1.2.4用因式分解法解一元二次方程—对标课时练 2026--2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练以因式分解法解一元二次方程为核心，通过三级分层设计，实现从单一方法操作到综合问题解决的进阶，强化运算能力与推理意识，适配新授课基础巩固与适度提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础操作层|提公因式法、平方差法、十字相乘法直接应用|题量占比高，步骤详解，强化基本技能| |方法应用层|根与因式关系、方程解的判断与计算|选择题型为主，考查方法本质理解| |综合拓展层|多种方法选择、新解法探究（阅读材料）|含“新考向”题，渗透转化思想，培养创新意识|

1.2.4 用因式分解法解一元二次方程 婁册对点练 知识点1用因式分解法求解一元二次方程 1.解形如a(x-m)+b(x-m)=0的一元二次方程（提公因式法） ()x2-4x=0; (②x-2)2-3(x-2)=0 3)xx-4)=8-2x; ④x-1)2+31-x)=0 2.解形如(ax-m)-(br-n)=0的一元二次方程（平方差法） (1x-5)2-16=0. 2x+3)2=(2x-102: 62x-l)=163x+22: ④4(x-2)2=9x+1)2 3.利用十字相乘法解一元二次方程 1①x2-6x-7=0, (2)x2-6xr=-8: 3)2x2+3x-2=0: ④)3x2+10x-8=0: (5)4x2-31x-45=0: (6x+2)x-)=10: ()x+)-6x+)+8=0: ⑧r+(W5-V5)x-V5=0 2 能力达标练 4.关于x的方程x+br+C=0的两个实数根分别为-2和3，则分解因式x+bx+C等于() A.(x+2)x-3) B.(x-2)(x+3) C.(x-2)(x-3) D.(x+2)(x+3) 5老3x--斗F+6r-7-0 则x=()》 2 2 A.1 B.3 C.-7 D.3或-7 6.已知实数x满足(x2-x)-4(x-x)-12=0,则x2-x的值为() A.6 B.-2或6 C.-2 D.12 7.对于两个不相等的实数a,b我们规定符号max(a,b)表示a,b中较大的数，如： max(-1,3)=3按照这个规定，方程max(2x-l,x)=x的解为() A.=1,x2=-1 B.=1,x2=0 C.x=-1 D.x=0 &.已知关于x的方程(2x-m)(mx+)=(3x+1(mx-l)有一个根是0，则它的另一个根和m的值分别 是() A.3和1 B.2和3 C.3和4 D.4和1 9.用适当的方法解方程： ()y+3y+1=0. a2x-22x-5=0 3 3(2x+3y2=(3x+2)2: ④30x-2y2=x2-4 拨高提升练 10.(新考向)阅读下列材料，完成相应任务.我们已经学习过利用直接开平方法、配方法、公式法、因式分 解法解一元二次方程，对于关于x的一元二次方程x+pr+q=0,还可以利用下面的方法求解 将方程整理，得(x+p)=一q“第1步 +2-(x+g+)=-g… 变形得 22 22 第2步 +-=9 第3步 +学=-9，+9 4 … 于是得 第4步 当p-4g≥0时，得x 2 第5步 -P+vp2-4g _-p-Vp2-4g 得 2 2 第6步 当p2-4q<0时，该方程无实数解“第7步 学习任务： (1)上述材料的第2步到第3步依据的数学公式是 第4步到第5步将一元二次方程“降 次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是 (2)请用材料中提供的方法，解下列方程：2x2+6x-3=0 解析： 基部对点练 知识点1用因式分解法求解一元二次方程 1.解形如(x-m+b(x-m)=0的一元二次方程（提公因式法） 1x2-4x=0: 解：把方程的左边进行因式分解，得x一4)=0 ∴.x=0或x-4=0 .=0,x2=4 (2(x-2)2-3x-2)=0 解：把方程的左边进行因式分解，得仁-2)x-2-3)=0 即(x-2)(x-5)=0 5 .x-2=0或x-5=0 x=2,x2=5 ③xx-4)=8-2x: 解：移项，得(x-4)+20x-4=0 把方程的左边进行因式分解，得(x-4)x+2)=0 ∴.x-4=0或x+2=0 .=4,2=-2 ④x-102+31-x)=0 解：把方程的左边进行因式分解，得仁-(x-1-3)=0 即x-10x-4)=0 :x-1=0或x-4=0 .=1,x2=4 2.解形如(ar-m)'-(br-n)=0的一元二次方程（平方差法） 1x-5)2-16=0 解：把方程的左边进行因式分解，得K-5+4(x-5-4)=0 即x-1)(x-9)=0 6 :x-1=0或x-9=0 =1,x2=9 ②c+3=(2x-2； 解：移项，得x+3)2-(2x-1)2=0 把方程的左边进行因式分解，得c+3+2x-lCx+3-2x+)=0 即(3x+2)(-x+4)=0 :3x+2=0或-x+4=0 :=3=4 2 (6(2x-1)=163x+2)}2; 解：移项，得(2x-)2-[4(3x+2)=0 把方程的左边进行因式分解，得(2x-)+4(3x+2[2x-)-43x+2]=0 即(14x+7)(-10x-9)=0 :14x+7=0或-10x-9=0 1 9 =210 ④4(x-2)2=9(x+12 解：移项，得[2(x-2)2-[3(x+1]=0 把方程的左边进行因式分解，得2(x-2)+3(x+I][2(cx-2)-3(x+1】=0 即(5x-10(-x-7)=0 :5x-1=0或-x-7=0 1 =5名=-7 3.利用十字相乘法解一元二次方程 ①)x2-6x-7=0: 解：把方程的左边进行因式分解，得x-7)x+)=0 x-7=0或x+1=0 .=7,x2=-1 (2②)x2-6r=-8: 解：移项，得x2-6x+8=0 把方程的左边进行因式分解，得任-2x-4)=0 :x-2=0或x-4=0 .=2,x2=4 3)2x2+3x-2=0 (x+2)2x-1)=0 解：把方程的左边进行因式分解，得 小 :x+2=0或2x-1=0 x=-2,为=2 1 ④3x2+10x-8=0: 解：把方程的左边进行因式分解，得任+43x-2)=0 :x+4=0或3x-2=0 :4为 2 3 (5⑤4r2-31x-45=0； 解：把方程的左边进行因式分解，得x-9(4x+5)=0 :X-9=0或4x+5=0 5 x=9,x2=- 4 (⑥x+2)x-1)=10. 解：去括号，得x2+x-2=10 移项，得x2+x-12=0 把方程的左边进行因式分解，得任+4x-3)=0 :x+4=0或x-3=0 9 =-4,62=3 )x+1)2-6(x+1)+8=0, 解：把方程的左边进行因式分解，得K+1-2(x+1-4)=0 即(x-1)(x-3)=0 :x-1=0或x-3=0 =1,x2=3 图r+(W3-5)x-V5=0 解：把方程的左边进行因式分解，符《+5x-5)=0 、x+5=0或x-V5=0 =3,为=V5 能力达标练 4.关于x的方程x2+br+c=0的两个实数根分别为-2和3，则分解因式x2+bx+C等于() A.(r+2x-3) B.(x-2)(x+3) c(r-2x-3) D.(x+2)x+3) 答案：A 解析：关于x的方程x+br+C=0的两个实数根分别为一2和3 :r+br+c可分解因式为Cx+2(x-3) o 故选A选项. 5.若3-x-2-+6r-7=0 则x=() 、2 2 A.1 B.3 C.-7 D.3或-7 答案：A Br--F+6-7=0,可分为-8x+2+70可=0 解析： (x-103x+2)=0且(x+7)x-1)=0 x-1=0 解得，x=1 故选A选项 6.已知实数x满足（--4(r-)-12=0,则x-x的值为() A.6 B.-2或6 C.-2 D.12 答案：A 解析：令1=x2-x g-20 11 4 /=x2-x :原方程为-41-12=0 把方程的左边进行因式分解，得(-6)t+2)=0 :1-6=0或1+2=0 :4=6,1=-2 会、1 4 t=6即，x2-x=6 故选A选项 7.对于两个不相等的实数a,b我们规定符号max(a,b)表示a,b中较大的数，如： max(-l,3)=3按照这个规定，方程max(2x-l,x)=x的解为() A.=1,2=-1 B.X=1,x2=0 C.x=-1 D.x=0 答案：D 解析：当 2x-l>x时，x>1 方程max(2x-l,x)=x2为2x-1=x2 移项，得x2-2x+1=0 解得，x=1 12 x>1 .x=1舍去 当2x-1<x时，x<1 方程max(2x-1,x)=x2为x=x2 移项，得x2-x=0 把方程的左边进行因式分解，得(x-)=0 x1=0,x2=1 解得， x<1 x=1舍去 x=0 故选D选项 8.己知关于x的方程(2x-m)mr+)=(3x+)(mx-)有一个根是0，则它的另一个根和m的值分别 是() A.3和1 B.2和3 C.3和4 D.4和1 答案：A 解析：将=0代入2x-mr+)=(6x+mx-),有-m=-1 解得，m=1 方程为(2x-0x+)=(3x+1)x-1) 去括号得，2x2+x-1=3x2-2x-1 13 移项合并同类项，得x2-3x=0 把方程的左边迸行因式分解，得(x-3)=0 解得，=0占=3 .术=1舍去方程的另一个根为x=3 故选A选项. 9.用适当的方法解方程： (①y+3y+1=0 解析：移项， 得y+3y=-1 9 y2+3y+9=-1+9 配方，方程两边同时加上4，得 4 4 += 即 24 3 + 由平方根的意义， 2-2 :,当 2,=-3+5 3V5 22 a2r2-22x-5=0 2-2x-5=0 解析：方程两边同时除以2，得 2 -x-=月 移项，得 14 0-+号 1 配方，方程两边同时加上2，得 2 x-v2 =±3 由平方根的意义，得2 ,专 285 2+5 6(2x+3y2=(3x+2)}2; 解析：移项，得2r+3)-(3x+2》'=0 把方程的左边进行因式分解，得(2x+3-3x-2)(2x+3+3x+2)=0 (-x+1)5x+5)=0 即 .-x+1=0或5x+5=0 .=1,x2=-1 ④3(x-2)}2=x2-4 解标：移项，得3r-2-(+2c-2)=0 把方程的左边进行因式分解，得(x-2)儿3(x-2)-(x+2】=0 (x-2)(2x-8)=0 即 x-2=0或2x-8=0 15 ￥=2，为3=4 拨高提升练 10.(新考向)阅读下列材料，完成相应任务.我们已经学习过利用直接开平方法、配方法、公式法、因式分 解法解一元二次方程，对于关于x的一元二次方程+Px+q=0,还可以利用下面的方法求解 将方程整理，得（优+p)=一9…第1步 变形得 +号-x+号+=-g 22 第2步 得+学-=g 第3步 于是得 4 第4步 =+/D-4g 当p2-4920时，得 第5步 专2+P2一49 2 第6步 当p2-49<0时，该方程无实数解“第7步 学习任务： (1)上述材料的第2步到第3步依据的数学公式是 第4步到第5步将一元二次方程“降 次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是 (2)请用材料中提供的方法，解下列方程：2x2+6x-3=0 解析：(1)上述材料的第2步到第3步依据的数学公式是平方差公式，第4步到第5步将一元二次方程“降 次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是转化； 16 (2)解：移项，得2x2+6x=3 2+3x=3 方程两边同时除以2，得 33 3.3、3 (x+ x+ 一十一)= 222 根据题意变形，得 22 2 ,c+3=15 24 由平方根的意义，得2× 3 x+ 2 95} 222 17