内容正文:
2025-2026学年度第一学期第一次阶段学业水平抽样评估
九年级数学试卷2025.10
一、选择题(大题共12个小题:每小题2分,共24分)
1. 下列关于二次函数的说法,正确的是( )
A. 图象的对称轴是直线 B. 抛物线的顶点为
C. 当时,函数y有最大值 D. 当时,y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数的性质逐一判断解题即可.
【详解】解:A. 图象的对称轴是直线,说法不正确;
B. 抛物线的顶点为,说法不正确;
C. 当时,函数y有最小值,说法不正确;
D. 当时,y随x的增大而增大,说法正确;
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质,掌握二次函数的性质是解题的关键.
2. 将抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查函数图象的平移,直接根据“上加下减,左加右减”进行计算即可.
【详解】解:抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的拋物线的解析式为:,
即:,
故选:A.
3. 若,,为二次函数的图象上的三点,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴,开口向上,离对称轴越远函数值越大,再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案;本题主要考查了比较二次函数值的大小,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
【详解】解:∵二次函数的解析式为,
∴二次函数开口向上,离对称轴越远的点,函数值越大,对称轴为直线,
∵,,
∴.
故选:B.
4. 如图,一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合,点D对应的刻度值为,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了的圆周角所对的弦为直径,圆周角定理等知识.熟练掌握的圆周角所对的弦为直径,圆周角定理是解题的关键.
如图,记的中点为,连接,由题意知,,四点共圆,由圆周角定理可得,根据,计算求解即可.
【详解】解:如图,记的中点为,连接,
由题意知,,
∵,
∴四点共圆,
∵,
∴,
∴,
故选:A.
5. 如图,过原点,且与两坐标轴分别交于点 A、B,点 A 的坐标为, E是圆上一点,,则圆心C的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质,含角的直角三角形的性质,圆周角定理,坐标与图形,根据圆内接四边形对角互补得到,再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径,求出,进而求出,可得.再根据点C是AB的中点求出点C的坐标.
【详解】解:∵、、、都在圆上,,
∴,
∵,
∴是的直径,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
又∵是的直径,
∴圆心C的坐标为,即圆心C的坐标为
故选:A.
6. 二次函数的部分对应值如表则一元二次方程的解为( )
…
0
1
2
4
…
…
5
0
5
…
A. , B. , C. , D. ,
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像性质及与一元二次方程的关系,解题的关键是先由对称性判断出对称轴是,再根据对称性和一根是,判断出另一根是.
【详解】解:根据表格中数据可知,当时,当时,或,
∴抛物线与x轴的一个交点为,对称轴是:直线,
∴ 抛物线与x轴的另一交点是,
∴ 一元二次方程的两根是,.
故选:C.
7. 如图,正五边形内接于,点是劣弧上一点(点不与点重合),则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形和圆的性质以及圆周角定理,熟练掌握正多边形内角与圆心角的关系以及圆周角定理是解题的关键.先连接、,利用正五边形的性质求出圆心角的度数,再根据圆周角定理求出的度数.
【详解】解:连接、,
∵ 五边形是正五边形
∴
∴
∴
故选:C.
8. 在同一平面直角坐标系中,一次函数与二次函数的图像可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别,熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键.根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符合,判断是否一致,即可获得答案.
【详解】解:A、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项不符合题意;
B、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项符合题意;
C、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项不符合题意;
D、由抛物线可知,,,得,由直线可知,,,故本选项不符合题意.
故选:B.
9. 如图,中,,,,D为边的中点,以上一点O为圆心的和,均相切,则的半径为( )
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质与三角形的面积.注意运用切线的性质来进行计算或论证,通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
首先过点O作于点E,于点F根据切线的性质,可知、是的半径;然后由三角形的面积间的关系,列出关于圆的半径的等式,求得圆的半径即可.
【详解】解:过点O作于点E,于点F,
、是的切线,
点E、F是切点,
、是的半径;
,
在中, ,,,
根据勾股定理,得,
D是边的中点,
,
又,
,
即,
解之得:
故选:A
10. 如图,点O是外接圆的圆心,点I是的内心,连接,.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内心的定义可得的度数,然后由圆周角定理求出,再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案.
【详解】解:连接,
∵点I是的内心,,
∴,
∴,
∵,
∴,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理,熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键.
11. 如图,是的直径,点,点是半圆上两点,连结相交于点,连结. 已知于点,;下列结论:①;②若点为的中点,则;③若,则;④;其中正确的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】由垂径定理,圆周角定理的推论得出,由是的直径,进而根据等角的余角相等进而判断①;点为的中点,得出,进而证明,得出,进而根据三角形中位线定理得出,等量代换得出即可判断②,连接,根据垂径定理得出,根据得出,则,得出为等边三角形,由,即可得出继而判断③;勾股定理得出,当时,,即可判断④.
【详解】解:①∵,
∴,
∴,
∵是的直径,
∴,
∴,
∴
故①正确,符合题意;
②∵点为的中点,
∴,
∵为直径,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故②正确,符合题意;
③连接,
∵
∴
∵,
∴
∴,
∴,
∵,
∴为等边三角形,
∵,
∴,
故③正确,符合题意;
④∵,
∴,
当时,,
故④错误,不符合题意;
故正确的有:①②③.
故选:A.
【点睛】本题考查了垂径定理,圆周角定理的推论,全等三角形的判定和性质,三角形中位线定理,关键是掌握并熟练应用以上知识点.
12. 已知二次函数,当时,x的取值范围是,且该二次函数的图象经过点,两点,则d的值不可能是( )
A. B. 4 C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质,解题关键是根据时,的取值范围是,可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程,再根据二次函数的性质进而求解.
【详解】解:如图,
二次函数,当时,的取值范围是,
二次函数开口向下,对称轴为直线,
该二次函数的图象经过点,两点,
点关于对称轴的对称点为,
或,
不可能是.
故选:A.
二、填空题(本大题共4个小题,共14分)
13. 如图,四边形是的内接四边形,若,则的度数是___________.
【答案】##100度
【解析】
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补,进行求解即可.
【详解】解:∵四边形是的内接四边形,,
∴,
∴;
故答案为:.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质.熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半,圆内接四边形的对角互补,是解题的关键.
14. 抛物线与轴交点的纵坐标为______.
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点的计算,掌握二次函数与坐标轴交点与方程的计算方法是解题的关键.
二次函数与轴交点,则代入计算即可.
【详解】解:抛物线与轴交点,则,代入得,
∴交点坐标为,
∴交点的纵坐标为,
故答案为:3 .
15. 如图,抛物线与轴正半轴只有一个交点,与轴平行的直线交抛物线于、,交轴于点.
①若抛物线经过,则______.
②若,则______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点,一元二次方程的根与系数的关系的应用;
①抛物线与轴只有一个交点,则,抛物线过点,则,则故,即可求解;
②设、,则,且,即可求解.
【详解】解:①抛物线与轴只有一个交点,则,
抛物线过点,则,
故,解得舍去正值,
故,
故答案为;
②抛物线与轴只有一个交点,则,
设,、点的横坐标分别为、,
则:、,
当时,,
则:,,
,
解得:,
即,
故答案为:.
16. 如图, 在中, 直径,, 点P 为弦上一点, 点Q在上,.
(1) 若, 则________;
(2)点P在上移动时,长的最大值为_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形,勾股定理,圆的基本性质等,难度不大,能够综合运用上述知识点是解题的关键.
(1)利用锐角三角函数解求出;
(2)连接.由勾股定理得,可知的长最小时,的长最大,此时,根据求出的最小值,即可求解.
【详解】(1)解:∵,
∴.
在中,,
∴.
故答案为:
(2)连接,
∵
∴,
在中,,
∴,
∴当最小时,最大,即时,最大,.
当时,.
∴长的最大值为.
故答案为:
三、解答题(本大题共8道题,共62分)
17. (1)用配方法解方程:;
(2)用公式法解方程:.
【答案】(1);(2),
【解析】
【分析】本题考查求解一元二次方程.掌握各类求解方法是解题关键.
(1)移项、配方、开方,即可解答;
(2)将原方程化为一般形式,根据公式法即可解答.
【详解】解:(1),
移项得:,
配方得:,
即,
开方得:,
∴;
(2),
原方程可化为:,
∵,
∴,
18. 如图,已知二次函数图象经过点和点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数图象,直接回答下列问题:
①当时,函数的取值范围:__________.
②当时,的取值范围:_____________.
③方程的解为:__________.
【答案】(1)
(2)①;②;③,
【解析】
【分析】(1)采用待定系数法即可求解;
(2)①求出时的函数值,再结合二次函数的图象即可作答;②先求出抛物线与x轴的交点坐标,再根据数形结合即可作答;③先根据对称性得到函数值为所对应的自变量的值,然后根据二次函数的性质写出方程的解.
【小问1详解】
解:把点和点代入得:
,解得,
∴;
【小问2详解】
①由可得:,
当时,此时二次函数取最大值,;
当时,;
当时,,
即:当时,结合图象可得:y的取值范围:.
故答案为:;
②令,得:,解得:,,
结合图象,可知:当时,函数y的取值范围:,
故答案为:;
③根据对称性可得和时,函数值,
∴方程的解为:,,
故答案为:,.
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数解析式,求解二次函数与x轴交点坐标,数形结合求解不等式解集的知识,注重数形结合是解答本题的关键.
19. 如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.
(1)若的外接圆的圆心为,则圆心的坐标为_________,的半径为_________;
(2)的外接圆与轴的另一个交点坐标是________.
(3)中所对的圆周角是________度,的长度________.
【答案】(1);
(2)
(3),
【解析】
【分析】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置,勾股定理,勾股定理的逆定理,求弧的度数等知识点,熟知三角形外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键.
(1)根据圆心是线段、的垂直平分线的交点,结合网格的特点画出点的位置,进而得到点的坐标,再利用勾股定理求出的长即可得到答案;
(2)设的外接圆与轴的另一个交点为,根据点在线段的垂直平分线上,求出点的坐标即可;
(3)利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形,且,然后利用弧长的度数即可求出圆周角的度数;
【小问1详解】
解:如图所示,点的位置即为圆心位置,
圆心的坐标为,
,
圆的半径为,
故答案为:,.
【小问2详解】
解:设的外接圆与轴的另一个交点为,
点在线段的垂直平分线上,
点的横坐标为,
点的坐标为,
的外接圆与轴的另一个交点坐标是,
故答案为:.
【小问3详解】
解:,,,
,,
,
是直角三角形,且,
的度数为,所对的圆周角是,
故答案为: ,.
20. 如图1,某公园有一个圆形音乐喷泉,为了保障游客安全,管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划,其示意图如图2所示,相关信息如下:
信息一:点为喷泉中心,是喷泉边缘的一条弦,米,是弦的中点,连接并延长,交劣弧于点,米.
信息二:已知防护栏要距离喷泉边缘1米,以为圆心,为半径作防护栏所在圆.请根据以上信息解答下列问题
(1)求喷泉的半径;
(2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯,大约需要安装多少盏景观灯?(取3,结果保留整数)
【答案】(1)5 (2)24
【解析】
【分析】(1)连接,设喷泉的半径为,则、,由垂径定理可得、,再利用勾股定理得到,据此列方程求解即可;
(2)由(1)可知米,利用圆的周长进行求解即可.
【小问1详解】
解:连接,设喷泉的半径为,则,
,
是弦的中点,
、,
,
在中,,
即,
解得,
喷泉的半径为5米;
【小问2详解】
解:由题意得:米,
则盏,
因此,大约需要安装24盏景观灯.
21. 如图,点在抛物线L:上,且在抛物线对称轴左侧,
(1)直接写出抛物线L的对称轴和顶点坐标,并求m.
(2)若把点M与抛物线L平移,使平移后L恰好与重合,求点M移动的最短路程.
【答案】(1)对称轴为直线,,
(2)10
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,平移以及勾股定理.
(1)根据二次函数的图象与性质可得对称轴是直线,顶点坐标是,再令,解方程即可求出m的值;
(2)抛物线L向左移动8个单位再向下移动6个单位得到抛物线,据此即可作答.
【小问1详解】
∵抛物线L:,
∴抛物线L的对称轴是直线,顶点坐标是.
∵点在抛物线上
∴
解得,.
∵点在抛物线对称轴左侧
∴.
【小问2详解】
∵,
∴抛物线L向左移动8个单位再向下移动6个单位得到抛物线,
∴点M也向左移动8个单位再向下移动6个单位,
∴M移动的最短距离是:.
22. 如图,为的直径,为的半径,的弦与相交于点F,的切线交的延长线于点E,.
(1)求证:垂直平分;
(2)若的半径长为3,且,求的长.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)1
【解析】
【分析】(1)连接,根据切线的性质可得,然后根据等边对等角、等量代换求出,证即可得出结论;
(2)设,则,,在中,利用勾股定理构建方程求解,然后根据即可求出结果.
【小问1详解】
证明:连接,
∵切于点C,
,
∴,
,,
,,
又∵,
,
,
,
,
垂直平分;
【小问2详解】
设,则,,
在中,,
,
解得:,(舍去),
.
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及解一元二次方程,熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.
23. 如图,在中,,以为直径作,与交于点D,与交于点E,点F是外一点,,.
(1)求证:是的切线.
(2)若,.
①求的长;
②求图中由,线段,,所组成的封闭图形的面积.
【答案】(1)见解析 (2)①;②
【解析】
【分析】(1)如图所示,连接,证明出,得到,然后等量代换得到,推出,得到,即可证明;
(2)①根据题意求出,,然后利用弧长公式求解即可;
②勾股定理求出,得到,然后求出,,,,,然后利用线段,,所组成的封闭图形的面积代数求解即可.
【小问1详解】
如图所示,连接
∵为直径
∴
∴
∵,
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵为直径
∴是的切线;
【小问2详解】
①∵,
∴
∴
∵
∴
∴
∴;
②∵,,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴线段,,所组成的封闭图形的面积
.
【点睛】此题考查了切线的判定,全等三角形的性质和判定,勾股定理,求不规则图形面积等知识,解题的关键是掌握以上知识点.
24. 如图,二次函数的图象与x轴交于点,两点,与y轴交于点C,点C与点D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象经过B,D.
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标;
(2)结合图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围;
(3)若点P是直线上方抛物线上的一个动点,连接、,当点P在什么位置时,面积最大,求出此时面积的最大值以及点P坐标;
(4)若点E(不在x轴上)是直线上一动点,过点E作轴于点F交抛物线于点H,且点E,F,H三点中有两点关于第三点成中心对称,直接写出点E的横坐标.
【答案】(1);
(2)或
(3)
(4)或或
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法求解即可;
(2)先求出二次函数的对称轴为,进而得到点D坐标,再利用图象求解即可;
(3)先利用待定系数法求出的表达式,设点,过点P作轴于点Q,交于点G,则点G坐标为,进而得到的长,利用进行求解即可;
(4)设点,则、,分情况讨论:当①点F和点H关于点成中心对称或②点E和点H关于点成中心对称或③点E和点F的关于点成中心对称点,利用中心对称的性质列方程求解即可.
【小问1详解】
解:将点、代入函数得:
,
解得,
二次函数的解析式为,
当时,,
点C的坐标为;
【小问2详解】
解:由(1)知,二次函数的解析式为,
则对称轴为直线,
点C,与D是二次函数图象上的一对对称点,
点D的坐标为,
由图象可知:一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为或;
【小问3详解】
解:设直线的表达式为,
将点、代入得:
,
解得,
直线的表达式为,
设点,过点P作轴于点Q,交于点G,
,
,
,
,
二次函数的图象开口向下,
当时,有最大值,最大值为,
此时,
面积的最大值为,点P坐标为;
【小问4详解】
解:由(3)可知:直线的表达式为,
设点,则、,
①当点F和点H关于点成中心对称时:
根据题意得:,
解得或,
若,则点E、F、H三点重合,不符合题意,
;
②当点E和点H关于点成中心对称时:
根据题意得:,
解得或(舍去);
③当点E和点F关于点成中心对称时:
根据题意得:,
解得或(舍去),
综上所述,点E的横坐标为或或.
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合,中心对称的性质、三角形面积问题,熟练掌握二次函数和一次函数的图象性质、数形结合的思想方法是运用是解题的关键.
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2025-2026学年度第一学期第一次阶段学业水平抽样评估
九年级数学试卷2025.10
一、选择题(大题共12个小题:每小题2分,共24分)
1. 下列关于二次函数的说法,正确的是( )
A. 图象的对称轴是直线 B. 抛物线的顶点为
C. 当时,函数y有最大值 D. 当时,y随x的增大而增大
2. 将抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
3. 若,,为二次函数的图象上的三点,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
4. 如图,一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合,点D对应的刻度值为,则的度数为( )
A. B. C. D.
5. 如图,过原点,且与两坐标轴分别交于点 A、B,点 A 的坐标为, E是圆上一点,,则圆心C的坐标为( )
A. B. C. D.
6. 二次函数的部分对应值如表则一元二次方程的解为( )
…
0
1
2
4
…
…
5
0
5
…
A. , B. , C. , D. ,
7. 如图,正五边形内接于,点是劣弧上一点(点不与点重合),则的度数为( )
A. B. C. D.
8. 在同一平面直角坐标系中,一次函数与二次函数的图像可能是( )
A. B.
C. D.
9. 如图,中,,,,D为边的中点,以上一点O为圆心的和,均相切,则的半径为( )
A. B. C. 1 D. 2
10. 如图,点O是外接圆的圆心,点I是的内心,连接,.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
11. 如图,是的直径,点,点是半圆上两点,连结相交于点,连结. 已知于点,;下列结论:①;②若点为的中点,则;③若,则;④;其中正确的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
12. 已知二次函数,当时,x的取值范围是,且该二次函数的图象经过点,两点,则d的值不可能是( )
A. B. 4 C. D. 6
二、填空题(本大题共4个小题,共14分)
13. 如图,四边形是的内接四边形,若,则的度数是___________.
14. 抛物线与轴交点的纵坐标为______.
15. 如图,抛物线与轴正半轴只有一个交点,与轴平行的直线交抛物线于、,交轴于点.
①若抛物线经过,则______.
②若,则______.
16. 如图, 在中, 直径,, 点P 为弦上一点, 点Q在上,.
(1) 若, 则________;
(2)点P在上移动时,长的最大值为_________.
三、解答题(本大题共8道题,共62分)
17. (1)用配方法解方程:;
(2)用公式法解方程:.
18. 如图,已知二次函数图象经过点和点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数图象,直接回答下列问题:
①当时,函数的取值范围:__________.
②当时,的取值范围:_____________.
③方程的解为:__________.
19. 如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.
(1)若的外接圆的圆心为,则圆心的坐标为_________,的半径为_________;
(2)的外接圆与轴的另一个交点坐标是________.
(3)中所对的圆周角是________度,的长度________.
20. 如图1,某公园有一个圆形音乐喷泉,为了保障游客安全,管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划,其示意图如图2所示,相关信息如下:
信息一:点为喷泉中心,是喷泉边缘的一条弦,米,是弦的中点,连接并延长,交劣弧于点,米.
信息二:已知防护栏要距离喷泉边缘1米,以为圆心,为半径作防护栏所在圆.请根据以上信息解答下列问题
(1)求喷泉的半径;
(2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯,大约需要安装多少盏景观灯?(取3,结果保留整数)
21. 如图,点在抛物线L:上,且在抛物线对称轴左侧,
(1)直接写出抛物线L的对称轴和顶点坐标,并求m.
(2)若把点M与抛物线L平移,使平移后L恰好与重合,求点M移动的最短路程.
22. 如图,为的直径,为的半径,的弦与相交于点F,的切线交的延长线于点E,.
(1)求证:垂直平分;
(2)若的半径长为3,且,求的长.
23. 如图,在中,,以为直径作,与交于点D,与交于点E,点F是外一点,,.
(1)求证:是的切线.
(2)若,.
①求的长;
②求图中由,线段,,所组成的封闭图形的面积.
24. 如图,二次函数的图象与x轴交于点,两点,与y轴交于点C,点C与点D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象经过B,D.
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标;
(2)结合图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围;
(3)若点P是直线上方抛物线上的一个动点,连接、,当点P在什么位置时,面积最大,求出此时面积的最大值以及点P坐标;
(4)若点E(不在x轴上)是直线上一动点,过点E作轴于点F交抛物线于点H,且点E,F,H三点中有两点关于第三点成中心对称,直接写出点E的横坐标.
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