3.1.1函数的概念课时作业设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

周口市高一数学课时作业 人教A版（2019）必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念（第1课时） 一、作业目标 1. 知识目标 （1）理解函数的概念，能用集合语言和对应关系刻画函数，明确函数的三要素——定义域、对应关系、值域。 （2）能根据函数的解析式求出定义域和值域，会判断两个函数是否为同一个函数。 （3）会求简单函数的函数值，理解对应关系 f 的含义。 2. 素养目标 （1）通过从具体实例中抽象出函数概念的过程，发展数学抽象素养。 （2）通过对函数三要素的分析与判断，提升逻辑推理素养。 （3）通过将函数概念应用于实际情境，培养数学建模素养。 3. 分层目标 层次 目标定位 对应题号 基础层（必做） 掌握函数的概念及三要素，能求简单函数的定义域和值域 1—6题 发展层（必做） 能判断同一函数，会求复合函数的函数值，能进行概念辨析 7—9题 挑战层（选做） 能在新情境中灵活运用函数概念，完成探究与开放性问题 10—12题 二、作业内容 说明：本作业分为基础巩固篇（必做）、能力提升篇（必做）和拓展探究篇（选做）三个部分。基础巩固篇面向全体学生，能力提升篇鼓励全体学生完成，拓展探究篇由学生根据自身情况自主选做。建议完成时间为30—35分钟。标注“★”的为选做题，“◆”为开放题，“▲”为跨学科题，“●”为探究题，“■”为新情景题。 第一部分 基础巩固篇（必做） 1. 下列关于函数概念的表述中，正确的是（ ） A. 函数中，是自变量，是因变量，是常数 B. 函数的定义域是集合，值域是集合，则一定是 C. 函数的三要素是定义域、值域和对应关系，三者确定，函数就确定 D. 若两个函数的定义域和值域分别相同，则它们是同一个函数 1. （原创题） 下列四个图形中，不能表示以 x 为自变量的函数图象的是（ ） （A） （B） （C） （D） 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 1. 已知函数，则，。 1. 判断下列各组函数是否为同一个函数，并说明理由。 1. 与； 1. 与。 1. 求下列函数的值域： 1. ，； 1. ，。 第二部分 能力提升篇（必做） 1. 已知函数。 1. 求和的值； 1. 若，求实数的值。 1. （原创题）■ 2025年，周口市积极推进“智慧农业”建设。某农业合作社种植的某种特色农产品，其日销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）之间满足关系式（）。 1. 请判断是否为的函数，并说明理由； 1. 写出该函数的定义域和值域； 1. 当销售价格为18元/千克时，日销售量为多少千克？ 1. ◆ 已知函数。 1. 求，，的值； 1. 的图象上是否存在点？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由。 第三部分 拓展探究篇（选做，任选1—2题完成） 1. ★10.● 探究题 我们知道，函数的三要素是定义域、对应关系和值域。请完成以下探究： 1. 已知函数，。它们的对应关系相同吗？值域相同吗？它们是同一个函数吗？请说明理由。 1. 请你各举出一组“定义域相同但对应关系不同”的函数和一组“对应关系相同但定义域不同”的函数（用解析式表示即可），并分别说明它们为什么不是同一个函数。 1. 通过以上探究，你认为判断两个函数是否为同一个函数的关键是什么？请用简洁的语言总结你的结论。 1. ★11.▲ 跨学科题 在物理学中，自由落体运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间满足关系式，其中米/秒²。 1. 请判断是否为的函数，并指出该函数的定义域（考虑）和对应关系； 1. 分别计算秒和秒时的位移，并说明“时间每增加1秒，位移增加的量相同吗？”； 1. 如果以为自变量，是否为的函数？请说明理由。 1. ★12.（原创题）■ ◆ 新情景开放题 周口市某中学计划在高一各班开展“数学文化节”活动。活动组织方设计了一个“函数接力”的游戏环节：每班需要设置一个“函数关系”，让其他班级的同学根据输入值求输出值。 请你作为本班的游戏设计师，完成以下任务： 1. 设计一个函数，使得该函数的定义域为，并写出其对应关系（用解析式表示）； 1. 分别计算当输入值时的输出值，并以表格形式呈现； 1. 判断你设计的函数的值域是什么？请写出你的判断过程； 1. 请为你的函数设计一个生活中的实际背景，并说明自变量和因变量的实际含义。 三、作业实施建议 1. 时间安排 建议在完成3.1.1“函数的概念”第1课时课堂教学后布置。基础巩固篇约15分钟，能力提升篇约10—12分钟，拓展探究篇约10—15分钟（选做）。总完成时间控制在30—35分钟以内，避免造成过重课业负担。 2. 分层实施策略 基础巩固篇（必做） ：面向全体学生，侧重函数概念的基本理解和基本技能的初步应用。要求所有学生认真完成，确保掌握函数三要素的基本判断方法。第1—3题为概念辨析与定义域求解，第4—6题为函数值计算与值域求解，难度逐步递进，帮助学生巩固基础。 能力提升篇（必做） ：在基础巩固的基础上增加灵活性和综合性。第7题考查复合函数的求值方法，第8题融入周口本地农业情境，引导学生将函数概念应用于实际问题，第9题设为半开放形式，培养学生的探究意识。中等及以上水平学生应能独立完成；基础较弱的学生可在教师或同伴的适当引导下完成。 拓展探究篇（选做） ：设计三个不同方向的选做题，学生可根据自身兴趣和能力任选1—2题完成。第10题侧重概念深化与规律总结，第11题为跨学科应用题（物理），第12题为新情景开放题，充分尊重学生的选择权，体现弹性与选择性原则。鼓励学有余力的学生挑战2题，但不作强制要求。 3. 批改与反馈建议 （1）基础巩固篇全批全改，重点关注学生对函数概念的准确理解和定义域求解的规范性。 （2）能力提升篇可采取课堂集中讲评与个别辅导相结合的方式。第8题可引导学生关注函数在实际生活中的应用价值，第9题可鼓励学生用多种方法验证结论。 （3）拓展探究篇采取等级评价，重在过程与思维表现。第10题可在课堂上请学生分享探究结论，第11题可展示优秀作业，第12题可采用学生互评的方式，评选“最佳函数设计师”。 4. 弹性调整建议 （1）若课堂教学时间紧张，可将能力提升篇的第9题调整为选做，或在课堂上完成部分内容。 （2）对于数学基础较为薄弱的学生，教师可提供“学习支架”，如在第5题旁边附上“判断同一函数三步法”的提示。 （3）对于数学能力突出的学生，可鼓励其完成全部三道拓展题，并可额外尝试：用图象法验证第12题中函数的定义域和值域。 四、参考答案与解析 第一部分 基础巩固篇 1.【答案】C 【解析】A选项中 是对应关系，不是常数，故A错误；B选项中函数的值域是 ，它是 的子集，不一定等于 ，故B错误；C选项正确，函数的三要素确定，函数就确定；D选项中两个函数定义域和值域相同，但如果对应关系不同，也不是同一个函数（如 与 定义域和值域均为 ，但不是同一个函数），故D错误。 2.【答案】C 【解析】根据函数的定义，对于定义域内任意一个 ，都有唯一确定的 与之对应。选项C中的圆，对于某些 值（如 时），对应两个 值，不满足函数定义的唯一性要求，因此不能表示函数图象。选项A、B、D均满足函数定义。 3.【答案】B 【解析】要使函数有意义，需满足 且 ，即 且 。所以定义域为 ，故选B。 4.【答案】 ； 【解析】 。 。 5.【答案】（1）不是同一个函数；（2）是同一个函数。 【解析】（1） 的定义域为 ，而 需满足 ，即 ，定义域为 。两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数。 （2） ，与 的定义域均为 ，对应关系也相同，因此是同一个函数。 6.【答案】（1）值域为 ；（2）值域为 。 【解析】（1） ， ， ， 。由于定义域为离散的四个值，值域为 。 （2） 。因为 ，所以 ，从而 。即值域为 。 第二部分 能力提升篇 7.【答案】（1） ， ；（2） 。 【解析】（1） 。 。 （2）由 ，得 ，所以 。经检验， ，符合定义域要求。 8.【答案】（1） 是 的函数；（2）定义域为 ，值域为 ；（3）110千克。 【解析】（1） 是 的函数。因为对于 内的每一个确定的 值，按照对应关系 ，都有唯一确定的 值与之对应，符合函数的定义。 （2）定义域为 （由题目条件给出）。当 时， ；当 时， 。由于 在 上随 增大而减小，所以值域为 。 （3）当 时， 。即日销售量为110千克。 9.【答案】（1） ， ， ；（2）存在， 或 。 【解析】（1） ； ； 。 （2）若点 在函数图象上，则 ，即 。因式分解得 ，所以 或 。因此，函数图象上存在满足条件的点 和 。 第三部分 拓展探究篇 10.【答案与提示】 （1）对应关系不同（ 是“平方”， 是“先加1再平方”），值域相同（均为 ），但它们不是同一个函数，因为对应关系不同。 （2）示例：定义域相同但对应关系不同： 与 ，定义域均为 ，但对应关系不同，不是同一个函数。对应关系相同但定义域不同： （定义域为 ）与 （定义域为 ），对应关系相同但定义域不同，不是同一个函数。 （3）判断两个函数是否为同一个函数，关键看两点：①定义域是否相同；②对应关系是否相同。两者都相同才是同一个函数，与用什么字母表示自变量无关。 11.【答案与提示】 （1） 是 的函数。定义域为 ，对应关系为 （即 ）。 （2）当 时， 米；当 时， 米。时间从1秒增加到2秒，位移增加了 米；时间从0秒增加到1秒，位移增加了 米。增加量不相同，说明位移随时间的变化不是均匀的。 （3） 是 的函数。因为对于每一个 的值，由 可唯一确定 （取非负值），满足函数的定义（每一个 对应唯一的 ）。这个例子说明自变量和因变量的角色可以互换，也体现了函数概念中“对应关系”的核心地位。 12.【答案与提示】 （开放性题目，答案不唯一，以下为参考示例） （1）示例：设计函数 ，定义域为 。 （2）表格如下： （3）因为 ，当 时， ，所以 ，从而 。又 ， ，所以值域为 。 （4）生活背景示例：某喷泉的水柱高度 （单位：米）与距离喷泉中心的水平距离 （单位：米）之间的关系。自变量 表示水平距离，因变量 表示水柱高度。 五、作业评价标准 1. 总体评价框架 本作业采用“分层评价+素养导向”的评价方式，从知识掌握、思维品质和学习习惯三个维度进行综合评价。评价结果以等级形式呈现，兼顾结果与过程。 2. 分层评价标准 评价维度 优秀（A） 良好（B） 合格（C） 待改进（D） 基础巩固篇（必做） 全部正确，概念理解准确，定义域和值域求解规范 基本正确，个别计算错误，概念理解基本到位 大部分正确，定义域或值域求解存在少量错误 概念理解不清，多题出错 能力提升篇（必做） 全部正确，方法灵活，第8、9题有独到见解 基本正确，第7题思路清晰，第8、9题偶有失误 能完成第7题，第8、9题需部分提示 多题无法独立完成 拓展探究篇（选做） 完成2题及以上，探究深入，有创新思维，表述清晰 完成1—2题，思路正确，结论合理 完成1题，基本达到要求 未完成或完成质量较低 3. 核心素养评价要点 素养维度 评价要点 对应题目 数学抽象 能否从具体情境中抽象出函数的三要素，能否用集合语言准确表述函数概念 第1、2、8题 逻辑推理 能否准确判断两个函数是否为同一函数，能否有条理地说明判断理由 第5、10题 数学运算 能否准确求出函数值、定义域和值域 第3、4、6、7、9题 数学建模 能否将实际问题转化为函数问题，能否合理解释函数的实际意义 第8、11、12题 4. 评价实施建议 （1）教师评价与同伴互评相结合：基础巩固篇由教师批改评价；能力提升篇可采取同伴互评与教师抽查相结合的方式；拓展探究篇以教师评价为主，可适当引入学生自评和同伴互评。 （2）过程性评价与结果性评价相结合：对于拓展探究篇，重点关注学生在探究过程中的思维表现、方法运用和创新意识，而非仅看最终答案是否正确。 （3）及时反馈与个别指导相结合：批改后应在下一课时内完成讲评，对典型错误进行集中分析。对于在分层作业中表现突出的学生给予表扬，对于完成困难的学生进行个别辅导，帮助其找到适合自身水平的学习路径。 （4）建立“再挑战”机制：允许学生在教师讲评后重新完成拓展探究篇中未选做的题目，鼓励学生在理解加深后再尝试挑战，充分体现弹性与选择性原则。 编制说明：本课时作业依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》及人教A版（2019）必修第一册第三章第一节“函数的概念”的内容要求编写。作业设计遵循分层性、弹性和选择性原则，基础巩固篇确保全体学生掌握核心知识，能力提升篇促进知识向能力的转化，拓展探究篇为学有余力的学生提供发展空间。试题均为原创，融入周口本地情境和跨学科元素，旨在培养学生的创新思维和实践能力。 学科网（北京）股份有限公司 $