3.2 双曲线（六大题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二上学期 第三章 圆锥曲线的方程 专项训练 3.2 双曲线（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （建议用时：100分钟　测试范围：第三章 圆锥曲线的方程 3.2） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点编排，每个考点内由易到难，动笔前先看一眼考点归纳。 2．双曲线方程写成标准方程，轨迹只是一支时要注明x的范围；根式化为最简。 3．解答题写出定义、联立、判别式、根与系数的关系等关键步骤，只写结果不得分。 内容速览　六考点36题（选17·填12·解7）｜解析版 19 页：速查表、答案、详解｜配图 7 幅 　考点归纳 1．差的绝对值与轨迹是一支还是两支、由实轴与焦距写方程、两圆相切型轨迹、待定系数法求方程 2．焦点与顶点的坐标、实轴虚轴与焦距、方程表示双曲线的参数条件、焦点到渐近线的距离 3．由方程写渐近线、由渐近线求离心率、由离心率定渐近线、离心率的取值范围与几何条件 4．周长、过焦点的弦、含直角或已知顶角的面积、由焦半径之比定点的位置 5．联立后判断公共点个数、与渐近线平行的直线、含参数的交点条件、弦长与中点弦 6．共渐近线的双曲线、与椭圆共焦点、利用定义求最值、斜率之积、垂直与面积 　考点01　差的绝对值：定义、轨迹与方程 1．一条双曲线的中心在原点，焦点落在x轴上，焦距是34，实轴长是16，它的标准方程是(____)。 A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 2．点P在双曲线－＝1的左支上，F1，F2分别是它的左、右焦点，已知P到F2的距离为20，那么P到F1的距离为________。 3．在平面直角坐标系中，A(－6，0)，B(6，0)，动点M满足|MB|－|MA|＝8，则点M的轨迹方程应为(____)。 A．－＝1（x≤－4） B．－＝1（x≤－4） C．－＝1（x≥4） D．－＝1 4．F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P在这条双曲线上，若|PF1|＝10，则|PF2|的值为________。 5．如图，圆C1：＋＋12x＋35＝0与圆C2：＋－12x＋11＝0相离，动圆M与这两个圆都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(____)。 A．－＝1（x≥2） B．－＝1 C．－＝1（x≤－2） D．－＝1（x≤－2） 6．已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(6，4)，B(2，2)两点。 (1)求C的标准方程； (2)写出C的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (3)F2为C的右焦点，点Q在C的右支上运动，求|QF2|的最小值。 　考点02　读方程：实轴、虚轴、焦点与参数 7．双曲线3－5＝15的焦点坐标是(____)。 A．(0，－)，(0，) B．(0，－2)，(0，2) C．(0，－8)，(0，8) D．(－2，0)，(2，0) 8．已知双曲线－＝1，它的两个焦点之间的距离为________。 9．实轴长为6、虚轴长为14，对称轴为坐标轴的双曲线，其方程应为(____)。 A．－＝1 B．－＝1或－＝1 C．－＝1 D．－＝1或－＝1 10．要使方程＋＝1表示双曲线，实数m的取值范围是________。 11．如图，F是双曲线－＝1的上焦点，过F作这条双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，则|FH|为(____)。 A．6－ B． C． D．5 12．已知方程＋＝1表示双曲线。 (1)求实数k的取值范围； (2)证明：k在(1)的范围内变化时，这些双曲线的焦点不变，并求出焦点坐标； (3)若这条双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，求k的值、双曲线的方程及离心率。 　考点03　渐近线与离心率 13．关于双曲线－＝1的渐近线，下列写法正确的是(____)。 A．y＝±()x B．y＝±()x C．y＝±()x D．y＝()x 14．已知直线y＝2x是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，那么这条双曲线的离心率e＝________。 15．焦点在y轴上的双曲线，离心率为，它的渐近线方程应为(____)。 A．y＝±()x B．y＝±()x C．y＝±()x D．y＝±()x 16．双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率k满足1≤k≤，则离心率e的取值范围是________。 17．如图，F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，若∠AF1B＝90°，则双曲线的离心率为(____)。 A． B．2＋2 C．－1 D．1＋ 18．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e。 (1)若C的右支上存在点P，使|PF1|＝3|PF2|，求e的取值范围； (2)若C的实轴长为8，且e取(1)中的最大值，求C的方程和渐近线方程； (3)在(2)的条件下，点Q在C上且QF1⊥QF2，求点Q到x轴的距离。 　考点04　焦点三角形 19．设F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，右支上一点P到F1的距离为20，则△PF1F2的周长是(____)。 A．42 B．34 C．70 D．49 20．过双曲线－＝1的左焦点F1作直线，与左支交于A，B两点，已知|AB|＝10，F2为右焦点，则△ABF2的周长为________。 21．如图，点P在双曲线－＝1上，F1，F2是两个焦点，∠F1PF2为直角，那么△F1PF2的面积应为(____)。 A． B．6 C．12 D．4 22．双曲线－＝1的左、右焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|是|PF2|的3倍，则点P的横坐标是________。 23．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，那么△F1PF2的面积为(____)。 A．9 B．3 C．3 D．6 24．已知F1，F2是双曲线C：－＝1的左、右焦点。 (1)若点P在C上且PF1⊥PF2，求|PF1|·|PF2|及△PF1F2的面积； (2)若点P在C的右支上，且|PF1|＝|F1F2|，求|PF2|及cos∠F1PF2； (3)在(2)的条件下，求点P的坐标和△PF1F2的面积。 　考点05　直线与双曲线的位置关系 25．判断直线x－y－2＝0与双曲线－＝1的位置关系，结论是(____)。 A．相切，切点为(4，2) B．相交，有两个公共点 C．相切，切点为(－4，－6) D．相离，没有公共点 26．直线x－2y＋6＝0与双曲线－＝1的公共点的坐标为________。 27．直线y＝kx＋2与双曲线－＝1有两个不同的公共点，k的取值范围应为(____)。 A．－≤k≤且k≠± B．k<－或k> C．－<k< D．－<k<且k≠± 28．如图，过双曲线－＝1的右焦点F2作斜率为2的直线，交双曲线于A，B两点，则|AB|＝________。 29．已知双曲线－＝1的弦AB恰被点M(3，1)平分，则直线AB的方程为(____)。 A．x－3y＝0 B．x－y－2＝0 C．3x＋y－10＝0 D．9x－y－26＝0 30．已知双曲线C：－＝1与直线l：y＝kx＋2。 (1)l与C恰有一个交点时，k可以取哪些值？ (2)若l与C的右支交于两个不同的点，求k的取值范围； (3)当k＝－时，l与C交于A，B两点，求|AB|。 　考点06　综合提升 31．与双曲线－＝1有相同的渐近线，并且经过点(4，3)的双曲线的方程是(____)。 A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 32．与椭圆＋＝1有相同的焦点，且经过点(3，1)的双曲线的标准方程为________。 33．动点M与点A(－10，0)，B(10，0)连线的斜率之积恒为，则M的轨迹方程应为(____)。 A．－＝1（x≠±10） B．＋＝1（x≠±10） C．－＝1 D．－＝1 34．已知F1是双曲线－＝1的左焦点，点A(0，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF1|＋|PA|的最小值为________。 35．如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且经过点(4，)，直线l：y＝x＋m与C交于A，B两点，O为坐标原点。 (1)求C的方程； (2)若OA⊥OB，求m的值； (3)取(2)中m的正值，算出三角形OAB的面积。 36．如图，已知椭圆E：＋＝1，双曲线C与E有相同的焦点F1，F2（F1在左侧），且C的离心率为。 (1)求C的方程； (2)设P是E与C在第一象限的交点，求|PF1|，|PF2|及cos∠F1PF2； (3)求△F1PF2的面积，并求点P的坐标。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 7 8 9 答案 C 8 A 18 D B 10 B 题号 10 11 13 14 15 16 17 答案 m<3或m>5 D A 3 C [，2] D 题号 19 20 21 22 23 25 26 27 答案 A 20＋8 B 8 C A (－4，1) D 题号 28 29 31 32 33 答案 B C －＝1 A 题号 34 答案 6＋ 　考点01　差的绝对值：定义、轨迹与方程 1．【答案】C 【解析】由2c＝34，2a＝16得c＝17，a＝8，双曲线中＝－＝289－64＝225。 焦点在x轴上，项取正号且分母为，所以标准方程为 －＝1。 所以选C。 A项是没有把焦距、实轴长折半，取c＝34，a＝16，得＝900，按此错法真算得－＝1；B项是把焦点放到了y轴上，让项取正号，按此错法真算得－＝1；D项是把关系式＝＋记混，写成＝＋＝353，按此错法真算得－＝1。 2．【答案】8 【解析】由方程得＝36，a＝6。点P在左支上，离左焦点F1较近，所以 |PF2|－|PF1|＝2a＝12。 于是 |PF1|＝20－12＝8（左支上的点到F1的距离不小于c－a＝2，8符合）。 所以答案为8。 3．【答案】A 【解析】|MB|－|MA|＝8，且0<8<|AB|＝12，所以点M在以A，B为焦点的双曲线上。 题目给的是差而不是差的绝对值，|MB|>|MA| 说明M离A更近，轨迹只是靠近A的左支。 2a＝8，a＝4，c＝6，＝36－16＝20，所以轨迹方程为 －＝1（x≤－4）。 故选A。 B项：把算成＋＝52，按此错法真算得－＝1（x≤－4）；C项：把 |MB|>|MA| 理解成M离B更近，取了右支，按此错法真算得－＝1（x≥4）；D项：把“差”当成“差的绝对值”，没有限制在一支上，按此错法真算得－＝1。 4．【答案】18 【解析】焦点在y轴上，＝16，＝33，a＝4，c＝＝7。 由定义 ||PF1|－|PF2||＝2a＝8，得 |PF2|＝18或 |PF2|＝2。 双曲线上的点到焦点的距离最小是c－a＝3（在顶点处取到），2<3，舍去，所以 |PF2|＝18。 故填18。 5．【答案】D 【解析】配方得C1的圆心为 (－6，0)，半径为1；C2的圆心为 (6，0)，半径为5。设动圆的半径为r。 由两次外切，|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋5，相减得 |MC2|－|MC1|＝4<|C1C2|＝12。 所以M在以C1，C2为焦点的双曲线上，且离C1更近，只取左支。2a＝4，a＝2，c＝6，＝36－4＝32。 左支上的点到C1的距离都不小于c－a＝4>1，r总为正，所以轨迹是整个左支：－＝1（x≤－2）。 综上，应选D。 A项是把离C1更近的一支看成了右支，按此错法真算得－＝1（x≥2）；B项是由 |MC2|－|MC1| 为定值直接写出整条双曲线，没有限制在一支上，按此错法真算得－＝1；C项是把算成了＋＝40，按此错法真算得－＝1（x≤－2）。 6．【答案】（1）－＝1；（2）焦点(±2，0)，离心率，渐近线y＝±()x；（3）2－2 【解析】【解答】(1)焦点在哪条轴上未知，设C的方程为m＋n＝1（mn<0），这样两种情形都包含在内。 代入两点得36m＋16n＝1，24m＋8n＝1。第二式乘2与第一式相减得－12m＝－1，m＝，再得n＝－。 m>0>n，焦点在x轴上，C的标准方程为 －＝1。 (2)＝12，＝8，＝12＋8＝20，c＝2，焦点为 (－2，0)，(2，0)。 离心率e＝＝＝，渐近线y＝±()x，即y＝±()x。 (3)设Q(x，y)，x≥2，＝8(－1)。|QF2|²＝＋＝()－4x＋12＝()， x≥2时 x≥2>6，所以 |QF2|＝。 它随x增大而增大，x＝2（右顶点）时最小，|QF2| 的最小值为2－2。 　考点02　读方程：实轴、虚轴、焦点与参数 7．【答案】B 【解析】两边同除以15，得标准方程 －＝1，项为正，焦点在y轴上。 ＝5，＝3，＝＋＝8，c＝2，所以焦点为 (0，－2)，(0，2)。 所以选B。 A项：用了椭圆的关系＝－＝2，按此错法真算得(0，－)，(0，)；C项：求出＝8后没有开方，取c＝8，按此错法真算得(0，－8)，(0，8)；D项：没看清正号项，把焦点放在了x轴上，按此错法真算得(－2，0)，(2，0)。 8．【答案】10 【解析】项为正，焦点在y轴上，＝18，＝32。 ＝＋＝50，c＝5，焦距2c＝10。 因此应填10。 9．【答案】B 【解析】由2a＝6，2b＝14得a＝3，b＝7。题目没有说明焦点在哪条坐标轴上，要分两种情形。 焦点在x轴上时方程为 －＝1；焦点在y轴上时方程为 －＝1。两者都符合条件。 故选B。 A项是默认焦点在y轴上，漏了另一种情形，按此错法真算得－＝1；C项是默认焦点在x轴上，漏了另一种情形，按此错法真算得－＝1；D项是两种情形都考虑了，但把实半轴长与虚半轴长对调，按此错法真算得－＝1或－＝1。 10．【答案】m<3或m>5 【解析】方程表示双曲线，当且仅当两个分母一正一负，即 (5－m)(m－3)<0。 也就是 (m－5)(m－3)>0，解得m<3或m>5。其中m<3时焦点在x轴上，m>5时焦点在y轴上。 所以答案为m<3或m>5。 11．【答案】D 【解析】＝11，＝25，c＝＝6，F(0，6)。 焦点在y轴上，渐近线为y＝±()x，取y＝()x，即 x－5y＝0。 |FH| 就是F到这条直线的距离：|×0－5×6|/＝＝5，恰好等于虚半轴长b。 综上，应选D。 A项：把所求当成焦点到最近顶点的距离c－a，按此错法真算得6－；B项：点到直线距离公式的分母漏了开方，按此错法真算得；C项：把y轴上焦点的渐近线也写成y＝±()x，按此求距离，按此错法真算得。 12．【答案】（1）2<k<6；（2）证明见解析，焦点(±2，0)；（3）k＝5，－＝1，离心率 【解析】【解答】(1)方程表示双曲线 ⇔ (k－2)(k－6)<0，解得2<k<6。 (2)当2<k<6时，k－2>0，k－6<0，方程可写成 －＝1，焦点在x轴上。 ＝k－2，＝6－k，＝＋＝(k－2)＋(6－k)＝4，与k无关，所以焦点恒为 (－2，0)，(2，0)。 (3)倾斜角为30°的渐近线斜率为tan30°＝，所以＝，＝，即 ＝。 解得k＝5，在 (1) 的范围内。此时＝3，＝1，方程为 －＝1，离心率e＝＝2/＝。 　考点03　渐近线与离心率 13．【答案】A 【解析】焦点在x轴上，＝18，＝8，a＝3，b＝2。 渐近线为y＝±()x，＝＝，所以渐近线方程为y＝±()x。 所以选A。 B项是把斜率写成，按此错法真算得y＝±()x；C项是直接用 当斜率，没有开方，按此错法真算得y＝±()x；D项是只写了一条，漏掉斜率为负的那条，按此错法真算得y＝()x。 14．【答案】3 【解析】渐近线y＝()x与y＝2x重合，所以＝2，＝8。 ＝＝＝1＋＝9，又e>1，所以e＝3。 故填3。 15．【答案】C 【解析】由＝1＋ 得 ＝－1＝，＝。 焦点在y轴上，方程形如 －＝1，渐近线为y＝±()x＝±()x。 故选C。 A项：求出 ＝后没有开方，斜率取 ，按此错法真算得y＝±()x；B项：把＝1＋ 误记成e＝1＋，得＝，按此错法真算得y＝±()x；D项：套用焦点在x轴上的渐近线y＝±()x，按此错法真算得y＝±()x。 16．【答案】[，2] 【解析】斜率为正的渐近线是y＝()x，所以1≤≤，1≤≤3。 ＝1＋，于是2≤≤4，又e>1，得 ≤e≤2，即e∈[，2]。 因此应填[，2]。 17．【答案】D 【解析】把x＝c代入方程，得 ＝－1＝，所以 |AF2|＝。 由对称性 |AF1|＝|BF1|，又∠AF1B＝90°，所以∠AF1F2＝45°，|AF2|＝|F1F2|＝2c。 于是 ＝2c，即－＝2ac，两边同除以得－2e－1＝0，e＝1±，又e>1，所以e＝1＋。 综上，应选D。 A项是误以为∠AOF2＝45°，用 |AF2|＝c列式，得－e－1＝0，取正根，按此错法真算得；B项是解－2e－1＝0时求根公式漏了除以2，得e＝2＋，按此错法真算得2＋2；C项是把写成椭圆里的－，得＋2e－1＝0，取正根，按此错法真算得－1。 18．【答案】（1）1<e≤2；（2）－＝1，y＝±x；（3）6 【解析】【解答】(1)P在右支上，|PF1|－|PF2|＝2a，结合 |PF1|＝3|PF2| 得 |PF2|＝a，|PF1|＝3a。 设P(x，y)（x≥a），则 |PF2|²＝＋(－1)，把＝－代入化简得 （e＝），所以 |PF2|＝ex－a≥ea－a＝c－a。 于是a≥c－a，即c≤2a，e≤2；又e>1，所以e的取值范围是1<e≤2（e＝2时P就是右顶点）。 (2)a＝4，e＝2，c＝8，＝－＝48，C的方程为 －＝1，渐近线为y＝±x。 (3)QF1⊥QF2⇔ Q在以F1F2为直径的圆＋＝64上。由C的方程得＝16＋， 代入圆的方程得16＋＋＝64，即 ()＝48，＝36，|y|＝6，所以点Q到x轴的距离为6。 　考点04　焦点三角形 19．【答案】A 【解析】a＝7，c＝＝8，|F1F2|＝16。 P在右支上，|PF1|－|PF2|＝2a＝14，所以 |PF2|＝6，周长为20＋6＋16＝42。 所以选A。 B项：把 |F1F2| 当成了c，按此错法真算得34；C项：把右支当成左支，用 |PF2|－|PF1|＝2a得 |PF2|＝34，按此错法真算得70；D项：把定义中的2a写成a，得 |PF2|＝13，按此错法真算得49。 20．【答案】20＋8 【解析】＝12，a＝2。A，B都在左支上，由定义 |AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a。 两式相加，|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|+|BF1|)＋4a＝|AB|＋4a（F1在线段AB上）。 周长＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝2|AB|＋4a＝20＋8。 所以答案为20＋8。 21．【答案】B 【解析】＝10，＝10＋6＝16。设 |PF1|＝m，|PF2|＝n，由定义 |m－n|＝2a，＝4＝40。 ∠F1PF2＝90°，由勾股定理＋＝＝64。 所以2mn＝(+)－＝64－40＝24，mn＝12，面积为 ()mn＝6。 故选B。 A项是定义写成 |m－n|＝a，用 ＝10计算，按此错法真算得；C项是求出mn后忘了乘，按此错法真算得12；D项是把P当成虚轴端点，用 ×2c×b计算，按此错法真算得4。 22．【答案】8 【解析】|PF1|>|PF2|，P离F2更近，在右支上，|PF1|－|PF2|＝2a＝12，又 |PF1|＝3|PF2|，得 |PF2|＝6。 F2(9，0)。设P(x，y)，＋＝36，又＝－45，代入整理得9－72x＝0。 解得x＝0或x＝8，而双曲线上的点满足 |x|≥6，所以点P的横坐标为8。 故填8。 23．【答案】C 【解析】＝7，＝16。设 |PF1|＝m，|PF2|＝n，则 |m－n|＝2a，＝28。 由余弦定理 |F1F2|²＝＋－2mncos120°＝＋＋mn＝＋3mn，即64＝28＋3mn，所以mn＝12。 面积S＝()mnsin120°＝×12×＝3。 综上，应选C。 A项：余弦定理里把cos120°当成，得mn＝36，按此错法真算得9；B项：面积公式里把sin120°错用成，按此错法真算得3；D项：面积公式漏了，按此错法真算得6。 24．【答案】（1）50，25；（2）|PF2|＝2，cos∠F1PF2＝；（3）(，±)，15 【解析】【解答】(1)a＝12，b＝5，c＝13。设 |PF1|＝m，|PF2|＝n，|m－n|＝24，＋＝＝676。 2mn＝(+)－＝676－576＝100，所以 |PF1|·|PF2|＝50，面积为 ×50＝25。 (2)|PF1|＝|F1F2|＝26。P在右支上，|PF1|－|PF2|＝24，所以 |PF2|＝2（不小于c－a＝1，存在这样的点）。 在 △PF1F2中由余弦定理，cos∠F1PF2＝＝。 (3)设P(x，y)（x≥12），由 ＋＝4与＝()－25得169－3744x＋20160＝0， 解得x＝或x＝，右支上x≥12，所以x＝，＝，y＝±，P(，) 或 (，－)。 △PF1F2的面积S＝×|F1F2|×|y|＝×26×＝15（也可用 |PF1|·|PF2|sin∠F1PF2验证）。 　考点05　直线与双曲线的位置关系 25．【答案】A 【解析】直线斜率为1，渐近线斜率为 ±，二者不相等，代入后得到的是二次方程。 由y＝x－2代入并整理，得－8x＋16＝0，Δ＝－4×1×16＝0，方程有两个相等的实根x＝4，直线与双曲线相切，切点为 (4，2)。 所以选A。 B项是把判别式算成＋4ac＝128>0，按此错法真算得相交，有两个公共点；C项是求根时把x＝－ 的符号弄反，得x＝－4，按此错法真算得相切，切点为(－4，－6)；D项是把 展开成＋4，得到的方程没有实数根，按此错法真算得相离，没有公共点。 26．【答案】(－4，1) 【解析】直线可化为y＝()x＋3，双曲线的渐近线为y＝±()x，所给直线与渐近线y＝()x平行。 代入并两边乘12：－4(+3x+9)＝12，二次项恰好消去，得－12x－36＝12，x＝－4。 所以只有一个公共点 (－4，1)。注意这时直线穿过双曲线的一支，并不是相切。 因此应填(－4，1)。 27．【答案】D 【解析】把y＝kx＋2代入3－＝3，得3－＝3，整理得 (3－)－4kx－7＝0。 要有两个不同的公共点，方程必须是二次方程且 Δ>0：3－≠0，即k≠±（k＝±时直线与渐近线平行，只有一个公共点）； Δ＝84－12>0，得－<k<。所以－<k<且k≠±。 故选D。 A项：把“两个不同的公共点”写成 Δ≥0，按此错法真算得－≤k≤且k≠±；B项：解84－12>0时不等号方向弄反，按此错法真算得k<－或k>；C项：只考虑 Δ>0，漏了二次项系数不为0的条件，按此错法真算得－<k<。 28．【答案】 【解析】c＝＝3，F2(3，0)，直线方程为y＝2(x－3)。它的斜率2大于渐近线斜率 ，两个交点在同一支上。 代入并整理得2－15x＋25＝0，Δ＝－4×2×25＝25，解得x1＝，x2＝5。 所以A(，－1)，B(5，4)，|AB|＝＝。 所以答案为。 29．【答案】B 【解析】若AB垂直于x轴，即x＝3，由对称性弦的中点在x轴上，不合题意。 设AB：y－1＝k(x－3)，即y＝kx＋1－3k，代入－3＝3并整理，得 (1－3)＋(18－6k)x＋(－27+18k－6)＝0。 由根与系数的关系x1＋x2＝＝6，解得k＝1。 还要检验：k＝1时方程为－2＋12x－15＝0，Δ＝24>0，确有两个交点，所以直线AB的方程为x－y－2＝0。 综上，应选B。 A项是把弦AB的斜率当成了OM的斜率，按此错法真算得x－3y＝0；C项是把圆中“弦的中点与圆心的连线垂直于弦”搬到双曲线上，斜率取－3，按此错法真算得3x＋y－10＝0；D项是把方程中，的分母对调后再联立，解得k＝9，按此错法真算得9x－y－26＝0。 30．【答案】（1）k＝±2或k＝±；（2）－<k<－2；（3）8 【解析】【解答】(1)代入并整理（两边乘8）：(4－)－4kx－12＝0。 ①当4－＝0，即k＝±2时，方程为一次方程 ∓8x－12＝0，恰有一个解，此时l与渐近线y＝±2x平行，与C只有一个公共点（相交，不是相切）； ②当4－≠0时，须 Δ＝＋48(4－)＝192－32＝0，得k＝±，此时l与C相切。所以k＝±2或k＝±。 (2)设交点横坐标为x1，x2，都在右支上须满足：4－≠0，Δ>0，x1＋x2＝>0，x1x2＝>0。 由x1x2>0得4－<0，即>4；再由x1＋x2>0得k<0；由 Δ>0得<6。综上－<k<－2。 (3)k＝－在 (2) 的范围内，方程为－4x＋12＝0，x1＋x2＝4，x1x2＝12，|x1－x2|＝＝4。 所以 |AB|＝·|x1－x2|＝×4＝8。 　考点06　综合提升 31．【答案】C 【解析】渐近线相同的双曲线可设为 －＝λ（λ≠0）。 代入点 (4，3)：λ＝－＝－。 所以 －＝－，两边除以－得－＝1，它的焦点在y轴上。 所以选C。 A项：代入时把减号算成加号，得 λ＝，按此错法真算得－＝1；B项：算出 λ<0后不管符号，直接写成焦点在x轴上的形式，按此错法真算得－＝1；D项：化成标准方程时把分母写成6/λ，3/λ（应为6λ，3λ），按此错法真算得－＝1。 32．【答案】－＝1 【解析】椭圆中＝14－4＝10，焦点为 (±，0)。设双曲线为 －＝1（0<m<10）。 代入点 (3，1)：－＝1，去分母整理得－29m＋180＝0，解得m＝9或m＝20。 m＝20不满足0<m<10，舍去，所以m＝9，所求方程为 －＝1。 故填－＝1。 33．【答案】A 【解析】设M(x，y)，则kAM＝，kBM＝（x≠±10）。 由·＝得25＝9(－100)，即9－25＝900，整理得 －＝1。 A，B两点处斜率不存在，要去掉，所以轨迹方程为 －＝1（x≠±10）。 故选A。 B项是整理25＝9(－100) 时写成了25＝9(100－)，按此错法真算得＋＝1（x≠±10）；C项是没有去掉斜率不存在的两个点A，B，按此错法真算得－＝1；D项是移项时把－900写成＋900，得25＝9＋900，按此错法真算得－＝1。 34．【答案】6＋ 【解析】a＝3，c＝＝7，右焦点F2(7，0)。P在右支上，|PF1|＝|PF2|＋2a＝|PF2|＋6。 所以 |PF1|＋|PA|＝|PF2|＋|PA|＋6≥|AF2|＋6，当P在线段AF2上时取等号。 点A在右支的外侧，F2在右支的内侧，线段AF2与右支有交点，等号能取到。|AF2|＝＝，最小值为6＋。 因此应填6＋。 35．【答案】（1）－＝1；（2）m＝±3；（3）9 【解析】【解答】(1)由e＝＝2得＝4，＝－＝3。代入点 (4，)：－＝1，即＝1，＝6，＝18。 所以C的方程为 －＝1。 (2)把y＝x＋m代入3－＝18，整理得2－2mx－－18＝0。l的斜率1与渐近线斜率 ±不同，这是二次方程，且 Δ＝12＋144>0恒成立。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝m，x1x2＝，y1y2＝(x1+m)(x2+m)＝x1x2＋m(x1+x2)＋＝。 OA⊥OB ⇔ x1x2＋y1y2＝0，即－18＝0，解得m＝±3。 (3)取m＝3，|x1－x2|＝＝＝＝3，|AB|＝×3＝6。 原点到l的距离d＝|m|/＝3，所以 △OAB的面积S＝×6×3＝9。 36．【答案】（1）－＝1；（2）|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，cos∠F1PF2＝－；（3）3，P(，) 【解析】【解答】(1)椭圆中＝40－15＝25，c＝5，F1(－5，0)，F2(5，0)。 双曲线C的焦点相同，由e＝＝得a＝2，＝－＝21，C的方程为 －＝1。 (2)P在椭圆上，|PF1|＋|PF2|＝2＝4；P在双曲线右支上，|PF1|－|PF2|＝2a＝4。 两式相加减得 |PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2。|PF1|²＋|PF2|²＝88，|PF1|·|PF2|＝36，|F1F2|²＝100。 由余弦定理cos∠F1PF2＝＝－。 (3)sin∠F1PF2＝＝，面积S＝×36×＝3。 设P(x0，y0)，又S＝|F1F2|·y0＝5·y0，得y0＝；代入C的方程得x0²＝4＋＝，x0＝，所以P(，)。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二上学期 第三章 圆锥曲线的方程 专项训练 3.2 双曲线（六大题型）专项训练 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （建议用时：100分钟　测试范围：第三章 圆锥曲线的方程 3.2） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．本专项按六个考点编排，每个考点内由易到难，动笔前先看一眼考点归纳。 2．双曲线方程写成标准方程，轨迹只是一支时要注明x的范围；根式化为最简。 3．解答题写出定义、联立、判别式、根与系数的关系等关键步骤，只写结果不得分。 内容速览　六考点36题（选17·填12·解7）｜解析版 19 页：速查表、答案、详解｜配图 7 幅 　考点归纳 1．差的绝对值与轨迹是一支还是两支、由实轴与焦距写方程、两圆相切型轨迹、待定系数法求方程 2．焦点与顶点的坐标、实轴虚轴与焦距、方程表示双曲线的参数条件、焦点到渐近线的距离 3．由方程写渐近线、由渐近线求离心率、由离心率定渐近线、离心率的取值范围与几何条件 4．周长、过焦点的弦、含直角或已知顶角的面积、由焦半径之比定点的位置 5．联立后判断公共点个数、与渐近线平行的直线、含参数的交点条件、弦长与中点弦 6．共渐近线的双曲线、与椭圆共焦点、利用定义求最值、斜率之积、垂直与面积 　考点01　差的绝对值：定义、轨迹与方程 1．一条双曲线的中心在原点，焦点落在x轴上，焦距是34，实轴长是16，它的标准方程是(____)。 A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 2．点P在双曲线－＝1的左支上，F1，F2分别是它的左、右焦点，已知P到F2的距离为20，那么P到F1的距离为________。 3．在平面直角坐标系中，A(－6，0)，B(6，0)，动点M满足|MB|－|MA|＝8，则点M的轨迹方程应为(____)。 A．－＝1（x≤－4） B．－＝1（x≤－4） C．－＝1（x≥4） D．－＝1 4．F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P在这条双曲线上，若|PF1|＝10，则|PF2|的值为________。 5．如图，圆C1：＋＋12x＋35＝0与圆C2：＋－12x＋11＝0相离，动圆M与这两个圆都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(____)。 A．－＝1（x≥2） B．－＝1 C．－＝1（x≤－2） D．－＝1（x≤－2） 6．已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(6，4)，B(2，2)两点。 (1)求C的标准方程； (2)写出C的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (3)F2为C的右焦点，点Q在C的右支上运动，求|QF2|的最小值。 　考点02　读方程：实轴、虚轴、焦点与参数 7．双曲线3－5＝15的焦点坐标是(____)。 A．(0，－)，(0，) B．(0，－2)，(0，2) C．(0，－8)，(0，8) D．(－2，0)，(2，0) 8．已知双曲线－＝1，它的两个焦点之间的距离为________。 9．实轴长为6、虚轴长为14，对称轴为坐标轴的双曲线，其方程应为(____)。 A．－＝1 B．－＝1或－＝1 C．－＝1 D．－＝1或－＝1 10．要使方程＋＝1表示双曲线，实数m的取值范围是________。 11．如图，F是双曲线－＝1的上焦点，过F作这条双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，则|FH|为(____)。 A．6－ B． C． D．5 12．已知方程＋＝1表示双曲线。 (1)求实数k的取值范围； (2)证明：k在(1)的范围内变化时，这些双曲线的焦点不变，并求出焦点坐标； (3)若这条双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，求k的值、双曲线的方程及离心率。 　考点03　渐近线与离心率 13．关于双曲线－＝1的渐近线，下列写法正确的是(____)。 A．y＝±()x B．y＝±()x C．y＝±()x D．y＝()x 14．已知直线y＝2x是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，那么这条双曲线的离心率e＝________。 15．焦点在y轴上的双曲线，离心率为，它的渐近线方程应为(____)。 A．y＝±()x B．y＝±()x C．y＝±()x D．y＝±()x 16．双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率k满足1≤k≤，则离心率e的取值范围是________。 17．如图，F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，若∠AF1B＝90°，则双曲线的离心率为(____)。 A． B．2＋2 C．－1 D．1＋ 18．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e。 (1)若C的右支上存在点P，使|PF1|＝3|PF2|，求e的取值范围； (2)若C的实轴长为8，且e取(1)中的最大值，求C的方程和渐近线方程； (3)在(2)的条件下，点Q在C上且QF1⊥QF2，求点Q到x轴的距离。 　考点04　焦点三角形 19．设F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，右支上一点P到F1的距离为20，则△PF1F2的周长是(____)。 A．42 B．34 C．70 D．49 20．过双曲线－＝1的左焦点F1作直线，与左支交于A，B两点，已知|AB|＝10，F2为右焦点，则△ABF2的周长为________。 21．如图，点P在双曲线－＝1上，F1，F2是两个焦点，∠F1PF2为直角，那么△F1PF2的面积应为(____)。 A． B．6 C．12 D．4 22．双曲线－＝1的左、右焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|是|PF2|的3倍，则点P的横坐标是________。 23．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，那么△F1PF2的面积为(____)。 A．9 B．3 C．3 D．6 24．已知F1，F2是双曲线C：－＝1的左、右焦点。 (1)若点P在C上且PF1⊥PF2，求|PF1|·|PF2|及△PF1F2的面积； (2)若点P在C的右支上，且|PF1|＝|F1F2|，求|PF2|及cos∠F1PF2； (3)在(2)的条件下，求点P的坐标和△PF1F2的面积。 　考点05　直线与双曲线的位置关系 25．判断直线x－y－2＝0与双曲线－＝1的位置关系，结论是(____)。 A．相切，切点为(4，2) B．相交，有两个公共点 C．相切，切点为(－4，－6) D．相离，没有公共点 26．直线x－2y＋6＝0与双曲线－＝1的公共点的坐标为________。 27．直线y＝kx＋2与双曲线－＝1有两个不同的公共点，k的取值范围应为(____)。 A．－≤k≤且k≠± B．k<－或k> C．－<k< D．－<k<且k≠± 28．如图，过双曲线－＝1的右焦点F2作斜率为2的直线，交双曲线于A，B两点，则|AB|＝________。 29．已知双曲线－＝1的弦AB恰被点M(3，1)平分，则直线AB的方程为(____)。 A．x－3y＝0 B．x－y－2＝0 C．3x＋y－10＝0 D．9x－y－26＝0 30．已知双曲线C：－＝1与直线l：y＝kx＋2。 (1)l与C恰有一个交点时，k可以取哪些值？ (2)若l与C的右支交于两个不同的点，求k的取值范围； (3)当k＝－时，l与C交于A，B两点，求|AB|。 　考点06　综合提升 31．与双曲线－＝1有相同的渐近线，并且经过点(4，3)的双曲线的方程是(____)。 A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 32．与椭圆＋＝1有相同的焦点，且经过点(3，1)的双曲线的标准方程为________。 33．动点M与点A(－10，0)，B(10，0)连线的斜率之积恒为，则M的轨迹方程应为(____)。 A．－＝1（x≠±10） B．＋＝1（x≠±10） C．－＝1 D．－＝1 34．已知F1是双曲线－＝1的左焦点，点A(0，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF1|＋|PA|的最小值为________。 35．如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且经过点(4，)，直线l：y＝x＋m与C交于A，B两点，O为坐标原点。 (1)求C的方程； (2)若OA⊥OB，求m的值； (3)取(2)中m的正值，算出三角形OAB的面积。 36．如图，已知椭圆E：＋＝1，双曲线C与E有相同的焦点F1，F2（F1在左侧），且C的离心率为。 (1)求C的方程； (2)设P是E与C在第一象限的交点，求|PF1|，|PF2|及cos∠F1PF2； (3)求△F1PF2的面积，并求点P的坐标。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $