4.5.2 用二分法求方程的近似解（教学设计）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 4.5.2 用二分法求方程的近似解 设计时间 授课时间 课标要求 1.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思．并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性. 2.进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 教材分析 指用数学解决实际问题时，经常需要解方程，但从现实问题中抽象出的方程往往难以求出准确解.从实用角度考虑，也不需要准确解，只需要达到一定精度的近似解即可.因此有必要研究如何求满足一定精确度的方程近似解. 前面已经研究过“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”，因此类比“一元二次方程bx+c=0有实根⟺ 一元二次函数有零点⟺ 一元二次函数的图象与x轴有公共点”，可以得出“方程f(x)=0有实数解⟺ 函数y=f(x)有零点⟺ 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点”，于是可将求方程实数解的问题转化为求函数零点的问题.这是一个从特殊到一般的过程，是培养学生数学抽象素养的载体. 函数有零点，直观上看是函数图象穿过x轴，将之转化为代数语言就是函数零点存在定理.从逻辑的角度看函数零点存在定理，设条件p“函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是一条连续不断的曲线，且有f()f(b)<0"，条件q“函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一个零点”，那么p⇒q,qp，即p是q成立的充分不必要条件.函数零点存在定理只能判断函数零点存在，而不能判断函数有几个零点或者不存在零点.理解函数零点存在定理的过程是培养学生思维严谨性的好载体. 依据函数零点存在定理，可以判断函数零点存在的区间，并借助于二分法不断地缩小零点存在的范围，直到符合精度的要求.其一般的操作步骤是： 首先，按照函数零点存在定理，找到存在零点的一个区间，比如（a,b)；第二步，计算中点的函数值，依据函数零点存在定理确定第一次二分之后零点存在的一个区间或；第三步，继续进行第二步的操作，直到满足精确度的要求. 利用二分法求方程近似解时的重复性和程序性体现了算法思想，体现了按照明确步骤解决问题的重要性.可以结合具体问题抽象出解决此类问题的程序框图，使得算法的思想更加直观明确.在二分的过程中，不断缩小的零点存在区间，体现了逼近思想.在这个过程中有助于培养学生的算法思想和数学运算素养.在具体求解过程中常常具有构造性，也是培养学生创新思维的过程. 学习二分法，还因为它是最简单的一种分割法，而且容易建立前后两步之间的迭代关系，保证一定的收敛速度，利于算法的实现. “精确度”是用来判断是否可以结束“二分”的标准，它不同于“精确到”.精确度是指近似值与其准确值x的接近程度，当|-x|<ε时，就说它的精确度是ε.一般做法是：对于数值x，如果要获得它满足精确度ε的近似值，就可以找一个包含x的区间[,b]，使得|-b|<ε即可.“精确度”是用准确值所在领域的半径刻画近似程度，“精确到”使用准确值的数位刻画近似值的近似程度.在精确度ε限制下近似值为所在区间中的任意值，即近似值有无数个；满足“精确到”的近似值是唯一的. 函数的另一个应用是利用函数建立模型解决实际问题，分为两个方面.一方面是应用已知的函数模型解决实际问题，比如利用马尔萨斯提出的自然状态下的人口增长模型分析人口的增长变化，利用指数函数型模型解决碳14含量的相关问题等．另一方面是根据问题的条件建立函数模型解决实际问题，比如，哪种投资方案更好，哪种奖励方案更适宜等.本单元中函数应用突出“指数型”和“对数型”函数模型的建模能力.这是提升学生数学建模素养的载体. 一般而言，对于一个具体的实际问题，可以用于刻画其数量关系、变化规律的函数类型是不唯一的，应根据实际问题的需要进行权衡，并需要借助一定的数学工具对含糊的拟合优度进行判断.基本初等函数都是某一类运动变化现象的数学抽象，是理想化的.现实事物的运动变化往往不是那么单一，其增长方式是丰富多彩的，根据实际情况选择相应的函数类型，有时就需要“分段处理”，即建立分段函数模型.这些方面的研究，在后续可以逐步完善. 学情分析 直观上看，当连续函数的图象穿过x轴时，存在零点.将这种直观感知用符号语言表达出来却是难点，原因是想不到这种转化.为破解此难点，教学中要通过“问题＋情境”引导学生经历函数零点存在定理的探索发现过程.用好教科书中设计的“探究”活动，结合二次函数的图象进行观察分析，多画几个二次函数，引导学生归纳零点存在时哪些因素在变化，哪些因素不变，从而抽象出定理，并利用正反例证让学生理解定理给出的是零点存在的充分不必要条件. 二分法容易操作，但是将之一般化抽象出一个程序框图，以揭示其中的算法思想有一定困难.为此，可以先依据二分法的定义和操作步骤解决具体的求方程近似解问题，再通过教师讲解和阅读教科书的方式，将求解过程用程序框图表示出来，并通过教师介绍，了解框图中符号的含义.“精确度”的理解也是一个难点，而且容易与“精确到”混淆，为此要结合具体例子进行解释，通过与“精确到”比较帮助学生理解. 函数的应用是老大难问题.难在需要根据背景信息分析数量及其关系并将之转化为函数问题，再一个困难是对得出的函数模型是否能用于描述实际问题变化规律的判断.另外，同一个实际问题可以建立不同类型的函数模型刻画其中的变化规律，哪一个更适合？要做出选择，这也是学生欠缺的.为破解此难点，在应用已有模型解决实际问题的例子中，要加强运算，用函数模型的运算结果解释实际问题；在选择模型解决实际问题的例子中，要通过问题引导学生分析其增长情况，并借助计算工具画出函数图象，据此选择模型，建立模型解决实际问题. 单元教学目标 1.能类比“一元二次方程有实根一元二次函数有零点一元二次函数的图象与x轴有公共点”，得出“方程f(x)=0有实数解函数 有零点函数 的图象与x轴有公共点”，能用函数观点看方程，能将方程问题转化为函数零点问题.结合二次函数图象的特点，概括零点存在的条件，得出零点存在判定定理，能举例说明定理条件的充分不必要性. 2.能结合具体实例说明二分法的定义和操作步骤，能画出二分法的程序框图，并能借助计算工具求具体函数的零点，能举例说明区间内的每一个值都是满足精确度的近似解. 3.针对具体的问题情境，能利用所给的函数模型通过运算求出参数，确定模型，并利用它描述或解释实际问题；能通过分析实际问题中变量增长方式的差异，选择适合的函数作为数学模型解决问题. 单元教学重点 难点 1.教学重点：函数的零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用，用二分法求方程近似解的方法与步骤，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程. 2.教学难点：函数零点存在定理的导出，用二分法求方程近似解的算法，选择恰当的函数模型分析和解决实际问题. 单元课时分配 本单元分4课时： 第1课时，函数的零点与方程的解； 第2课时，用二分法求方程的近似解； 第3课时，函数模型的应用（1)； 第4课时，函数模型的应用（2)． 第二课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，借助具体函数，探索用二分法求方程近似解的思路。 拓展性目标：★★ 通过任务二，由特殊到一般，了解用二分法求方程近似解具有一般性，归纳其方法与步骤。 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，学生能利用二分法求解方程的近似解，并会画二分法求方程近似解的程序框图. 课时学习重难点 教学重点：用二分法求方程近似解的思路与步骤． 教学难点：用二分法求方程近似解的算法． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 一、创设情境，提出问题： 我们知道，很多实际问题的解决最后都归结为解方程，通过上一节课的学习，我们知道求方程解的问题可以转化为函数零点问题，并且已经探索得到函数零点存在定理，接下来我们研究如何求出这个零点. 二、目标一：学生能探索用二分法求方程近似解的思路. 在教材143的例1中，结合函数 =6 的单调性，利用函数零点存在定理判断出该函数在区间（2,3）内存在一个零点． 任务一：学生能阅读课本，理解求方程近似解的思路 问题1：（1）阅读教材147页的“中外历史上的方程求解”，求解方法有哪些？ （2） 在实际问题中，哪种方法最为简单？这种方法是如何缩小零点所在的范围？ （3） 如何利用（2）中确定的方法，求出函数 =6在区间（2,3）内的零点呢？（可以使用计算器） 答： （1）方法有：二分法（一种常见的利用计算技术的数值解法），还有牛顿法，拟牛顿法，弦截法等页都是典型的数值解法。 （2）二分法：通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围. （3）第一步：取区间（2,3）的中点2.5，用计算器算得≈-0.084，而≈-1.307,≈1.099，则<0.根据函数零点存在定理可知，零点在区间（2.5,3）内． 第二步：再取区间（2.5,3）的中点2.75，用计算器算得≈0.512因为<0，所以零点在区间（2.5,2.75）内． 以此类推，重复上述过程。 评估一：学生能用二分法求出具体函数的零点 （小组合作）练习： （1） 如果给定精确度0.01，那么如何求出函数 =6在区间（2,3）内的零点呢？ （2） 阅读教科书第145页定义之前的内容，完成表4.5-2，写出满足精确度要求零点的近似值.可以使用计算工具. 表4.5-2 次数 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 区间长度 0 (2,3) 2.5 -0.084 1 (2.5,3) 2.75 0.512 2 (2.5,2.75) 3 4 5 6 7 答： （1）当精确度为0.01时，只要零点所在区间长度小于0.01，那么该区间内的值都是满足精确度要求的零点的近似值. （2）利用计算器或计算机完成。零点的近似值为（2.53125,2.5390625）内任意一点 表4.5-2 次数 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 区间长度 0 (2,3) 2.5 -0.084 1 1 (2.5,3) 2.75 0.512 0.5 2 (2.5,2.75) 2.625 0.215 0.25 3 (2.5,2.625) 2.5625 0.066 0.125 4 (2.5,2.5625) 2.53125 -0.009 0.0625 5 (2,53125,2.5625) 2.546875 0.029 0.03125 6 (2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010 0.015625 7 (2.53125,2.5390625) 2.535156 25 0.001 0.0078125 教师讲解：观察填写好的表格和函数图象图4.5-3，因为2.5390625-2.53125=0.0078125<0.01，所以区间（2.53125,2.5390625）内任意一点都可以作为零点的近似值.为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x=2.53125作为函数=6零点的近似值，也即方程6=0 的近似解. 图4.5-3 3、 目标二：学生由特殊到一般，了解用二分法求方程近似解具有一般性，归纳其方法与步骤。 任务二：学生能由特殊到一般，归纳用二分法求方程近似解的方法与步骤 问题2： 将上述求函数 =6 零点的方法一般化，就得到了常用的二分法.那么什么是二分法，用二分法求方程近似解的步骤是怎样的？请你先思考，然后阅读教科书第145页，之后默写． 答： 1. 二分法定义： 对于在区间［，］上图象连续不断且的函数 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2. 用二分法求函数零点的步骤： 给定精确度ε，用二分法求函数 零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间［，］，验证 . （2）求区间（，）的中点c． （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若(此时，则c就是函数的零点； ②若(此时，则令=c; ③若(此时，则令=c （4）判断是否达到精确度e：若|-|<ε，则得到零点近似值（或b)；否则重复步骤（2)~(4)． 评估二：学生能说出精确度不同对零点近似值的影响 思考： （1）对于例1，精确度ε=0.01，因此区间［2.53125,2.5390625］内任意一点都可以作为零点的近似值．比如取2.53125, 2.53175．如果再将它精确到0.001，还是满足精确度的近似值吗？ （2）根据上面的问题，你觉得精确度ε如何确定零点所在的区间？取零点的近似值应该注意什么？ 答： （1）2.53125≈2.531[2.53125,2.5390625]，不是满足精确度的近似值.2.53175≈2.532E[2.53125,2.5390625]，是满足精确度的近似值． （2）“精确度”是用准确值所在领域的半径刻画近似程度，因此要注意在取出满足精确度的近似值之后一般不再用四舍五入的方法按照精确到求其近似值. 教师讲解：精确度和精确到是两种不同的确定近似值的方法.“精确度”是用准确值所在领域的半径刻画近似程度，“精确到”是用准确值的数位刻画近似值的近似程度.不能混用，要注意它们的区别.有兴趣的同学还可以查阅资料了解更多. 四、目标三：学生能利用二分法求解方程的近似解，并会画二分法求方程近似解的程序框图. 任务三：学生能利用二分法求解方程的近似解. 例2. 借助计算工具，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1)． 解：原方程即，令，用计算工具画出函数y=f(x)的图象（图4.5-4)，并列出它的对应值表（表4.5-3)． 表4.5-3 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 3 10 21 40 75 142 273 图4.5-4 观察图4.5-4或表4.5-3，可知，说明该函数在区间（1,2）内存在零点 取区间（1,2）的中点5，用计算工具算得≈0.33.因为，所以 再取区间（1,1.5）的中点，用信息技术算得≈-0.87.因为，所以 同理可得， 由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375 评估三：学生会画二分法求方程近似解的程序框图． 思考：（1）类比例1，你还能找到其他解法吗？ （2）用二分法求方程的近似解具有程序性，结合例1、例2的求解过程，你能画出它的程序框图吗？表达清楚意思即可. 答：（1）解法二： 原方程即，令 可证函数y=f(x)为增函数. 又因为=-2<0=3>0，所以. （下同解法一）取区间（1,2）的中点5，用计算工具算得≈0.33.因为，所以 再取区间（1,1.5）的中点，用信息技术算得≈-0.87.因为，所以 同理可得， 由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375. （2）如图4.5-5 图4.5-5 教师讲解： 由例1和例2我们看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤.因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图4.5-5就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用计算工具求方程的近似解. 学生通过课前阅读，或者教师的提示，想到求方程近似解的思路。 学生在确定思路后，自主思考，能使用计算器，利用零点存在性定理，初步理解二分法的步骤流程。 学生阅读之后，小组合作，分工完成，可以用计算工具计算完成表4.5-2，教师可以利用画图软件画出函数图象帮助学生验证结果，并总结结论。 学生可以总结出求解步骤，但是用符号语言表示还是存在困难.阅读教科书，得出二分法的步骤。 学生先独立完成，之后交流.教师补充注意点。 学生类比例1，独立完成． 学生自主思考，回顾例1，能写出解法二。 学生能大致画出程序框图即可.在此基础上，教师带着学生一起学习正确的程序框图 衔接上一课时，进一步提出问题，并解决问题.迫问1，引导学生具体操作，了解缩小零点所在范围的办法．了解如何结束缩小范围的操作，即如何判断满足精确度的函数零点的存在区间.并初步感知如何用精确度确定函数的近似值，体会其与“精确到”的不同.渗透程序化的思想，为抽象概念做好铺垫. 从具体问题中抽象出二分法的定义和求解步骤，并进一步用符号表达，提升学生的数学抽象素养，通过问题，强化近似值的取法．通过思考，让学生具体地感受到精确度与“精确到”的不同，避免实际使用时出现错误，培养学生思维的严谨性. 巩固用二分法求方程的近似解．并且引导学生类比例1，一方面用技术工具求解问题，一方面通过估值来判断函数值.培养学生的数学运算素养. 将二分法的求解步骤用程序框图表示出来，并揭示其中的算法思想. 课堂小结 1.二分法的定义； 2.用二分法求函数零点的步骤； 3.二分法求方程近似解的程序框图。 学生作业 1.基础性作业：教科书第146页练习第1,2题； 答案： 1.由题设可知ｆ(0)=-1.4<０,ｆ(1)＝1.6>０,于是ｆ(０)ｆ(１)<０,所以函数ｆ(x)在区间(０,１)内存在零点ｘ0.下面用二分法求函数ｆ(ｘ)=ｘ３ +1.1ｘ２ +0.9ｘ-1.4 在区间(0,１)内的零点. 取区间(0,１)的中点ｘ1＝ 0.5,用计算器可算 得ｆ(０.5)＝ -０.55. 因为ｆ(０.5)ｆ(１) <０,所以ｘ1∈(０.5,１). 再取区间(０.5,１)的中点ｘ2＝０.75, 用计算器可算得 ｆ(０.75)≈0.32, 因为ｆ(０.5)ｆ(０.75)<０, 所以ｘ0∈(０.5,０.75). 同理可得ｘ0∈(0.625,0.75),ｘ0∈(0.625,0.6875). 由于｜0.6875－0.625｜＝0.0625<0.1, 所以函数在区间(０,１)内零点的近似值约为0.6875. 2.原方程可化为x＋lgｘ-３=０,令ｆ(ｘ)=x＋lgｘ-３,用计算器可算得ｆ(２)≈－0.7, ｆ(３)≈0.48.于是ｆ(２)ｆ(３) <０,所以这个方程在区间(2,3)内存在实数解ｘ0. 下面用二分法求方程x＋lgｘ-３=０在区间(2,3)内的近似解. 取区间(2,3)的中点ｘ1＝2.5,用计算器可算得ｆ(2.5)≈－0.1. 因为ｆ(2.5)ｆ(３) <０, 所以ｘ0∈(2.5,３). 再取区间(2.5,３)的中点ｘ2＝ ２.７５,用计算器可算得ｆ(2.75)≈0.19.因为ｆ(2.5)∙ｆ(2.75) <０, 所以ｘ0∈(2.5,2.75). 同理可得ｘ0∈(2.5,2.625),ｘ0∈(2.5625,2.625). 由于｜2.625－2.5625｜＝0.0625<０.１, 此时区间(2.5625,2.625)中任意一个值都是零点ｘ0满足精确度的近似值,所以原方程的近似解可取为 2.6. 2.提升性作业：教科书第155页习题4.5第1、4、5题; 答案： 1. ①③ 4.　 由题设有ｆ(２)≈－0.31<０,ｆ(３)≈0.43>０,于是 ｆ(２)∙ｆ(３) <０,所以函数ｆ(x)在区间(２,３)内存在零点ｘ0.下面用二分法求函数ｆ(x)＝-２x在区间(２,３)内的近似解. 取区间(２,３)的中点ｘ1＝2.5,用计算器可算得ｆ(2.5)≈0.12,因为ｆ(２)∙ｆ(2.5) <０,所以ｘ0∈(２,2.5). 再取区间(２,2.5)的中点ｘ2＝2.25,用计算器可算得ｆ(2.25)≈－0.08. 因为ｆ(2.25)∙ｆ(2.5) <０,所以ｘ0∈(2.25,2.5). 同理可得ｘ0(2.25,2.375),ｘ0∈(2.3125,2.375),由于|2.375－2.3125|＝0.0625<0.1,所以函数在区间 (２,３) 内的零点可取为 2.375. 5.　 原方程可化为0.8x-1-,令ｆ(ｘ)＝0.8x-1-,ｆ(0) 没有意义,用计算器算得ｆ(0.5)≈0.5９,ｆ(1)＝-0.2,于是 ｆ(0.5)∙ｆ(１)<０,所以这个方程在区间(0.5,１) 内存在实数解x0. 下面用二分法求方程0.8x-1=在区间(0.5,１)内的近似解.取区间(0.5,1)的中点ｘ1＝0.75,用计算器可算得ｆ(0.75)≈0.13. 因为ｆ(0.75)∙ｆ(1)<０,所以ｘ0∈(0.75,１).再取区间(0.75,１)的中点ｘ2＝0.875,用计算器可算得ｆ(0.875)≈－0.04.因为ｆ(0.875)∙ｆ(0.75)<０,所以ｘ0∈(0.75,0.875). 同理可得ｘ0∈(0.8125,0.875). 由于|0.8125－0.875|＝0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取为0.875. 3.拓展性作业:教科书第155页习题4.5第8题. 8.(１)由题设有g(ｘ)=２－[ｆ(ｘ)]２＝2-(-ｘ2 -3ｘ-２)2＝-ｘ4 -6ｘ3-13x2－12x-２. (２)函数图象如图所示. (３)由图象可知, 函数ｇ(x) 分别在区间(-3,-2)和区间(-1,０)内各有一个零点. 取区间(-3,-2)的中点ｘ1＝-2.5,用计算器可算得ｇ( -2.5)＝1.4375. 因为ｇ(-3)∙ｇ( -2.5) <０,所以ｘ0∈(-3,-2.5). 再取区间(-3,-2.5)的中点ｘ2＝-2.75,用计算器可算得ｇ(-2.75)≈0.28, 因为ｇ(-3)∙ｇ(-2.75) <０, 所以ｘ0∈(-3,-2.75). 同理可得ｘ0∈( -2.875,-2.75),ｘ0∈(-2.8125,-2.75). 由|-2.75-(-2.8125)|=0.0625<0.1,所以函数在区间 (-3,-2)内的零点约为-2.8.同样可求得函数在区间(-1,０)内的零点约为-0.2. 所以函数ｇ(ｘ)的零点约为-2.8,-0.2. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $