2026-2027学年高一上学期人教2019数学A版必修第一册《3.1.1函数的概念》教学评一体化设计（全套教案+学案+测评，全程渗透学法指导）

该教案聚焦函数概念核心知识点，从初中“变量说”过渡到高中“对应说”，涵盖三要素、区间表示及相等函数判断。通过复习旧知结合“y=1是否为函数”等认知冲突问题，搭建新旧知识衔接支架。 这份教学评一体化资料特色鲜明，以列车运行等四实例引导归纳函数本质，渗透数学抽象与逻辑推理素养。采用实例探究、任务驱动等方法，全程评价助力分层教学，帮助学生养成严谨思维，为教师提供完整教学闭环支持。

人教2019数学A版必修第一册《3.1.1函数的概念》教学评一体化设计（全套教案+学案+测评，全程渗透学法指导） 第一部分 教案 一、基本信息 1.课题：人教2019数学A版必修第一册3.1.1函数的概念 2.课时安排：1课时（45分钟） 3.授课年级：高一 4.学科：数学 5.学情分析 学生在初中阶段已经接触过函数的"变量说"定义，熟悉正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数等具体函数模型，能够根据解析式判断两个变量之间的依赖关系，具备初步的函数图象识别能力。然而，学生对函数概念的理解停留在"变量依赖关系"层面，难以精确描述变量的变化范围，对"对应关系"的抽象要求较低。 学生现存核心短板分为四大类：第一，概念理解碎片化，无法用集合语言与对应关系完整刻画函数，混淆函数的"变量说"与"对应说"本质差异；第二，对应关系理解模糊，对符号y=f(x)中"f"的含义认识不清，不能区分对应关系与其具体表示形式（解析式、图象、表格）；第三，定义域意识薄弱，解题时忽略自变量取值范围对函数的关键作用，导致判断函数相等时漏判定义域；第四，三要素关系割裂，无法整体把握定义域、对应关系、值域三者的内在联系，在判断函数是否相同时顾此失彼。 本节课以四个典型实例（列车运行、工人工资、空气质量指数、恩格尔系数）为载体，引导学生从具体问题中抽象出函数的共同本质特征，落实函数概念、三要素、区间表示、相等函数判断四大核心知识点，分层突破对应关系抽象理解、符号f含义认知、定义域优先原则、函数判断标准四大教学难点，承接初中函数知识，为后续函数的表示法、单调性、奇偶性等性质学习筑牢基础，全程实施课堂即时评价、分层训练评价、课后作业评价，构建完整教、学、评一体化课堂闭环。 6.学科核心素养目标 （1）数学抽象 ①从四个具体实例中归纳概括出函数的共同特征：两个非空数集、一个对应关系、任意性、唯一性，抽象出用集合语言与对应关系刻画的函数定义。 ②完成函数概念从初中"变量说"到高中"对应说"的认知升级，能够用符号语言y=f(x), x∈A规范表达函数，实现文字语言、图形语言、符号语言的灵活转化。 （2）逻辑推理 ①经历"实例分析—共性归纳—定义概括"的完整概念形成过程，体会从特殊到一般的数学归纳推理方法。 ②运用函数定义对具体对应关系进行判断与论证，辨析"一对一""多对一""一对多"等对应关系的函数属性，培养定义优先的推理习惯。 （3）数学运算 ①掌握用区间表示数集的方法，能够准确求解简单函数的定义域。 ②能够根据函数解析式求函数值，完成从自变量到函数值的对应运算。 （4）直观想象 借助图象、表格等直观形式理解函数的对应关系，通过图象法判断变量之间是否构成函数关系，建立"以形助数"的思维习惯。 （5）数学建模 能够将实际问题中的变量关系抽象为函数模型，体会函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，用函数的观点分析和解决实际问题。 7.教学重难点 （1）教学重点 ①用集合语言与对应关系刻画的函数概念及其三要素（定义域、对应关系、值域）。 ②区间表示法及简单函数的定义域求解。 ③判断两个函数是否为同一函数的标准（定义域优先、对应关系一致）。 （2）教学难点 ①对抽象符号y=f(x)的理解，特别是对应关系"f"的含义及其与具体表示形式的区别。 ②从四个实例中归纳概括函数的共同本质特征，完成概念抽象。 ③定义域优先原则的自觉运用，在判断函数相等时首先检查定义域是否一致。 8.教学准备：多媒体PPT课件、四个实例的动态演示素材、函数概念辨析任务单、区间表示练习纸、课堂小组积分评价表、当堂错题收集卡、分层随堂练习题、GeoGebra动态演示素材 9.教学方法：情境导入法、实例探究法、类比归纳法、任务驱动教学法、小组合作讨论法、讲练结合法、概念形成教学法 10.学法指导预设 全程渗透"读实例—找要素—比异同—悟本质—用定义"标准化概念建构流程；总结"一看非空数集、二看对应关系、三看唯一确定"函数判断口诀；指导学生整理函数概念的三要素结构图、相等函数判断流程图，建立概念辨析错题台账，重点纠正忽略定义域、混淆对应关系、误判非函数关系等高频问题，养成定义优先的严谨思维习惯。 二、教学过程 （一）复习衔接导入 激趣启思（5分钟） 1.旧知回顾：快速回顾初中函数定义（变量说），提问学生：初中学习过哪些函数？它们的解析式分别是什么？什么是函数？抽查学生对函数"变量依赖关系"的认知基础。 2.认知冲突设问：展示问题"y=1是函数吗？""y=x与y=x²/x是同一个函数吗？"引发学生认知冲突，让学生意识到初中函数定义存在局限性，需要更精确地刻画函数。 3.点明课题：本节课在集合语言的基础上，用"对应关系说"重新定义函数，建立更精确、更一般的函数概念，为后续函数性质学习奠定基础。 4.学法渗透：学习数学概念的核心方法是"从实例中归纳共性、从共性中抽象本质"，本节课将通过四个实例的对比分析，共同建构函数的新定义。 （二）概念精讲 扫清认知障碍（12分钟·重点落实） 1.概念分层领学 环节一：四个实例逐层探究 （1）实例1——列车运行问题 某"复兴号"高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时。设运行时间为t（单位：h），行进路程为S（单位：km）。 提问：S与t的对应关系如何表示？这是一个函数吗？t可以取任意实数吗？ 结论：S=350t，其中t∈{t|0≤t≤0.5}，S∈{S|0≤S≤175}。强调：必须指明自变量的变化范围。 （2）实例2——工人工资问题 某公司要求工人每周工作至少1天，至多6天，工资标准为每人每天350元。设工作天数为d，工资为w。 提问：w与d的对应关系如何表示？用解析式怎样表示？用表格怎样表示？ 结论：w=350d，d∈{1,2,3,4,5,6}，w∈{350,700,1050,1400,1750, 2100}。说明：对应关系可以用解析式、表格等多种形式表示。 追问：实例1和实例2的对应关系相同（都是y=350x），它们是同一个函数吗？为什么？ 引导学生认识到：对应关系相同但自变量取值范围不同，函数就不同——定义域是决定函数的关键要素之一。 （3）实例3——空气质量指数问题 展示北京市2016年11月23日空气质量指数（AQI）变化图。 提问：如何确定这一天内任一时刻t的AQI值I？I是t的函数吗？对应关系是什么？ 结论：对于任意时刻t∈[0,24]，都有唯一确定的I与之对应，I是t的函数。对应关系由图象给出，无法用统一解析式表示，但仍然是函数。 强调：函数的对应关系不仅可以是解析式，还可以是图象、表格等。 （4）实例4——恩格尔系数问题 展示我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况表（2006—2015年）。 提问：恩格尔系数r是年份y的函数吗？对应关系是什么？ 结论：对于表中的每一个年份，都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，r是y的函数。对应关系由表格给出。 环节二：归纳概括，形成定义 （5）引导归纳：以上四个实例有什么共同特征？填写下表： 实例1 实例2 实例3 实例4 自变量集合A 函数值所在集合B 对应关系 共同特征：①都有两个非空数集A、B；②都有一个对应关系；③对于集合A中的任意一个数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数和它对应。 （6）给出函数定义： 一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x), x∈A。 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 （7）核心概念解读： ①三要素：定义域A、对应关系f、值域{f(x)|x∈A}。定义域和对应关系确定后，值域随之确定。 ②符号f(x)的含义：f表示对应关系，f(x)表示自变量x在对应关系f下的函数值，是一个数；f(a)（a为常数）表示当x=a时的函数值。 ③函数判断三标准：A、B为非空数集；任意性（A中每一个元素都有对应）；唯一性（对应值唯一确定）。 2.易混点深度辨析 （1）函数的"变量说"与"对应说"对比：初中"变量说"强调两个变量的依赖关系，但无法精确描述变量的变化范围；高中"对应说"用集合语言精确刻画自变量的取值范围和函数值的范围，更加严谨、更具一般性。 （2）函数值与函数值所在的集合：值域是函数值的集合，是集合B的子集，不一定等于B。 （3）对应关系的多种表示：解析式、图象、表格都是对应关系的具体表现形式，对应关系"f"是抽象的，不拘泥于某一种表示形式。 3.正反实例对照 正例：A={1,2,3}，B={1,4,9}，f:x→x²，构成函数，满足"任意性"和"唯一性"。 反例：A={1,2,3}，B={1,4,9,16}，f:x→x²，构成函数（值域是B的子集）。 反例：A=R，B=R，f:x→1/x，不构成函数（x=0时无意义，不满足"任意性"）。 4.课堂互动抢答：教师展示不同对应关系情境，学生快速判断是否构成函数，并说明理由，强化"非空数集、任意性、唯一性"三标准。 5.学法小结：学概念重归纳，四实例找共性；非空数集为前提，任意唯一是关键；定义域是根基，对应关系可多样。 （三）题型精讲 分层例题训练（18分钟·重难点突破） 1.三类基础题型分类梳理 题型一：判断对应关系是否为函数 解题要点：严格按照函数定义三标准——A、B为非空数集；A中任意元素在B中有对应；对应值唯一。 题型二：求函数定义域 解题要点：使解析式各部分都有意义的自变量取值的集合；注意分母不为零、偶次根式被开方数非负、零次幂底数不为零等限制条件。 题型三：判断两个函数是否相等 解题要点：定义域优先原则——先看定义域是否相同，再看对应关系是否一致；定义域不同则函数必不相等。 2.分层例题精讲 基础例题：判断下列对应是否为函数 （1）A=R，B=R，f:x→x² （2）A=R，B=R，f:x→±√x （3）A={1,2,3}，B={2,4,6}，f:x→2x 规范解答：按"三标准"逐条判断。 提升例题：求下列函数的定义域 （1）f(x)=√(x-1) （2）f(x)=1/(x-2) （3）f(x)=√(x-1)+1/(x-2) 难点例题：判断下列各组函数是否相等 （1）f(x)=x与g(x)=x²/x （2）f(x)=x与g(x)=(√x)² （3）f(x)=x与g(x)=|x| 3.小组辨析任务：四人一组，各小组负责一类易错题型的辨析，对比"是函数/不是函数""函数相等/函数不等"的判定依据，总结判断标准和易错警示。 4.规范书写训练：专项强化函数判断题的规范格式——"依据定义：①检查非空数集；②检查任意性；③检查唯一性；④下结论"。 5.当堂习题过关：分层完成概念判断、定义域求解、相等函数判断三类习题，当堂纠错、全员过关。 6.学法小结：函数判断记三性——非空、任意、唯一性；求定义域找限制——分母、根式、零次幂；相等函数看两样——定义域先看、对应再比。 （四）变式操练 综合输出（7分钟·难点巩固） 1.基础仿写练习：自主编写一组构成函数、一组不构成函数的对应关系，用集合语言完整表述。 2.双人互查纠错：两人结对互出函数判断题，互相批改，指出判断依据是否准确、理由是否充分。 3.成果展示点评：选取学生板书作业展示，全班统一点评纠错，固化函数判断标准格式。 4.错题整理积累：整理典型错题，标注错误类型、正确判断依据、纠错思路，形成个人易错清单。 （五）课堂小结（3分钟） 1.知识小结：掌握函数的三要素定义、区间表示法、相等函数判断标准；理解函数概念从"变量说"到"对应说"的认知升级。 2.方法小结：形成"实例分析—共性归纳—抽象定义"的概念建构方法；掌握"一看非空数集、二看对应关系、三看唯一确定"的函数判断流程。 3.素养小结：强化数学抽象、逻辑推理核心素养，养成定义优先、规范论证、严谨表述的数学思维习惯。 （六）当堂检测（1分钟） 1.熟记函数的三要素定义与函数判断三标准； 2.能够正确判断简单对应关系是否为函数、简单函数是否相等。 （七）分层作业布置（1分钟） 基础层（基础薄弱生） 1.熟记函数的定义（集合语言表述）、三要素内涵，默写并理解函数概念的关键词； 2.完成教材基础习题，求给定函数的定义域，规范书写解题步骤； 3.绘制函数概念三要素思维导图。 提升层（中等生） 1.整理函数概念三要素，梳理"是函数/不是函数""函数相等/函数不等"两类辨析题型的判断标准； 2.完成定义域求解、相等函数判断分层习题，规范书写判断依据； 3.能够独立分析实例中的函数三要素，完整书写函数判断的推理过程。 拓展层（优等生） 1.总结定义域求解中各类限制条件（分母、根式、零次幂、对数、正切等）的分类处理策略； 2.探究含参函数的定义域问题，掌握分类讨论的基本方法； 3.自主设计一个实际问题情境，抽象出函数模型，并分析其三要素。 三、板书设计 3.1.1 函数的概念 1.函数定义：A、B非空数集，对应关系f，x∈A，唯一f(x)∈B，记作y=f(x) 2.三要素：定义域A、对应关系f、值域{f(x)|x∈A} 3.函数判断三标准：非空数集→任意性→唯一性 4.相等函数判断：定义域相同→对应关系相同 5.区间表示法：闭区间、开区间、半开半闭区间 6.易错警示：忽略定义域、混淆对应关系、误判非函数关系 四、教后反思 本节课通过四个实例逐层探究、共性归纳形成概念的模式开展教学，贴合高一学生从具体到抽象的认知规律，课堂梯度清晰、评价贯穿全程，多数学生能够理解用集合语言刻画的函数定义，初步掌握三要素分析方法和函数判断标准，基本达成教学目标。 课堂突出问题：部分学生对符号f(x)的理解停留在形式层面，不能准确区分f与f(x)的含义；定义域优先原则落实不到位，判断函数相等时先看解析式再看定义域，顺序颠倒；对用图象、表格表示的函数，对应关系抽象理解仍有困难；部分学生缺乏用集合语言表达函数三要素的规范性。 后续改进：增设符号f(x)的专项辨析训练，强化"f是法则，f(x)是值"的理解；固化和强化"先看定义域"的解题习惯，通过对比练习强化定义域优先原则；增加图象、表格型函数的对应关系分析练习；规范三要素的集合语言表达，完善教评一体化闭环，筑牢函数概念学习基础。 第二部分 学案 3.1.1 函数的概念导学案 班级：__________姓名：________学号：得分： 一、学习目标 1.通过四个具体实例的分析，归纳概括函数的共同本质特征，理解用集合语言与对应关系刻画的函数定义。 2.掌握函数的三要素（定义域、对应关系、值域），能够用区间表示数集。 3.掌握判断对应关系是否为函数的标准，能够判断两个函数是否相等。 4.体会从特殊到一般的数学抽象方法，提升数学抽象与逻辑推理素养。 二、预习导学 （一）概念填空预习 1.初中阶段函数定义（变量说）：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有______确定的值与之对应，我们就说y是x的函数。 2.高中阶段函数定义（对应说）：设A、B是______的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个数x，在集合B中都有______确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。 3.函数的三要素： 、 、______。 4.判断两个函数是否相等的标准：先看______是否相同，再看______是否一致。 5.区间[a,b]表示数集{x|}，(a,b)表示数集{x|}。 （二）基础判断预习（对√，错×） 1.若对应关系为"求平方根"，从A={1,4,9}到B={-1,1,-2,2,-3,3}构成函数。（ ） 2.若对应关系为"求绝对值"，从A=R到B={x|x≥0}构成函数。（ ） 3.若两个函数的定义域相同，则它们一定相等。（ ） 4.f(x)=x²/x与g(x)=x是同一函数。（ ） 5.函数值域一定是集合B本身。（ ） （三）预习疑点 通读教材三个实例及函数定义，圈画函数概念理解、符号含义、函数判断三类疑难问题，课堂重点探究突破。 三、课中合作探究 （一）实例共性归纳探究 填写下表，归纳四个实例的共同特征： 实例1（列车） 实例2（工资） 实例3（AQI） 实例4（恩格尔系数） 自变量集合A 函数值所在集合B 对应关系表示形式 是否构成函数 共同特征：①______；②______；③______。 （二）函数判断探究 判断下列对应是否为函数，并说明理由： （1）A={1,2,3}，B={1,4,9}，f:x→x² 判断依据：______ 结论：______ （2）A=R，B=R，f:x→1/x 判断依据：______ 结论：______ （三）相等函数探究 判断f(x)=x与g(x)=(√x)²是否为同一函数，并说明理由。 判断步骤：①______；②______；③结论______。 四、课堂达标自测 （一）概念填空（20分） 1.函数y=f(x)中，x叫做______，x的取值范围叫做函数的______。 2.符号f(x)表示______，f(2)表示______。 3.区间[a,b)表示数集{x|______}。 4.若函数f(x)的定义域为A，值域为C，则C______B（填"⊆"或"="）。 （二）函数判断（30分） 1.判断下列对应是否构成函数，并说明理由（15分） （1）A={0,1,2}，B={0,1,2,4}，f:x→x² （2）A=R，B=R，f:x→√x 2.判断下列各组函数是否相等（15分） （1）f(x)=x-1，g(x)=(x²-1)/(x+1) （2）f(x)=|x|，g(x)=√(x²) （三）简答计算（50分） 已知函数f(x)=√(x-1)+1/(x-2)。 （1）求函数的定义域，并用区间表示； （2）求f(3)和f(5)的值； （3）判断点(4,5/2)是否在函数图象上，写出完整推理过程。 导学案参考答案 二、预习导学 （一）1.唯一 2.非空；任意；唯一 3.定义域；对应关系；值域 4.定义域；对应关系 5.a≤x≤b；a<x<b （二）1.× 2.√ 3.× 4.× 5.× 三、课中合作探究 （一）共同特征：①都有两个非空数集A、B；②都有一个对应关系；③对于集合A中任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应。 （二）（1）判断依据：A、B为非空数集，A中每一个元素按f:x→x²在B中都有唯一确定的值对应，构成函数。 （2）判断依据：A中元素x=0时，1/x无意义，不满足"任意性"，不构成函数。 （三）判断步骤：①定义域：f(x)=x的定义域为R，g(x)=(√x)²的定义域为[0,+∞)，定义域不同；②结论：不是同一函数。 四、课堂达标自测 （一）1.自变量；定义域 2.函数值；当x=2时的函数值 3.a≤x<b 4.⊆ （二）1.（1）构成函数（A中元素对应值均在B中且唯一）；（2）不构成函数（x<0时√x无意义，不满足任意性）。 2.（1）不相等（f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≠-1}）；（2）相等（定义域均为R，对应关系均为"取绝对值"）。 （三）解：（1）由{x-1≥0, x-2≠0}得{x≥1, x≠2}，定义域为[1,2)∪(2,+∞)。 （2）f(3)=√(3-1)+1/(3-2)=√2+1；f(5)=√(5-1)+1/(5-2)=2+1/3=7/3。 （3）f(4)=√(4-1)+1/(4-2)=√3+1/2≠5/2，故点(4,5/2)不在函数图象上。 第三部分 测评案 3.1.1函数的概念同步测评 满分：100分 时间：40分钟 一、概念填空与规则运用（20分） 1.函数f:A→B中，集合A叫做函数的______，集合B叫做函数值的______。 2.用区间表示数集：{x|x≥-1且x≠2}=______。 3.判断两个函数是否相等，核心依据是______和______。 4.对应关系f与f(x)的区别：f表示______，f(x)表示______。 二、基础判断题（每题4分，共20分，对打√，错打×） 1.若A=R，B=R，f:x→x²+1，则f为从A到B的函数。（ ） 2.若A=R，B=R，f:x→±x，则f为从A到B的函数。（ ） 3.若两个函数的定义域和值域都相同，则它们一定相等。（ ） 4.函数f(x)=√(x-2)的定义域为[2,+∞)。（ ） 5.函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点。（ ） 三、公式应用与规范书写（30分） 1.判断下列对应是否构成函数，写出完整的判断依据（15分） （1）A={1,2,3}，B={0,1,2,3}，f:x→x-1 （2）A=R，B=R，f:x→x²+1 2.判断下列各组函数是否相等，写出判断步骤（15分） （1）f(x)=x+1，g(x)=(x²-1)/(x-1) （2）f(x)=∛(x³)，g(x)=x 四、解答题（15分） 已知函数f(x)=√(x+2)/(x-1)。 （1）求函数的定义域，并用区间表示； （2）求f(2)和f(7)的值； （3）判断点(3,√5/2)是否在函数图象上，写出完整推理过程。 五、综合辨析简答（15分） 简述函数定义中"非空数集""任意性""唯一性"三个关键词的核心含义，结合一个构成函数的实例和一个不构成函数的实例进行说明，指出判断函数时的高频易错点。 测评案参考答案 一、概念填空与规则运用 1.定义域；所在集合（值域是B的子集） 2.[-1,2)∪(2,+∞) 3.定义域；对应关系 4.对应关系（法则）；函数值 二、基础判断题 1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.√ 三、公式应用与规范书写 1.（1）判断依据：A、B为非空数集；A中元素1对应0、2对应1、3对应2，均在B中且唯一；满足任意性与唯一性，构成函数。 （2）判断依据：A、B为非空数集；任意x∈R，x²+1∈R且唯一；满足任意性与唯一性，构成函数。 2.（1）不相等。f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≠1}，定义域不同。 （2）相等。定义域均为R，对应关系均为"取立方根后再立方即自身"。 四、解答题（标准格式） 解：（1）由{x+2≥0, x-1≠0}得{x≥-2, x≠1}，定义域为[-2,1)∪(1,+∞)。 （2）f(2)=√(2+2)/(2-1)=2；f(7)=√(7+2)/(7-1)=3/6=1/2。 （3）f(3)=√(3+2)/(3-1)=√5/2，故点(3,√5/2)在函数图象上。 五、综合辨析简答（标准答题格式） 1.三个关键词核心含义 非空数集：函数的定义域和值域所在集合必须是非空的实数集合，空集不能作为函数的定义域或值域所在集合。 任意性：定义域A中的每一个元素都必须有对应值，不能有遗漏（如分式中分母为零的点必须排除）。 唯一性：A中每一个元素对应的函数值必须是唯一的，不能出现"一对多"的情况。 2.构成函数的实例 A={1,2,3}，B={1,4,9}，f:x→x²。A中每个元素在B中都有唯一对应的平方值，构成函数。 3.不构成函数的实例（高频易错） A=R，B=R，f:x→1/x。A中元素0无对应值（分式无意义），不满足"任意性"，不构成函数。 易错警示：忽略定义域中使解析式无意义的点（如分母为零、偶次根式被开方数为负等），错误判断为函数。 学科网（北京）股份有限公司 $