3.2.1函数的单调性教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的单调性 一、教学内容解析 1．教材内容及地位 《函数的单调性》是高中数学新教材必修一第三章第二节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力. 因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地。 2．教学重点 函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性。 3．教学难点 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 二、学生学情分析 1.从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图像，从图像的直观变化，学生能粗略的得到函数增减性的定义，所以引入函数的单调性的定义应该是顺理成章的。 2.从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 3.从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心理是学生学好本节课的情感基础。但是如何运用数学符号将自然语言的描述提升为形式化的定义，学生接受起来比较困难？在教学中要多引导，让学生真正的理解函数单调性的定义。 三、课堂教学目标 1．知识目标:理解函数单调性的相关概念。掌握证明简单函数单调性的方法。 2．能力目标:通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法。 3．德育目标:通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量。引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力。 四、学法与教法 学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题 （2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动 （3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如例题的处理）。 教学用具：电脑、多媒体。 教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则 突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。 （1） 新课引入——提出问题,激发学生的求知欲。 （2）理解函数单调性的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得函数单调性的定义。 （3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。 （4）变式练习——深化对函数单调性内涵的理解，巩固新知。 五、教学过程 一、创设情境，引入课题（利用电脑展示） 实例 如图为某市一天内的气温变化图： 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 观察图形，能得到什么信息？ 预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的升降变化（若学生没指明时间段，可追问）等。 图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性（板书课题）。 设计说明：从某市气温图导入新课，直观形象感知气温变化，自然引入课题函数的单调性。 二、引导探索，生成概念 问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？（学生自己动手画，然后电脑显示下图） 预设：师:函数与函数的图像变化规律 生：函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内 y随x的增大而减小． 师：函数的图像变化规律 生：在y轴的的左侧y随x的增大而减小．在y轴的的右侧y随x的增大而增大。 师：我们学过区间的表示方法，如何用区间的概念来表述图像的变化规律 生：在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小． 师：这样表述就比较严密了，很好。由上面的讨论可知，函数的单调性与自变量的范围有关，一个函数并不一定在整个定义域内是单调函数，但在定义域的某个子集上可以是单调函数。 师:函数的图像变化规律如何。 生:（1）在定义域上，y随x的增大而减小。 （2）在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小。 师：对于两种答案，哪一种是正确的，为什么？让学生分组讨论。 设计说明：引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质． 问题2:（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y随x的增大而增大”？ 以二次函数在区间上的单调性为例，用几何画板动画演示“y随x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一对数据）。 设计说明：先借助图形、动画和表格等直观感受“y随x的增大而增大”，然后让学生思考、讨论得出，若，则必须有。在区间上递增。 （2）已知，若有。能保证函数在区间上递增吗？ 拖动“拖动点”改变函数在区间上的图象，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增。 （3）已知，若有，能保证函数在区间上递增吗？ 拖动“拖动点”，观察函数在区间上的图象变化。 设计说明：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两个定点不能确定函数的单调性，三个点也不行，无数个点行不行呢？引导学生过渡到符号化表示，呈现知识的自然生成。 （4）已知，若有 ，能保证函数在区间上递增吗？ 设计说明：可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生画出反驳，然后追问：无数个也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个的验证吧？” 再次体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想。 问题3：如何用数学语言准确刻画函数在区间上递增呢？ 预设：请学生自愿尝试概括定义。 板书“任意，当时，都有，则称函数在区间上递增”，则突出关键词“任意”和“都有”；若缺少关键词“任取”或“任意”，则追问“验证两个点就能保证函数在区间上递增吗”。 问题4：请你试着用数学语言定义函数在区间上是递减的。 预设：为表达准确规范，要求学生先写下来，然后展示。 并有意引导使用“任意，当时，都有，则称函数在区间上递减”，以此打破必须“”的思维定势。 通过以上问题分析引入对单调性定义的说明: （1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （2）x1 , x2 取值具有任意性； (3)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增加的（或减少的），一般不能认为函数在A∪B上是增加的（或减少的），应该是在A和B是增加的（或减少的）。（4）如果函数 y =f(x)在区间D单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间上具有严格的单调性，区间D叫做 的单调区间。 三、典例分析 例1. 如图是定义在闭区间上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增加的还是减少的？ 说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可。 思考:写出函数 f(x) = -x2 +1的单调区间。 设计说明：通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。要求学生结合图象求函数单调区间。渗透用图象法来判断函数的单调性思想方法 例2. 证明函数在（0，+）是减函数． 1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流． 证明：任取且, 设元 求差 变形 断号 ∴函数函数在（0，+）是减函数． 定论 2．归纳解题步骤 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形（因式分解、配方、不等式等）断号、定论。 思考：如何证明在（-上的单调性。 设计说明:初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．为研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的图像及性质做好铺垫。 四、 回顾反思，深化认识 课堂小结： 通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？ （关键词：三种语言，证明方法，数学思想，情感体验等。） 设计说明：先给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高学生的思维。 探究题：物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大。试用函数的单调性证明。 设计说明：引导学生用数学知识解释其他学科的规律，培养学生应用数学的意识和能力。 五、 板书设计 函数的单调性 递增：（板书定义） 递减：（学生类比） 例题（提炼步骤，明确变形方向） 练习（学生板演） 六、 布置作业 课堂作业：（1）第85页习题3-2 1，2，3； 七、教后反思 1．从结合实际问题出发，，让学生感受运用函数单调性概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活中的问题。 2．给出函数单调性的数学语言。通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。 3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。 5．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。 学科网（北京）股份有限公司 $