高考数学知识点总结（2027版）

高考数学知识点总结（2027版） 目 录 01集合与常用的逻辑用语 3 02一元二次函数、方程和不等式 6 03复数 10 04平面向量 12 05函数与导数 16 （一）函数及其性质 16 （二）指对幂函数 16 （三）一元函数的导数及其应用 24 06三角函数 34 （一）三角函数 34 （二）三角恒等变换 38 （三）解三角形 39 07数列 41 （一）数列基础 41 （二）等差数列 42 （三）等比数列 43 （四）其他 44 08空间向量与立体几何 49 （一）空间几何体 49 （二）点线面的位置关系 58 （三）空间向量及其在立体几何中应用 63 09平面解析几何 66 （一）直线的方程 67 （二）圆的方程 68 （三）圆锥曲线 71 10计数原理与概率统计 77 （一）统计与概率 77 （二）计数原理 85 （三）随机变量及其分布列 87 （四）成对数据统计分析（统计案例） 90 01集合与常用的逻辑用语 （一）集合 1.元素与集合的关系 属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作.. 不属于：如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作.。. 2. 集合间的基本关系：子集、集合相等、真子集(包含关系） 子集：如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B 的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”） 集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B. 性质：A⊆B，且B⊆A⇔A=B；A=B，且B=C，则A=C 真子集：如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集。空集是任何非空集合的真子集。 *常见数集的记法 集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 3.集合的子集个数 假设集合A中含有n（n∈N*）个元素，则：（1）A的子集个数是2n；（2）A的非空子集个数是2n-1；（3）A的真子集个数是2n-1；（4）A的非空真子集个数是2n-2. 4.集合的基本运算 1）并集 符号语言： 运算性质：，，，，， 2）交集 符号语言： 运算性质：，，，，， 3）补集 符号语言：CUA={x|x∈U，且x∉A} 运算性质：CUA⊆U，CUU=⌀，CU∅=U，CU(CUA)=A，A∪(CUA)=U，A∩(CUA)=∅ 4）德·摩根定律 （1）CU(A∩B)=( CUA)∪(CUB)； （2）CU(A∪B)=( CUA)∩(CUB). （二）常用的逻辑用语 5.充分条件和必要条件 定义：一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出。这时，我们就说，由可推出 ，记作： 。①是的充分条件；②是的必要条件 从集合角度理解： 相当于 6.充要条件 充要条件：一般地，如果既有 ，又有 ，就记作： 。 此时，我们说，是的充分必要条件，简称充要条件。 ①显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件。概括的说，如果 那么与互为充要条件。 从逻辑关系上看： 条件p与结论q的关系 结论 p q 但 q p P是q成立的充分不必要条件 p q 但 p q P是q成立的必要不充分条件 p q 但 q p P是q成立的充要条件 p q 但 q p P是q成立的既不充分也不必要条件 7.全称量词与全称量词命题 全称量词：短语 “所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “” 表示。 全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x) 8.存在量词与存在量词命题 1）存在量词：短语 “存在一个” “至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 “” 表示。 2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x) 9. 全称量词命题和存在量词命题的否定 命题类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型 全称量词命题 P：∀x∈M，p(x) ¬p：∃x∈M，¬p(x) 存在量词命题 存在量词命题 P：∃x∈M，p(x) ¬p：∀x∈M，¬p(x) 全称量词命题 10.常用的正面叙述词语和它的否定词语. 原词语 等于(=) 小于(<) 都是 至少有一个 至多有一个 至多有n个 否定词语 不等于(≠) 不小于(≥) 不都是 一个也没有 至少有两个 至少有(n+1)个 11.全称量词命题和存在量词命题及其否定中的求参问题 解决含有量词的命题求参问题的思路 (1)全称量词命题求参数范围的问题一般为“恒成立”问题，存在量词命题求参数范围的问题一般转化为“有解”问题.解决问题时，可构造函数，利用数形结合求参数的取值范围，也可用分离参数法求参数的取值范围. (2)对于命题p的有些问题，正面解决很难或者很复杂，这时我们可以考虑它的反面，即把与命题p有关的问题转化成与命题¬p有关的问题，从而把问题简化，即“正难则反”的方法，也就是“补集思想”的应用. (3)常见结论： ①∃x∈D，y=0，等价于方程y=0在x∈D上有实数根; ②∀x∈D，y>0，就是不等式y>0在x∈D上恒成立，等价于ymin>0; ③∃x∈D，y>0，就是不等式y>0在x∈D上有解，等价于ymax>0; ④∀x∈D，y<0，就是不等式y<0在x∈D上恒成立，等价于ymax<0; ⑤∃x∈D，y<0，就是不等式y<0在x∈D上有解，等价于ymin<0. 02一元二次函数、方程和不等式 00. 等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 1. 不等关系 不等关系 a大于b a小于b a不大于b a不小于b a不等于b 符号表示 a>b a<b a≤b a≥b a≠b 2.两个实数比较大小的方法 (1)作差法；(2)作商法 3. 不等式的性质 5.基本不等式：两个重要不等式 不等式 变形形式 等号成立的条件 当且仅当a=b 基本不等式： ≤ (a，b>0) a+b≥2，ab≤ 当且仅当a=b 常用结论：ab≤≤ 均值不等式串 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. *绝对值不等式 ， 当且仅当 ab≤0 时左边等号成立，ab≥0 时右边等号成立 6.选学知识点： 柯西不等式 二维柯西不等式的向量形式 二维柯西不等式的概率形式 三维柯西不等式 伯努利不等式 权方和不等式 7.不等式倒数和分数性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0,0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质(糖水不等式）：<，>(b－m>0)； ②假分数的性质：>，<(b－m>0)． 8.三个“二次”间的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实 根x1,x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1=x2=- 没有实 数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 9.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题 1. 设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的两个实数根,,令f(x)=ax2+bx+c (a>0)，则x1，x2的分布情况如下表： 根的分布 图象 等价条件 x1<x2<k   k<x1<x2   m<x1<k<x2<n x1，x2∈(k1，k2) 只有一根在(k1，k2)内 或f(k1)·f(k2)<0 10.一元高次不等式解法(数轴标根法） 高次一元不等式常用“数轴标根法”来解，其步骤是： （1） 等价变形后的不等式一边都是零，另一边时各因式的积，系数化为正数； （2） 把各因式的根标在数轴上； （3） 从右上角起，用曲线穿透（奇次根穿透，偶次根不穿透），看图像写出解集； 如图： 11.分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 14.绝对值不等式的解法 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 常用结论 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 03复数 1.复数的有关概念 (1)定义:我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位). (2)分类 满足条件(a，b为实数) 复数的 分类 a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 (3)复数相等:a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数:a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)模:向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 2.复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系. 3.复数的运算 (1)运算法则:设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义: 复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即. 1.i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 2.(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i，. 3.复数的模与共轭复数的关系z·＝|z|2＝||2. 4.r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环; |z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆. 共轭复数的性质 若记z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数为，则=a-bi. 对于z与有如下性质： (1)z·=|z|2=||2； (2)如果z=，则z， 为实数； (3)共轭复数的和为实数，即z+=2a； (4) =+； (5) =  . 04平面向量 一、平面向量概念及线性运算 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||. (2)零向量:长度为0的向量，记作0. (3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b. 规定:0与任一向量平行. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律: a＋b＝b＋a (2)结合律: (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|; (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同;当λ<0时，λa的方向与a的方向相反;当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa; (λ＋μ)a＝λa＋μa; λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则(). 2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1. 3.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向;二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 二、平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量的基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然. 2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 三、平面向量的数量积及其应用 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.  (3)投影向量如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe=·. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积:a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模:|a|＝. (3)夹角:cos θ＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 4.平面几何中的向量方法 三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 1.有关向量夹角的两个结论 已知非零向量a，b. (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0; 若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0; 若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2; (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2; (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 常用结论 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G. 相关运算和坐标运算对比 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 注意 (1)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； (2)两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线； 05函数与导数 （一）函数及其性质 1.函数的三种表示方法 表示法 定义 特点 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 简单、全面，易求函数值 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 无需计算，查表可得函数值 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 形象、直观，便于研究函数的性质 求函数值域(最值)的几种方法 (1)配方法:主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法:利用函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值(值域). (4)换元法:引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”. (5)分离常数法:分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法,把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 2.函数的单调性 1）. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①)； 2）. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②). 图① 图② 4.复合函数单调性：①f(x)，g(x)在公共区间上的单调性如下： y=f(x) y=g(x) y=f(x)+g(x) y=f(x)-g(x) 增 增 增 增 减 增 减 减 减 减 增 减 ②复合函数单调性：由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合，得到函数y=f(g(x))，同增异减 u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 *利用函数的单调性解不等式：若已知函数的单调性，由的大小关系可以确定自变量的大小，进而解得不等式。 4.奇函数、偶函数的定义 1） 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且，那么函数f(x)就叫做偶函数. 2） 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且，那么函数f(x)就叫做奇函数. 注意：奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称. 5.奇函数、偶函数的图象特征 1） 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称. 2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. *奇偶函数的运算性质 奇函数奇函数=奇函数； 偶函数偶函数=偶函数； 奇函数偶函数=奇函数； 奇函数奇函数=偶函数； 偶函数偶函数=偶函数； *复合函数的奇偶性：遇偶则偶，全奇才奇。 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 【补充知识】函数图像变换 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象; y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象; y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象; y＝ax(a>0,且a≠1)的图象 y＝logax(a>0,且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax); y＝f(x)y＝Af(x). (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象; y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象. 【周期性和对称性】 *4.函数的对称性 1、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线对称. 2、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线对称. 3、函数满足的充要条件是图象关于直线对称. 4、若满足，则的图象关于原点对称. 5、若满足，则的图象关于点对称. 6、若满足，则的图象关于点对称. 【点睛】（非常重要）对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 常见的抽象函数模型: (1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)可看作f(x)＝kx的抽象表达式; (2)f(x＋y)＝f(x)f(y)可看作f(x)＝ax的抽象表达式(a>0,且a≠1); (3)f(xy)＝f(x)＋f(y)可看作f(x)＝logax的抽象表达式(a>0,且a≠1); (4)f(xy)＝f(x)f(y)可看作f(x)＝xα的抽象表达式. （二）指对幂函数 6.实数指数幂的运算性质 7.指数函数的图象和性质 指数函数 y=ax(a>0，且a≠1) 0<a<1 a>1 图象     定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 过定点 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 单调性 在R上是减函数 在R上是增函数 函数值 的变化 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 8.对数与指数的关系　这是指数式与对数式互化的依据；相关结论如下： (1)负数和0没有对数； (2) (3) 9、对数的运算性质 10、对数换底公式 1）对数换底公式： 2） 相关结论： 10. 对数函数的图象与性质 对数函数 y=logax(a>0，且a≠1) 0<a<1 a>1 图象     定义域 (0，+∞) 值域 R 性质 过定点 过定点(1，0)，即x=1时，y=0 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值 的变化 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 对称性 y=logax与y=x的图象关于x轴对称 12. 五个幂函数的性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象           定义域 R R R [0，+∞) (-∞，0)∪(0，+∞) 值域 R [0，+∞) R [0，+∞) (-∞，0)∪(0，+∞) 单调性 增函数 在[0，+∞)上单调递增，在(-∞，0]上单调递减 增函数 增函数 在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递减 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 共同点 图象都经过点(1，1) 常用结论 1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0) 2．如图，给出4个对数函数的图象． 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 12.幂函数的图象 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1） 在第一象限内，根据幂函数的图象确定幂指数α的范围，依据图象高低判断幂指 数的大小，相关结论如下： (1)当α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增. 在第一象限，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当α=1时，幂函数的图象为直线y=x在第一象限的部分； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸. 当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上单调递减，且函数在原点处无意义. 当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象为不包括点(0，1)且平行于x轴的直线. (2)在第一象限内，幂函数的图象如图所示，作直线x=a(a>1)，它同各幂函数图象相 交，按交点从下到上的顺序，幂指数依次增大. 2）利用定义域及奇偶性确定幂函数在其他象限的图象. 若幂函数在(-∞，0)上无意义，则其在(-∞，0)上的图象不存在；若幂函数在(-∞，0)上有意义，当函数为偶函数(α为偶数)时，函数图象一定出现在第二象限，当函数为奇函数(α为奇数)时，函数图象一定出现在第三象限. 13.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)=0的解. 14.用二分法求函数y=f(x)零点的近似值 1）二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2） 用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤 　　给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0 (此时x0∈(a，c))，则令b=c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c. (2) 判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 15.常见的函数模型 常见 的函 数模 型 一次函数模型 y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 y=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 y=mlogax+n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 y=axn+b(a，n，b为常数，a≠0) 16.用二分法求方程的近似解 1） 二分法求方程近似解的适用条件 (1)在初始区间内函数图象是连续不断的； (2)函数在初始区间的两个端点的函数值异号，即是变号零点. 2）利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小. (2)用列表法清晰地表达函数零点所在的区间，依次进行计算. (3)求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (4)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点. （三）导数及其应用 1.函数在某点处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率)：　　如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f(x)在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f'(x0)或y'，即 f'(x0)==. 2. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 3.导数的运算法则，若f'(x),g'(x)存在,则有: (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); (2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); (3)=(g(x)≠0); (4)[cf(x)]'=cf'(x). 4.复合函数的概念及其求导法则 一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数 y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x. 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 1． 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负， 由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 常用结论 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 知识梳理 1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 常用结论 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 极值点偏移 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色． 1．极值点偏移的概念 已知函数y＝f(x)是连续函数，在区间(a，b)内只有一个极值点x0，f(x1)＝f(x2)，且x0在x1与x2之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有x0≠，这种情况称为极值点偏移． 2．极值点偏移问题的一般题设形式 (1)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (3)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0＝，求证：f′(x0)>0； (4)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0. 解决不等式恒(能)成立问题的特殊策略 策略一　洛必达法则 1.在解决不等式恒(能)成立,求参数的取值范围这一类问题时,最常用的方法是分离参数法,转化成求函数的最值,但在求最值时如果出现“”型或“”型的代数式,解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则. 2.洛必达法则 法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件: (1)f(x)=0及 g(x)=0; (2)在点a的某去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0; (3)=A,那么==A. 法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件: (1)f(x)=∞及 g(x)=∞; (2)在点a的某去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0; (3)=A,那么==A. 应用洛必达法则的思路: 不等式恒(能)成立问题构造函数(不易求最值)端点函数值 参数的范围 策略二　必要性探路——端点效应、内点效应、显点效应、极点效应 1.端点效应 (1)端点效应的适用条件 ①函数在端点处取得最值 ②导函数单调含参,即导函数(一阶导函数或二阶导函数等)含有参数,且该函数为单调函数. (2)端点效应的实质 满足题设的函数只能是“单调函数在端点处取得最值”这一种情况,利用端点处所满足的必要条件缩小参数的取值范围,在很多情况下,该范围即为所求,然后再证明充分性即可. (3)常见端点效应类型 ①对于连续函数f(x),∀x∈[m,n],f(x)≥0(含参数a),且有f(m)=0(或f(n)=0),则有f'(m)≥0(或f'(n)≤0); ②对于连续函数f(x),∀x∈[m,n],f(x)≥0(含参数a),且有或 则必有f″(m)≥0或f″(n)≤0. 2.内点效应 (1)若函数在端点处无意义或者导函数单调不含参数,则端点效应失效. (2)内点效应的实质 函数不在端点处取得最值,而是在区间中间某个点(即内点)取得最值,或者在端点和内点同时取得最小值. 3.显点效应 显点效应,又称特殊点效应,可以通过取区间内的一些特殊点求出参数的取值范围,达到缩小考虑范围的目的. (1)出现对数时,考虑(猜想)特殊点1,e,. (2)出现指数时,考虑(猜想)特殊点0,1. (3)出现三角函数时,考虑(猜想)特殊点0,,,π等.显点的“点”也是内点,显点效应是内点效应的补充. 4.极点效应 (1)极点效应 也就是函数的极值点和零点是同一个数,并且这个数必须是定义域“内点”. (2)极点效应的实质 设函数f(x)在点x0某个邻域(x0-δ,x0+δ)内有定义,且f'(x)存在,若此邻域内恒有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则f'(x0)=0. 满足极点效应的函数只能在定义域中间某个点取得最值,如果在端点处取得最值,则不能用极点效应这种方法做题. 5.构造函数，利用导数证明(解)不等式 1） 利用单调性解不等式的关键是构造函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，因此熟悉以下结论可以达到事半功倍的效果. (1)对于f'(x)>g'(x)，构造h(x)=f(x)-g(x)，特殊地，若遇到f'(x)>a(a≠0)，即导函数大于某个非零常数(若a=0，则无需构造)，则可构造h(x)=f(x)-ax. (2)对于f'(x)+g'(x)>0，构造h(x)=f(x)+g(x). (3)对于f'(x)+f(x)>0，构造h(x)=ex·f(x). (4)对于f'(x)-f(x)>0，构造h(x)= . (5)对于xf'(x)+f(x)>0，构造h(x)=x·f(x). (6)对于xf'(x)-f(x)>0，构造h(x)= . (7)对于>0，分类讨论： ①若f(x)>0，则构造h(x)=ln f(x)；②若f(x)<0，则构造h(x)=ln[-f(x)]. 2）利用导数证明不等式的步骤 (1)将要证明的不等式f(x)>g(x)(x∈(a，b))移项，构造函数F(x)=f(x)-g(x)，转化为证明 F(x)>0的形式. (2)确定函数的单调性，若F'(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数；若F'(x)<0，则F(x)在 (a，b)上是减函数. (3)将单调区间的端点值代入，若函数F(x)是增函数，且F(a)=f(a)-g(a)≥0，则当x∈ (a，b)时， f(x)-g(x)>0，即f(x)>g(x)；若F(x)是减函数，且F(b)≥0，则当x∈(a，b)时， f(x)-g(x)>0，即f(x)>g(x). 6.【三次函数图像与性质】 知识点1：三次函数的概念 形如的函数叫做三次函数，其中x是自变量，a，b，c，d是常数；其导函数为二次函数，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像： 知识点2：三次函数的零点 对于三次函数（、、、且），其导数为. (1) 若，则恰有一个实根； (2) 当，其导数有两个解，，原函数有两个极值，． ①当时，原方程有且只有一个实根 ②当时，原方程有两个实数根 ③当时，原方程三个实数根． 知识点3：三次方程韦达定理 若一元三次方程存在三个实数根，则：. 知识点4：三次函数的单调性 三次函数， （1）若，则在上为增函数； （2）若，则在和上为增函数，在上为减函数； （3）当时，上述情况的单调性相反. 知识点5：三次函数的对称性 （1）三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称； （2）极值点与对称中心的关系：设三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，则． 知识点6：三次函数的切线问题 对于任意三次函数，过其图象的对称中心作切线，坐标平面会被切线与的图象分割为四个区域，相关结论如下： （1）过区域II、区域III内的任意一点及的对称中心作的切线，有且仅有1条； （2）过切线上的点或图象上除对称中心外的点作的切线，有且仅有2条； （3）过区域I、区域IV内的任意一点作的切线，有且仅有3条. 7.常见的指对同构变形: xex=ex+ln x,=ex-ln x,=eln x-x,x+ln x=ln(xex),x-ln x=ln ,xa==ealn x. 积型aea≤bln b同构,三种同构途径: (1)同左:aea≤(ln b)eln b,构造函数f(x)=xex, (2)同右:ealn ea≤bln b,构造函数f(x)=xln x, (3)取对:a+ln a≤ln b+ln(ln b),构造函数f(x)=x+ln x. 商型≤同构,三种同构途径: (1)同左:≤,构造函数f(x)=; (2)同右:≤,构造函数f(x)=; (3)取对数:ln a-a≤ln(ln b)-ln b,构造函数f(x)=ln x-x. 和差型ea±a≤b±ln b同构,两种同构途径: (1)同左:ea±a≤eln b±ln b,构造函数f(x)=ex±x; (2)同右:ea±ln ea≤b±ln b,构造函数f(x)=x±ln x. 8.八大经典超越函数的图象 凹凸反转 1.如果要证明的不等式由指数、对数、多项式函数组合而成,且构造差函数不易求其最值,则往往进行指、对分离,转化为证明g(x)≥h(x),分别求g(x)min、h(x)max进行证明,由于两个函数图象的凹凸性正好相反,故这种证明不等式的方法称为凹凸反转. 2.凹凸反转常见的三种模型 (1)高人一等,即上函数的最小值大于下函数的最大值,不取等(f(x)>g(x))如图①, (2)亲密接触,即上函数的最小值等于下函数的最大值,且取等条件一致(f(x)≥g(x))如图②, (3)错位时空,即上函数的最小值等于下函数的最大值,但取等条件不一致(f(x)>g(x))如图③, *切线放缩 06三角函数 （一）三角函数 1.弧度制 如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为1，那么，角α的弧度数的绝对值是｜α｜= 。 弧度制下：角的集合与实数R之间一一对应。 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 2. 任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x 定义 正切 叫做α的正切函数，记作tan α， 即tan α＝(x≠0) 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 (2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图. (3)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么 sin α＝;cos α＝;tan α＝(x≠0). 1.象限角 2.轴线角 3. 若角α∈，则sin α<α<tan α. 3.同角三角函数的基本关系 1） 公式： ， =， . 2） 深化公式： 4. 诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限），6组 5. 三角函数的图像与性质 1.正弦函数、余弦函数的图像和性质 1）正弦、余弦函数图像画法： （1）几何法 （2）五点法：用“五点法” (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2）曲线：正弦曲线：y=sinx，x∈R，余弦曲线：y=cosx，x∈R 3）性质： 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ－π，2kπ] 单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ （1）周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)= f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 （2）最小正周期：在周期函数f(x)的所有周期中存在的一个最小正数。 （3）函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos (ωx+φ)的周期：T= （4）奇偶性：对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(-x)=- f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数。对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。 （5）对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。 （6）单调性：单调递增、单调递减 常用结论 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． 6. 函数 1．简谐运动的有关概念 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点 ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． （二）三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 常用结论 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)tan αtan β＝1－＝－1. 辅助角公式： 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 . . 3.升幂公式、降幂公式 4.和差化积公式、积化和差公式、万能公式、半角公式 和差化积公式： ， ， 积化和差公式： ； ； 半角公式： ，； 万能公式： （三）解三角形 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2． 三角形解的判断 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 常用结论 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ； cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 07数列 （一）数列基础 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1>an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 常用结论 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)； 若an最小，则(n≥2，n∈N*)． 1.利用Sn与an的关系求数列的通项公式 已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式an的步骤： (1)当n=1时，由a1=S1求出数列的首项; (2)当n≥2时，由an=Sn-Sn-1(n≥2)求出当n≥2时{an}的通项公式; (3)如果a1也满足当n≥2时{an}的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1; 否则数列{an}的通项公式要表示为an= （二）等差数列 2.等差数列 1)递推公式：an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2，n∈N*) 2)性质： (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)． (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{an}是递减数列； 当d＝0时，{an}是常数列． 3)通项公式：an=a1+(n-1)d. 4)等差数列前n 项和公式 已知首项、末项与项数，则Sn=. 已知首项、公差与项数，则Sn=na1+d. 等差数列前n项和的常用性质： (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数． (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． *判定一个数列是等差数列的方法 (1)定义法：an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法：2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列. (3)通项公式法：数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列. 　　其中，定义法和等差中项法是证明一个数列为等差数列的依据. 常用结论 1．等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． 2．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A. 4．若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝. 5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S偶－S奇＝nd，＝. 6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 (1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； (2)＝. （3） 等比数列 3.等比数列 1)递推公式：=q(n∈N*)或=q(n≥2，n∈N*)， 2)通项公式：an=a1qn-1. 3)性质：在等比数列{an}中，若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则akal=aman. 特别地，若m+n=2r,(m，n，r∈N*)，则aman=. (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 4)等比数列的前n 项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和公式 Sn=  Sn= 等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的公比q≠－1, 前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 等比数列的单调性 1）当q<0时，数列{an}是摆动数列，不具有单调性. 当q=1时，数列{an}是常数列，不具有单调性. 2） 当或时，数列{an}单调递增. 3） 当或时，数列{an}单调递减. *等比数列的判定(证明) 判定一个数列是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足=q(q为常数且不为零)或=q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列. 　　对于等比数列的定义需要理解：从第2项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，这个常数(不包括0)具有任意性，且是“同一个”. (2)等比中项法：对于数列{an}，若=anan+2且an≠0，则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an=cqn(c≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列. 　　其中，定义法和等比中项法可作为证明一个数列是等比数列的依据. 等比数列的前n 项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和公式 Sn=  Sn= 常用结论 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn. (2)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (3)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. （4） 其他 4.数学归纳法 1） 数学归纳法的概念：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 知识梳理 数列求和的几种常用方法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． ①等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. ②等比数列的前n项和公式：Sn＝ (2)分组求和法与并项求和法 ①分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． ②并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． (4)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项技巧 ①＝－. ②＝. ③＝. ④＝－. ⑤＝. 常用结论常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. (3)12＋22＋32＋…＋n2＝. (4)13＋23＋33＋…＋n3＝2. （五）数列不等式 1）常用的放缩、裂项和拆项的结论（通项放缩）． （1），，； 或，； 或． （2）． （3）． （4）， ． （5）， 或． （6）指数型：，． （7）． （8）， ， ． （9）． （由于，分别令与，代入对数不等式并化简即可） （10）． （基本不等式的应用，如） 2）裂项放缩技巧积累： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13） ； （14）； （15）； （16）； （17）． 3）函数不等式放缩 1．母函数为分式型函数的放缩 分式型不等式：． 因为函数为增函数 2．母函数为三角函数型的放缩： 3.母函数为指数、对数型函数的放缩 ，，，等． 4．母函数为对勾函数（基本不等式）的放缩 08空间向量与立体几何 （一）空间几何体 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝4πR2 V＝πR3 常用结论 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)． 2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 球的切、接问题 一、正方体与球 1．内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a. 2．棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长a. 3．外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长a. 二、长方体与球 外接球：外接球直径2R＝体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)． 三、正棱锥与球 1．内切球：V正棱锥＝S表·r＝S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高． 2．外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h)． 　 四、正四面体的外接球、内切球 若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h＝a，R＝a，r＝a，R∶r＝3∶1. 五、正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心．R2＝2＋2. 六、圆柱的外接球 R＝(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径)． 七、圆锥的外接球 R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径)． 3.如何确定多面体的截面 作截面的步骤 (1)确定截面与多面体的哪些棱相交； (2)寻找平行线 (3)找到截面与多面体相交棱的公共点； (4)将所得的公共点依次连接起来，画出截面. *外接球问题中常见的8种模型 一、墙角模型 适用范围：3组或3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合 直接用公式，即，求出 【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑 二、麻花模型 适用范围：对棱相等相等的三棱锥 对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。 推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为， ，，，列方程组， ， 补充： 第三步：根据墙角模型，， ，，求出. 三、垂面模型 适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。 推导过程： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点， 作小圆的直径,连接,则 必过球心. 第二步：为的外心，所以平面， 算出小圆的半径 (三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理. 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： （1）； （2）. 公式： 四、切瓜模型 适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥 推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心、过两个外心做两个垂面的垂线， 两条垂线的交点即为球心0，取B C的中点为， 连接、、、为矩形 由勾股可得 公式： 五、斗笠模型 适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥 推导过程：取底面的外心，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高，在上取一点作为球心0，根据勾股定理 公式： 六、矩形模型 适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径 推导过程：图中两个直角三角形和，其中，求外接圆半径 取斜边的中点，连接，则 所以点即为球心，然后在中解出半径 公式：（为斜边长度） 七、折叠模型 适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠. 推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠， 设折叠的二面角 . 如图，作左图的二面角剖面图如右图： 和分别为外心， 分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心 由勾股定理可得：. 公式： 八、鳄鱼模型 适用范围：所有二面角构成的棱锥，普通三棱锥 方法：找两面外接圆圆心到交线的距离，找二面角，找面面交线长度 推导过程：取二面角两平面的外心分别为,并过两外心作这两个面的垂线，两垂线相交于球心，取二面角两平面的交线中点为， 则四点共圆，由正弦定理得：① 在中，由余弦定理得：② 由勾股定理得：③ 由①②③整理得： 记 则 公式： 4.棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1).柱体： 2).椎体：; 3).台体： 4).球体： *解决与球有关的切、接问题，其通法是：作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程： 1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； 2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； 3）求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式（为底面多边形的外接圆的半径，为几何体的外接球的半径，表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究. *探究与几何体表面展开图相关的问题 1）将空间图形转化为平面图形，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法. 立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，运用“两点之间线段最短”来解决. 2）化“曲”为“直”的一般步骤： ①将几何体沿着某些棱剪开后展开，画出其侧面展开图； ②将所求曲线问题转化为平面上的线段问题； ③结合已知条件求得结果. （二）点线面的位置关系 6.平面的基本性质（4公理，4推论） 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使A，B，C∈α ①确定平面； ②判定点、线共面 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内   A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α ①判定直线在平面内； ②判定点在平面内 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l ①判定两平面相交； ②判定点在直线上 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A∉l⇒有且只有一个平 面α，使A∈α，l⊂α 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面   a∩b=P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面   a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 7.异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：. 8.基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言   符号语言 ⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 9.等角定理（平行性质的推论） 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形语言   作用 判定两个角相等或互补 【空间点、线、面的位置关系】 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 无数个 直线与平面平行 1.直线与平面平行的判定定理 1. 文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行，简记为线线平行⇒线面平行. 2. 图形语言：   3． 符号语言： l⊄α，a⊂α，l∥a⇒l∥α. 2.直线与平面平行的性质定理 1. 文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行，简记为线面平行⇒线线平行. 2. 图形语言：   3. 符号语言： a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b. 平面与平面平行 1.平面与平面平行的判定定理 1. 文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，简记为线面平行⇒面面平行. 2. 图形语言： 3. 符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b=P，a∥β，b∥β⇒α∥β. 2.平面与平面平行的性质定理 1. 文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行，简记为面面平行⇒线线平行. 2. 图形语言： 3. 符号语言：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b. 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a∩b=P，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α 图形语言   1. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言   符号语言 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 作用 线面垂直⇒线线平行；作平行线 平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言   符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 图形语言   符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 常用结论 1．三垂线定理 平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 2．三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 3.求二面角的大小 1）求二面角的平面角的大小的步骤 2） 作二面角的平面角的常见方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于 棱的射线. 如图①，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (2)垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面各有一 条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角. 如图②，∠AOB为二面角α-l-β的 平面角. (3)垂线法：如图③，过二面角的一个半平面内不在棱上的点A向另一个平面作垂 线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (4)射影面积法：若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多 边形所在面与该平面所成的二面角为θ，则cos θ=. （三）空间向量及其在立体几何中应用 1.空间向量 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 长度相等而方向相反的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 4.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量． (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm(λ∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 2.空间中直线、平面的平行 位置关系 向量表示 线线平行 设u1，u2分别是直线1，2的方向向量，则1∥2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1=λu2 线面平行 设u是直线的方向向量，n是平面的法向量，， 则∥⇔⊥⇔ 面面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2 3.空间中直线、平面的垂直 位置关系 向量表示 线线垂直 设直线1，2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔ u1·u2=0 线面垂直 设直线的方向向量为u，平面α的法向量为n，则⊥α⇔ u∥n ⇔∃λ∈R，使得u=λn 面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔ n1⊥n2⇔n1·n2=0 4.空间距离的向量求法 1）直线外一点到直线的距离 如图①，为直线的单位方向向量，，，， ， 在直线上的投影向量为，在中，由勾股定理，得 . 图① 图② 图③ 2）平面外一点到平面的距离 如图②，设平面的法向量为，，，，在直线上的投影向量为，则点到平面的距离 . 3）其他距离 (1)两平行直线之间的距离：在其中一条直线上取定一点，将所求转化为直线外一点到直线的距离. (2)两异面直线之间的距离：如图③，在上分别取点，求出与的方向向量都垂直的向量，则在向量上的投影向量的长度即为异面直线的距离，为.  (3)平行的线面、面面间的距离：转化为平面外一点到平面的距离. 5.空间角的向量求法 空间角 向量求法 范围 异面直线1与2所成的角θ 设1与2的方向向量分别为，，则 直线AB与平面α所成的角θ，如图① 设直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则 平面α与平面β的夹角θ，如图② 设平面α，β的法向量分别为n1，n2， 则cos θ=|cos<n1，n2>|= 1．异面直线所成角的范围是；直线与平面所成角的范围是；二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是. 2．若平面α与平面β的夹角为θ1，平面α内的直线l与平面β所成角为θ2，则θ1≥θ2，当l与α和β的交线垂直时，取等号． 作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程． (2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点． (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线． 09平面解析几何 （一）直线 1. 斜率与倾斜角的对应关系 图示       倾斜角α α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率k k=0 k>0 k不存在 k<0 2. 直线的方程形式与适用条件 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋m 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 所有直线 3. 直线方程的斜截式、一般式与两直线的位置关系 直线l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2，l3:A1x＋B1y＋C1＝0，l4:A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表: 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离：l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 常用结论：六种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直线l2. 对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题． （二）圆的方程 1.圆的标准方程与一般方程 定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 充要条件:D2＋E2－4F>0 圆心坐标: 半径r＝ 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为其中θ为参数. 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系: (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外; (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上; (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 3.直线与圆的位置关系 1）设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线：Ax+By+C=0(A，B不同时为0). 圆心C(a，b)到直线的距离d=. 由 消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 几何法 d<r d=r d>r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0 2） 过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论 (1)若点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上，则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y=r2； (2)若点P(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则过点P的圆的切线方程为： (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2； (3)若点P(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上，则过点P的圆的切线方程为 x0x+y0y+D·+E·+F=0. 3）过圆外一点的切线有两条，可熟记下列结论 (1)若点P(x0，y0)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图1，则直线AB的方程为x0x+y0y=r2.   (2)若点P(x0，y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图2，则直线AB的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)若点P(x0，y0)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x+y0y+D·+E·+F=0. 4.直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题 直线与圆相交的弦长的求法 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长之间的关系r2=d2+求解 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标，然后用两点间的距离公式计算弦长 弦长 公式法 设直线：y=kx+b与圆的两交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得弦长|x1-x2|= = (k≠0) 常用结论 1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上． 3．圆心在任一弦的垂直平分线上． 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 常用结论 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． （三）圆锥曲线 椭圆 1.椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. (2)其数学表达式:集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数: ①若a>c，则集合P为椭圆; ②若a＝c，则集合P为线段; ③若a<c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a；－b≤y≤b －b≤x≤b；－a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 1.如图所示，P为椭圆上的动点，设∠F1PF2＝θ，则: (1)b≤|OP|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c; (2)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (3)|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ＝4c2. (4)△PF1F2周长为2(a＋c). (5)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan＝c|y0|，y0为P的纵坐标. (6)P在短轴顶点时，最大，θ也最大. 2.焦点弦(过焦点的弦)中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 3.椭圆＝1(a>b>0)的参数方程为 双曲线 1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (2)其数学表达式:集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线; ②若a＝c，则集合P为两条射线; ③若a>c，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 1.离心率e＝，e越大，双曲线的“张口”越大. 2.双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为. 3.同支的焦点弦中最短的为通径，其长为;异支的焦点弦中最短的为实轴，其长为2a. 4.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点， 则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 5.焦点三角形的面积:P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. 6.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为＝λ(λ≠0). 7.等轴双曲线⇔e＝⇔渐近线为y＝±x⇔方程为x2－y2＝λ(λ≠0). 抛物线 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式:{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称 轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 x0＋ －x0 y0＋ －y0 焦点 弦长 x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2 1.通径:过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 2.注意辨析，p，2p的几何意义及联系. 3.特别注意，不同的方程中，焦半径公式、焦点弦公式也不相同. 7.直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离，相切，相交. 以抛物线y2=2px(p>0)为例： (1)直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，代入y2=2px得k2x2+2(mk-p)x+m2=0. ①当k=0时，直线平行于抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴重合，直线与抛物线只有一个公共点. ②当k≠0时，若判别式Δ>0，则直线与抛物线相交，有两个公共点；若判别式Δ=0，则直线与抛物线相切，有一个公共点；若判别式Δ<0，则直线与抛物线相离，没有公共点. (2)直线的斜率不存在时，设直线方程为x=m， 当m<0时，直线与抛物线相离，无公共点； 当m=0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当m>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点. 求圆锥曲线中的最值与范围问题的思路 1）用定义与性质转化：例如利用圆锥曲线第一定义和性质，将问题合理转化， 2）建立目标关系式：利用圆锥曲线的几何性质和定义建立目标关系式，根的判别式； 3）求最值或范围：根据平面几何的有关结论，或者基本不等式，或建立目标函数求解。 求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 10计数原理与概率统计 （1） 统计与概率 1） 统计 1.简单随机抽样的常用方法 (1)抽签法：把总体中的N个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本. (2)随机数法：先把总体中的N个个体编号，例如按1，2，…，N编号，然后用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本，如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，需剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需的个体数. （3）随机数生成的方法：①用随机试验生成随机数. ②用信息技术生成随机数：用计算器生成随机数；用电子表格软件生成随机数；用R统计软件生成随机数. 2.总体均值与样本均值 1）总体均值 (1)一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称 ==为总体均值，又称总体平均数. (2)如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk， 其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式 = 2）样本均值 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn， 则称==为样本均值，又称样本平均数. 3.分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (2)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差 利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中，第一层的样本量为n1，均值为，方差为;第二层的样本量为n2，均值为，方差为，则 总的样本均值：， 总的样本方差：s2＝[＋()2]＋[＋()2]. 3）分层抽样中的比值问题 　　求解时，常用的技巧为： =，总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 4.制作频率分布表、画频率分布直方图的步骤 1）求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差. 2）决定组距与组数 　　为方便起见，一般取等长组距，组距的选择应力求“取整”，当样本量不超过100时，常分成5~12组. 极差、组距、组数之间有如下关系： (1)若为整数，则=组数； (2)若不为整数，则+1=组数. ([x]表示不大于x的最大整数) 5.百分位数 1）第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 2） 常用的百分位数 (1)四分位数：第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数；第50百分位数也称为中位数；第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. (2)其他常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分数. 3）计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 　　第1步，按从小到大排列原始数据. 　　第2步，计算i =n×p%. 　　第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 6.频率分布表、频率分布直方图及其相关的计算 1）绘制频率分布直方图的注意点 (1)各组频率的和等于1. (2)在Oxy坐标平面内画频率分布直方图时，x=样本数据，y=，这样每一组的频率可以用该组的小矩形的面积来表示，其中矩形的底=组距，高==. (3)同一组数据，组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同. 2）由频率分布表或频率分布直方图进行有关计算时，要掌握下列结论 (1)小长方形的面积=组距×=频率； (2)各小长方形的面积之和等于1； (3) =频率，此关系式的变形为=样本量，样本量×频率=频数. 7.数据集中趋势的估计 1）众数、中位数、平均数的定义 (1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数. (2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在最中间位置的数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：如果有n个数x1，x2,…,xn，那么= (x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数. 2） 总体集中趋势的估计 (1)平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. (2)一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 8.数据离散程度的估计 1） 极差 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度. 但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 2）方差和标准差 (1)方差、标准差的定义： 已知一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]. ，标准差为s＝ (2)总体方差和标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称 S2=(Yi-)2为总体方差，S=为总体标准差. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2,…,k)，则总体方差为S2=fi(Yi-)2  (3)样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称 s2=(yi-)2为样本方差，s=为样本标准差. (4)标准差的意义 　　标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 　　平均数和标准差一起能反映数据取值的信息. 一般情况下，大部分数据落在区间[-s， +s]内，绝大部分数据落在区间[-2s， +2s]内. 9.用众数、中位数、平均数估计数据的集中趋势 1）中位数、众数、平均数的应用要点 (1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受个别极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征. (2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值. 2）频率分布直方图中众数、中位数、平均数的确定 众数 最高小矩形所在的区间中点对应的数据为众数的估计值 中位数 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的小矩形的面积和应相等，即样本数据所占的频率相等 平均数 用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替样本平均数 10.用方差和标准差估计数据的离散程度 1）标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小. 标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小. 但标准差的大小不会超过极差. 2） 标准差、方差的取值范围是[0，+∞). 3） 标准差、方差为0时，样本中的各数据相等，说明数据没有波动，没有离散性. 4） 虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大偏差的程度，所以在解决实际问题时一般多采用标准差. 2） 概率 1.随机试验、样本点与样本空间 1）随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2） 样本点与样本空间 (1)样本点：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点. 一般用表示样本点 (2)样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般用Ω表示样本空间. (3)有限样本空间：在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况. 如果一个随机试验有n 个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 2.随机事件 1） 理解随机事件的两个关键点 (1)条件：事件发生与否是相对条件而言的，随着条件的改变，结果可能发生改变. (2)结果：有时样本空间较复杂，要准确理解事件结果包含的各种情况，列举该事件包含的样本点时，可借助集合知识. 2）判断事件类型的思路 判断一个事件是随机事件、必然事件、不可能事件，首先要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)还是一定不发生(不可能事件). 3.事件的关系 定义 符号表示 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B)   相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A=B   4.交事件与并事件 定义 符号表示 图示 并事件 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B)   交事件 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 4. 互斥事件和对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B=⌀   对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件A与事件B互为对立. 事件A的对立事件记为 A∪B=Ω， 且A∩B=⌀   6.互斥事件与对立事件的判断 1） 准确理解互斥事件与对立事件的含义 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生； (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 2） 互斥事件、对立事件的判断方法 (1)判断两个事件是不是互斥事件，先对样本点进行逻辑划分，再看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件. (2)判断两个事件是不是对立事件，先对样本点进行逻辑划分，再看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生. 如果这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，如果这两个条件中有一个不成立，那么这两个事件就不是对立事件. (3)利用Venn图进行分析，类比集合的关系进行判断. (4)对于较难判断的关系，可考虑列出全部样本点，再进行分析. 【事件的关系和运算】 7.古典概型 1）古典概型的定义：某些随机试验的样本点及样本空间具有以下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等，将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 2） 古典概型的概率公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件 A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率: P(A)= = 其中，n(A)和n(Ω) 分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 8. 概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(⌀)=0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)，此性质可以推广到 多个事件的情况，即如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+ P(A2)+…+P(Am). 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 9.事件相互独立的定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 相互独立事件的性质 1）如果事件A与B相互独立，那么A与与B， 与也都相互独立. 2） 必然事件Ω、不可能事件⌀都与任意事件相互独立. 10.判断事件的独立性 判断两个事件是否相互独立的方法 (1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件的发生. (2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，即两个事件同时发生的概率是否等于每个事件发生的概率的乘积. (3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与或与B或与 是否相互独立. 11.利用事件的独立性求复杂事件的概率 　　由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 解题时要注意： (1)对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生(乘法)求出概率. (2)已知两个事件A，B，那么 ①A，B中至少有一个发生为事件A∪B. ②A，B都发生为事件AB. ③A，B都不发生为事件. ④A，B恰有一个发生为事件∪B. ⑤A，B中至多有一个发生为事件A∪B∪. 13. 概率关系 概率 A、B互斥 A、B相互独立 P(A∪B) P(A)+P(B) 1-P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P() 1-[P(A)+P(B)] P()P() P(A∪B) P(A)+P(B)(A、B互斥时，A=A， B=B) P(A)·P()+P()·P(B) P(∪A∪B) 1 1-P(A)P(B) 13.频率的随机性与稳定性 1）频率的随机性：大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性. 2）频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. 因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 14.用频率估计概率 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 因此可以用频率估计概率. 15.用随机模拟方法估计事件的概率 用随机模拟方法求事件概率的方法 (1)在使用整数随机数进行模拟试验时，要确定随机数的范围和随机数代表的试验结果. 试验的基本结果等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件. (2)研究等可能事件的概率时，用比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数. 当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理. （二）计数原理 分类加法计数原理与分布乘法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 3.两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法 计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的每一种方法都不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 1.正确理解“怎么算完成一件事”是选择分类、分步的基础，如“3人参加4项比赛，每人参加一项的参赛方案数”与“3人参加4项比赛，每项一个冠军的冠军方案数”. 2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终. 排列与组合 1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 3.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)＝(n，m∈N*，且m≤n). 特别地＝1 性质 (1)0!＝1;＝n! (2); 1.排列数、组合数常用公式 (1)＝(n－m＋1). (2)＝n. (3)(n＋1)!－n!＝n·n!. (4)k＝n. (5)＋…＋. 2.解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理. (7)分排问题直排处理. (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (9)构造模型. (10)正难则反，等价转化. 二项式定理 二项式定理 1） 概念：公式(a+b)n= an+ an-1b1+…+ an-kbk+…+ bn，n∈N*叫做二项式定理 2） (a+b)n的二项展开式：an+ b1+…+ an-kbk+…+ bn 3） 二项式系数：展开式中各项的系数 (k=0，1，2，…，n) 4） 通项：展开式的第k+1项：Tk+1= an-kbk 5） 备注：在二项式定理中，若设a=1，b=x，则得到公式： (1+x)n= + x+ x2+…+ xk+…+ xn 二项式系数的性质 1）对称性 与首末两段“等距离”的两个二项式系数相等。即。 2）单峰性， 是单峰序列。 （1）当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值。 （2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。 3）二项式系数的和 （三）随机变量及其分布列 条件概率与全概率公式 1.条件概率 1）定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称 P(B|A)= 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2）性质：设P(A)>0，则 (1)P(B|A)∈[0，1]，P(Ω|A)=1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)=1-P(B|A). 2.概率的乘法公式 1）由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A). 我们称上式为概率的乘法公式. 2） 推广： (1)若P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). (2) 若Ai(i=1，2，3，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An)>0，则 P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1). 3.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)= P(Ai)P(B|Ai). 我们称此公式为全概率公式. 4.贝叶斯公式* 1） 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2,…,n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)= =，i=1，2,…,n. 2） 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知条件和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 随机变量、分布列、数字特征 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率 P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列. 3.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0(i＝1，2，…，n); (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 4.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi 为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi 为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. (3)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b. ②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 5.两点分布 (1)定义:对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示， X 0 1 P 1－p p 称随机变量X服从两点分布或0－1分布. (2)均值与方差 若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). 1.E(b)＝b，D(b)＝0，b为常数(即常数的均值是这个常数本身，常数的方差为零). 2.设X1，X2是两个随机变量，则E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2);若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)E(X2). 3.D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 二项分布、超几何分布与正态分布 1.n重伯努利试验 将一个伯努利试验(只包含两个可能结果的试验)独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 2.二项分布 (1)概念:在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (2)期望与方差:E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 3.超几何分布 (1)概念:假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布. (2)特点:从含有M个特殊元素的N个元素中抽取n个元素，X表示其中的特殊元素的个数. (3)期望:E(X)＝＝np(其中p＝为次品率). 4.正态分布 (1)正态曲线:f(x)＝·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，称f(x)为正态密度函数，函数f(x)的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称. ②曲线在x＝μ处达到峰值. ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. ④曲线与x轴围成的面积总为1. ⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大，曲线越“胖”;σ越小，曲线越“瘦”，如图2所示. (3)正态分布的概念及表示 ①概念:若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中，μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布. ②正态分布的均值与方差:若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. ③3σ原则:如果X~N(μ，σ2)，那么 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7; P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5; P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 1.两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布. 2.当X~B(n，p)时，P(X＝k)的最大值: 若(n＋1)p是正整数，则k＝(n＋1)p或k＝(n＋1)p－1时，P(X＝k)取得最大值. 若(n＋1)p非正整数，则k＝[(n＋1)p](不大于(n＋1)p的最大整数)时，P(X＝k)取得最大值. 注:若均值为正整数，则当随机变量k＝np时，概率最大. 3.若X~N(μ，σ2)，则P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a). （四）成对数据统计分析 一）回归分析 1.样本相关系数 1）. 样本相关系数：r= r为变量x和变量y的样本相关系数，有时也称样本线性相关系数. 2）. 样本相关系数r的特征 (1)r∈[-1，1]. (2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. (3)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本 数据的线性相关程度越弱. 3） 样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征. 2.两个变量相关性的判断 1） 利用散点图判断两个变量的相关性 （1）作两个变量的散点图，可观察它们的相关性. （2）若散点从左至右呈上升趋势，则这两个变量正相关；若散点从左至右呈下降趋势，则这两个变量负相关；若散点毫无规律，则这两个变量无相关关系；若散点大致分布在一条直线附近，则这两个变量线性相关，否则没有线性相关关系. 2） 利用样本相关系数判断两个变量相关性的强弱 样本相关系数r是从数值上来判断变量间的线性相关程度的量，是定量分析法. |r|刻画了样本点集中于某条直线的程度. |r|越接近1，散点图中的样本点分布越接近一条直线，两个变量的线性相关程度越强. 3.一元线性回归模型 把式子称为Y关于x的一元线性回归模型. 其中，Y称为因变量或响应变量， x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 如果e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 4.经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(xi，yi)(i=1，2，…，n)，通 常用各散点到直线y=bx+a的竖直距离的平方之和Q= 来刻画各样本观测数据与该直线的“整体接近程度”. （1）当a，b的取值为，;时，Q达到最小. （2）将=x+称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的， 叫做b，a的最小二乘估计. 5.残差分析 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 残差=观测值-预测值 6.回归模型拟合效果的检验 刻画回归效果的方式 (1)残差图法 以残差为纵坐标，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图. 在残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高. (2)残差平方和法：残差平方和为 (yi-)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好. (3)决定系数R2法：R2=1-. R2越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 7.非线性回归分析 1）研究两个变量的关系时，依据样本画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系. 当两个变量不具有线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用一元线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程. 2） 建立非线性回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确涉及的变量； (2)画出确定好的变量间的散点图，观察它们之间的关系(是否存在非线性关系)； (3)由经验确定非线性经验回归方程的类型(如我们观察到数据有非线性关系，一般选用反比例函数型、指数函数型、对数函数型模型等)； (4)通过换元，将非线性回归模型转化为一元线性回归模型； (5)按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程； (6)消去新元，得到非线性经验回归方程. 二）独立性检验 1.分类变量与列联表 1）分类变量：为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量. 分类变量的取值可以用实数表示. 2） 2× 2列联表 假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 　　2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 3） 两个分类变量之间关联关系的定性分析方法 (1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系. 通常通过列联表列出两个分类变量的频数表来进行分析. (2)图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映两个分类变量间是否互相影响，常用等高堆积条形图展示列联表中数据的频率特征. 2.独立性检验 1） 假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 　则χ2=. 2）利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 3）χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值如下表所示. α 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 xα 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 独立性检验的实质是检验两个分类变量是否相关及相关的程度有多大，其应用过程如下： 　　根据观测数据计算出χ2的值，其值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，在假设X与Y没有关系的前提下，可以通过查阅临界值表得到P(χ2≥xα)，从而得到两变量相关的程度. 3.由χ2进行独立性检验 应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节： (1)提出零假设H0：分类变量X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； (3)根据检验规则得出推断结论； (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律. 【注】上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整. 例如，在有些时候，分类变 量的抽样数据列联表是问题中给定的. 4.独立性检验与统计、概率的综合应用 通过频率分布直方图的统计功能完善2×2列联表，从而对事件进行独立性检验，准确读取频率分布直方图中的数据，进行分组统计是解题的关键. 解决独立性检验的问题要注意明确两类主体，明确研究的两类问题，再就是准确列出2×2列联表，准确计算χ2. 在写出2×2列联表中a，b，c，d的值时，注意一定要按顺序. 5.独立性检验的一般方法 1 学科网（北京）股份有限公司 $