFD=∠ADF,∠EBD=∠ABD, .△BEF一△BAD, .BE=2EF, :是2 EF AD 1 又由(1)可得AD=AF, ·AF_1 ·BA2 由(2)知△DFG一△FBA, DG_FA_1 FG BA 2 颗型04 利用相似的性质作图 17.【解析】如图，点D、E即为所求. 18.【解析】如图，∠ABD=∠C. 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.【解析】(1)解：如图，取格点E、F,使得AE=3,CF=4且AE‖CF,连接EF, :AECF,∴.△AED一△CFD,AD:DC=AE:CF=3:4,即线段EF即为所求. (2)解：如图，取格点M使得BM:BC=2:3,取格点G使得AG=1,连接GM交AB于N,则 GM AC, .△BMN一△BCA,MN:AC=BM:BC=2:3,即点N即为所求. G 题型05 与相似三角形有关的动点问题 20.A 21.0.8或2 题型06 相似三角形的实际应用 22.1.8 23.30 24.1.8 B组 能力进阶 1.B2.90°3.23 8 4.2:35.V109 6.91672n58.209. 5 16+2V13 3 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.【解析】(1)解：如图，过点E作AC的垂线交CD于点F即可； 由作图可知∠CEF=∠B=90°， ,CA平分∠BCD, .∠ECF=∠BCA, ∴.△CEF~△CBA: (2)解：：AB=2,BC=3,∠B=90°， ∴.AC=V2+3=13 E是AC的中点， CE-14G-3 2 .△CEF~△CBA, CF CE “CACB V13 即CF 2 V133 CF=13 11.【解析】(1)解：点C如图所示. D (2)解：点M如图所示： 6/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 12.【解析】(1)解：如图1，点D即为所求； 将AC看作3×3正方形的对角线，作另一条对角线与AC相交于点E, ·正方形对角线互相平分， ∴.AD=CD, 根据中线的性质可得：S△ABD=S△DBC (2)解：如图2，点E即为所求： 根据网格图可知，△AEF一△CEG, AE-AF-2 且ECGc3' SAABE =AE=2 小SAB EC3 (3)解：如图3，点G,H即为所求 根据网格图可知，AMHB,AM=HB, ∴.四边形AMHB是平行四边形， .AB‖MH,∠B=∠MHC,∠BAC=∠HGC, ∴，△CGH~△CAB, S△cGH 32-9 SACAB CB 416 D G B H 图1 图2 图3 13.【解析】(1)证明：，DC2=CE·CB, DC CE .CBDC' 又.∠ECD=∠DCB, 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△DCE一△BCD, ∴，∠CED=∠CDB, 又，∠CED=∠ABD ∴.∠CDB=∠ABD, .AB‖CD AD‖BC, .四边形ABCD是平行四边形： (2)证明：△DCE一△BCD, s思5 ∴BD·DC=BC·DE, 又，四边形ABCD是平行四边形， .'.AB=CD,AD=BC,OB=OD, ∴.BD·AB=BC·DE, ,BE·AD=BD·AB, .BE·AD=BC·DE即BE=DE, 又OB=OD .OE⊥BD B 14.【解析】(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠ADF=90°，∠B=∠C=90, ∴.∠CFM+∠CMF=90°， .EF垂直平分DM, ∴.D,M关于EF对称， .'A,N关于EF对称， ∴.四边形AEFD与四边形NEFM关于EF对称， ∴.∠FMN=∠ADF=90°， .∴.∠BMG+∠CMF=90°， '.∠BMG=∠CFM, ∠B=∠C, 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.△FCM△MBG: (2)解：如图，过点F作FH⊥AB于点H, D ,四边形ABCD是矩形， .∠B=∠C=90°，ABCD,CD=AB=6, .FH⊥AB ∴.四边形BCFH为矩形，∠FHE=90°， .FH=BC=4,∠FHE=∠C, .EF垂直平分DM, ∴.∠FDM+∠DFE=90°， .∠C=90° ∴.∠FDM+∠DMC=90°， ∴.∠DMC=∠DFE, AB‖CD, ∴.∠DFE=∠FEH, ∴.∠DMC=∠FEH, ,∠FHE=∠C, ∴.△DCM一△FHE, 照号 (3)解：如图，过点N作乙⊥AB交AB于点， D 设CF=x,则DF=6-x, .EF垂直平分DM ∴.FM=DF=6-x, .∠C=90°，CM=3, 9/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△FCM中，CF2+CM2=FM2, .x2+32=6-x2, 4,即FC=9 4 FM=DF=6-X=6-9=15 44 由(1)可知，△FCM一△MBG, FCFM ·BMMG BM=BC-CM=1, 915 4=4, 1 MG .MG=5 3' ∴.BG=VMG2-BM2= 12=4 .:MN与DA关于EF对称， .∴.MN=AD=BC=4, NG=MN-MG= .∠NIG=∠B=90°，∠IGN=∠BGM, ∴，△NIG一△MBG, ee子 d-居w-号1c-名G名号得 5 5 5315 AI=AB-BG-1G=6-4-28= -5 2△A4,w-侣图-雪 15.【解析】(1)解：PC=2AP,AP+PC=AC,AB=AC, 设AP=a,则PC=2a,AC=AB=3a, ,△APB一△CEP, AP_AB ∴CEcP 10/15 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a_3a .3a2a, k 解得：k=9 (2)解：设AP=m,则PC=AC-AP=AB-m,CE=A k ,△APB一△CEP, APAB ∴CECP m AB .'AB AB-m, k ∴.km2-k·ABm+AB2=0, ,线段AC上是否只存在唯一的点P,使△APB一△CEP ∴.关于m的一元二次方程，有两个相等的实数解， ∴.△=b2-4ac=k·AB2-4k·AB2=AB2k2-4k=0, ,AB≠0， k2-4k=0, 又k≠0， ∴.k=4: (3)解：如图，作∠ACD=120°，延长PQ交CD于点E, B D 图3 设AP=X,则PC=AC-X=AB-x=8-X, .∠BPQ=∠A=∠ACD=120°，∠BPC=∠BPQ+∠CPE=∠A+∠ABP, ∴.∠CPE=∠ABP, ∴.△APB一△CEP, AP_AB ·CECP 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6G方 过点P作PF⊥BC于点F, .AB=AC,∠BAC=120°， 2ACB=80-∠BaC=309, .PF-2PCx FC-mn E 4、1 3 Utan∠PCF-3 =43- 2 X. 3 .∠PCD=120°，∠PCF=30°， ∴.∠QCE=90°，即CE⊥AC, ..PF CE, ∴.△PFQ一△ECQ, FQ_PF …CQCE 设CQ=y, 43、3 -y 2 4、1 2 y x+x 8 整理得： x+43x y 2 3x8-x, 4+x 2x+4 当x=0时，y=0, 当x=8时，y=0, ∴.Q的运动轨迹是从C出发，再回到C点，总路径长为2ymx, 设t=4+x, .0<x<8, .4<t<12, 2t t+48≥2t×48=83. t t =招.t=43时y盟16-9R3=835-12 当t=48 2 12/15 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点Q的运动路径长为2ym*=283-12=163-24. C组 思维拔高 1.90 2.04号 3.625 4.一、三、四 5.D 6.47.23 拓展 链接中考 1.D2.C3.C V2 、 5.2V2或 0V2 3 6.【解析】解：(1)，四边形ABCD是菱形，AC=6, ∴.OC=OA=3, OP=2CP, ∴.OP=2, .AB=AP=OP+OA=5; (2)过点P作PE⊥AC于点E, ,四边形ABCD是菱形， AC⊥BD, ∴PE‖BD .△CPE~△CDO, CECP OC CD CP=DP, 80 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=x,AC=y, .CP-x,0c-y GE-0C- AE-AC-CE- 布a△E中，PE=Pc-CE-- 在Rt△PAE中， PE'-PA-AE-- 即 - 煞理得Y即y=)x,y=6 「2舍去)： y与x之间的函数关系式为y=6 2 (x>0】 (3)如图，设AP交BD于点F,将△ADP沿直线AP折叠，使点D落在BC边上的D,连接PD,AD, B D D .AP=AB, ∴.AD=AD=AP=AB,∠DAP=∠DAP, 又∠ABD=∠ADP, ∴.∠ADP=∠APD=∠APD=∠ADP=∠ADB=∠ABD, ∴.∠DAP=∠DAP=∠BAD, .AB‖CD, .∠APD=∠PAB=2∠DAP, .∠PDA+∠APD+∠DAP=180°， ∴.5∠DAP=180°， .∠DAP=36°，∠APD=∠ADP=72°， ∠ADF=∠PDF=号∠ADP=36°， 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠PDF=∠DAP=∠ADF, ∴，∠DPF=∠DFP=72 ∴DF=AF=PD 又∠DPF=∠APD, ∴.△PDF△PAD, 器思 ∴.DP2=AP·FP, 设DP=m,DC=n,则AP=n,FP=n-m, ∴.m2=nn-m, ∴.m2+mn-n2=0, m+-1=0 …n'n 取正数解得：m-5-1 n 2 .DP-m_5-1 DC n 2 15/15 分层作业 4 相似三角形的性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 证明相似三角形的对应线段成比例 题型02 利用相似三角形的性质求解 题型03 相似三角形的性质与判定综合 题型04 利用相似的性质作图 题型05 与相似三角形有关的动点问题 题型06 相似三角形的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )证明相似三角形的对应线段成比例 1．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点．求证：． 3．如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，求的长． ( 题型0 2 )利用相似三角形的性质求解 4．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 6．（25-26九年级下·重庆开州·期中）已知和分别是和的角平分线，，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 8．如图，已知，且，，，则____． 9．（2026·甘肃天水·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，的面积，则的面积为_________． ( 题型0 3 )相似三角形的性质与判定综合 10．如图，已知在正方形网格内有两个三角形（、），则________． 11．如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 12．（2026·湖南长沙·三模）如图，中，是的中点，连接，相交于点，过点作，交于点，若，则的长为___________． 13．如图，已知：点、分别在线段和上，，是与的交点．求证：． 14．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，．求证：． 15．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，，连接，交于点C． (1)求证：； (2)若，则的度数为_____． 16．如图，在中，平分交于点D，点E在边上，满足．连接交于点F，过点F作交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． ( 题型0 4 )利用相似的性质作图 17．（2026·陕西榆林·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，即作，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19．（2026·安徽安庆·一模）图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图1中，画一条线段，将线段分为的两部分；（要求：点E，F均在格点上） (2)在图2中的上找一点N，连接，使，且相似比为． ( 题型0 5 )与相似三角形有关的动点问题 20．（2024·河北石家庄·三模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 21．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． ( 题型0 6 )相似三角形的实际应用 22．（25-26九年级下·山西运城·期末）如图，桌子上放着一根与地面平行的木棒，在灯光的照射下在地面形成影子．已知灯到木棒的距离与灯到地面的距离之比为，木棒的长为米，则影子的长为______米． 23．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是某款折叠凳的侧面示意图，凳面地面，经过点O，且垂直于．若，，，则的长为__________． 24．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处到地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若的长度是9米，则车宽的长度为___________米. 1．（2026·云南楚雄·二模）的三边长分别为3，4，5，另有一个与它相似的，其最长边为15，则的周长是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于_____． 3．（2026·福建泉州·二模）灯光透过柔光板后照明，有保护视力的作用．小明利用家里的圆形柔光板对房间的灯具进行改造，已知小明房间为长4米、宽3米的矩形，灯在房间的正中央，距离地面超过3米，圆形柔光板直径米，装上后距离地面3米，且灯具光线通过柔光板后正好可以覆盖整个房间地面，则柔光板距离吸顶灯至多_________米． 4．如图，中，D为边上一点，且，E为中点，则________． 5．如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为_____________． 6．（2026·北京大兴·一模）如图，在正方形中，点E是中点，连接，点F为上一点，．若，则的面积为____． 7．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．当时，_______秒． 8．（2026·山西运城·三模）如图，菱形中，E为边的中点，交的延长线于点F，连接并延长交的延长线于点G，连接，已知，，则四边形的面积为______． 9．（2026·浙江金华·一模）如图，在边长为2的正六边形中，点G为的中点，连接交于点H，则四边形的周长为_____________． 10．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，点E在边上，平分． (1)尺规作图：在射线上求作点F，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若E是的中点，，，求的长． 11．作图题 (1)已知线段，在线段上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)如图，点、点、点、点都是格点，请你使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）在边上作出点，使得与相似． 12．（2026·吉林松原·三模）图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中的上找一点，使； (2)在图2中的上找一点，使； (3)在图3中的上分别找一点，使． 13．（2026·上海普陀·二模）已知：如图，在四边形中， ，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 14．（2026·安徽·二模）如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，求的值． 15．（2026·广东广州·三模）中，， （ ），点 为线段 上一动点，点为射线上一点， （为常数），且 ． (1)如图1， 时，若 ，请求出的值． (2)如图2，线段 上是否只存在唯一的点 ，使 ，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若 ，，作 ，与线段交于点，当点 从点运动到点时，请求出点的运动路径长． 1．【跨学科——物理问题】（2026·湖北荆门·一模）如图所示是用杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．若动力臂，阻力臂，则的长度是_____． 2．【跨学科——物理问题】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为__________米． 3．【数学文化】（25-26九年级上·江苏南京·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 4．【几代结合】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 5．【规律探索】（2026·河南周口·二模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边三角形的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（     ） A． B． C． D． 6．【最值问题】如图，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________ 7．【手拉手相似模型】如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为________． 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川泸州·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点，，分别是边，，的中点，与交于点，与，分别交于点，．则的长为__________． 5．（2026·河南·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点为边上一点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 6．（2026·四川南充·中考真题）在菱形中，对角线相交于点O，． (1)【初步感知】如图1，点P在线段上，若，，求的长． (2)【深入探究】如图2，点P在线段上，若，设长为x，长为y，求y与x之间的函数关系式． (3)【拓展运用】如图3，点P在线段上，将沿直线折叠，若点D落在边上，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $