第一章特殊平行四边形单元练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形单元核心知识，通过基础辨析、动态几何与综合探究题，全面考查矩形、菱形、正方形性质判定及应用，适配九年级上册单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|矩形对角线性质、正方形面积计算、动态点位置关系|结合图像考查性质辨析，如第9题木棍滑动中中点距离不变，体现几何直观| |填空题|5|菱形周长与面积、正方形中线段最小值|注重性质应用，如第14题通过矩形转化求线段最小值，培养模型意识| |解答题|5|菱形证矩形、正方形动态问题、运动时间t分类讨论|综合探究性强，如第19题运动点构成平行四边形及等腰三角形分类，提升推理与运算能力|

第一章特殊平行四边形 单元练习 一、单选题 1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．两组对边分别相等 C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分 2．图中正方形、的边长分别为和，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点分别作于点，于点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 7．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径作弧交于点．若分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接，，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 8．如图1，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的2倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图2是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离（     ） A．始终不变 B．先变小再变大 C．先变大再变小 D．逐渐变小 10．如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．对于菱形，当满足______________时，它可成为正方形． 12．如图，已知菱形的周长为20，对角线与交于点O，且，则菱形的面积为________． 13．如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为________． 14．如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为________． 15．如图，在菱形中，点为菱形外一点，连接，，点在上，，连接，，若，，则线段的长为______． 三、解答题 16．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 17．请完成以下作图和填空． (1)如图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接，用直尺和圆规完成以下作图：过点作的垂线，与交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：（补全证明过程）． 证明：四边形是正方形， ，． 在和中，， ．  ，_______________①． ，， ∴在四边形中，． ． ， ∴_______________②． 又， ∴_______________③． ∴_______________④． ， 18．点、分别在正方形的边、上，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点为中点，，求的面积； (3)如图，过点作交于点，过点作交于点，与相交于点，记矩形的面积为，矩形面积为，请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由． 19．如图，在四边形中，，从A出发，以的速度向D运动，同时Q从C出发，以的速度向B运动．当一个点到达终点时两个点都停止运动，设运动时间为t秒． (1)t为何值时，四边形为平行四边形？ (2)为何值时，点P恰好在的角平分线上？ (3)t为何值时，点C恰好在的垂直平分线上？ (4)是否存在t值，使得是等腰三角形？直接写出t值． 20．如图，在正方形中，是上的一点，连接，过点作交外角平分线于． (1)如图1，若为边的中点，求证：． (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，连接，交边于点，连接，求证：平分． (4)如图4，以点为坐标原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，，为边的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第一章特殊平行四边形 单元练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A D B C B A D 1．C 【分析】对比两类图形的性质，由矩形与一般平行四边形的性质区别，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形都具有， A、邻边相等不是平行四边形的性质，也不是矩形的性质，选项不符合题意； B、矩形和一般平行四边形都具有两组对边分别相等的性质，选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定相等，因此对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质，选项符合题意； D、矩形和一般平行四边形都具有对角线互相平分的性质，选项不符合题意． 2．C 【分析】先根据正方形的性质证明，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形、、均为正方形， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为． 3．C 【分析】连接交于点，由矩形性质得，，结合已知可得，利用等腰三角形性质求出，进而求得． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．A 【分析】由正方形的性质可得，，，，则，，然后通过勾股定理和线段的和与差即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．D 【详解】解：根据题意得，， ∵四边形是菱形， ∴． 6．B 【分析】过点C作于点H，根据勾股定理求出，再由的面积求出．连接，证明四边形是矩形，得到，因此当取得最小值时，取得最小值，根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：过点C作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∵，或， ∴，即， ∴． 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵根据垂线段最短可得，当时，取得最小值，此时点D与点H重合，， ∴的最小值为． 7．C 【分析】根据作图，判断，利用菱形的判定和性质求出和，结合已知条件的度数，即可求出度数． 【详解】解：根据题意，画图可知，， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ． 8．B 【分析】根据图2可知，时，点Q运动到点C，点P运动到的中点，的面积为4，进行计算即可． 【详解】解：当点Q在上运动时，的面积为， 当时，的面积为4， 即， 此时点为的中点， 故， 解得：． 9．A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，， 连接， ∵，为的中点， ∴， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化． 10．D 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点H，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【详解】解：正方形， ， ，分别是，的中点， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ，故②正确； 如图， 根据题意可知：， ， ， 四边形是菱形， ， ， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点H， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的有． 11．有一个内角为直角（答案不唯一） 【分析】菱形是特殊的平行四边形，只需额外添加符合正方形判定的条件即可． 【详解】解：∵菱形已经满足四条边相等，属于平行四边形， ∴要使菱形成为正方形，只需要添加正方形相对于菱形的额外判定条件： 若菱形有一个内角是直角，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质，可得四个内角均为直角，符合正方形的定义，此时菱形是正方形； 若菱形对角线相等，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，可判定该菱形满足正方形的判定要求，此时菱形也是正方形． 因此本题可填写的条件为有一个内角为直角或对角线相等． 12． 24 【分析】根据菱形周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分的性质及勾股定理求出另一条对角线的长，最后利用对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：∵四边形是菱形，周长为， ∴，，． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴菱形的面积． 13． 【分析】根据菱形的周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出另一条对角线的长，最后利用等面积法求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 14． 【分析】连接，证明四边形是矩形，得，根据“垂线段最短”可求出的最小值为，从而可得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，即取得最小值． 当时， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴ ∴的最小值为． 15． / 【分析】由菱形性质及已知角度得出，，利用三角形外角性质及角度和差关系证得，结合证明，从而将求转化为求，最后在中通过作高构造直角三角形求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ∴ ． ， ． ，点在上， ， ． 在中， ， ∵ ， ． ∵在和中 ， ， ． ． 过点作于点 ， ， 是等腰直角三角形，． ，， ． 中， ， ． ∴． ∵， ． ． 16．(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，结合，推出四边形是平行四边形，根据，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，，根据直角三角形的斜边中线定理可得，，再由勾股定理求出，进而得到，根据可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，，，即为的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 17．(1)如图所示即为所作， (2)①；②；③；④ 【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交直线于点，再分别以点为圆心，大于长度为半径画弧，记两段弧的交点为，连接直线，与线段的交点即为，再连接即可； （2）先证明，得到，根据正方形的一个直角和垂线所得直角，由四边形内角和得，根据平角两角互补证得，故，得到结论． 【详解】（1）解：理由如下：以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交直线于点， ， 分别以点为圆心，大于长度为半径画弧，记两段弧的交点为， ， 在和中， ， ， ， ． （2）略 18．(1) (2)15 (3)是定值，定值是2 【分析】（1）证明，得到，据此求解即可； （2）延长至M，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）设，，，由（2）知，得到，在中，利用勾股定理列式计算得到，分别用和表示出和，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长至M，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴； （3）解：延长至M，使得，连接， 设，，， 由题意得，， 则，， 由（2）知， ∴， 在中，， 整理得， ∴， ∴， ∴． 19．(1) (2) (3) (4)存在，或6或 【分析】（1）当运动t秒时，，，，．当时，四边形是平行四边形，据此列出方程，求解即可； （2）过点C作，交的延长线于点E，得到四边形是矩形，因此，，，根据勾股定理求出．当点P在的角平分线上时，，结合，可得，因此，据此列出方程，求解即可； （3）根据勾股定理求出，当点C恰好在的垂直平分线上时，，据此列出方程，求解即可； （4）分三种情况讨论：①，②，③，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动t秒时，，， ∴，． ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得， ∴时，四边形为平行四边形． （2）解：过点C作，交的延长线于点E，则， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在中，． 当点P在的角平分线上时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得． ∴时，点P恰好在的角平分线上． （3）解：由（2）可得， ∴， ∴在中，． 当点C恰好在的垂直平分线上时，， ∴，解得， ∴时，点C恰好在的垂直平分线上． （4）解：存在，分以下三种情况讨论： ①如图，若，则是等腰三角形， ∴，解得． ②如图，若，则是等腰三角形， 过点D作于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得． ③如图，若，则是等腰三角形， 由②可得，，， ∴， ， ∵， ∴，解得． 综上所述，当或6或时，是等腰三角形． 20．(1)如图，在上截取一点，使，连接． 四边形是正方形， ，， 又是中点， ， ， ，即是中点， ∴， ， ，°， 是等腰直角三角形， ， ， 又平分，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ． (2)． (3)证明：如图3所示，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ∴， ∴，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即平分． (4)点的坐标为或． 【分析】（1）在上截取一点，使，通过证明即可得出结论； （2）在上取一点，使得，连接，同理（1）可得，进而可得，再根据勾股定理得出结论； （3）延长到，使，连接，构造全等三角形，通过证明，得出，，再证明，得出，根据等角的余角相等即可得出结论； （4）根据，可得，故当点与点重合， ，得出第一个符合条件的点，再利用对称得出符合条件的的位置，根据点坐标求出直线和解析式、以及它们的交点即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，在上取一点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． （3）略 （4）解：过点作轴，垂足为点，设点的坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， 由（1）有， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，整理得：， ∴点所在的直线的解析式为：， 连接，由（3）得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴当点与点重合， ， ∵点是线段的中点， ∴， ∴点的坐标为，即点的坐标为； 设直线的解析式为：， 把，代入，得：解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， 作点关于直线的对称点，可得， 此时， ∴当点为直线与的交点时，， ∴由待定系数法可求直线的解析式为， 联立，解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $