精品解析：天津市九十二中学2025-2026学年九年级第一学期第一次数学阶段性检测

天津市九十二中学九年级数学 2025～2026学年度第一学期第一次阶段性检测 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 4. 方程的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　） A. （15+2x）（8+x）＝110 B. （15﹣2x）（8﹣x）＝110 C. （15+x）（8+2x）＝110 D. （15﹣x）（8﹣2x）＝110 6. 某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（ ） A. B. 2或 C. 2或 D. 2 7. 若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（        ） A. 1，0 B. ﹣1，0 C. 1，﹣1 D. 无法确定 8. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 关于抛物线y＝﹣（x+1）2+2，下列说法错误的是 A. 图象的开口向下 B. 当x＞﹣1时，y随x的增大而减少 C. 图象的顶点坐标是（﹣1，2） D. 图象与y轴的交点坐标为（0，2） 10. 把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（　　） A. y＝3（x+2）2+1 B. y＝3（x+2）2﹣1 C. y＝3（x﹣2）2﹣1 D. y＝3（x﹣2）2+1 11. 一次函数的图象如图所示，则二次函数 的图象是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 设是方程的两个根，则________． 14. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______． 15. 对于实数，我们定义新运算※，则方程※的解为___________． 16. 函数y=﹣3（x+2）2的开口_____，对称轴是_____，顶点坐标为_____． 17. 二次函数的最小值为______． 18. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒． 三、解答题（共58分） 19. 解下列一元二次方程： ； ． 20. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． 21. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ （3）若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 22. 已知关于x的一元二次方程的有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 23. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求： （1）点A、B、C的坐标； （2）的面积． 24. 已知二次函数． （1）该二次函数图象的对称轴为直线_________，顶点坐标为_________； （2）请在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并根据图象直接写出当时，的取值范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； （3）若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市九十二中学九年级数学 2025～2026学年度第一学期第一次阶段性检测 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】解：A、最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、原函数化简为：是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴；   故选：B ． 4. 方程的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】将原方程整理为一般形式，然后根据一元二次方程的根的判别式分析判断即可． 【详解】解：将方程整理为一般形式， 可得， ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了判断一元二次方程的根的情况，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 5. 某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　） A. （15+2x）（8+x）＝110 B. （15﹣2x）（8﹣x）＝110 C. （15+x）（8+2x）＝110 D. （15﹣x）（8﹣2x）＝110 【答案】B 【解析】 【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的矩形，利用种植的面积＝合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的大矩形， 依题意得：（15﹣2x）（8﹣x）＝110． 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是要根据图形面积公式列一元二次方程. 6. 某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（ ） A. B. 2或 C. 2或 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了程序设计，解一元二次方程，根据题意分两种情况，当时，当时，然后分别求解判断即可． 【详解】解：∵当输出的值为4时， ∴当时，，不符合题意； 当时，解得． ∴当输出的值为4时，则输入的x值是． 故选：A． 7. 若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（        ） A. 1，0 B. ﹣1，0 C. 1，﹣1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 8. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线对称轴，结合开口方向，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． ∵，抛物线开口向上， ∴点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； ∵， ∴． 9. 关于抛物线y＝﹣（x+1）2+2，下列说法错误的是 A. 图象的开口向下 B. 当x＞﹣1时，y随x的增大而减少 C. 图象的顶点坐标是（﹣1，2） D. 图象与y轴的交点坐标为（0，2） 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案． 【详解】解：A．y＝﹣（x+1）2+2， ∵a＝﹣1＜0， ∴图象的开口向下，故本选项正确，不符合题意； B．∵y＝﹣（x+1）2+2， ∴开口向下，对称轴为x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减少，故本选项正确，不符合题意； C．顶点坐标为（﹣1，2），故本选项正确，不符合题意； D．∵当x＝0时，y＝1， ∴图象与y轴的交点坐标为（0，1），故本选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10. 把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（　　） A. y＝3（x+2）2+1 B. y＝3（x+2）2﹣1 C. y＝3（x﹣2）2﹣1 D. y＝3（x﹣2）2+1 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题． 【详解】解：∵二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴y＝3（x﹣2）2﹣1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，准确计算是解题的关键． 11. 一次函数的图象如图所示，则二次函数 的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据一次函数图象所过象限，判断的符号，进而判断出二次函数的图象即可． 【详解】解：∵直线过一，三，四象限， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故符合题意的只有选项C； 故选C． 12. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口方向、对称轴以及抛物线与y轴的交点可判断①，根据对称轴可判断②，根据顶点纵坐标可判断③，根据特殊点可判断④． 【详解】①∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝， ∴b＝﹣a＞0， ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，①正确； ②∵b＝﹣a， ∴a+b＝0，②正确； ③∵抛物线的顶点坐标为（，1）， ∴＝1， ∴4ac﹣b2＝4a，③正确； ④∵抛物线的对称轴为x＝， ∴x＝1与x＝0时y值相等， ∵当x＝0时，y＝c＞0， ∴当x＝1时，y＝a+b+c＞0，④错误． 综上所述：正确的结论为①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，根据二次函数的图象分析出a、b、c之间的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 设是方程的两个根，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：熟记、是一元二次方程的两根时，是解题的关键． 利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：在中，， ∵、是方程的两个根， ， 故答案为：3． 14. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据单循环赛总比赛场数的公式和计划总比赛场数，建立方程，即可作答． 【详解】解：参赛队有 个，每两个队之间比赛一场，则总比赛场数为， ∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场数为， ∴， 故答案为：． 15. 对于实数，我们定义新运算※，则方程※的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算与一元二次方程的求解，解题的关键是根据新运算规则将方程转化为常规一元二次方程． 依据新运算※，把※转化为，得到方程后求解． 【详解】解：方程为，解得． 16. 函数y=﹣3（x+2）2的开口_____，对称轴是_____，顶点坐标为_____． 【答案】 ①. 向下， ②. 直线x=﹣2， ③. （﹣2，0）． 【解析】 【分析】仔细分析题目，利用二次函数的性质解答即可；已知二次函数y=﹣3（x+2）2是顶点式，可直接写出顶点坐标和对称轴；根据系数大小判断开口方向，从而选择正确答案. 【详解】函数系数为-3＜0，所以开口向下;令x+2=0得到对称轴直线x=﹣2，且顶点坐标为（﹣2，0）． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下. 17. 二次函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数一般式化为顶点式即得出答案． 【详解】∵， ∴二次函数的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的性质．熟练转化二次函数解析式的形式及掌握确定最值的方法是解题的关键． 18. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可． 【详解】解：当时，即 解得，（舍去） ∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒． 故答案为：2． 三、解答题（共58分） 19. 解下列一元二次方程： ； ． 【答案】 ，；（2）， 【解析】 【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 【详解】（1）移项得：（2x+3）2=81，开方得：2x+3=±9，解得：x1=3，x2=﹣6； （2）x2﹣6x﹣2=0，△=（﹣6）2﹣4×1×（﹣2）=44，x=，x1=3+，x2=3﹣． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解答此题的关键． 20. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． 【答案】（1）， （2）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）根据“如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件”即可得出降价后每天销售件数；根据每件盈利每件售价每件成本，即可解得； （2）根据总利润单件利润数量，列出方程求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意可得：如果每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 整理得， 解得：， ∵为了扩大销售量，尽快减少库存， ， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 21. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ （3）若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【答案】（1）鸡场的长为米，宽为米 （2）鸡场面积不可能达到平方米 （3）当时，不能围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出的值，即可得出答案； （3）根据实际问题当时，当时，当时，三种情况进行讨论，得出符合条件的值即可． 【小问1详解】 解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为； 【小问2详解】 解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到； 【小问3详解】 解：当时，不能围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场． 22. 已知关于x的一元二次方程的有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟记各知识点是解题的关键． （1）由方程有两个不等的实数根得到，列不等式求解； （2）根据根与系数的关系得到，代入计算即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程的有两个不相等的实数根， ， 解得：， 则m的取值范围为； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ， 解得：， ， ， 则m的值为1． 23. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求： （1）点A、B、C的坐标； （2）的面积． 【答案】（1）；； （2）6 【解析】 【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标； （2）根据A，B，C的坐标求出，长，即可求出的值． 【小问1详解】 解：令，则， ∴； 令，则， 解得：，， ∴；． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键熟练进行计算． 24. 已知二次函数． （1）该二次函数图象的对称轴为直线_________，顶点坐标为_________； （2）请在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并根据图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）； （2）图见解析；的取值范围是 【解析】 【分析】（1）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标和图象对称轴即可； （2）根据二次函数与坐标轴的交点和（1）中的顶点坐标作出图象即可；根据图象即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， ∴该二次函数图象的对称轴为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵当时，， ∴该二次函数图象与轴的交点为， ∵当，则， 解得：，， ∴该二次函数图象与轴的交点为，， ∴二次函数的图象如下图所示： 当时，的取值范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的顶点式，解本题的关键在正确画出二次函数图象． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； （3）若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） （3）的面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，将抛物线的对称轴代入直线的解析式即可； （3）作轴交直线于点，设，则，再得，根据铅直法得，再根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：， ，， 把，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，如图，， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 把代入，得， ； 【小问3详解】 解：如图，作轴交直线于点， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题．对于求最小值问题，则考虑用对称性，转化为“两点之间线段最短”来解决，在坐标系中求三角形的面积最值问题，通常用铅直法计算三角形的面积，再根据二次函数的最值来解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $