3.2.2 双曲线的简单几何性质（九大题型）训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 题型一 求双曲线的顶点坐标 1．双曲线的顶点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用双曲线方程直接求解即可. 【详解】由双曲线方程可知顶点在y轴上，且， ∴则顶点坐标为，. 故选：D. 2．已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，其右支上有一点位于第一象限，，，，则（     ） A．点的坐标可表示为 B． C．的渐近线方程为 D．点到的右焦点的距离与之差为 【答案】ACD 【分析】根据求出的关系，根据题意求出直线的方程，利用，求出的坐标.将的坐标代入双曲线方程求解选项B.根据的关系以及双曲线方程求出，进而得到双曲线的渐近线方程.根据双曲线的定义求解选项D. 【详解】双曲线中，右顶点，左焦点. 因为，所以. 结合双曲线关系，得. 选项A.由，顶点在，在第一象限， 可得直线斜率，直线方程为. 设，结合， 所以. 因在右支，则，得，即，，故，正确. 选项B.将代入双曲线方程， 化简得，错误. 选项C.将代入，得， 解得（，舍去负根），则，. 渐近线方程为，正确. 选项D.设右焦点为，由双曲线定义，，则，正确. 3．已知双曲线：的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____. 【答案】/ 【分析】根据顶点坐标以及可直接计算出离心率. 【详解】由题意知，因为，则， 则双曲线离心率为, 故答案为： 4．双曲线的左、右焦点分别为， (1)已知焦距为8，离心率为2，求双曲线标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. (2)已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件依次求出c，a，b，然后可得标准方程，再直接写出相关结果. （2）由双曲线方程，结合已知列式求出a，b即可. 【详解】（1）由双曲线的焦距为8，得，由离心率为2，得，则， 所以双曲线标准方程为：，该双曲线的顶点坐标为， 焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为. （2）依题意，，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 题型二 求双曲线的实轴、虚轴 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，为的中点，的外接圆的半径为，则双曲线的虚轴长为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据通径长公式求，再根据直线的斜率和三角形外接圆半径列式，结合双曲线中的关系可求的值，最后双曲线的虚轴长为，可得结论. 【详解】如图： 因为为的中点，为的中点，所以， 根据通径的长度公式，可得. 又因为直线的斜率为，所以，. 由. 又的外接圆半径为4，所以. 由. 所以双曲线的虚轴长为：. 故选：C 6．已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，且，则（   ） A．的面积是 B．双曲线C的虚轴长为 C．双曲线C的渐近线方程不可能为 D．双曲线C的离心率的最大值是 【答案】ABD 【详解】双曲线渐近线方程为，不妨取这条渐近线， 可知圆心为，弦长，圆半径为，所以弦心距为，即，解得， 则，选项A正确； 由，所以双曲线C的虚轴长为，选项B正确； 由，当时，双曲线渐近线方程为，所以C错误； 因为，所以，则，可知，当时，， 即，所以D正确； 7．已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 【答案】 【分析】根据对称性可得四边形是平行四边形，再根据其面积得出，进而计算点的坐标，将其代入双曲线方程中，并结合渐近线方程可求. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为，的倾斜角为，则， 而，，由对称性得四边形是平行四边形， 其面积，解得， 设，由的倾斜角为，得，， 于是，即，又，则，解得， 所以的虚轴长为. 8．已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 【答案】(1)实轴长，离心率 (2). (3)证明见解析 【分析】（1）由双曲线方程求得，再根据实轴长及离心率的定义求解； （2）先求出弦长，再求出点到直线的最小距离，即可得到 面积的最小值，而点到直线的最小距离，可转化为平行于直线且与双曲线的右支相切的切点到直线的距离； （3）设，的坐标分别为，,由利用向量垂直分析确定直线的斜率不为，并设直线的方程为，与双曲线方程联立消去后，利用韦达定理结合条件，根据垂直向量数量积的性质求得，得到直线的方程即可求得其所经过的定点. 【详解】（1）由题意，得，， 所以双曲线的实轴长离心率； （2）由（1）知，直线的方程为， 设，由，消去得， , 设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为. 联立，消去，得， 令，得 解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意， 因此， ，. 因此点到直线的距离， 所以的面积的最小值为. （3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，. 当直线的斜率为时，，， 则 当时， ，解得， 则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则，， ， 由，得， 所以 ， 即 ， 化简，得解得或. 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. 题型三 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 9．已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的几何性质可得. 【详解】由题意可设双曲线的方程为， 由题意，，故，故双曲线的方程为， 故选：A 10．已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 【答案】AD 【分析】根据双曲线的方程以及双曲线的几何性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由题可知，，即，因此. 双曲线方程，等价于. 对于A：若的离心率，解得， 又因为，故，符合题意，故A正确； 对于B：若的渐近线方程为，则，即， 又因为，易解得，与题意不符，故B错误； 对于C：若的实轴长为，即，则，与题意不符，故C错误； 对于D：将代入，可得，又因为， 联立，可得，整理得：，解得或（舍去，因为），又因为，故，符合题意，故D正确. 故选：AD. 11．已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上， 且，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 12．已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴求出a值，根据离心率求出c值，根据a，b，c的关系，求出，即可得答案. （2）根据双曲线的定义，结合余弦定理，可得的值，代入完全平方公式，化简变形，即可得答案. 【详解】（1）由题意实轴，解得，则离心率， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由双曲线的定义得，且， 由余弦定理，所以，解得， 所以， 所以. 题型四 根据顶点或实虚轴关系求参数 13．若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】C 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，根据实轴长与虚轴长相等列方程来求得的值. 【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即， 由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得. 故选：C 14．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D．12 【答案】BD 【分析】分焦点在轴，轴两种情况讨论，求解即可. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，，则，解得； 当双曲线的焦点在轴上时，，则，解得. 故选：BD 15．若双曲线C：的实轴长与虚轴长相等，则____． 【答案】1 【分析】根据双曲线知识并结合实轴长与虚轴长相等，从而求解. 【详解】由题可知：， 解之得：或（舍去）． 故答案为：1. 16．已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) ①当直线的斜率不存在时， 由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得， 当时，，， 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 【分析】（1）先根据点到直线距离计算得出，再应用得出，计算得出进而得出标准方程； （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，联立方程组结合向量的数量积计算得出或，结合题意即可证明定点. 【详解】（1）设焦距为2c，则， 故点到双曲线E的渐近线的距离为． 由，知，得． 又因为，所以，解得． 所以双曲线E的标准方程为． （2）略 题型五 等轴双曲线 17．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意设双曲线方程为，根据焦点坐标求出，即可得解. 【详解】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 18．设双曲线的左､右焦点分别为.过的直线与的两条渐近线都相交，交点分别为为的中点，为坐标原点.则（    ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】由双曲线先得渐近线倾角与为直角，判定选项A正确，再利用中位线性质推出角度相等，证得为等腰直角三角形，判定选项B正确，接着结合线段长度列式计算并与已知值比对，得出选项C错误，最后在中用正弦定理求出角的正切值得到直线斜率，写出直线方程后用点到直线距离公式算出距离，验证选项D正确. 【详解】如图： 由于，则渐近线方程，A正确; 如图，连接，由题可知为的中位线，则且， 所以，于是为等腰直角三角形，B正确； 由，则 ， 则，，则C错误； 在中，由正弦定理:， 则，于是. 因为为中点，所以直线的斜率为，过. 所以直线的方程为 ， 点到直线的距离为，D正确. 19．已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【分析】设所求双曲线的方程为，根据该双曲线的焦点坐标求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在轴上， 可设所求双曲线的方程为， 则，解得， 因此，所求等轴双曲线的方程为. 故答案为：. 20．已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4． (1)求的标准方程； (2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标： (3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)定点，证明过程如下： 设点，则双曲线C在点P处的切线方程为， 已知双曲线右焦点，设点，则线段的中点在切线上，且， 所以有，即， 又因为中点在切线上，所以，化简得， 因为在双曲线C上，所以，代入式化简得， 因为，所以，则，所以点； 则直线斜率， 根据点点斜式方程可得直线的方程为, 则直线过定点. (3) 【分析】（1）根据双曲线性质代入计算即可； （2）由垂直+中点在切线求Q坐标，整理PQ方程，令不含参部分为0，得到; （3）MF定长为4，面积转化为，代入Q坐标换元，二次函数顶点取最大值. 【详解】（1）设等轴双曲线C的标准方程为，因为双曲线焦距为4，所以，则， 在双曲线中有，又因为等 轴双曲线中，所以代入得， 所以双曲线C标准方程为. （2）略 （3）由题，，设点，则， 由（2）可知，，则，因为， 令，因为，所以，代入得 ， 则当时，面积最大值为    题型六 已知方程求双曲线的渐近线 21．设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点和代入双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 22．已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】本题围绕双曲线的基本性质展开，结合双曲线定义、直线与双曲线位置关系、焦点三角形性质、距离最值模型逐一判断选项. 【详解】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 23．双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【详解】令得：， 所以双曲线的渐近线方程为. 24．已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 【答案】(1)双曲线C的标准方程为，渐近线方程为 (2)不存在，理由如下： 由题意可得直线的方程为，设、， 联立，消去可得， 则，且， 若，则，即有， 即，则该方程无解，故不存在这样的； (3) 【分析】（1）借助焦距与渐近线方程定义计算即可得； （2）表示出直线的方程，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合计算可得不存在； （3）结合双曲线定义与双曲线最短焦半径计算即可得. 【详解】（1）由双曲线的焦距为，则， 即双曲线C：，则渐近线方程为； （2）略 （3）由双曲线定义可得，则， 由，故. 题型七 根据双曲线的渐近线求标准方程 25．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直关系推出，再由焦点到直线的距离推出，即可代入的关系式求出从而求得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以， 又C的焦点到l的距离为，所以，所以， 因为，所以，故C的标准方程为． 26．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，的渐近线方程为，是上的动点，则（   ） A．的离心率为 B． C．与直线有交点 D．与双曲线无交点 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的焦距、渐近线方程得双曲线的的值，根据双曲线的离心率、定义、直线与双曲线交点性质、双曲线与双曲线交点性质逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以，又，从而可得， 则的离心率为，故A正确； 由双曲线的定义可得，故B正确； 直线过原点，且斜率为，而双曲线其中一条渐近线方程为，斜率为， 所以与直线无交点，故C不正确； 双曲线为，其渐近线方程为，且其焦点在轴上，所以与双曲线无交点，故D正确. 故选：ABD. 27．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 【答案】 【分析】根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系，再根据焦点在上确定出的值，结合计算出即可得到双曲线的方程. 【详解】因为双曲线的一条渐近线与平行，所以， 又因为双曲线的焦点为，且双曲线的一个焦点在直线上， 而直线与x轴的交点为，所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为：. 28．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立关于的关系式，联立求解即可； （2）根据直线与圆位置关系得出相应的关系式，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标表示，分式不等式的解法分析求解即可. 【详解】（1）由题意知双曲线的半焦距为：，① 又双曲线的渐近线方程为得：，② 由，③ 联立①②③解得：， 故双曲线的标准方程为：. （2）设直线的方程为：， 因为直线与圆相切，则有：， 又直线与双曲线交于两点， 联立直线与双曲线的方程得：， 消去整理得：， 由 ， 解得， 设，则， 由 ， 将代入上式得：， 化简得：，解得：， 即或， 所以的取值范围为：. 题型八 求共渐近线的双曲线的标准方程 29．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由双曲线的定义求出a，再根据双曲线与双曲线N共渐近线设出双曲线M的方程，分焦点在x轴上与焦点在y轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题意易知． 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为． 故选：D 30．已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由双曲线的定义求出，再根据双曲线共渐近线设出双曲线的方程，分焦点在轴上与在轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题可知，解得. 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为. 故选：AC. 31．与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点坐标代入求值即可. 【详解】设双曲线方程为， 将点代入得，得， 故双曲线方程为. 故答案为： 32．已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于、两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线渐近线相同设出双曲线方程，代入点求解即可. （2）依题意求出直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离公式求出的高，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意设所求双曲线的方程为， 代入点得，解得， 所以双曲线的方程为，即． （2）由（1）知，，， 由题意得直线的方程为，即． 设，， 联立，整理得， ， 则，， 则， 点到直线：的距离． 所以． 题型九 根据a、b、c齐次式关系求渐近线方程 33．已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 34．已知，分别为双曲线的实轴端点，，是双曲线上关于原点对称的两点（异于实轴端点），且，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线的离心率不确定 B．双曲线的离心率为 C．的值不受点，位置的影响 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】BCD 【分析】设，由及双曲线的方程可得到关于的方程，进一步可判断选项. 【详解】设，则，设，， 得，则， 所以，故B正确，A不正确． 由于，是双曲线上关于原点对称的两点（异于实轴端点）， 因为四边形为平行四边形，所以，所以，故C正确． 由于，则渐近线方程为，故D正确． 故选：BCD． 35．设双曲线，的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【分析】根据双曲线的方程可得，进而可得，结合双曲线的性质可得，即可得渐近线方程. 【详解】由双曲线可知，，， 则，可得， 且，即，解得， 由双曲线可知焦点在x轴上， 所以双曲线的渐近线方程为. 36．已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，由求出渐近线方程. （2）设出点的坐标，利用两点间距离公式求出有最小值，再结合已知求解即得. （3）设，结合已知可得，再按和分类建立不等式求出的范围. 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）设点的坐标为，，则， 于是， 当时，，因此，即，则，又，解得， 因此的最大值为. （3）设点，， 由，得，整理得：， 由，得，因此， 当时，由，得，    整理得:，解得或(舍)， 由，解得； 当时，由，得，    整理得：，在有解， 故，即，解得:或（舍）， 综上，曲线的离心率的取值范围是. 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质 题型一 求双曲线的顶点坐标 1．双曲线的顶点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，其右支上有一点位于第一象限，，，，则（     ） A．点的坐标可表示为 B． C．的渐近线方程为 D．点到的右焦点的距离与之差为 3．已知双曲线：的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____. 4．双曲线的左、右焦点分别为， (1)已知焦距为8，离心率为2，求双曲线标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. (2)已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程． 题型二 求双曲线的实轴、虚轴 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，为的中点，的外接圆的半径为，则双曲线的虚轴长为 （    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，且，则（   ） A．的面积是 B．双曲线C的虚轴长为 C．双曲线C的渐近线方程不可能为 D．双曲线C的离心率的最大值是 7．已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 8．已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 题型三 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 9．已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 11．已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 12．已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 题型四 根据顶点或实虚轴关系求参数 13．若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 14．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D．12 15．若双曲线C：的实轴长与虚轴长相等，则____． 16．已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 题型五 等轴双曲线 17．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 18．设双曲线的左､右焦点分别为.过的直线与的两条渐近线都相交，交点分别为为的中点，为坐标原点.则（    ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．点到直线的距离为 19．已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 20．已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4． (1)求的标准方程； (2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标： (3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值． 题型六 已知方程求双曲线的渐近线 21．设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 22．已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 23．双曲线的渐近线方程为______． 24．已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 题型七 根据双曲线的渐近线求标准方程 25．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 26．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，的渐近线方程为，是上的动点，则（   ） A．的离心率为 B． C．与直线有交点 D．与双曲线无交点 27．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 28．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 题型八 求共渐近线的双曲线的标准方程 29．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 30．已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 31．与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 32．已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于、两点，求的面积. 题型九 根据a、b、c齐次式关系求渐近线方程 33．已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 34．已知，分别为双曲线的实轴端点，，是双曲线上关于原点对称的两点（异于实轴端点），且，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线的离心率不确定 B．双曲线的离心率为 C．的值不受点，位置的影响 D．双曲线的渐近线方程为 35．设双曲线，的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为______. 36．已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $