5.3《实际问题与一元一次方程》整理与练习（核心知识点+易错点汇总+基本概念定义+数学思想+真题练习）2026-2027学年人教版七年级数学上册

人教版七年级上册预习 第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・配套问题与工程问题模块）】 ✅ 达成目标：掌握配套问题和工程问题的解法，能列一元一次方程解决实际问题 通读课本 P133-P134 例1（配套问题）、例2（工程问题）、归纳和练习的内容，自主完成下文「核心知识点 1-2、6」「基本概念 1-2、5」的挖空填写。 熟记配套问题的数量关系（配套物品之间具有一定的数量关系），掌握工程问题的解法（把总工作量设为1，利用"工作量=人均效率×人数×时间"的关系），理解用一元一次方程解决实际问题的基本过程（设、列、解、检、答）。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能解决配套问题，能解决工程问题，能按基本步骤列方程解应用题。 【Day2 预习任务（建议 30min・销售盈亏、积分表与方案选择模块）】 ✅ 达成目标：掌握销售中的盈亏问题、球赛积分表问题和方案选择问题的解法 通读课本 P135-P139 探究1（销售中的盈亏）、探究2（球赛积分表问题）、探究3（不同能效空调的综合费用比较）和练习内容，完成「核心知识点 3-5」「基本概念 3-4」剩余挖空填写。 掌握销售中的盈亏问题（进价、售价、利润、利润率的关系），掌握球赛积分表问题（从表格中提取信息，列方程求解，检验解是否符合实际意义），掌握方案选择问题（分类讨论，比较不同方案的费用）。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能解决销售盈亏问题，能解决积分表问题，能进行方案选择，能检验解的实际意义。 一、核心知识点梳理 知识点 1：配套问题 配套问题是指生产或生活中，某些物品之间需要按照一定的数量关系进行配套的问题。 例如，某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套。 解：设应安排x名工人生产螺栓，(22-x)名工人生产螺母。 根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程2000(22-x)=2×1200x。 解方程，得x=10。 进而22-x=12。 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母。 配套问题的解题关键： （1）找出配套物品之间的数量关系（如1个螺栓配2个螺母，即螺母数量=2×螺栓数量）； （2）设未知数，表示出两种物品的数量； （3）根据配套关系列方程； （4）解方程并检验。 💡重要结论：配套问题中，配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据。常见的配套关系有：1个螺栓配2个螺母、1个A部件配3个B部件等。 知识点 2：工程问题 工程问题是指与工作效率、工作时间和工作量相关的问题。 例如，整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人1 h完成的工作量）为。 x人先整理4 h完成的工作量为，增加2人后再整理8 h完成的工作量为8，这两个工作量之和应等于总工作量。 解：设先安排x人整理4 h。 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程+8=1。 解方程，得x=2。 答：应先安排2人进行整理。 工程问题的基本关系： （1）工作量=工作效率×工作时间； （2）工作量=人均效率×人数×时间； （3）总工作量=各部分工作量之和（通常把总工作量设为1）。 💡重要结论：工程问题中，常常把总工作量看作1，并利用"工作量=人均效率×人数×时间"的关系考虑问题。人均效率是指一个人单位时间内完成的工作量。 知识点 3：销售中的盈亏问题 销售中的盈亏问题是指与商品进价、售价、利润、利润率相关的问题。 基本关系： （1）利润=售价-进价； （2）利润率=利润÷进价×100%； （3）售价=进价+利润=进价×(1+利润率)。 例如，一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 分析：是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时共花了多少元。如果总售价大于总进价就盈利，总售价小于总进价就亏损，相等就不盈不亏。 解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是0.25x元。根据进价与利润的和等于售价，列得方程x+0.25x=60，解得x=48。 类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是-0.25y元，列得方程y-0.25y=60，解得y=80。 两件衣服的总进价是48+80=128（元），而两件衣服的总售价是60+60=120（元），总售价小于总进价，由此可知卖这两件衣服共亏损8元。 ⚠️易错提醒：销售中的盈亏问题中，盈利和亏损的百分比都是相对于进价而言的，不是相对于售价。两件衣服一件盈利25%，一件亏损25%，并不意味着不盈不亏，因为两件衣服的进价不同。 知识点 4：球赛积分表问题 球赛积分表问题是指从比赛积分表格中提取信息，利用一元一次方程解决相关问题。 例如，某次篮球联赛积分表如下（部分）： 前进队：比赛14场，胜10场，负4场，积分24分； 钢铁队：比赛14场，胜0场，负14场，积分14分。 （1）胜一场和负一场各积多少分？ 分析：从最下面一行数据可以看出，负一场积1分。设胜一场积x分，由第一行得方程10x+1×4=24，解得x=2。 结论：胜一场积2分，负一场积1分。 （2）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系。 若一支球队胜m场，则负(14-m)场，胜场积分为2m，负场积分为14-m，总积分为2m+(14-m)=m+14。 （3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 设一支球队胜了y场，则负了(14-y)场。若这支球队的胜场总积分等于负场总积分，则得方程2y=14-y，解得y=。 因为y（所胜的场数）的值必须是整数，所以y=不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分。 💡重要结论：解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际。用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断。 知识点 5：方案选择问题 方案选择问题是指在多种方案中，通过列方程或分类讨论，选择最优方案的问题。 例如，购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况。1级能效空调：售价3000元，平均每年耗电量640 kW·h；3级能效空调：售价2600元，平均每年耗电量800 kW·h。电价是0.5元/(kW·h)。分析购买、使用哪款空调综合费用较低。 分析：综合费用=空调的售价+电费。 设空调的使用年数是t，则： 1级能效空调的综合费用：3000+0.5×640t=3000+320t（元）； 3级能效空调的综合费用：2600+0.5×800t=2600+400t（元）。 先来看t取什么值时，两款空调的综合费用相等。 列方程3000+320t=2600+400t，解得t=5。 为了比较两款空调的综合费用，把3级能效空调的综合费用变形为(3000+320t)+80(t-5)。 这样，当t<5时，80(t-5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t>5时，80(t-5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低。 空调的安全使用年限是10年，因此购买、使用1级能效空调更划算。 方案选择问题的解题步骤： （1）设未知数，表示出各方案的费用或数量； （2）列方程求出两种方案费用相等时的临界值； （3）分类讨论，比较不同方案在不同情况下的优劣； （4）根据实际情况选择最优方案。 💡重要结论：方案选择问题的关键是找到两种方案费用相等时的临界值，然后进行分类讨论。当使用时间或数量小于临界值时，一种方案更优；当大于临界值时，另一种方案更优。 知识点 6：用一元一次方程解决实际问题的基本过程 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 实际问题→设未知数，列方程→一元一次方程→解方程→一元一次方程的解(x=m)→检验→实际问题的答案。 这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤： （1）设：设未知数，用字母（如x）表示未知量； （2）列：根据问题中的相等关系，列出方程； （3）解：解方程，求出未知数的值； （4）检：检验所得结果是否正确，是否符合问题的实际意义； （5）答：确定答案，写出答语（包括单位名称）。 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。 💡重要结论：用一元一次方程解决实际问题时，设未知数可以直接设（问什么设什么），也可以间接设（设与所求量相关的量）。检验时不仅要检验方程的解是否正确，还要检验是否符合实际意义。 ⚠️⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：配套问题中找错数量关系。配套问题中，配套的物品之间具有一定的数量关系，要仔细分析是哪种物品多、哪种物品少，以及它们之间的倍数关系。例如，1个螺栓配2个螺母，螺母数量是螺栓数量的2倍，列方程时应该是螺母数量=2×螺栓数量，不能搞反。 易错点2：工程问题中工作量计算错误。工程问题中，工作量=人均效率×人数×时间，要注意人数和时间的对应关系。例如，x人先整理4 h，工作量是；增加2人后再整理8 h，人数是(x+2)人，工作量是8，不能漏掉增加的2人。 易错点3：销售问题中进价、售价、利润、利润率关系混淆。利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%，售价=进价×(1+利润率)。盈利和亏损的百分比都是相对于进价而言的，不是相对于售价。要注意区分盈利和亏损时利润的正负号。 易错点4：积分表问题中不检验解是否符合实际意义。球赛积分表问题中，胜场数和负场数都必须是整数，而且不能超过总场数。解出方程后，要检验解是否符合实际意义，如果不符合，要说明不存在这样的情况。 易错点5：方案选择问题中分类讨论不全面。方案选择问题中，要先求出两种方案费用相等时的临界值，然后分三种情况讨论：小于临界值、等于临界值、大于临界值。不能只讨论一种情况，也不能漏掉等于临界值的情况。 易错点6：列方程时单位不统一或漏乘。列方程时，要注意单位统一，如时间单位要统一为小时或分钟，长度单位要统一为米或千米。去分母时，方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的项。 二、基本概念定义 配套问题：生产或生活中，某些物品之间需要按照一定的____进行配套的问题。配套物品之间的数量关系是列方程的依据。 工程问题：与工作效率、工作时间和____相关的问题。基本关系：工作量=工作效率×工作时间=人均效率×人数×时间，通常把总工作量设为____。 利润与利润率：利润=售价-____；利润率=利润÷进价×100%；售价=进价+利润=进价×(1+____)。 积分问题：从比赛积分表格中提取信息，利用一元一次方程解决相关问题。胜场数和负场数都必须是____，解出方程后要检验是否符合实际意义。 用一元一次方程解决实际问题的基本步骤：____、列、解、____、答。正确分析问题中的____是列方程的基础。 三、数学思想方法 1. 建模思想 建模思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，列方程解应用题就是将实际问题中的数量关系转化为数学方程模型的过程，如配套问题、工程问题、销售盈亏问题、积分表问题、方案选择问题等，都可以通过建立一元一次方程模型来解决，体现了建模思想。建模思想使数学知识与实际生活紧密联系，培养用数学解决实际问题的能力。 2. 分类讨论思想 分类讨论思想是指当问题包含多种情况时，分别对每种情况进行讨论，得出各种情况下的结论的思想方法。在本节中，方案选择问题需要先求出两种方案费用相等时的临界值，然后分三种情况讨论：小于临界值、等于临界值、大于临界值，比较不同方案在不同情况下的优劣，体现了分类讨论思想。分类讨论思想使问题的解决更加全面、严谨。 3. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，解方程的过程就是利用等式的性质和运算律，将复杂的方程逐步转化为x=m（常数）的简单形式；将实际问题转化为数学方程来解决，体现了转化思想。转化思想使解方程和解决实际问题的过程变得有条理。 4. 方程思想 方程思想是指通过设未知数、列方程来解决问题的思想方法。在本节中，所有实际问题都是通过设未知数、找出相等关系、列方程、解方程来解决的，体现了方程思想。方程思想是解决实际问题的重要思想方法，它将未知量和已知量放在同等的位置，通过相等关系建立联系，从而求出未知量。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，一元一次方程广泛应用于生产配套（螺栓螺母）、工程（整理图书、铺设管线）、商业（销售盈亏、书包进价）、体育（球赛积分）、生活（空调选购、复印收费、地铁月票）等实际生活场景，体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设应安排x名工人生产螺栓，则下列方程正确的是（　　　） A. 2000(22-x)=1200x B. 2000(22-x)=2×1200x C. 2×2000(22-x)=1200x D. 2000x=2×1200(22-x) 2.（2025-2026学年·北京期中）整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。设先安排x人整理4 h，则下列方程正确的是（　　　） A. +8=1 B. +8=1 C. 4+=1 D. 4+=1 3.（2024-2025学年·山东济南期末）一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则卖这两件衣服总的盈亏情况是（　　　） A. 盈利8元 B. 亏损8元 C. 不盈不亏 D. 盈利10元 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）某次篮球联赛中，胜一场积2分，负一场积1分。某队比赛14场，积分24分，则该队胜了（　　　） A. 8场 B. 9场 C. 10场 D. 11场 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）某次篮球联赛中，胜一场积2分，负一场积1分。某队比赛14场，设该队胜了y场，若该队的胜场总积分等于负场总积分，则下列方程正确的是（　　　） A. 2y=14-y B. 2y=14+y C. y=2(14-y) D. 2(14-y)=y 6.（2025-2026学年·福建福州期末）1级能效空调售价3000元，平均每年耗电量640 kW·h；3级能效空调售价2600元，平均每年耗电量800 kW·h。电价是0.5元/(kW·h)。设使用年数为t，当两款空调综合费用相等时，t的值为（　　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.（2024-2025学年·河南周口期末）一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售，售价为144元。则这件商品的成本价是（　　　） A. 120元 B. 150元 C. 160元 D. 180元 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天。如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？（　　　） A. 6天 B. 8天 C. 10天 D. 12天 9.（2024-2025学年·四川成都期中）在一次劳动课上，有27名同学在甲处劳动，有19名同学在乙处劳动。现在从其他班级另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍。设应调往甲处x人，则下列方程正确的是（　　　） A. 27+x=2(19+20-x) B. 27+x=2(19+20+x) C. 27+20-x=2(19+x) D. 27+20+x=2(19-x) 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元。在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费0.1元。复印页数为多少时，两店的收费相同？（　　　） A. 40页 B. 50页 C. 60页 D. 70页 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排________名工人生产螺栓。 12.（2025-2026学年·北京期中）整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。应先安排________人进行整理。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则卖这两件衣服总的是________（填"盈利"或"亏损"）________元。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）某次篮球联赛中，胜一场积2分，负一场积1分。某队比赛14场，设该队胜了y场，若该队的胜场总积分等于负场总积分，则y=________，由此可知________（填"存在"或"不存在"）这样的球队。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）1级能效空调售价3000元，平均每年耗电量640 kW·h；3级能效空调售价2600元，平均每年耗电量800 kW·h。电价是0.5元/(kW·h)。当使用年数t=5时，两款空调的综合费用________（填"相等"或"不相等"）；当t>5时，________级能效空调的综合费用较低。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售，售价为144元。则这件商品的成本价是________元，售出这件商品是________（填"盈利"或"亏损"）。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 18.（2024-2025学年·人教版同步）整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 19.（2025-2026学年·北京期中）一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 20.（2024-2025学年·广东广州期末）某次篮球联赛积分表如下（部分）：前进队比赛14场，胜10场，负4场，积分24分；钢铁队比赛14场，胜0场，负14场，积分14分。 （1）胜一场和负一场各积多少分？ （2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）1级能效空调售价3000元，平均每年耗电量640 kW·h；3级能效空调售价2600元，平均每年耗电量800 kW·h。电价是0.5元/(kW·h)。 （1）当使用年数t取什么值时，两款空调的综合费用相等？ （2）空调的安全使用年限是10年，购买、使用哪款空调更划算？请说明理由。 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元。在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费0.1元。 （1）复印页数为多少时，两店的收费相同？ （2）若某同学需要复印50页文件，选择哪家复印店更省钱？请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级上册预习 第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・配套问题与工程问题模块）】 ✅ 达成目标：掌握配套问题和工程问题的解法，能列一元一次方程解决实际问题 通读课本 P133-P134 例1（配套问题）、例2（工程问题）、归纳和练习的内容，自主完成下文「核心知识点 1-2、6」「基本概念 1-2、5」的挖空填写。 熟记配套问题的数量关系（配套物品之间具有一定的数量关系），掌握工程问题的解法（把总工作量设为1，利用"工作量=人均效率×人数×时间"的关系），理解用一元一次方程解决实际问题的基本过程（设、列、解、检、答）。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能解决配套问题，能解决工程问题，能按基本步骤列方程解应用题。 【Day2 预习任务（建议 30min・销售盈亏、积分表与方案选择模块）】 ✅ 达成目标：掌握销售中的盈亏问题、球赛积分表问题和方案选择问题的解法 通读课本 P135-P139 探究1（销售中的盈亏）、探究2（球赛积分表问题）、探究3（不同能效空调的综合费用比较）和练习内容，完成「核心知识点 3-5」「基本概念 3-4」剩余挖空填写。 掌握销售中的盈亏问题（进价、售价、利润、利润率的关系），掌握球赛积分表问题（从表格中提取信息，列方程求解，检验解是否符合实际意义），掌握方案选择问题（分类讨论，比较不同方案的费用）。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能解决销售盈亏问题，能解决积分表问题，能进行方案选择，能检验解的实际意义。 一、核心知识点梳理 知识点 1：配套问题 配套问题是指生产或生活中，某些物品之间需要按照一定的数量关系进行配套的问题。 例如，某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套。 解：设应安排x名工人生产螺栓，(22-x)名工人生产螺母。 根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程2000(22-x)=2×1200x。 解方程，得x=10。 进而22-x=12。 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母。 配套问题的解题关键： （1）找出配套物品之间的数量关系（如1个螺栓配2个螺母，即螺母数量=2×螺栓数量）； （2）设未知数，表示出两种物品的数量； （3）根据配套关系列方程； （4）解方程并检验。 💡重要结论：配套问题中，配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据。常见的配套关系有：1个螺栓配2个螺母、1个A部件配3个B部件等。 知识点 2：工程问题 工程问题是指与工作效率、工作时间和工作量相关的问题。 例如，整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人1 h完成的工作量）为。 x人先整理4 h完成的工作量为，增加2人后再整理8 h完成的工作量为8，这两个工作量之和应等于总工作量。 解：设先安排x人整理4 h。 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程+8=1。 解方程，得x=2。 答：应先安排2人进行整理。 工程问题的基本关系： （1）工作量=工作效率×工作时间； （2）工作量=人均效率×人数×时间； （3）总工作量=各部分工作量之和（通常把总工作量设为1）。 💡重要结论：工程问题中，常常把总工作量看作1，并利用"工作量=人均效率×人数×时间"的关系考虑问题。人均效率是指一个人单位时间内完成的工作量。 知识点 3：销售中的盈亏问题 销售中的盈亏问题是指与商品进价、售价、利润、利润率相关的问题。 基本关系： （1）利润=售价-进价； （2）利润率=利润÷进价×100%； （3）售价=进价+利润=进价×(1+利润率)。 例如，一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 分析：是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时共花了多少元。如果总售价大于总进价就盈利，总售价小于总进价就亏损，相等就不盈不亏。 解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是0.25x元。根据进价与利润的和等于售价，列得方程x+0.25x=60，解得x=48。 类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是-0.25y元，列得方程y-0.25y=60，解得y=80。 两件衣服的总进价是48+80=128（元），而两件衣服的总售价是60+60=120（元），总售价小于总进价，由此可知卖这两件衣服共亏损8元。 ⚠️易错提醒：销售中的盈亏问题中，盈利和亏损的百分比都是相对于进价而言的，不是相对于售价。两件衣服一件盈利25%，一件亏损25%，并不意味着不盈不亏，因为两件衣服的进价不同。 知识点 4：球赛积分表问题 球赛积分表问题是指从比赛积分表格中提取信息，利用一元一次方程解决相关问题。 例如，某次篮球联赛积分表如下（部分）： 前进队：比赛14场，胜10场，负4场，积分24分； 钢铁队：比赛14场，胜0场，负14场，积分14分。 （1）胜一场和负一场各积多少分？ 分析：从最下面一行数据可以看出，负一场积1分。设胜一场积x分，由第一行得方程10x+1×4=24，解得x=2。 结论：胜一场积2分，负一场积1分。 （2）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系。 若一支球队胜m场，则负(14-m)场，胜场积分为2m，负场积分为14-m，总积分为2m+(14-m)=m+14。 （3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 设一支球队胜了y场，则负了(14-y)场。若这支球队的胜场总积分等于负场总积分，则得方程2y=14-y，解得y=。 因为y（所胜的场数）的值必须是整数，所以y=不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分。 💡重要结论：解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际。用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断。 知识点 5：方案选择问题 方案选择问题是指在多种方案中，通过列方程或分类讨论，选择最优方案的问题。 例如，购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况。1级能效空调：售价3000元，平均每年耗电量640 kW·h；3级能效空调：售价2600元，平均每年耗电量800 kW·h。电价是0.5元/(kW·h)。分析购买、使用哪款空调综合费用较低。 分析：综合费用=空调的售价+电费。 设空调的使用年数是t，则： 1级能效空调的综合费用：3000+0.5×640t=3000+320t（元）； 3级能效空调的综合费用：2600+0.5×800t=2600+400t（元）。 先来看t取什么值时，两款空调的综合费用相等。 列方程3000+320t=2600+400t，解得t=5。 为了比较两款空调的综合费用，把3级能效空调的综合费用变形为(3000+320t)+80(t-5)。 这样，当t<5时，80(t-5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t>5时，80(t-5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低。 空调的安全使用年限是10年，因此购买、使用1级能效空调更划算。 方案选择问题的解题步骤： （1）设未知数，表示出各方案的费用或数量； （2）列方程求出两种方案费用相等时的临界值； （3）分类讨论，比较不同方案在不同情况下的优劣； （4）根据实际情况选择最优方案。 💡重要结论：方案选择问题的关键是找到两种方案费用相等时的临界值，然后进行分类讨论。当使用时间或数量小于临界值时，一种方案更优；当大于临界值时，另一种方案更优。 知识点 6：用一元一次方程解决实际问题的基本过程 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 实际问题→设未知数，列方程→一元一次方程→解方程→一元一次方程的解(x=m)→检验→实际问题的答案。 这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤： （1）设：设未知数，用字母（如x）表示未知量； （2）列：根据问题中的相等关系，列出方程； （3）解：解方程，求出未知数的值； （4）检：检验所得结果是否正确，是否符合问题的实际意义； （5）答：确定答案，写出答语（包括单位名称）。 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。 💡重要结论：用一元一次方程解决实际问题时，设未知数可以直接设（问什么设什么），也可以间接设（设与所求量相关的量）。检验时不仅要检验方程的解是否正确，还要检验是否符合实际意义。 ⚠️⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：配套问题中找错数量关系。配套问题中，配套的物品之间具有一定的数量关系，要仔细分析是哪种物品多、哪种物品少，以及它们之间的倍数关系。例如，1个螺栓配2个螺母，螺母数量是螺栓数量的2倍，列方程时应该是螺母数量=2×螺栓数量，不能搞反。 易错点2：工程问题中工作量计算错误。工程问题中，工作量=人均效率×人数×时间，要注意人数和时间的对应关系。例如，x人先整理4 h，工作量是；增加2人后再整理8 h，人数是(x+2)人，工作量是8，不能漏掉增加的2人。 易错点3：销售问题中进价、售价、利润、利润率关系混淆。利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%，售价=进价×(1+利润率)。盈利和亏损的百分比都是相对于进价而言的，不是相对于售价。要注意区分盈利和亏损时利润的正负号。 易错点4：积分表问题中不检验解是否符合实际意义。球赛积分表问题中，胜场数和负场数都必须是整数，而且不能超过总场数。解出方程后，要检验解是否符合实际意义，如果不符合，要说明不存在这样的情况。 易错点5：方案选择问题中分类讨论不全面。方案选择问题中，要先求出两种方案费用相等时的临界值，然后分三种情况讨论：小于临界值、等于临界值、大于临界值。不能只讨论一种情况，也不能漏掉等于临界值的情况。 易错点6：列方程时单位不统一或漏乘。列方程时，要注意单位统一，如时间单位要统一为小时或分钟，长度单位要统一为米或千米。去分母时，方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的项。 二、基本概念定义 配套问题：生产或生活中，某些物品之间需要按照一定的__数量关系__进行配套的问题。配套物品之间的数量关系是列方程的依据。 工程问题：与工作效率、工作时间和__工作量__相关的问题。基本关系：工作量=工作效率×工作时间=人均效率×人数×时间，通常把总工作量设为__1__。 利润与利润率：利润=售价-__进价__；利润率=利润÷进价×100%；售价=进价+利润=进价×(1+__利润率__)。 积分问题：从比赛积分表格中提取信息，利用一元一次方程解决相关问题。胜场数和负场数都必须是__整数__，解出方程后要检验是否符合实际意义。 用一元一次方程解决实际问题的基本步骤：__设__、列、解、__检__、答。正确分析问题中的__相等关系__是列方程的基础。 三、数学思想方法 1. 建模思想 建模思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，列方程解应用题就是将实际问题中的数量关系转化为数学方程模型的过程，如配套问题、工程问题、销售盈亏问题、积分表问题、方案选择问题等，都可以通过建立一元一次方程模型来解决，体现了建模思想。建模思想使数学知识与实际生活紧密联系，培养用数学解决实际问题的能力。 2. 分类讨论思想 分类讨论思想是指当问题包含多种情况时，分别对每种情况进行讨论，得出各种情况下的结论的思想方法。在本节中，方案选择问题需要先求出两种方案费用相等时的临界值，然后分三种情况讨论：小于临界值、等于临界值、大于临界值，比较不同方案在不同情况下的优劣，体现了分类讨论思想。分类讨论思想使问题的解决更加全面、严谨。 3. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，解方程的过程就是利用等式的性质和运算律，将复杂的方程逐步转化为x=m（常数）的简单形式；将实际问题转化为数学方程来解决，体现了转化思想。转化思想使解方程和解决实际问题的过程变得有条理。 4. 方程思想 方程思想是指通过设未知数、列方程来解决问题的思想方法。在本节中，所有实际问题都是通过设未知数、找出相等关系、列方程、解方程来解决的，体现了方程思想。方程思想是解决实际问题的重要思想方法，它将未知量和已知量放在同等的位置，通过相等关系建立联系，从而求出未知量。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，一元一次方程广泛应用于生产配套（螺栓螺母）、工程（整理图书、铺设管线）、商业（销售盈亏、书包进价）、体育（球赛积分）、生活（空调选购、复印收费、地铁月票）等实际生活场景，体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设应安排x名工人生产螺栓，则下列方程正确的是（　　　） A. 2000(22-x)=1200x B. 2000(22-x)=2×1200x C. 2×2000(22-x)=1200x D. 2000x=2×1200(22-x) 【答案】B 【解析】本题考查配套问题列方程。设应安排x名工人生产螺栓，则(22-x)名工人生产螺母。每天生产螺栓1200x个，生产螺母2000(22-x)个。根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程2000(22-x)=2×1200x。 【解答】解：设应安排x名工人生产螺栓，则(22-x)名工人生产螺母。 每天生产螺栓1200x个，生产螺母2000(22-x)个。 根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程： 2000(22-x)=2×1200x。 故选：B。 2.（2025-2026学年·北京期中）整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。设先安排x人整理4 h，则下列方程正确的是（　　　） A. +8=1 B. +8=1 C. 4+=1 D. 4+=1 【答案】A 【解析】本题考查工程问题列方程。设先安排x人整理4 h，则增加2人后有(x+2)人整理8 h。人均效率为，x人先整理4 h完成的工作量为，(x+2)人再整理8 h完成的工作量为8。根据两个工作量之和等于总工作量1，列得方程+8=1。 【解答】解：设先安排x人整理4 h，则增加2人后有(x+2)人整理8 h。 人均效率为， x人先整理4 h完成的工作量为， (x+2)人再整理8 h完成的工作量为8。 根据两个工作量之和等于总工作量1，列得方程： +8=1。 故选：A。 3.（2024-2025学年·山东济南期末）一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则卖这两件衣服总的盈亏情况是（　　　） A. 盈利8元 B. 亏损8元 C. 不盈不亏 D. 盈利10元 【答案】B 【解析】本题考查销售中的盈亏问题。设盈利25%的那件衣服的进价是x元，列得方程x+0.25x=60，解得x=48。设另一件衣服的进价为y元，列得方程y-0.25y=60，解得y=80。两件衣服的总进价是48+80=128元，总售价是60+60=120元，总售价小于总进价，共亏损128-120=8元。 【解答】解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元， 列得方程x+0.25x=60，解得x=48。 设另一件衣服的进价为y元， 列得方程y-0.25y=60，解得y=80。 两件衣服的总进价是48+80=128元， 总售价是60+60=120元， 总售价小于总进价，共亏损128-120=8元。 故选：B。 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）某次篮球联赛中，胜一场积2分，负一场积1分。某队比赛14场，积分24分，则该队胜了（　　　） A. 8场 B. 9场 C. 10场 D. 11场 【答案】C 【解析】本题考查球赛积分表问题。设该队胜了x场，则负了(14-x)场。胜场积分为2x，负场积分为(14-x)，总积分为2x+(14-x)=x+14。根据总积分24分，列得方程x+14=24，解得x=10。 【解答】解：设该队胜了x场，则负了(14-x)场。 胜场积分为2x，负场积分为(14-x)， 总积分为2x+(14-x)=x+14。 根据总积分24分，列得方程： x+14=24， 解得x=10。 故选：C。 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）某次篮球联赛中，胜一场积2分，负一场积1分。某队比赛14场，设该队胜了y场，若该队的胜场总积分等于负场总积分，则下列方程正确的是（　　　） A. 2y=14-y B. 2y=14+y C. y=2(14-y) D. 2(14-y)=y 【答案】A 【解析】本题考查球赛积分表问题。设该队胜了y场，则负了(14-y)场。胜场总积分为2y，负场总积分为(14-y)。根据胜场总积分等于负场总积分，列得方程2y=14-y。 【解答】解：设该队胜了y场，则负了(14-y)场。 胜场总积分为2y，负场总积分为(14-y)。 根据胜场总积分等于负场总积分，列得方程： 2y=14-y。 故选：A。 6.（2025-2026学年·福建福州期末）1级能效空调售价3000元，平均每年耗电量640 kW·h；3级能效空调售价2600元，平均每年耗电量800 kW·h。电价是0.5元/(kW·h)。设使用年数为t，当两款空调综合费用相等时，t的值为（　　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】本题考查方案选择问题。1级能效空调的综合费用为3000+0.5×640t=3000+320t元；3级能效空调的综合费用为2600+0.5×800t=2600+400t元。当两款空调综合费用相等时，列得方程3000+320t=2600+400t，解得t=5。 【解答】解：1级能效空调的综合费用为3000+0.5×640t=3000+320t元； 3级能效空调的综合费用为2600+0.5×800t=2600+400t元。 当两款空调综合费用相等时，列得方程： 3000+320t=2600+400t， 移项，得320t-400t=2600-3000， 合并同类项，得-80t=-400， 系数化为1，得t=5。 故选：C。 7.（2024-2025学年·河南周口期末）一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售，售价为144元。则这件商品的成本价是（　　　） A. 120元 B. 150元 C. 160元 D. 180元 【答案】B 【解析】本题考查销售问题。设这件商品的成本价是x元。按成本价提高20%后标价为(1+20%)x=1.2x元，再打八折销售，售价为0.8×1.2x=0.96x元。根据售价为144元，列得方程0.96x=144，解得x=150。 【解答】解：设这件商品的成本价是x元。 按成本价提高20%后标价为(1+20%)x=1.2x元， 再打八折销售，售价为0.8×1.2x=0.96x元。 根据售价为144元，列得方程： 0.96x=144， 解得x=150。 故选：B。 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天。如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？（　　　） A. 6天 B. 8天 C. 10天 D. 12天 【答案】B 【解析】本题考查工程问题。设需要x天可以铺好这条管线。甲工程队每天完成，乙工程队每天完成，两队同时施工每天完成(+)。根据总工作量为1，列得方程(+)x=1，解得x=8。 【解答】解：设需要x天可以铺好这条管线。 甲工程队每天完成，乙工程队每天完成， 两队同时施工每天完成(+)。 根据总工作量为1，列得方程： (+)x=1， 即(+)x=1， x=1， x=1， 解得x=8。 故选：B。 9.（2024-2025学年·四川成都期中）在一次劳动课上，有27名同学在甲处劳动，有19名同学在乙处劳动。现在从其他班级另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍。设应调往甲处x人，则下列方程正确的是（　　　） A. 27+x=2(19+20-x) B. 27+x=2(19+20+x) C. 27+20-x=2(19+x) D. 27+20+x=2(19-x) 【答案】A 【解析】本题考查劳力调配问题。设应调往甲处x人，则调往乙处(20-x)人。甲处人数为(27+x)人，乙处人数为(19+20-x)人。根据甲处人数为乙处人数的2倍，列得方程27+x=2(19+20-x)。 【解答】解：设应调往甲处x人，则调往乙处(20-x)人。 甲处人数为(27+x)人，乙处人数为(19+20-x)人。 根据甲处人数为乙处人数的2倍，列得方程： 27+x=2(19+20-x)。 故选：A。 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元。在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费0.1元。复印页数为多少时，两店的收费相同？（　　　） A. 40页 B. 50页 C. 60页 D. 70页 【答案】C 【解析】本题考查方案选择问题。设复印页数为x页（x>20）。甲复印店收费为20×0.12+0.09(x-20)=2.4+0.09x-1.8=0.09x+0.6元；乙复印店收费为0.1x元。根据两店收费相同，列得方程0.09x+0.6=0.1x，解得x=60。 【解答】解：设复印页数为x页（x>20）。 甲复印店收费为20×0.12+0.09(x-20)=2.4+0.09x-1.8=0.09x+0.6元； 乙复印店收费为0.1x元。 根据两店收费相同，列得方程： 0.09x+0.6=0.1x， 移项，得0.6=0.1x-0.09x， 合并同类项，得0.6=0.01x， 系数化为1，得x=60。 故选：C。 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排____10____名工人生产螺栓。 【答案】10 【解析】本题考查配套问题。设应安排x名工人生产螺栓，则(22-x)名工人生产螺母。根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程2000(22-x)=2×1200x，解得x=10。 【解答】解：设应安排x名工人生产螺栓，则(22-x)名工人生产螺母。 根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程： 2000(22-x)=2×1200x， 去括号，得44000-2000x=2400x， 移项，得44000=2400x+2000x， 合并同类项，得44000=4400x， 系数化为1，得x=10。 故答案为：10。 12.（2025-2026学年·北京期中）整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。应先安排____2____人进行整理。 【答案】2 【解析】本题考查工程问题。设先安排x人整理4 h。根据两个工作量之和等于总工作量1，列得方程+8=1，解得x=2。 【解答】解：设先安排x人整理4 h。 根据两个工作量之和等于总工作量1，列得方程： +8=1， 去分母（方程两边乘40），得4x+8(x+2)=40， 去括号，得4x+8x+16=40， 移项，得4x+8x=40-16， 合并同类项，得12x=24， 系数化为1，得x=2。 故答案为：2。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则卖这两件衣服总的是____亏损____（填"盈利"或"亏损"）____8____元。 【答案】亏损，8 【解析】本题考查销售中的盈亏问题。设盈利25%的那件衣服的进价是x元，列得方程x+0.25x=60，解得x=48。设另一件衣服的进价为y元，列得方程y-0.25y=60，解得y=80。两件衣服的总进价是48+80=128元，总售价是60+60=120元，总售价小于总进价，共亏损128-120=8元。 【解答】解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元， 列得方程x+0.25x=60，解得x=48。 设另一件衣服的进价为y元， 列得方程y-0.25y=60，解得y=80。 两件衣服的总进价是48+80=128元， 总售价是60+60=120元， 总售价小于总进价，共亏损128-120=8元。 故答案为：亏损，8。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）某次篮球联赛中，胜一场积2分，负一场积1分。某队比赛14场，设该队胜了y场，若该队的胜场总积分等于负场总积分，则y=________，由此可知____不存在____（填"存在"或"不存在"）这样的球队。 【答案】，不存在 【解析】本题考查球赛积分表问题。设该队胜了y场，则负了(14-y)场。根据胜场总积分等于负场总积分，列得方程2y=14-y，解得y=。因为y必须是整数，所以y=不符合实际，不存在这样的球队。 【解答】解：设该队胜了y场，则负了(14-y)场。 根据胜场总积分等于负场总积分，列得方程： 2y=14-y， 移项，得2y+y=14， 合并同类项，得3y=14， 系数化为1，得y=。 因为y必须是整数，所以y=不符合实际，不存在这样的球队。 故答案为：，不存在。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）1级能效空调售价3000元，平均每年耗电量640 kW·h；3级能效空调售价2600元，平均每年耗电量800 kW·h。电价是0.5元/(kW·h)。当使用年数t=5时，两款空调的综合费用____相等____（填"相等"或"不相等"）；当t>5时，____1____级能效空调的综合费用较低。 【答案】相等，1 【解析】本题考查方案选择问题。1级能效空调的综合费用为3000+320t元；3级能效空调的综合费用为2600+400t元。当t=5时，1级：3000+320×5=4600元，3级：2600+400×5=4600元，两款空调综合费用相等。当t>5时，1级能效空调的综合费用较低。 【解答】解：1级能效空调的综合费用为3000+320t元； 3级能效空调的综合费用为2600+400t元。 当t=5时， 1级：3000+320×5=3000+1600=4600元， 3级：2600+400×5=2600+2000=4600元， 两款空调综合费用相等。 当t>5时，1级能效空调的综合费用较低。 故答案为：相等，1。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售，售价为144元。则这件商品的成本价是___150_____元，售出这件商品是____亏损____（填"盈利"或"亏损"）。 【答案】150，亏损 【解析】本题考查销售问题。设这件商品的成本价是x元。按成本价提高20%后标价为1.2x元，再打八折销售，售价为0.8×1.2x=0.96x元。根据售价为144元，列得方程0.96x=144，解得x=150。因为售价144元小于成本价150元，所以售出这件商品是亏损。 【解答】解：设这件商品的成本价是x元。 按成本价提高20%后标价为1.2x元， 再打八折销售，售价为0.8×1.2x=0.96x元。 根据售价为144元，列得方程： 0.96x=144， 解得x=150。 因为售价144元小于成本价150元， 所以售出这件商品是亏损。 故答案为：150，亏损。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母。 【解析】本题考查配套问题。设应安排x名工人生产螺栓，则(22-x)名工人生产螺母。根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程2000(22-x)=2×1200x，解得x=10，22-x=12。 【解答】解：设应安排x名工人生产螺栓，则(22-x)名工人生产螺母。 根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程： 2000(22-x)=2×1200x。 去括号，得44000-2000x=2400x， 移项，得44000=2400x+2000x， 合并同类项，得44000=4400x， 系数化为1，得x=10。 进而22-x=12。 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母。 18.（2024-2025学年·人教版同步）整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 【答案】应先安排2人进行整理。 【解析】本题考查工程问题。设先安排x人整理4 h。根据两个工作量之和等于总工作量1，列得方程+8=1，解得x=2。 【解答】解：设先安排x人整理4 h。 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程： +8=1。 去分母（方程两边乘40），得4x+8(x+2)=40， 去括号，得4x+8x+16=40， 移项，得4x+8x=40-16， 合并同类项，得12x=24， 系数化为1，得x=2。 答：应先安排2人进行整理。 19.（2025-2026学年·北京期中）一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 【答案】卖这两件衣服共亏损8元。 【解析】本题考查销售中的盈亏问题。设盈利25%的那件衣服的进价是x元，列得方程x+0.25x=60，解得x=48。设另一件衣服的进价为y元，列得方程y-0.25y=60，解得y=80。两件衣服的总进价是48+80=128元，总售价是60+60=120元，总售价小于总进价，共亏损8元。 【解答】解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元， 它的商品利润就是0.25x元。 根据进价与利润的和等于售价，列得方程： x+0.25x=60， 解得x=48。 类似地，设另一件衣服的进价为y元， 它的商品利润是-0.25y元， 列得方程： y-0.25y=60， 解得y=80。 两件衣服的总进价是48+80=128（元）， 而两件衣服的总售价是60+60=120（元）， 总售价小于总进价，由此可知卖这两件衣服共亏损8元。 答：卖这两件衣服共亏损8元。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）某次篮球联赛积分表如下（部分）：前进队比赛14场，胜10场，负4场，积分24分；钢铁队比赛14场，胜0场，负14场，积分14分。 （1）胜一场和负一场各积多少分？ （2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由。 【答案】（1）胜一场积2分，负一场积1分；（2）不能，因为解得胜场数为，不是整数，不符合实际。 【解析】本题考查球赛积分表问题。（1）从钢铁队数据可以看出，负一场积1分。设胜一场积x分，由前进队得方程10x+1×4=24，解得x=2。（2）设一支球队胜了y场，则负了(14-y)场。若胜场总积分等于负场总积分，则2y=14-y，解得y=。因为y必须是整数，所以不存在这样的球队。 【解答】解：（1）从钢铁队数据可以看出，负一场积1分。 设胜一场积x分，由前进队得方程： 10x+1×4=24， 即10x+4=24， 解得x=2。 答：胜一场积2分，负一场积1分。 （2）设一支球队胜了y场，则负了(14-y)场。 若胜场总积分等于负场总积分，则得方程： 2y=14-y， 移项，得2y+y=14， 合并同类项，得3y=14， 系数化为1，得y=。 因为y（所胜的场数）的值必须是整数， 所以y=不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分。 答：不能，因为解得胜场数为，不是整数，不符合实际。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）1级能效空调售价3000元，平均每年耗电量640 kW·h；3级能效空调售价2600元，平均每年耗电量800 kW·h。电价是0.5元/(kW·h)。 （1）当使用年数t取什么值时，两款空调的综合费用相等？ （2）空调的安全使用年限是10年，购买、使用哪款空调更划算？请说明理由。 【答案】（1）当t=5时，两款空调的综合费用相等；（2）购买、使用1级能效空调更划算，因为使用年限超过5年时1级能效空调综合费用较低，而安全使用年限是10年。 【解析】本题考查方案选择问题。（1）1级能效空调的综合费用为3000+320t元；3级能效空调的综合费用为2600+400t元。当两款空调综合费用相等时，3000+320t=2600+400t，解得t=5。（2）当t>5时，1级能效空调的综合费用较低。空调的安全使用年限是10年，超过5年，所以购买、使用1级能效空调更划算。 【解答】解：（1）1级能效空调的综合费用为3000+0.5×640t=3000+320t（元）； 3级能效空调的综合费用为2600+0.5×800t=2600+400t（元）。 当两款空调综合费用相等时，列得方程： 3000+320t=2600+400t， 移项，得320t-400t=2600-3000， 合并同类项，得-80t=-400， 系数化为1，得t=5。 答：当t=5时，两款空调的综合费用相等。 （2）把3级能效空调的综合费用变形为(3000+320t)+80(t-5)。 当t<5时，80(t-5)是负数，3级能效空调的综合费用较低； 当t>5时，80(t-5)是正数，1级能效空调的综合费用较低。 空调的安全使用年限是10年，超过5年， 所以购买、使用1级能效空调更划算。 答：购买、使用1级能效空调更划算，因为使用年限超过5年时1级能效空调综合费用较低，而安全使用年限是10年。 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元。在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费0.1元。 （1）复印页数为多少时，两店的收费相同？ （2）若某同学需要复印50页文件，选择哪家复印店更省钱？请说明理由。 【答案】（1）复印页数为60页时，两店的收费相同；（2）选择乙复印店更省钱，因为复印50页时甲店收费5.1元，乙店收费5元。 【解析】本题考查方案选择问题。（1）设复印页数为x页（x>20）。甲复印店收费为0.09x+0.6元；乙复印店收费为0.1x元。根据两店收费相同，列得方程0.09x+0.6=0.1x，解得x=60。（2）当x=50时，甲店收费0.09×50+0.6=5.1元，乙店收费0.1×50=5元。因为5<5.1，所以选择乙复印店更省钱。 【解答】解：（1）设复印页数为x页（x>20）。 甲复印店收费为20×0.12+0.09(x-20)=2.4+0.09x-1.8=0.09x+0.6（元）； 乙复印店收费为0.1x元。 根据两店收费相同，列得方程： 0.09x+0.6=0.1x， 移项，得0.6=0.1x-0.09x， 合并同类项，得0.6=0.01x， 系数化为1，得x=60。 答：复印页数为60页时，两店的收费相同。 （2）当x=50时， 甲店收费为0.09×50+0.6=4.5+0.6=5.1（元）， 乙店收费为0.1×50=5（元）。 因为5<5.1， 所以选择乙复印店更省钱。 答：选择乙复印店更省钱，因为复印50页时甲店收费5.1元，乙店收费5元。 学科网（北京）股份有限公司 $