专题 相似三角形常考的五大模型（含模型归纳+专题训练）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以五大相似模型为核心，通过“模型归纳+专题训练”构建系统性方法体系，强化从图形特征到相似判定的逻辑推理，培养几何直观与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |8字型相似|9题|对顶角+等角证相似|基于AA判定，应用于平行、相交线比例计算| |A字型相似|8题|公共角+等角证相似|结合位似、中点模型，强化线段比转化| |射影定理|9题|直角三角形斜高性质|Rt△中边的平方关系，关联勾股定理| |一线三等角|8题|共线等角证相似|区分全等与相似，解决动态几何问题| |手拉手相似|10题|共顶等角等腰三角形|旋转中相似判定，培养空间观念与推理能力|

相似三角形常考的五大模型 模型一 8字型相似 模型二 A字型相似 模型三 射影定理 模型四 一线三等角相似 模型五 手拉手相似 模型一 8字型相似 —————————————————◆模型归纳◆—————————————————— 类型 图形特征 图形 8字型 两个三角形中有“一组对顶角和一组等角” 正8字型 或 斜8字型 —————————————————◆专题训练◆—————————————————— 1．（2026春•垦利区期末）如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，连接DE，交对角线AC于点F，若，AF＝4，则CF的长为（　　） A． B． C． D． A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AFD∽△CFE，∴， 设BE＝2k，CE＝3k，则BC＝BE+CE＝5k，∴AD＝BC＝5k，∴，∴，解得． 2．（2026春•栖霞市期末）如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像A'B'的长是物AB长的（　　） A． B．3倍 C． D．2倍 A【解析】如图，作OC⊥AB于点C，OC'⊥A'B'于点C'，∵AB∥A'B'， ∴△ABO∽△A'B'O，∴2，∴A'B'的长是物AB长的． 3．（2025秋•北海期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 B【解析】∵AC∥BD，∴∠C＝∠D，∠A＝∠B，∴△AOC∽△BOD，∴， ∵OA＝6，OC＝3，OD＝2，∴，∴OB＝4． 4．（2025秋•兴隆台区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F，交BC延长线于点G，若DE：CE＝3：1，则AF：FG＝（　　） A．3：4 B．3：5 C．9：16 D．9：25 A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴AD∥BG．∴△ADE∽△GCE．∴3．∴AD＝BC＝3CG．∴BG＝4CG．∵AD∥BG，∴△ADF∽△GBF．∴． 5.（2026•朝阳区三模）如图，为估算某鱼塘的宽AB的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且CDAC，CEBC．若测得ED的长为10m，则AB的长为 　　 m． 20【解析】∵CDAC，CEBC，∴，∵∠DCE＝∠ACB，∴△DCE∽△ACB，∴，∵ED＝10m，∴AB＝20m． 6.（2026•平凉校级模拟）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2．则井深BG为 　　 ． 3【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵BE＝2，BH＝0.5，∴HE＝BE﹣BH＝2﹣0.5＝1.5，∵四边形BEFG是矩形，∴BG＝EF，∠BEF＝90°，∴∠ABH＝∠FEH＝90°，∵∠AHB＝∠EHF， ∴△ABH∽△FEH，∴，∴，∴EF＝3，∴BG＝EF＝3. 7.（2026•青羊区校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°．D是边BC上一点，以AD为边，作△ADE，使得△ADE∽△ABC．DE交AC于点F，当取最小值时，DF＝EF，则　　 ． 【解析】如图，连接CE， ∵∠BAC＝120°，△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AEF＝∠DCF，∠ABD+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，∠DAE＝∠BAC＝120°，，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ECF＝∠ADF，∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝∠ABD+∠ACB＝60°，∴当DE⊥CE时，取最小值，， 又∵当取最小值时，DF＝EF，∴设此时，则CE＝2a，CD＝4a，，∵∠ECF＝∠ADF，∠EFC＝∠AFD，∴△CEF∽△DAF，∴，则，∵∠AEF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴，则，∴. 8.（2026•阳谷县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD边的中点，DE分别与AC，AF交于点P，Q．若AB＝3，AD＝4，则PQ的长为　　 ． 【解析】如图，延长AB、DE交于G，∵E为BC的中点，∴BE＝CE，∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠ADC＝∠DCE＝90°，∴∠G＝∠EDC，而∠BEG＝∠DEC，∴△BEG≌△CED（AAS），∴BG＝CD＝AB＝3，EG＝DE，∵E，F分别为BC，CD边的中点，∴DF＝1.5，CE＝2，∴DEEG，∴DG＝2，∵CD∥AG，∴FD：AG＝QD：QG＝1：4，∴QDDG，∵AD∥CE，∴AD：CE＝PD：DE＝2：1，∴PEDE，∴PQ＝DE﹣DQ﹣PE． 9.（2025秋•浦东新区期末）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是 　　 ． 【解析】过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N， ∵AD∥BC，∴BN＝DM，∵S△BCD＝2S△ABD，∴BC•DM＝2AD•BN，∴BC＝2AD，∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠ACB，∴△AOD∽△COB，∴，∴，∵△BOC与△BDC的高相等，∴. 模型二 A字型相似 —————————————————◆模型归纳◆—————————————————— 类型 图形特征 图形 A字型 两个三角形中有“一个公共角和一组等角” 正A字型 反A字型 反A字型（共边共角） —————————————————◆专题训练◆—————————————————— 10.（2026•雁塔区校级模拟）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 D【解析】∵，∴，∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，∴△ABC与△DEF的面积比为1：9. 11.（2026•广州一模）如图，线段BC的两端点的坐标分别为B（3，8）、C（6，3），以点A（1，0）为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点E的坐标为（　　） A．（，） B．（3，） C．（，） D．（，4） C【解析】∵将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，∴△ADE∽△ABC，∴，∴点E是线段AC的中点，∵A（1，0），C（6，3），∴点E的坐标为（，）． 12．（2025春•任城区期末）如图，△ABC中，点D在线段AC上，连接BD，要使△ABD与△ABC相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是（　　） A． B．∠ADB＝∠ABC C．∠ABD＝∠C D．AB2＝AD•AC A【解析】在△ABD与△ABC中，由于∠A＝∠A，若添加∠ADB＝∠ABC或∠ABD＝∠C， 满足“两角对应相等的两个三角形相似”，故要使△ABD与△ABC相似，可添加一个条件B或C． 在△ABD与△ABC中，由于∠A＝∠A，若添加，即AB2＝AD•AC，满足“两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似”，故要使△ABD与△ABC相似，可添加一个条件D． 在△ABD与△ABC中，若添加，由于不能说明∠ADB＝∠ABC，也不能说明三边对应成比例， 故要使△ABD与△ABC相似，不能添加一个条件A． 13.（2026•大庆模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，若，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． C【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，∴，，故A、B选项正确，不符合题意；设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为h1，点C到DE的距离为h2，∵DE∥BC，，∴，∴，故C选项错误，符合题意；∵DE∥BC，∴h1＝h2，∴，故D选项正确，不符合题意. 14.（2026•深圳校级模拟）《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　） A．150步 B．200步 C．250步 D．300步 D【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，AD⊥CD，∵GH⊥AD，∴CD∥OH，∴∠FDE＝∠H，∵EF⊥CD，∴∠FED＝∠DGH＝90°，∴Rt△DFE∽Rt△HDG，∴，设正方形的边长为x步，∵点G、点E分别是正方形ABCD的边AD、CD的中点，∴DGAD，DECD，∴DG＝DE，由题意易得EF＝30步，GH＝750步，∴，解得x＝300（步），∴CD＝2DE＝300步． 15.（2026•衡南县模拟）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为　　 ． 【解析】过点E作EM⊥BC，垂足为M， ∴∠DME＝∠BME＝90°，∴∠EDM+∠DEM＝90°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°， ∴∠CDA+∠EDM＝90°，∴∠CDA＝∠DEM，∵点D是BC的中点，∴CD＝BDBC＝2，∵∠C＝∠DME＝90°，∴△ACD∽△DME，∴，∴设EM＝2x，则DM＝3x，∵∠BME＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BME∽△BCA，∴，∴，∴BMx， ∵BD＝2，∴DM+BM＝2，∴3xx＝2，∴x，∴EM，BM，∴BE， 16.（2026春•垦利区期末）如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． 小星：若∠ACP＝∠B，则可证△ACP∽△ABC 小红：若，则可证△ACP∽△ABC 小亮：若，则可证△ACP∽△ABC． （1）请判断三人的说法的对错：小星　　 ，小红　 　，小亮　 　；（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC； （3）若△ACP∽△ABC，且，求AP的长． （1）解：若∠ACP＝∠B，且∠CAP＝∠BAC，有两个角对应相等，可判定△ACP∽△ABC，小星对； 若，且∠CAP＝∠BAC，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定△ACP∽△ABC，小红对； 若，且∠CAP＝∠BAC，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明△ACP∽△ABC，小亮错； 故答案为：对；对；错； （2）证明：选择小星的方法： ∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC，有两组角对应相等， ∴△ACP∽△ABC； 选择小红的方法： ∵，∠CAP＝∠BAC，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ∴△ACP∽△ABC； （3）解：设AP＝x， ∵， ∴AB＝1+x， ∵△ACP∽△ABC， ∴， ∴， 整理得：x2+x﹣6＝0， 解得：x＝2或x＝﹣3（舍）， ∴AP＝2． 17.（2026春•长宁区期末）如图，在△ABC中，AE、BD分别是边BC、AC上的中线，AE与BD相交于点G． （1）求S△AGD：S△ABD的值； （2）如果AE⊥BD，且AB＝10，连接CG并延长，交边AB与点F，求CF的长． 解：（1）如图1，连接DE， ∵AE、BD分别是边BC、AC上的中线， ∴点D和点E分别为AC和BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DEAB， ∴△DEG∽△BAG， ∴， ∴， ∴S△AGD：S△ABD； （2）如图2， ∵AE、BD分别是边BC、AC上的中线，AE与BD相交于点G ∴CF是AB边上的中线， ∴AF＝BF， ∵AE⊥BD， ∴∠AGB＝90°， ∴FGAB＝5， 同（1）的方法知，， ∴CF＝15，故CF的长为15． 模型三 射影定理 —————————————————◆模型归纳◆—————————————————— 类型 图形特征 图形 射影定理 ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D AC2=AD·AB BC2=BD·BA CD2=AD·BD —————————————————◆专题训练◆—————————————————— 18．（2024秋•寿阳县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（　　） A．2 B． C．2 D．4 C【解析】根据射影定理得BC2＝BD•BA，即BC2＝1×（1+3），所以BC＝2． 19.（2025•杨浦区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． C【解析】∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB， ∴，故A、B选项正确，不符合题意；故C选项错误，符合题意； ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°， ∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，故D选项正确，不符合题意． 20．（2025秋•西湖区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（　　） A．4 B．2 C． D．4 C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2， ∵AE＝3CE，∴AEAC，CEAC，∵∠ADC＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°， ∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE， ∴，∴DE2＝AE•CE， 21．（2025•松江区校级自主招生）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为 　　 ． 【解析】如图，过点C作CE⊥AB于点E，∴∠CED＝90°，∵∠CDB＝120°， ∴∠CDE＝60°，∴∠ECD＝30°，∴， 由勾股定理得：，∴BE＝BD+ED＝2+2＝4， 在Rt△CEB中，由勾股定理得：， ∵∠DCB＝∠A，又∵∠DBC＝∠CBA，∴△DBC∽△CBA，∴， 即，解得：BA＝14，∴． 22．（2025秋•长春期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，点D是AB的中点，连结CD，AE⊥CD分别交CD、BC于点F、E．给出下面四个结论： ①AB＝2CD； ②△ECF∽△ABC； ③△ACF和△EDF是以点F为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　　 ． ①②【解析】∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，则由斜边中线定理可知AB＝2CD，故①结论正确；∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴BD＝CD，∴∠B＝∠FCB， 又∠CFE＝∠ACB＝90°， ∴△ECF∽△ABC，故②结论正确； ∵AE⊥CD， ∴∠CAE＝90°﹣∠ACD＝∠BCD＝∠B， ∵AC＝2，BC＝3，由勾股定理可得：AB， ， ∵∠CAF＝∠B， ∴△CAF∽△ABC， ∴，即， 从而可得AF，CF，， ∵△ECF∽△ABC， ∴，即， ∴EF， ∴DF＝CD﹣CF， ∴， ∴△ACF和△EDF不是以点F为位似中心的位似图形，故③结论不正确； ∵AE＝AF+EF， ∴S四边形ACED， ∴S△ABCAC×BC＝3， ∴S四边形ACEDS△ABC，故④结论不正确． 综上，正确的有①②． 23．（2025•锦江区模拟）如图，在等边△ABC中，BC＝9，点D是边BC上一点，且BD＝6，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，则AD＝　　 ；点F是AD的中点，连接CF，过点F作FG⊥CF交DE于点G，则FG＝　　 ． 【解析】∵BD＝6，∠B＝60°，∠BED＝90°， ∴BE＝3，ED＝3， ∵AB＝BC＝AC＝9， ∴AE＝9﹣3＝6， 在Rt△AED中，由勾股定理得： AD3． ∵点F是AD的中点， ∴FDAD， 过点A作AL⊥BC于L，过点F作FH⊥BC于H，过点G作GK⊥BC于K，延长FG交BC于P， ∵△ABC是等边三角形，BC＝9， ∴BL＝CLBC，AL， ∴DL＝BD﹣BL＝6， ∵FH⊥BC，AL⊥BC， ∴FH∥AL， ∴△DFH∽△DAL， ∴，即， ∴DH，FH， ∴CH＝CD+DH＝3， ∴CF， ∵∠CFP＝∠CHP＝90°，∠PCF＝∠FCH， ∴△CPF∽△CFH， ∴，即， ∴FP，CP， ∴PH＝CP﹣CH，DP＝CP﹣CD3， 设GK＝x，则DG＝2GK＝2x，DKx， ∴PK＝DP﹣DKx， ∵GK∥FH， ∴△PGK∽△PFH， ∴， ∴GK•PH＝PK•FH，即x（x）， 解得：x， ∴GK，PKx， ∴PG， ∴FG＝FP﹣PG， 24．（2026•双城区一模）已知在△ABC，∠ACB＝90°，D是AC边中点，E在AB边上，且∠ABC＝2∠AED，CF⊥DE于点F，CF＝4，tan∠DCF，则CE＝　　 ． 4【解析】延长DE与CB交于点H，过点A作AN⊥ED，交ED的延长线于点N， ∴∠AND＝90°， ∵CF⊥DE， ∴∠CFD＝∠CFH＝90°， 在Rt△CDF中，tan∠DCF，CF＝4， ∴DF＝CF•tan∠DCF＝42， ∴CD2， ∵D是AC边中点， ∴AD＝CD＝2， ∵∠AND＝∠CFD＝90°，∠ADN＝∠CDF， ∴△ADN≌△CDF（AAS）， ∴DF＝DN＝2，CF＝AN＝4， ∵∠DCB＝∠CFD＝90°，∠CDF＝∠CDH， ∴△CDF∽△HDC， ∴， ∴， 解得：CH＝4， ∵∠ABC是△BEH的一个外角， ∴∠ABC＝∠H+∠BEH， ∵∠BEH＝∠AED， ∴∠ABC＝∠H+∠AED， ∵∠ABC＝2∠AED， ∴∠H＝∠AED， ∵∠AND＝∠DCB＝90°， ∴△AEN∽△DHC， ∴， ∴， 解得：EN＝8， ∴EF＝EN﹣DN﹣DF＝8﹣2﹣2＝4， ∴EC4. 25．（2025秋•晋中期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD上的一点，且，点M是边AB上的一个动点，连接ME，过点E作EN⊥ME交AD于点N，当AM＝AN时，线段MN的长为　　 ． 【解析】设AM＝x，连接AC交BD于点O，交MN于F，过点N作NK⊥BD于K，过点E作EG⊥MN于G， ∵四边形ABCD是边长为4的正方形， ∴AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，AC⊥BD， ∴BD＝4， ∵AM＝AN＝x， ∴DN＝4﹣x，MNx，∠AMN＝∠ABD＝45°， ∴MN∥BD， ∴EG＝OF＝NKDN（4﹣x）＝DK， ∵BEBD， ∴BE， ∴DE＝3， ∴GN＝EK＝DE﹣DK＝3（4﹣x）x， ∴MG＝MN﹣GNx﹣（x）x， ∵EN⊥ME，EG⊥MN， ∴△EMG∽△NEG， ∴， ∴EG2＝MG•GN， 即[（4﹣x）]2＝（x）（x）， 解得：x， ∴MNx 26．（2025秋•平江县校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，下列四个结论中： ①∠B+∠DAC＝90°； ②∠B＝∠DAC； ③CD：AD＝AC：AB； ④AB2＝BD•BC． 其中正确的有　 　． ②③④【解析】∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°＝∠ADB， ∴∠DAC+∠C＝90°， ∴∠B＝∠DAC，故①错误，②正确； ∵∠ADC＝∠BDA＝90°， ∴△ACD∽△BAD， ∴，即CD：AD＝AC：AB，故③正确； ∵∠B＝∠B，∠BDA＝∠BAC＝90°， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴AB2＝BD•BC，故④正确． 故正确的结论有：②③④． 模型四 一线三等角相似 —————————————————◆模型归纳◆—————————————————— 类型 图形特征 图形 一线三等角型（ 字型） 同一条直线上出现三个相等的角，则存在全等或相似. 注：有边相等证全等，无边相等证相似 点 在线段 上（同侧型） 锐角一线三等角（结论： ） 一线三垂直 钝角一线三等角 点 在线段 的延长线上（异侧型） 锐角一线三等角 （结论： ） 一线三垂直 钝角一线三等角 —————————————————◆专题训练◆—————————————————— 27.（2026春•泰山区期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一个条件不能使△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE B． C．∠C＝∠E D． D【解析】A、∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，可判定△ABC∽△ADE，故不符合题意； B、∵，∴，可判定△ABC∽△ADE，故不符合题意； C、∵∠C＝∠E，可判定△ABC∽△ADE，故不符合题意； D、由，∠B＝∠D不能判定△ABC∽△ADE，故符合题意． 28．（2025秋•南湖区校级月考）如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，点D、G分别是AB、BC上一点，且BD＝BG．过点D作DF⊥DG，交AC于点F，交AE于点H．若∠ABC+2∠BAC＝180°，，，则△BDG的面积为　　 ． 【解析】∵∠ABC+2∠BAC＝180°，∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴， ∴AB＝BC（等角对等边）， ∵BD＝BG， ∴（等边对等角）， ∴∠ACB＝∠BGD， ∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）， ∵， ∴，， 连接GH、ED，作DM⊥BC于M， ∵DF⊥DG，AE⊥BC， ∴∠GDH＝∠GEH＝90°， ∴点E、G、D、H四点共圆， ∴∠GHD＝∠GED，∠HDG＝∠DME＝90°， ∴△HDG∽△EMD， ∴， ∵AE⊥BC，DM⊥BC， ∴DM∥AE， ∴， 设，则EM＝4x，MB＝2x， ∴， 解得：， ∴． ． 29.（2025秋•青岛校级期末）将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形ACEF中，已知AB＝13，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【解析】由题意可知，∠BCD＝∠DEF＝90°，∠BDF＝90°， ∴∠BDC+∠EDF＝∠DFE+∠EDF＝90°， ∴∠BDC＝∠DFE， ∴△BCD∽△DEF， ∵． 设BC＝x，CD＝y， 则DE＝4x，EF＝4y，可得， ， 解得， ∴BD＝5，AC＝16， ∴S△DEF＝96． ∵∠G＝∠DEF＝∠GFD＝∠AFE＝90°， ∴∠GFH+∠AFD＝∠DFE+∠AFD＝90°， ∴∠GFH＝∠DFE， ∴△FGH∽△FED， ∴， ∴． 30．（2026•海珠区校级二模）如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120° ∵∠AED＝60°， ∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BED＝∠CAE， ∴△AEC∽△EDB． 31.（2026春•朝阳区校级期中）【问题背景】△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小明拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转． 【用数学的眼光观察】 （1）如图①，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，以下结论正确的是：　　 ； ①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP＝∠CPF；④． 【用数学的知识计算】 （2）当BE＝FC＝7，BP＝6时，则PC的值为　　 ； 【用数学的思维思考】 （3）将三角板绕点P旋转到图②情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F，△BPE与△CFP相似吗？请说明理由． 解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵∠BPF＝∠BPE+45°＝∠PFC+∠C＝∠PFC+45°， ∴∠BPE＝∠PFC， ∴△BPE∽△CFP，故②正确， ∴∠BEP＝∠CPF，，故③④正确， ∵没有边相等的条件， ∴△BPE与△CFP不一定全等，故①错误， ∴结论正确的是②③④， 故答案为：②③④． （2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵∠BPF＝∠BPE+45°＝∠PFC+∠C＝∠PFC+45°， ∴∠BPE＝∠PFC， ∴△BPE∽△CFP， ∴， ∵BE＝FC＝7，BP＝6， ∴， 解得：， 故答案为：． （3）△BPE与△CFP相似，理由如下： ∵∠B＝∠C＝45°，∠EPF＝45°，∠EPC＝∠EPF+∠FPC＝∠B+∠BEP， ∴∠BEP＝∠CPF， ∴△BPE∽△CFP． 32（2026春•泰山区期末）如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，（不与B、C重合）折痕为EF． （1）求证：△BDE∽△CFD； （2）若BD＝7，DC＝2，求△BDE与△CFD的相似比． （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝60°， 由折叠得∠EDF＝∠A＝60°， ∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝120°﹣∠BDE， ∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE＝120°﹣∠BDE， ∴∠BED＝∠CDF， ∴△BDE∽△CFD． （2）解：∵BD＝7，DC＝2， ∴AB＝AC＝BC＝7+2＝9， 由折叠得DE＝AE，DF＝AF， ∴BE+AE＝AB＝9，CF+AF＝AC＝9， ∴BD+BE+DE＝BD+BE+AE＝7+9＝16， DC+CF+DF＝DC+CF+AF＝2+9＝11， ∴△BDE的周长为16，△CFD的周长为11． ∵△BDE∽△CFD， ∴． 33．（2026•遂宁一模）如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． （1）解：∵AB＝9，AC＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6， ∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD， ∴∠ACP＝∠BPD， ∵∠A＝∠B， ∴△ACP∽△BPD， ∴， ∴， ∴BD， ∴BD的长为； （2）证明：∵CP平分∠ACD， ∴∠PCD＝∠ACP， ∵∠ACP＝∠DPB， ∴∠PCD＝∠DPB， ∵∠CPD＝∠B， ∴△CPD∽△PBD， ∴， ∴PD2＝CD•BD． 34．（2025秋•沛县期末）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝2，CE，求等边△ABC的边长． 解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， 又∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠CDE＝180°﹣60°＝120°，∠ADB+∠DAB＝180°﹣60°＝120°， ∴∠CDE＝∠DAB， ∴△ABD∽△DCE； （2）设等边△ABC的边长为x， ∵BD＝2，CE， ∴BC＝AB＝x，DC＝x﹣2， ∵△ABD∽△DCE， ∴， ∴， 解得：x＝6， ∴等边△ABC的边长为6． 模型五 手拉手相似 —————————————————◆模型归纳◆—————————————————— 类型 图形特征 图形 手拉手相似 △ADE与△ABC共顶点，∠DAE=∠BAC， △ADE与△ABC均为等腰三角形 —————————————————◆专题训练◆—————————————————— 35．（2026春•朝阳区校级期末）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE． （1）初步发现：如图1，由三角形中位线构造△ADE∽△ABC，可知：　　 ； （2）猜想探究：如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （3）结论应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，则CE＝　　 ． （4）延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，分别取AB，BC的中点D，E．作△BDE，将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD，CE．分别取AC，DE的中点M，N．当△BDE绕点B旋转过程中，直接写出当△BMN面积最大时，△BDA的面积是　　 ． 解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴AC4， ∵点D和点E分别为AB，AC的中点， ∴AD＝BDAB＝2，AE＝CEAC＝2， ∴， 故答案为：； （2）猜想CEBD，证明如下： ∵点D和点E为分别为AB，AC的中点， ∴由图1可知，ABAB，AEAC， ∴， ∴， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴∠BAC＝45°， ∴cos∠BAC， 根据旋转的性质可得：∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∴CEBD； （3）由图1可知点D和点E为分别为AB，AC中点， ∴DE∥BC，ADAB＝2， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC＝90°， ∴如图3，当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE， 根据勾股定理可得：BD2， 由（2）可得：， ∴， ∴CE＝2， 故答案为：2； （4）如图4， 在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝5， ∵点M是AC的中点， ∴BMAC， ∵点D，E是AB，BC的中点， ∴BDAB＝2，BEBC， 根据勾股定理得，DE， 在Rt△BDE中，点N是DE的中点， ∴BNDE， 过点N作NH⊥BM于H，则NH＝BN•sin∠NBHsin∠NBH， ∴S△BMNBM•NHsin∠NBHsin∠NBH， 要△BMN面积最大，则sin∠NBH最大，即∠NBH＝90°， 如图5，此时△BDE绕点B逆时针旋转90°，即∠ABD＝90°， ∴△BDA的面积为BD•AB2×4＝4. 36．（2026•东河区二模）综合与探究： 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE，现将△CDE绕着点C顺时针旋转． （1）如图2，当旋转角为2∠BAC时，设点D的初始位置为点F，连接BF，FD，试判断四边形BCDF的形状，并说明理由； （2）如图3，当线段BE经过CD的中点时，连接BE和AD并交于点M，试判断线段DM与BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝8，BC＝6，将△CDE旋转到如图如图4位置时，CE⊥BC，连接BD，过点A作AH⊥BD交直线BD于点H，请求出AH的长． 解：（1）四边形BCDF是平行四边形，理由如下： ∵F是AC的中点，∠ABC＝90°， ∴AF＝CF＝BFAC， ∴∠BAF＝∠ABF， ∴∠BFC＝∠BAC+∠ABF＝2∠BAC， 由旋转的性质得CD＝CF，∠DCF＝2∠BAC， ∴BF＝CD，∠BFC＝∠DCF， ∴BF∥CD， ∴四边形BCDF是平行四边形； （2）BC＝2DM，理由如下： ∵在图1中，D、E分别是AC，BC的中点， ∴△CDE是△ABC的中位线，AC＝2CD，BC＝2EC， ∴DE∥AB， ∴∠CED＝∠ABC＝90°； 如图3所示，设BE与CD的交点为N（此后过程都基于图3）， ∵∠CDE＝90°，线段BE经过CD的中点， ∴DN＝CN＝ENCD， ∵AC＝2CD，BC＝2EC， ∴2 由旋转的性质可得∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∴△DNM≌△ENC（ASA）， ∴DM＝CE， ∵BC＝2CE， ∴BC＝2DM； （3）如图4所示，当点E在BC上方时，延长DE交AB于点G． ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°， 由（3）可知，∠CED＝90°， ∴∠CEG＝180°﹣∠CED＝90°， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形BCEG是矩形， ∴GE＝BC，CE＝BG，∠BGD＝90°， ∵AB＝8，BC＝6， ∴DEAB＝4，CE＝BGBC＝3， ∴GD＝GE+ED＝6+4＝10， ∴BD， ∵AH⊥BD， ∴sin， ∴， ∴AH， 如图5所示，当点E在BC的下方时，过点B作BP⊥ED交ED的延长线于点P， ∴∠BPE＝90°， ∵∠PBC＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠CED， ∴四边形BCEP是矩形， ∴PE＝BC＝6，BP＝CE＝3， ∴PD＝PE﹣DE＝6﹣4＝2， ∴BD， ∵AH⊥BD， ∵S△ABDAH•BDAB•PD， ∴AH•BD＝AB•PD， ∴AH＝8×2， ∴AH， 综上所述，AH的长为或． 37．（2026•盐池县模拟）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，． 【特例感知】 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6． ①当四边形CDFE的面积为18时．求AD的长； ②当BF＝2时，则AD＝　　 ． 解：（1）当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是AD⊥BE，数量关系是AD＝BE； ∵1， ∴CE＝CD，CB＝CA， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠ABC＝45°， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°， ∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝90°， 即AD⊥BE， 故答案为：AD⊥BE，AD＝BE； （2）当m≠1时，BE与AD之间的位置关系和数量关系为：BE＝mAD，AD⊥BE； 证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵m， ∴△ADC∽△BEC， ∴m，∠CBE＝∠A，则BE＝mAD， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴AD⊥BE； （3）①如图，连接CF交DE于O， 由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， 根据勾股定理得，AB6， 设AD＝x，则BD＝AB﹣AD＝6x， 同（1）的方法得，AD＝BE，∠DBE＝90°， ∴DE2＝BD2+BE2＝（6x）2+x2， ∵点F与点C关于DE对称， ∴DE垂直平分CF， ∴CD＝DF，CE＝EF， ∵CD＝CE， ∴CD＝DF＝EF＝CE， ∵∠DCE＝90°， ∴四边形CDFE是正方形， ∵四边形CDFE的面积为18， ∴正方形的面积为CD2DE2[（6x）2+x2]＝18， ∴x1＝x2＝3， 即AD的长为3； ②如图，过D作DH⊥AC于H，则△ADH是等腰直角三角形， 设AD＝x， ∴AH＝DHADx， ∴CH＝AC﹣AH＝6x， 连接OB， 由直角三角形性质得，OB＝OE＝OD＝OC＝OF， ∴∠OBF＝∠OFB，∠OCB＝∠OBC， ∵∠OCB+∠OBC+∠OBF+∠OFB＝180°， ∴∠OBC+∠OBF＝90°， 即∠CBF＝90° ∵BC＝6，BF＝2， ∴CF2， ∴CDCF2， ∵CH2+DH2＝CD2， ∴（6x）2+（x）2＝（2）2， ∴x＝4或x＝2， 即AD＝4或2， 故答案为：4或2． 38．（2025秋•双流区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6． （1）点E在AC边上，DE⊥AB，垂足为D，如图1，已知CE＝DE，求AD的长； （2）将（1）中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转，连结CD，交直线AB于点F，在CD上方作∠DCG＝∠BAC，∠DCG的边与AB交点为G． ①如图2，当点E在线段CD上时，求BF的长； ②如图3，连结BE，延长CG交BE于点M，在Rt△ADE旋转的过程中，求线段BM的最小值． 解：（1）连接BE，CD． ∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，DE＝CE． ∴∠BDC＝90°﹣∠CDE＝90°﹣∠DCE＝∠BCD， ∴BD＝BC＝6． ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∴AD＝AB﹣BD＝4； （2）①过点A作AH⊥AC交CD的延长线于点H，如图， 在Rt△ADC中，由（1）可得AD＝4，AC＝8． ∴∠ACD＝30°， ∴AH． ∵AH∥BC， ∴，即， ∴BF． ②如图，过点D作DN⊥CD交CM的延长线于点N，连接NE． ∵∠DCN＝∠DAE＝∠CAB＝α， ∴tanα． ∴DE＝3，AE5． 又∵∠EDN＝90°﹣∠CDE＝∠ADC， ∴△EDN∽△ADC． ∴，∠DNE＝∠DCA． ∴NE＝BC． ∵∠DCA+∠BCG＝90°﹣∠DCG＝∠DNE+∠CNE， ∴∠BCG＝∠CNE， ∴NE∥BC， ∴，即BE＝2BM． ∵BE≥AB﹣AE＝5． ∴BM． 故线段BM的最小值为． 39.（2025•东海县模拟）综合与实践： 【新知定义】如图1，若∠BAC＝∠DAE，，则△ABC∽△ADE．小明称图1中的△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝4，D为BC的中点．以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE，则CE的长为　　 ； （2）在图1中，连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE； 【变式应用】 （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，AD为一边在AD右侧作△ADE，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，连接CE，求CE的长； 【综合应用】 （4）如图4，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝1，若D点在线段BC上运动BC，且点D不与点B重合），以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE．以AD、AE为边构造矩形ADFE，连接CF．直接写出△CEF面积的最大值及此时BD的长度． （1）解：在Rt△ABC中，BC＝4，∠B＝30°， ∴AC＝BC•sin30°＝2，AB＝BC•cos30°＝2， ∵D是BC中点， ∴BC＝2， 由△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”可知，△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴， ∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD， ∴△ABD∽△ACE， ∴，即， ∴CE； 故答案为：； （2）证明：如图， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． ∵，即， ∴△ABD∽△ACE； （3）解：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC中点， ∴，即∠ADB＝90°， ∴， 作BM⊥AC，DN⊥AE，垂足分别为M、N， 则∠AMB＝∠AND＝90°， ∵S△ABC＝S△ADE， ∴， ∴， ∵∠AMB＝∠AND，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABM∽△AND， ∴， ∴， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△AEC， ∴，即， ∴； （4）在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1， ∴BC＝2AC＝2，AB， ∵△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”， ∴△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B＝90°， ∴， ∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD， ∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE＝∠B＝30°， ∵∠B+∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠ACB＝90°，即∠BCE＝90°， ∴点E就在垂直BC的直线上运动， 设CE＝x，则BDx， 如图，过F作FM⊥CE，AN⊥CE，分别交直线CE于点M、N， 在Rt△ACN中，AC＝1，∠ACN＝30°， ∴CN＝AC•cos30°， ∴EN＝CN﹣CEx， ∵四边形ADFE为矩形， ∴AD＝EF，∠EAD＝90°， ∴∠AEN＝∠EFM＝90°﹣∠MEF， ∵∠N＝∠M＝90°， ∴△AEN∽△EFM， ∴tan30°， ∴FMENx， ∴S△CEF x•（x） x2x （x）2， ∵0， ∴当x时，S△CEF，此时BDx， ∴△CEF面积的最大值为，BD的长度为． 40．（2025秋•市中区期中）【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　　 ，k的值为　　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 【延伸拓展】 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，M是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AMB绕点A逆时针旋转并放缩得到△AEF（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段OD上，点F落在射线BC上．若AB＝12，E为OD的中点，求CF的长． 解：（1）根据正方形的性质，△ADC、△AOB是等腰直角三角形． 旋转角∠DOA＝45°，放大倍数k， 故答案为：45°；， （2）根据旋转的性质旋转角∠BAF＝∠OAE， 又∵∠ABF＝∠AOE＝90°， ∴△ABF∽△AOE． ∴． ∴． （3）如图，延长AM交BC于点G． ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°， ∴△ABC和△ACD为等边三角形，DB⊥AC， ∴∠ABM＝30°， ∵MN为AB的垂直平分线， ∴∠MAB＝∠ABM＝30°， ∴AM＝AN÷cos∠MAB4． ∵DO＝AD•sin60°＝6，EO3，AO6． ∴AE3． ∴． 根据题意△EAF∽△MAB可得，AF＝3． ∵AG＝DO＝6，CG＝AC•cos60°＝6． ∴FG9． ∴CF＝FG﹣CG＝3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/5 10:15:58；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形常考的五大模型 模型一 8字型相似 模型二 A字型相似 模型三 射影定理 模型四 一线三等角相似 模型五 手拉手相似 模型一 8字型相似 ◆模型归纳◆ 类型 图形特征 图形 D A B BC//DE 两个三角形中有“一组对顶角 8字型 和一组等角” B 正8字型 C ∠A=∠C或LB=∠D 斜8字型 ◆专题训练◆ 1,(2026春·垦利区期末)如图，在口ABCD中，B是BC上一点，连接DB,交对角线AC于点R,若C E 2 =3 AF=4,则CF的长为() E B. c. D. 3 5 第1页（共21页） 2.(2026春·栖霞市期末)如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像AB的长是物AB长的() A -B1 y B 12cm 6cm B.3倍 c D.2倍 3.(2025秋·北海期末)如图，线段AB,CD相交于点O,AC∥BD,若OA=6,OC=3,OD=2,则OB 的长是() D A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2025秋~兴隆台区期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F,交BC 延长线于点G,若DE:CE=3:1,则AF:FG=() A O E B A.3:4 B.3:5 C.9:16 D.9:25 5.(2026~朝阳区三模)如图，为估算某鱼塘的宽AB的长，在陆地上取点C,D,E,使得A,C,D在同 一条直线上，B,C,E在同一条直线上，且CD=AC,CE=BC.若测得ED的长为10m,则AB的 长为m. E D 6.(2026·平凉校级模拟)四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大 成》.图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井 底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H.图2中，四分仪为正方形ABCD.方井为矩形BEFG.若 测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.则井深BG为 第2页（共21页) D A D B E G 图1 图2 7.(2026·青羊区校级模拟)如图，在△ABC中，∠BAC=120°·D是边BC上一点，以AD为边，作△ DE AB ADB,使得△ADB∽△ABC.DE交AC于点R,当CD取最小值时，DF=ER,则AC AC F B D C 8.(2026·阳谷县校级模拟)如图，在矩形ABCD中，E,F分别为BC,CD边的中点，DE分别与AC,AF 交于点P,Q.若AB=3,AD=4,则PQ的长为 B 9.(2025秋·浦东新区期末)如图，梯形ABCD中，AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,如果△BCD 的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是 B 模型二 A字型相似 ◆模型归纳◆ 类型 图形特征 图形 第3页（共21页） B CB DE//BC A字型 两个三角形中有“一个公共角和一 正A字型 反A字型 组等角” A E B C 反A字型（共边共角） ◆专题训练◆ 0A1 10.(2026·雁塔区校级模拟)如图，△4BC和△DBF是以点O为位似中心的位似图形.若AD 2则△ ABC与△DEF的面积比是() O C B E D A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 11.(2026广州一模)如图，线段BC的两端点的坐标分别为B(3,8)、C(6,3),以点A(1,0)为位 似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DB,则端点E的坐标为() B D 2--B A B.(3, c会是 D. 4) 第4页（共21页） 12.(2025春·任城区期末)如图，△ABC中，点D在线段AC上，连接BD,要使△ABD与△ABC相似， 只需添加一个条件即可，这个条件不能是() A. B.∠ADB=∠ABCC.∠ABD=∠C D.AB2=ADAC BC 3(2026·大庆模拟)如图，在△4BC中，D8/BC,连接CD,若=下列结论中，错误的是() D E DE 1 A. C-3 △ADE的周长1 B. △ABC的周长 =3 △ADE的面积 C. △BCD的面积 3 △CDE的面积1 D. △BCD的面积一3 14.(2026深圳校级模拟)《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门.出 北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ACD, 点E,G分别为CD,AD的中点，EF⊥CD,GH⊥AD,点F,D,H在一条直线上，EF=30步，GH= 750步.正方形小城ABCD的边长是() D H 0 A A.150步 B.200步 C.250步 D.300步 15.（2026衡南县模拟)如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°，过CB的中点D作DE⊥AD, 交AB于点E,则EB的长为 第5页（共21页） A E 16.(2026春·垦利区期末)如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. 小星：若∠ACP=∠B,则可证△ACP∽△ABC 小红，品- ,则可证△ACP∽△ABC 小亮：若S-形则可证△4CP∽△4BC (1)请判断三人的说法的对错：小星一，小红，小亮；（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC: (3)若△ACP∽△ABC,且BP=1,AC=V6,求AP的长. 第6页（共21页） 17.(2026春·长宁区期末)如图，在△ABC中，AE、BD分别是边BC、AC上的中线，AE与BD相交于点 G (1)求S△AGD:SABD的值； (2)如果AE⊥BD,且AB=10,连接CG并延长，交边AB与点F,求CF的长. A D E 第7页（共21页） 模型三 射影定理 ◆模型归纳◆ 类型 图形特征 图形 C 射影定理 ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D D B AC=AD·AB BC2-BD-BA CD=AD·BD ◆专题训练◆ 18.(2024秋·寿阳县期中)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD LAB于D,若AD=3,BD=1,则BC的 值是() A.2W3 B.V3 C.2 D.4 19.(2025·杨浦区一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D,下列结论中，错 误的是() D B A.AD-AC AC-AB B.ADCD ACBC c20 D.A0、cD CD BD 20.(2025秋·西湖区校级期中)如图，在矩形ABCD中，BD=2V3.对角线AC与BD相交于点O,过点 D作AC的垂线，交AC于点E,AE=3CE.则DE的值为() 第8页（共21页） D 0 B A.4 B.23 C.9 4 D.4v3 21.(2025·松江区校级自主招生)如图，∠DCB=∠A,CD=4,BD=2,∠CDB=120°，则△ABC的面 积为 A D B 22.(2025秋·长春期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=3,点D是AB的中点，连结CD, AE⊥CD分别交CD、BC于点F、E.给出下面四个结论： ①AB=2CD: ②△ECF∽△ABC; ③△ACF和△EDF是以点F为位似中心的位似图形； 2 ④Sg边A形cBD=3 SAABC·- 上述结论中，所有正确结论的序号是 23.(2025·锦江区模拟)如图，在等边△ABC中，BC=9,点D是边BC上一点，且BD=6,过点D作 DE⊥AB于点E,连接AD,则AD= ；点F是AD的中点，连接CF,过点F作FG⊥CF交 DE于点G,则FG= G B D 24.（2026·双城区一模)已知在△ABC,∠ACB=90°，D是AC边中点，E在AB边上，且∠ABC=2∠ 第9页（共21页） AED,CFLDE于点F,CF=4,tam∠DCF=号，则cE= 25.(2025秋~晋中期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD上的一点，且BE=BD, 点M是边AB上的一个动点，连接ME,过点E作EN⊥ME交AD于点N,当AM=AN时，线段MN的 长为 D B C 26.(2025秋·平江县校级期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，ADLBC于D,下列四个结论 中： ①∠B+∠DAC=90°： ②∠B=∠DAC; ③CD:AD=AC:AB: ④AB2=BD·BC 其中正确的有 B D 模型四 一线三等角相似 ◆模型归纳◆ 类型 图形特征 图形 第10页（共21页） 点P在线段AB上（同侧型） C A P B 锐角一线三等角（结 论：△APC△BDP) C A P B 一线三垂直 线三等角型(K字 同一条直线上出现三个相等的角，则存在全 A P B 等或相似 型) 钝角一线三等角 注：有边相等证全等，无边相等证相似 点P在线段AB的延长线上（异侧型) D D B C 锐角一线三等角（结论：△APC∽△ BDP D A ◇ B C 一线三垂直 第11页（共21页) C 钝角一线三等角 ◆专题训练◆ 27.(2026春·泰山区期末)如图，在△ABC与△ADE中，∠B=∠D,添加下列一个条件不能使△ABC∽ △ADE的是() B A.∠BAD=∠CABB.BC-DE AB AD C.∠C=∠E D.ABAD AC=AE 28.(2025秋南湖区校级月考)如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC,垂足为E,点D、G分别是AB、 BC上一点，且BD=BG.过点D作DF⊥DG,交AC于点F,交AE于点H.若∠ABC+2∠BAC=180°， AD 2BD=2V6, DG V5 ,则△BDG的面积为 G H A D B 29.（2025秋·青岛校级期末)将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形ACEF中， 己知AB=13,则图中阴影部分的面积为 H B C D E 30.(2026海珠区校级二模)如图，在等边三角形ABC中，点E,D分别在BC,AB上，且∠AED=60°， 第12页（共21页) 求证：△AEC∽△EDB. D E 31.(2026春·朝阳区校级期中)【问题背景】△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，P为BC上的动点，小 明拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P,三角板可绕P点旋转。 【用数学的眼光观察】 (1)如图①，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，以下结论正确的是： BE PE ①△BPE≌△CP:②△BPB∽ACFP,③∠BBP=∠CPR;④CP=FP 【用数学的知识计算】 (2)当BE=FC=7,BP=6时，则PC的值为 【用数学的思维思考】 (3)将三角板绕点P旋转到图②情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F,△BPE 与△CFP相似吗？请说明理由. A ⊙ 图1 图2 第13页（共21页） 32(2026春·泰山区期末)如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，（不与B、C 重合)折痕为EF (1)求证：△BDE∽△CFD: (2)若BD=7,DC=2,求△BDE与△CFD的相似比. F E ⊙ D 33.(2026遂宁一模)如图，AB=9,AC=8,P为AB上一点，∠A=∠CPD=∠B,连接CD. (1)若AP=3,求BD的长： (2)若CP平分∠ACD,求证：PD=CDBD. O P B 第14页（共21页） 34.(2025秋·沛县期末)如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60° (1)求证：△ABD∽△DCE: (2)若BD=2,CE=子，求等边△4BC的边长. A E 60 B C 第15页（共21页） 模型五 手拉手相似 ◆模型归纳◆ 类型 图形特征 图形 B △ADE与△ABC共顶点， ∠DAE=∠BAC, 手拉手相似 △ADE与△ABC均为等腰 三角形 E ◆专题训练◆ 35.(2026春·朝阳区校级期末)综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1， 探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长 度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB= BC=4,分别取AB,AC的中点D,E,作△ADE. BD (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造△ADE∽△ABC,可知： CB (2)猜想探究：如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD,CE.旋转过程中，线段BD和 CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明 (3)结论应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，则CE=」 (4)延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,分别取AB,BC的中点D, E.作△BDE,将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD,CE.分别取AC,DE的中点M,N.当△BDE 绕点B旋转过程中，直接写出当△BMN面积最大时，△BDA的面积是 E D B B 图1 图2 图3 图4 第16页（共21页） 36.（2026·东河区二模)综合与探究： 如图I,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB>BC,D,E分别是边AC,BC的中点，连接DE,现将△ CDE绕着点C顺时针旋转. (1)如图2，当旋转角为2∠BAC时，设点D的初始位置为点F,连接BF,FD,试判断四边形BCDF 的形状，并说明理由： (2)如图3，当线段BE经过CD的中点时，连接BE和AD并交于点M试判断线段DM与BC之间 的数量关系，并说明理由； (3)若AB=8,BC=6,将△CDE旋转到如图如图4位置时，CE⊥BC,连接BD,过点A作AH LBD 交直线BD于点H,请求出AH的长. A y E H B B M D 图1 图2 图3 图4 第17页（共21页) 37.(2026·盐池县模拟)如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合)，连接 CD,以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE,∠DCE=90°，连接BE, CE CB =m. 【特例感知】 (1)如图1，当m=1时，BE与AD之间的位置关系是 ,数量关系是 【类比迁移】 (2)如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想. 【拓展应用】 (3)在(1)的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF,EF,BF,如图3.己知AC=6. ①当四边形CDFE的面积为18时.求AD的长： ②当BF=2时，则AD= E B C 图1 图2 图3 第18页（共21页） 38.(2025秋·双流区校级期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6, (1)点E在AC边上，DE⊥AB,垂足为D,如图1，己知CE=DE,求AD的长； (2)将(1)中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转，连结CD,交直线AB于点F,在CD上方作∠DCG= ∠BAC,∠DCG的边与AB交点为G. ①如图2，当点E在线段CD上时，求BF的长： ②如图3，连结BE,延长CG交BE于点M,在Rt△ADE旋转的过程中，求线段BM的最小值. B B B M G E D D ▣ F E C 图1 图2 图3 第19页（共21页） 39.(2025·东海县模拟)综合与实践： 【新知定义】如图1，若∠BAC=∠DAE, AB AD AC AE 则△ABC∽△ADE.小明称图1中的△ABC和△ ADE互为“手拉手等形三角形”. B D 图1 图2 图3 A E 图4 【新知探究】 (1)如图2，若∠BAC=90°，∠B=30°，BC=4,D为BC的中点.以AD为一边在AD右侧作△ADE, 且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE,则CE的长为 (2)在图1中，连接BD,CE,求证：△ABD∽△ACE; 【变式应用】 (3)如图3，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D为BC的中点，AD为一边在AD右侧作△ADE, ∠BAC=∠DAE,S△ABC=S△ADB,连接CE,求CE的长； 【综合应用】 (4)如图4，若∠BAC=90°，∠B=30°，AC=1,若D点在线段BC上运动(BD<BC,且点D不 与点B重合)，以AD为一边在AD右侧作△ADE,且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接 CE.以AD、AE为边构造矩形ADFE,连接CF.直接写出△CEF面积的最大值及此时BD的长度. 第20页（共21页） 40.(2025秋•市中区期中)【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题 展开探究。 【特例研究】在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O (1)如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 k的值为 (2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为Q,并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别为 点B,P),使得点E落在OD上，点P落在BC上，求 的值； 【延伸拓展】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O,M是AB的垂直平分线 与BD的交点，将△AMB绕点A逆时针旋转并放缩得到△AEF(点M,B的对应点分别为点E,F),使 得点E落在线段OD上，点F落在射线BC上.若AB=I2,E为OD的中点，求CF的长. D D E M B B B 图1 图2 图3 第21页（共21页） 相似三角形常考的五大模型 模型一 8字型相似 模型二 A字型相似 模型三 射影定理 模型四 一线三等角相似 模型五 手拉手相似 模型一 8字型相似 —————————————————◆模型归纳◆—————————————————— 类型 图形特征 图形 8字型 两个三角形中有“一组对顶角和一组等角” 正8字型 或 斜8字型 —————————————————◆专题训练◆—————————————————— 1．（2026春•垦利区期末）如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，连接DE，交对角线AC于点F，若，AF＝4，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•栖霞市期末）如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像A'B'的长是物AB长的（　　） A． B．3倍 C． D．2倍 3．（2025秋•北海期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025秋•兴隆台区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F，交BC延长线于点G，若DE：CE＝3：1，则AF：FG＝（　　） A．3：4 B．3：5 C．9：16 D．9：25 5.（2026•朝阳区三模）如图，为估算某鱼塘的宽AB的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且CDAC，CEBC．若测得ED的长为10m，则AB的长为 　　 m． 6.（2026•平凉校级模拟）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2．则井深BG为 　　 ． 7.（2026•青羊区校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°．D是边BC上一点，以AD为边，作△ADE，使得△ADE∽△ABC．DE交AC于点F，当取最小值时，DF＝EF，则　　 ． 8.（2026•阳谷县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD边的中点，DE分别与AC，AF交于点P，Q．若AB＝3，AD＝4，则PQ的长为　　 ． 9.（2025秋•浦东新区期末）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是 　　 ． 模型二 A字型相似 —————————————————◆模型归纳◆—————————————————— 类型 图形特征 图形 A字型 两个三角形中有“一个公共角和一组等角” 正A字型 反A字型 反A字型（共边共角） —————————————————◆专题训练◆—————————————————— 10.（2026•雁塔区校级模拟）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 11.（2026•广州一模）如图，线段BC的两端点的坐标分别为B（3，8）、C（6，3），以点A（1，0）为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点E的坐标为（　　） A．（，） B．（3，） C．（，） D．（，4） 12．（2025春•任城区期末）如图，△ABC中，点D在线段AC上，连接BD，要使△ABD与△ABC相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是（　　） A． B．∠ADB＝∠ABC C．∠ABD＝∠C D．AB2＝AD•AC 13.（2026•大庆模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，若，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 14.（2026•深圳校级模拟）《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　） A．150步 B．200步 C．250步 D．300步 15.（2026•衡南县模拟）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为　　 ． 16.（2026春•垦利区期末）如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． 小星：若∠ACP＝∠B，则可证△ACP∽△ABC 小红：若，则可证△ACP∽△ABC 小亮：若，则可证△ACP∽△ABC． （1）请判断三人的说法的对错：小星　　 ，小红　 　，小亮　 　；（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC； （3）若△ACP∽△ABC，且，求AP的长． 17.（2026春•长宁区期末）如图，在△ABC中，AE、BD分别是边BC、AC上的中线，AE与BD相交于点G． （1）求S△AGD：S△ABD的值； （2）如果AE⊥BD，且AB＝10，连接CG并延长，交边AB与点F，求CF的长． 模型三 射影定理 —————————————————◆模型归纳◆—————————————————— 类型 图形特征 图形 射影定理 ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D AC2=AD·AB BC2=BD·BA CD2=AD·BD —————————————————◆专题训练◆—————————————————— 18．（2024秋•寿阳县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（　　） A．2 B． C．2 D．4 19.（2025•杨浦区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 20．（2025秋•西湖区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（　　） A．4 B．2 C． D．4 21．（2025•松江区校级自主招生）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为 　　 ． 22．（2025秋•长春期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，点D是AB的中点，连结CD，AE⊥CD分别交CD、BC于点F、E．给出下面四个结论： ①AB＝2CD； ②△ECF∽△ABC； ③△ACF和△EDF是以点F为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　　 ． 23．（2025•锦江区模拟）如图，在等边△ABC中，BC＝9，点D是边BC上一点，且BD＝6，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，则AD＝　　 ；点F是AD的中点，连接CF，过点F作FG⊥CF交DE于点G，则FG＝　　 ． 24．（2026•双城区一模）已知在△ABC，∠ACB＝90°，D是AC边中点，E在AB边上，且∠ABC＝2∠AED，CF⊥DE于点F，CF＝4，tan∠DCF，则CE＝　　 ． 25．（2025秋•晋中期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD上的一点，且，点M是边AB上的一个动点，连接ME，过点E作EN⊥ME交AD于点N，当AM＝AN时，线段MN的长为　　 ． 26．（2025秋•平江县校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，下列四个结论中： ①∠B+∠DAC＝90°； ②∠B＝∠DAC； ③CD：AD＝AC：AB； ④AB2＝BD•BC． 其中正确的有　 　． 模型四 一线三等角相似 —————————————————◆模型归纳◆—————————————————— 类型 图形特征 图形 一线三等角型（ 字型） 同一条直线上出现三个相等的角，则存在全等或相似. 注：有边相等证全等，无边相等证相似 点 在线段 上（同侧型） 锐角一线三等角（结论： ） 一线三垂直 钝角一线三等角 点 在线段 的延长线上（异侧型） 锐角一线三等角 （结论： ） 一线三垂直 钝角一线三等角 —————————————————◆专题训练◆—————————————————— 27.（2026春•泰山区期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一个条件不能使△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE B． C．∠C＝∠E D． 28．（2025秋•南湖区校级月考）如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，点D、G分别是AB、BC上一点，且BD＝BG．过点D作DF⊥DG，交AC于点F，交AE于点H．若∠ABC+2∠BAC＝180°，，，则△BDG的面积为　　 ． 29.（2025秋•青岛校级期末）将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形ACEF中，已知AB＝13，则图中阴影部分的面积为　　 ． 30．（2026•海珠区校级二模）如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB． 31.（2026春•朝阳区校级期中）【问题背景】△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小明拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转． 【用数学的眼光观察】 （1）如图①，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，以下结论正确的是：　　 ； ①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP＝∠CPF；④． 【用数学的知识计算】 （2）当BE＝FC＝7，BP＝6时，则PC的值为　　 ； 【用数学的思维思考】 （3）将三角板绕点P旋转到图②情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F，△BPE与△CFP相似吗？请说明理由． 32（2026春•泰山区期末）如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，（不与B、C重合）折痕为EF． （1）求证：△BDE∽△CFD； （2）若BD＝7，DC＝2，求△BDE与△CFD的相似比． 33．（2026•遂宁一模）如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 34．（2025秋•沛县期末）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝2，CE，求等边△ABC的边长． 模型五 手拉手相似 —————————————————◆模型归纳◆—————————————————— 类型 图形特征 图形 手拉手相似 △ADE与△ABC共顶点，∠DAE=∠BAC， △ADE与△ABC均为等腰三角形 —————————————————◆专题训练◆—————————————————— 35．（2026春•朝阳区校级期末）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE． （1）初步发现：如图1，由三角形中位线构造△ADE∽△ABC，可知：　　 ； （2）猜想探究：如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （3）结论应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，则CE＝　　 ． （4）延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，分别取AB，BC的中点D，E．作△BDE，将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD，CE．分别取AC，DE的中点M，N．当△BDE绕点B旋转过程中，直接写出当△BMN面积最大时，△BDA的面积是　　 ． 36．（2026•东河区二模）综合与探究： 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE，现将△CDE绕着点C顺时针旋转． （1）如图2，当旋转角为2∠BAC时，设点D的初始位置为点F，连接BF，FD，试判断四边形BCDF的形状，并说明理由； （2）如图3，当线段BE经过CD的中点时，连接BE和AD并交于点M，试判断线段DM与BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝8，BC＝6，将△CDE旋转到如图如图4位置时，CE⊥BC，连接BD，过点A作AH⊥BD交直线BD于点H，请求出AH的长． 37．（2026•盐池县模拟）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，． 【特例感知】 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6． ①当四边形CDFE的面积为18时．求AD的长； ②当BF＝2时，则AD＝　　 ． 38．（2025秋•双流区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6． （1）点E在AC边上，DE⊥AB，垂足为D，如图1，已知CE＝DE，求AD的长； （2）将（1）中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转，连结CD，交直线AB于点F，在CD上方作∠DCG＝∠BAC，∠DCG的边与AB交点为G． ①如图2，当点E在线段CD上时，求BF的长； ②如图3，连结BE，延长CG交BE于点M，在Rt△ADE旋转的过程中，求线段BM的最小值． 39.（2025•东海县模拟）综合与实践： 【新知定义】如图1，若∠BAC＝∠DAE，，则△ABC∽△ADE．小明称图1中的△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝4，D为BC的中点．以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE，则CE的长为　　 ； （2）在图1中，连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE； 【变式应用】 （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，AD为一边在AD右侧作△ADE，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，连接CE，求CE的长； 【综合应用】 （4）如图4，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝1，若D点在线段BC上运动BC，且点D不与点B重合），以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE．以AD、AE为边构造矩形ADFE，连接CF．直接写出△CEF面积的最大值及此时BD的长度． 40.（2025秋•市中区期中）【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　　 ，k的值为　　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 【延伸拓展】 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，M是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AMB绕点A逆时针旋转并放缩得到△AEF（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段OD上，点F落在射线BC上．若AB＝12，E为OD的中点，求CF的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $