第一章 《特殊的平行四边形》章节测试培优卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

简一数理 单元检测卷 《特殊的平行四边形》 单元检测培优卷 【新教材北师大版】 满分：120分；考试时间：120分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1．如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 2．在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　    ） A． B． C． D． 4．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点P．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是（     ） A．或或 B．或 C．或 D．或 7．如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，点E在边上，且．点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为．下列判断不正确的是（     ） A．当时，四边形是平行四边形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．无论t为何值，四边形都不可能是菱形 9．如图，正方形和正方形中，D在上，，，H是的中点，则长为（     ）． A． B．2.5 C． D．2 10．如图，正方形的边长为，点，，，分别为边，，，上的点，若，且，给出以下四个结论： ①四边形为正方形；②； ③四边形的面积等于；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．对于菱形，当满足______________时，它可成为正方形． 12．如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 13．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，，则的长为________． 14．如图1，一束激光通过玻璃砖时传播路径发生改变．图2是其部分光线示意图，其中四边形是矩形，点，分别在边，上，．若，则的度数为__________． 15．如下图，在中，，，于点D，，E是斜边的中点，则的长是________________． 16．如图，矩形中，为的中点，点、为上两个动点，连接、，若，当______时，四边形的周长最小． 三、解答题（共9题，72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）如图，在菱形中，，为对角线，．求菱形各内角的度数． 18．（本题6分）在正方形中，，， (1)________，________； (2)证明：为直角三角形． 19．（本题8分）如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 20．（本题8分）图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、点P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作矩形，使点P在边上； (2)在图②中，作使点P为对称中心． 21．（本题8分）在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究．已知四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线交于点F，并在上作一点E，使； (2)连接，求证：四边形是菱形． 22．（本题8分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作对角线的垂线，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 23．（本题8分）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 24．（本题10分）如图．在正方形中，点是边上一动点（不与点、重合），连接，以为斜边作等腰直角三角形（点与点位于直线的异侧），连接． (1)补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系并证明． 25．（本题10分）如图1，点是正方形的边上一点，连接，在的延长线上取一点，使，连接． (1)连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，在四边形中，，，连接，求证：； (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出之间的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元检测卷 《特殊的平行四边形》 单元检测培优卷 【新教材北师大版】 满分：120分；考试时间：120分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1．如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形中，点E在边上，若，， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的对角线的长为4． 2．在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合图形，求出，，再根据勾股定理计算出即可得菱形的边长. 【详解】解：如图， 设菱形的对角线与交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴. ∴菱形的边长为5. 3．如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； B、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； C、由可以使平行四边形是菱形，符合题意； D、由可以使平行四边形是矩形，不能使平行四边形成为菱形，不符合题意． 4．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：菱形的面积为． 5．如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质．先根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， ∵正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形，． 故选：． 6．如图，在矩形纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点P．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是（     ） A．或或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论：与的夹角为或与的夹角为． 【详解】解：当与的夹角为时，， 根据折叠的性质，有， 在矩形中，， ； 当点在矩形内部时，与的夹角为，即， 在矩形中，， 根据折叠的性质，有， ； 当点在矩形外部时，与的夹角为，即， 在矩形中，， ， 根据折叠的性质，有， ； 综上，或或． 7．如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“菱形对角线互相垂直且互相平分”得点是的中点，根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”得，在中，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点，， ∴，，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ ． 8．如图，在矩形中，，，点E在边上，且．点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为．下列判断不正确的是（     ） A．当时，四边形是平行四边形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．无论t为何值，四边形都不可能是菱形 【答案】B 【分析】将选项的值代入，计算的值，再逐一判断即可解答． 【详解】解：在矩形中，，，，， A、当时，，， 如图， 此时， ， ， 四边形是平行四边形，A正确，不符合题意； B、当时，，， 如图， 此时， ， 四边形不是菱形，B错误，符合题意； C、当时，，， 如图， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，C正确，不符合题意； D、根据勾股定理可得， ， ， 无论t为何值，四边形都不可能是菱形，D正确，不符合题意． 9．如图，正方形和正方形中，D在上，，，H是的中点，则长为（     ）． A． B．2.5 C． D．2 【答案】C 【分析】连接、，结合正方形性质证得为直角三角形，利用勾股定理，以及直角三角形斜边中线定理求解，即可解题． 【详解】解：连接、. ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∵点在上，， ∵，， 则，， 在中，， ∵是的中点， ∴． 10．如图，正方形的边长为，点，，，分别为边，，，上的点，若，且，给出以下四个结论： ①四边形为正方形；②； ③四边形的面积等于；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】通过证明得出四边形为正方形，利用角度关系证明，进而结合全等得出四边形为正方形，通过构造等腰直角三角形计算线段长度验证结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形， 延长交于点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 同理可得， 四边形是矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， 即， 四边形是正方形，①正确； 在中，， ， ∵在中，，， ， ，②正确； 延长交于点， ， ， 在上，， ， 在中，， ∴， ∵， ， ， ，③正确； 若， 则或， ，， ， 则， 即， 解得，非恒成立， ④错误． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．对于菱形，当满足______________时，它可成为正方形． 【答案】有一个内角为直角（答案不唯一） 【分析】菱形是特殊的平行四边形，只需额外添加符合正方形判定的条件即可． 【详解】解：∵菱形已经满足四条边相等，属于平行四边形， ∴要使菱形成为正方形，只需要添加正方形相对于菱形的额外判定条件： 若菱形有一个内角是直角，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质，可得四个内角均为直角，符合正方形的定义，此时菱形是正方形； 若菱形对角线相等，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，可判定该菱形满足正方形的判定要求，此时菱形也是正方形． 因此本题可填写的条件为有一个内角为直角或对角线相等． 12．如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 【答案】1.2 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵公路与互相垂直，即， ∴是直角三角形， ∵点是的中点，的长为， ∴，即，两点间的距离为． 13．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，，则的长为________． 【答案】5 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：，，， ． 14．如图1，一束激光通过玻璃砖时传播路径发生改变．图2是其部分光线示意图，其中四边形是矩形，点，分别在边，上，．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】由矩形的性质，结合平行线的性质，推断的度数即可． 【详解】解：如图所示，延长、交于点， 四边形是矩形， ， ， 又， ， 即， 故的度数为． 15．如下图，在中，，，于点D，，E是斜边的中点，则的长是________________． 【答案】 【分析】根据及求出的度数，利用直角三角形两锐角互余求出，根据直角三角形斜边中线性质得出，进而求出，计算出，判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 16．如图，矩形中，为的中点，点、为上两个动点，连接、，若，当______时，四边形的周长最小． 【答案】 【分析】四边形的周长为，其中，为定值，因此当最小时四边形的周长最小；通过在上截取，将平移为，再在的延长线上截取线段，利用两点之间线段最短确定点的位置，然后以点为原点，建立平面直角坐标系，利用待定系数法求得的解析式，从而得到此时点的坐标，进而求得的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形，为的中点， ∴，，，，， 在中，， ∵四边形的周长为， ∴当最小时，四边形的周长最小； 如图，在边上截取线段，在的延长线上截取线段，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，，点在上， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， 即当、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小； 如图，、、三点共线，以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 得 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴此时点的坐标为， ∴． 三、解答题（共9题，72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）如图，在菱形中，，为对角线，．求菱形各内角的度数． 【答案】 菱形的四个内角度数分别为，，， 【分析】利用菱形对角线平分内角、对角相等、邻角互补的性质，结合已知计算各内角． 【详解】解： ∵四边形是菱形，为对角线， ∴平分，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，菱形各内角的度数为，，，． 18．（本题6分）在正方形中，，， (1)________，________； (2)证明：为直角三角形． 【答案】(1)20；5 (2)证明：，， ， ∵， ， 是直角三角形． 【分析】（1）对运用勾股定理求解即可； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理逆定理求解． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ∵， ， ， ； （2）略 19．（本题8分）如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 20．（本题8分）图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、点P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作矩形，使点P在边上； (2)在图②中，作使点P为对称中心． 【答案】(1)如图，矩形即为所求， (2)如图，即为所求， 【分析】（1）取点P所在的格线上的格点C、D，得格线、且使，再连接、、即可． （2）连接，并延长至格点E，连接，并延长至格点F，再连接、、即可． 【详解】（1）略 （2）略 21．（本题8分）在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究．已知四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线交于点F，并在上作一点E，使； (2)连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)如图所示： (2)证明：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤作出角平分线，再截取即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，，则，进而可证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据等腰三角形的判定可得，然后根据菱形的判定可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 22．（本题8分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作对角线的垂线，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ∴，． ． ， ， ． ∴， 又， 四边形是平行四边形． (2)50 【分析】（1）由菱形的性质得，，再证明，根据两组对边分别平行可证四边形是平行四边形； （2）利用菱形的性质和勾股定理计算的长，结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：四边形是菱形，，， ，，， ． 由（1）得四边形是平行四边形， ，， 的周长． 23．（本题8分）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，得出，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设，由勾股定理可得，从而列方程求出，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ． 24．（本题10分）如图．在正方形中，点是边上一动点（不与点、重合），连接，以为斜边作等腰直角三角形（点与点位于直线的异侧），连接． (1)补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)证明：是等腰直角三角形， ∵四边形为正方形， ． ，． ． ， ． (3)，证明如下： 过点作，截取，连接，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示． （2）根据等腰直角三角形的性质可得，根据正方形的性质可得，，，结合角的和差即可证明． （3）过点作，截取，连接，，根据正方形的性质可得，再结合全等三角形和等腰直角三角形的性质可证四边形为平行四边形，结合勾股定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 25．（本题10分）如图1，点是正方形的边上一点，连接，在的延长线上取一点，使，连接． (1)连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，在四边形中，，，连接，求证：； (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； (2)证明：如图，延长至点，截取，连接， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，证明，推出，结合，得到，即可证明； （2）如图，延长至点，截取，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，即可得出结论； （3）以为边向上作等边三角形，连接，证明，推出，结合已知求出，得到，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 证明：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、四边形内角和定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $