2026-2027学年冀教版九年级数学上册第一次月质量检测试卷

九年级数学第一次月考试卷 2026—2027学年第一学期第一次月考试卷 九年级数学（冀教版） （测试范围：第23章 数据分析与统计估计 · 第24章 一元二次方程 · 第25章 图形的相似） 注意事项：1. 本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟。 2. 答题前，考生务必将姓名、班级、考号填写在答题卡相应位置。 3. 所有答案均须写在答题卡上，写在本试卷上无效。 一、选择题（本大题共16个小题，共42分。1~10小题每题3分，11~16小题每题2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是 （3分） A．2x + 1 = 0 B．x² + 3x = 0 C．x² + y = 1 D．x³ - 2x + 1 = 0 2. 甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别为s²_甲=0.3，s²_乙=0.8，则下列说法正确的是 （3分） A．甲组数据比乙组数据稳定 B．乙组数据比甲组数据稳定 C．甲、乙两组数据同样稳定 D．无法比较两组数据的稳定性 3. 已知线段a=2cm，b=8cm，那么a和b的比例中项是 （3分） A．4cm B．±4cm C．6cm D．16cm 4. 方程 x² - 5x = 0 的解是 （3分） A．x = 0 B．x = 5 C．x₁ = 0，x₂ = 5 D．x₁ = 0，x₂ = -5 5. 某班7名同学的体重（单位：kg）分别是：45，48，50，52，53，54，60。这组数据的中位数是 （3分） A．48kg B．50kg C．52kg D．53kg 6. 如图，△ABC中，DE∥BC，若AD:DB = 1:2，则△ADE与△ABC的相似比为 （3分） A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．3:1 7. 用配方法解方程 x² - 4x - 1 = 0，配方后得到的方程是 （3分） A．(x - 2)² = 3 B．(x - 2)² = 5 C．(x + 2)² = 3 D．(x + 2)² = 5 8. 若两个相似三角形的相似比为 2:3，则它们的面积比为 （3分） A．2:3 B．4:9 C．√2:√3 D．8:27 9. 一元二次方程 x² - 2x + 3 = 0 的根的情况是 （3分） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 10. 下列关于位似图形的说法，错误的是 （3分） A．位似图形一定是相似图形 B．位似图形对应顶点的连线必交于一点 C．位似图形的对应边一定互相平行（或在同一直线上） D．位似图形的面积比等于位似比 11. 某工厂一月份的产量为50吨，第一季度的总产量为182吨。设该工厂二、三月份产量的月平均增长率为x，则可列方程为 （2分） A．50(1+x)² = 182 B．50 + 50(1+x)² = 182 C．50 + 50(1+x) + 50(1+x)² = 182 D．50(1+x) + 50(1+x)² = 182 12. 某公司10名员工的月工资（单位：元）如下：3000，3200，3400，3500，3600，3800，4000，4200，4500，6000。则下列说法正确的是 （2分） A．众数是3500元 B．中位数是3700元 C．平均数是3920元 D．用中位数代表大多数员工的工资水平更合适 13. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的延长线上一点，AE与CD交于点F，则图中的相似三角形共有 （2分） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 14. 若x₁，x₂是一元二次方程 2x² - 3x - 1 = 0 的两个根，则 x₁² + x₂² 的值为 （2分） A．13/4 B．9/4 C．5/4 D．7 15. 在同一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长为0.8m，一棵大树的影长为4.8m，则这棵树的高度为 （2分） A．4.8m B．6.4m C．9.6m D．2.4m 16. 已知关于x的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0，下列结论：① 方程总有两个不相等的实数根；② 两根之和为 2k+1；③ 若方程的两根为x₁，x₂，则 (x₁-1)(x₂-1) = k² - k。其中正确结论的个数是 （2分） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共3个小题，共11分。17小题3分；18~19小题各有2个空，每空2分） 17. 一组数据2，3，x，6，5的平均数是4，则这组数据的方差是______。 （3分） 18. 若关于x的一元二次方程 (m-1)x² + 2x + m² - 1 = 0 有一个根为0，则m = ______，此方程的另一个根是______。 （每空2分，共4分） 19. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，且AE=1，点F为BC边的中点。连接AF，过点E作EG∥BC交AF于点G，则EG的长为______，△AEG的面积为______。 （每空2分，共4分） 三、解答题（本大题共7个小题，共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. （本小题满分8分） 解方程：（1）2x² - 5x - 3 = 0（用公式法）；（2）x² + 4x - 1 = 0（用配方法）。 21. （本小题满分8分） 某中学为了了解九年级学生的体育测试情况，随机抽取了若干名学生的体育测试成绩，按A（优秀）、B（良好）、C（及格）、D（不及格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图。请你根据图中信息解答下列问题： （1）这次共抽取了多少名学生进行调查？ （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有1200名学生，请估计体育测试成绩达到良好及以上的学生有多少人？ 22. （本小题满分9分） 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,1)，C(2,4)。 （1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍，画出放大后的△A₁B₁C₁； （2）写出△A₁B₁C₁各顶点的坐标； （3）求△A₁B₁C₁的面积。 23. （本小题满分9分） 已知关于x的一元二次方程 x² - (2m+1)x + m² + m = 0。 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x₁，x₂满足 x₁² + x₂² = 13，求m的值。 24. （本小题满分10分） 如图，在△ABC中，AB = AC = 10cm，BC = 12cm。点D是BC边的中点，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速运动；同时点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DB向点B匀速运动。设运动时间为t秒（0 < t < 5）。 （1）当t为何值时，PQ∥AC？ （2）当t为何值时，△BPQ与△BDA相似？ 25. （本小题满分11分） 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。设销售单价为每千克x元（x ≥ 50），月销售利润为y元。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价定为多少元时，能获得最大利润？最大利润是多少元？ 26. （本小题满分12分） 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC = 6cm，点D是AB边的中点。点E从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时点F从点C出发，沿CB以2cm/s的速度向点B匀速运动。连接DE、DF、EF。设运动时间为t秒（0 < t < 3）。 （1）求证：△ADE ≅ △CDF； （2）四边形CEDF的面积是否随点E、F的运动而变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出其面积； （3）当t为何值时，△ECF与△ABC相似？ 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共16个小题，共42分。1~10小题每题3分，11~16小题每题2分） 答案：1~5：BACCB 6~10：BBBCD 11~16：CDBACD 二、填空题（本大题共3个小题，共11分。17小题3分；18~19小题各4分） 17. 2 18. −1；1 19. 5/2；5/4 三、解答题（本大题共7个小题，共67分） 20. （8分） 解：（1）2x² - 5x - 3 = 0 a = 2，b = -5，c = -3， Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4×2×(-3) = 25 + 24 = 49 > 0， x = (5 ± √49) / (2×2) = (5 ± 7) / 4， x₁ = 3，x₂ = -1/2。………………………………4分 （2）x² + 4x - 1 = 0 移项，得 x² + 4x = 1， 配方，得 x² + 4x + 4 = 1 + 4， 即 (x + 2)² = 5， 开方，得 x + 2 = ±√5， x₁ = -2 + √5，x₂ = -2 - √5。………………………………4分 21. （8分） 解：（1）由图可知，A级有10人，占抽取总人数的20%， 所以抽取总人数 = 10 ÷ 20% = 50（名）。 答：这次共抽取了50名学生进行调查。………………………2分 （2）B级人数 = 50 × 40% = 20（人）， C级人数 = 50 - 10 - 20 - 5 = 15（人）。 补全条形图（略）。………………………………………………4分 （3）良好及以上的人数为 10 + 20 = 30（人）， 占比 = 30/50 = 60%， 估计全校九年级达到良好及以上的学生 = 1200 × 60% = 720（人）。 答：估计体育测试成绩达到良好及以上的学生有720人。……8分 22. （9分） 解：（1）画图（略）。A₁(2,4)，B₁(6,2)，C₁(4,8)。…………3分 （2）A₁(2, 4)，B₁(6, 2)，C₁(4, 8)。……………………………6分 （3）△A₁B₁C₁的面积： 方法：用割补法。 S△A₁B₁C₁ = 4×6 - 1/2×4×2 - 1/2×2×6 - 1/2×2×4 = 24 - 4 - 6 - 4 = 10。 答：△A₁B₁C₁的面积为10。………………………………………9分 23. （9分） 解：（1）证明：Δ = [-(2m+1)]² - 4×1×(m²+m) = 4m² + 4m + 1 - 4m² - 4m = 1 > 0， ∴ 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。…………4分 （2）由韦达定理，得 x₁ + x₂ = 2m + 1，x₁·x₂ = m² + m。 ∵ x₁² + x₂² = 13， ∴ (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 13， 即 (2m + 1)² - 2(m² + m) = 13， 4m² + 4m + 1 - 2m² - 2m = 13， 2m² + 2m - 12 = 0， m² + m - 6 = 0， 解得 m₁ = 2，m₂ = -3。 经检验，m = 2 或 m = -3 时，Δ均大于0，符合题意。 ∴ m的值为2或-3。……………………………………………9分 24. （10分） 解：（1）∵ AB = AC = 10cm，D是BC中点，BC = 12cm， ∴ BD = DC = 6cm，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。 由题意，BP = 2t cm，DQ = t cm，BQ = BD - DQ = (6 - t)cm。 当PQ∥AC时，∠BPQ = ∠A，∠BQP = ∠C， 又∠B = ∠B，∴ △BPQ ∽ △BAC， ∴ BP/BA = BQ/BC，即 2t/10 = (6-t)/12， 24t = 60 - 10t，34t = 60，t = 30/17。 答：当t = 30/17秒时，PQ∥AC。……………………………5分 （2）∵ ∠B是公共角，△BPQ与△BDA相似分两种情况： ① 当△BPQ ∽ △BDA时，BP/BD = BQ/BA， 2t/6 = (6-t)/10，20t = 36 - 6t，26t = 36，t = 18/13； ② 当△BQP ∽ △BDA时，BQ/BD = BP/BA， (6-t)/6 = 2t/10，60 - 10t = 12t，22t = 60，t = 30/11。 ∵ 0 < t < 5，∴ t = 18/13 或 t = 30/11 均符合题意。 答：当t = 18/13秒或t = 30/11秒时，△BPQ与△BDA相似。…10分 25. （11分） 解：（1）由题意，每千克利润为(x - 40)元， 月销售量为 500 - 10(x - 50) = 1000 - 10x（千克）。 ∴ y = (x - 40)(1000 - 10x) = -10x² + 1400x - 40000。 答：y与x之间的函数关系式为 y = -10x² + 1400x - 40000（x ≥ 50）。…3分 （2）令y = 8000，得 -10x² + 1400x - 40000 = 8000， -10x² + 1400x - 48000 = 0， x² - 140x + 4800 = 0， (x - 60)(x - 80) = 0， 解得 x₁ = 60，x₂ = 80。 当月销售成本不超过10000元时，即 40(1000 - 10x) ≤ 10000， 1000 - 10x ≤ 250，x ≥ 75。 ∴ x = 80 符合题意，x = 60 不符合，舍去。 答：销售单价应定为每千克80元。…………………………7分 （3）y = -10x² + 1400x - 40000 = -10(x² - 140x + 4900) + 49000 - 40000 = -10(x - 70)² + 9000。 ∵ -10 < 0，∴ 当x = 70时，y有最大值9000。 答：当销售单价定为每千克70元时，能获得最大利润，最大利润是9000元。…11分 26. （12分） 解：（1）证明：∵ ∠ACB = 90°，AC = BC = 6cm， ∴ △ABC是等腰直角三角形，∠A = ∠B = 45°。 ∵ D是AB的中点，∴ CD = AD = BD，CD⊥AB，∠ACD = ∠BCD = 45°。 ∴ ∠A = ∠DCF = 45°。 由题意，AE = 2t，CF = 2t，∴ AE = CF。 在△ADE和△CDF中： AE = CF，∠A = ∠DCF，AD = CD， ∴ △ADE ≅ △CDF（SAS）。……………………………………4分 （2）四边形CEDF的面积不变化。 ∵ △ADE ≅ △CDF， ∴ S△ADE = S△CDF。 ∵ D是AB中点，∴ S△ADC = 1/2 S△ABC = 1/2 × 1/2 × 6 × 6 = 9（cm²）。 S四边形CEDF = S△CDE + S△CDF = S△CDE + S△ADE = S△ADC = 9（cm²）。 答：四边形CEDF的面积不随点E、F的运动而变化，其面积为9cm²。……8分 （3）CE = AC - AE = 6 - 2t，CF = 2t。 △ECF与△ABC相似，∠ECF = ∠ACB = 90°，分两种情况： ① 当△ECF ∽ △ACB时，CE/CA = CF/CB， ∵ CA = CB，∴ CE = CF，即 6 - 2t = 2t，4t = 6，t = 3/2； ② 当△ECF ∽ △BCA时，CE/CB = CF/CA， ∵ CA = CB，∴ CE = CF，同样得t = 3/2。 （或由AC=BC，两种情况一致） 答：当t = 3/2秒时，△ECF与△ABC相似。………………12分 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $