第8期：4.1 函数～4.4 一 次函数的应用（答案见10期）-【数理报】2026-2027学年八年级上册数学学案（北师大版·新教材）

4 素养拓展 数理招 本版责任编辑：任小娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 (上接第3版) 附加题⊙ 2.（12分)如图2，在平面直角坐标系中，直 报纸发行质量反馈电话： 18.（14分)A,B两地间路程为600km,甲、 0351-5271248 乙两车分别从两地同时出发，沿同一公路相向 (以下试题供各地根据实际情况选用) 线y=:+2与x轴相交于点A,与直线y=3x 行驶.如图7是两车距离A地的路程y(km)与行 1.(8分)如图1，是一个“函数求值机”的 交于点B,点B的横坐标为1. (上接4版参考答案) 驶时间x(h)之间的关系.请根据以上信息，解示意图，其中y是x的函数.下面表格中，是通过 (1)求直线AB的函数关系式； (3)S1-S2是定 答下列问题： 该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值. (2)求△OAB的面积； (1) （填“甲车”或“乙车”)从A (3)设点P是射线OB上的一动点，连接 如图2，当点P在点 输入x…-6-4-202… AP,当△OAP是以∠OAP为底角的等腰三角形 A右侧时， 地出发前往B地. 输出y…2218141016 … (2)求乙车距离A地的路程与行驶时间之 时，求点P的坐标 间的关系式y=x+b,k,b的实际意义各是什 根据以上信息，解答下列问题： 么？ (1)当输入的x值为3时，输出的y值为 (3)求两车途中相遇时距离A地的距离. (4)若甲车到达目的地后立即按原速折返， (2)求k,b的值； 请通过计算说明：甲车折返途中是否会再次遇 (3)当输出的y值为20时，求输入的x值. S1-S2=(S1+ 上乙车. 输入x SaPo）-(S+) y/km个 =SPc -S△PAB 600 当x<1时当x≥1时 0P·OC_AP·AB 2 2 y=kx+b(k≠0) =8 01=×4=69 3 1012x/h 如图3，当点P在点 图7 输出y A左侧时， 图1 图3 因为OC=AB= 3,所以AP·0c 2 数理报社试题研究中心 AP:AB,所以S△e= (参考答案见10期) S△ABP,所以Saco 十十十十十十十十十十十十十十十十十十十“十 SAPBO- 第7期2版参考答案 =-2. P(-111 如图3，过点Q作 3.3轴对称与坐标变化 18.(1)(3)图略 33 QH⊥y轴于点H,则S 基础训练1.B;2.B;3.C; (2)点C(2,1),点D(-2,-1) 综上所述，点P的坐标为(11,11)或(- 3 -S2= S0oc= 4.-2;5.(2,-1) 四、19.(1)(-3，-2)；图略，C(4,3). 0C·QH_3×4=6. 6.(1)(2)图略. (2)图路，5rmc=7×7-号×1×7- 2 2 3 (3)P(m,-n),P2(-m,n) 综上所述，S-S2 7.(1)A(-4,4),B(-5,3) 号×2×2-7×5x7=26 21.1)(号2). 为定值6. (2)将点A(-4,4),B(-5,3),C(-4,1), 23.(1)x,3. D(-1,3)的横坐标分别乘-1，依次得到点 20.(1)因为点P在y轴上， 所以点P的横坐标为零，即2a-5=0, (2)点T的坐标是(3专，2) 3 (2)(1,2)或(1， E(4,4),F(5,3),G(4,1),H(1,3),作图略.由 -2). 图可知：两个图形关于y轴对称. 解得a=马， (3)如图1. 因为∠DHT=90°， E(m,m+2) (3)5. (3)四边形EFGH的面积是6. 所以a+3=号 所以点E与点T的横坐 (4)2或-2. 第7期3,4版参考答案 标相同. (5)因为△OPQ的 -、题号12345678910 面积为3，点P(3,3),点 答案CDB AB D CCDC 所以点P的坐标为(0，号)。 所以3十m=m. 3 Q在x轴上， 二、1.7；12三；13.(，3)： (2)因为点P的纵坐标比横坐标大3， 解得m=子 所以S△OPO 图1 所以a+3-(2a-5)=3, 14.(3,0)；15.7或-1. 2003=3, 解得a=5. 所以m+2=子 所以0Q=2, 三、16.(1)保龙仓在图书馆南偏西70°方 所以2a-5=5,a+3=8. 所以点E的坐标是（号，子 所以点Q的坐标为 向上，且距离图书馆2.8km;中国银行在图书馆 所以点P的坐标为(5,8) (2,0)或(-2,0)， 北偏东30°方向上，且距离图书馆3.2km;餐馆 (3)因为P(2a-5,a+3)到x轴、y轴的距 五、22.(1)(4,3). 所以d(P,Q)=13 在图书馆北偏西50°方向上，且距离图书馆离相等 (2)因为AB1x轴，BC⊥y轴，B(4,3),所 -21+13-01=1+3 1.8km. 所以12a-51=1a+31, 以0A=BC=4,0C=AB=3.又因为S△mB= =4,或d(P,Q)=13 (2)图略 (-2)1+l3-01=5+ 17.因为点P关于y轴的对称点为P(-3, 所2-5=a+3或2x5=-0+》.0A0=3.即=3.所以=2所0 ),所以P(3,). 解得a=8或a=子 2 3=8. 所以点P和点Q之 当a=8时，2a-5=11,a+3=11,则 =0A+A=4+2=6,所以Sax=20C.0P 因为点P关于x轴的对称点为P,(a,b),所P(11,11); 间的折线距离为4或8. =2×3×6=9 (全文完) 以a=36=-号所以沥=6×(-号 当a=号时，24-5=-号a+3=号则 (下转1,4版中缝) 数理报 2026年8月19日·星期三 初中数学 第 8期总第1204期 北师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-204 求一次函数表达式有妙箔 本周进 4.1函数 O河南 廖凯 4.2认识-一次函数 一次函数及其图象是初中数学的重要内容 解得b=2. 4.3一次函数的图象 之一，也是中考的重点考查内容.求一次函数的 所以此一次函数的表达式为y=-2x+2. 4.4一次函数的应用 表达式是一类常见题型，它涉及知识面广、技巧 故填y=-2x+2. 学习目标：1.了解函数的概念和表示法 性强、题目灵活多变.本文对常见的几种典型题 三、平移问题用规律 能举出函数的实例 型进行归纳总结，现剖析如下， 例3把一次函数y=-2x-2向上平移3 2能结合图象对简单实际问题中的函数关 一、待定系数直接求 个单位长度后，得到对应的函数表达式为 系进行分析，能确定简单实际问题中函数自 例1已知直线经过点A(2,4)和B(0,2), 变量的取值范围，会求函数值，并理解一次函 数与一元一次方程的关系。 则这条直线的表达式是 解析：根据一次函数图象的平移规律“上加 3.结合具体情境体会一次函数的意义」 A.y=-2x+3 B.y=x+2 下减”求解即可 能根据已知条件确定一次函数的表达式. C.y=-3x+2 D.y=2x-3 把一次函数y=-2x-2向上平移3个单位 4.能画一次函数的图象，根据图象和表 解析：设该一次函数的表达式为y=x+b.长度后，得到对应的函数表达式为y=-2x-2 达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0 将点A(2,4)和B(0,2)代入，得4=2k+b①， +3,即y=-2x+1. 时图象的变化情况；理解正比例函数」 2=b②.将②代入①，得k=1.所以这条直线 故填y=-2x+1. 5.能用一次函数解决简单实际问题」 的表达式是y=x+2. 四、平分图形用面积 故选B. 例4如图，在平面直 因为直线1经过点A,并将三角形ABC分成 二、平行问题代入求 角坐标系中，已知点A(0, 面积相等的两部分，所以D是BC边的中点. 例2已知直线y=x+b与直线y=-2x4),B(-1,2),C(3,2),直 因为B(-1,2),C(3,2), 平行，且过点4(-2,6)，则此一次函数的表达式线1经过点A,它将三角形 所以点D的坐标为(1,2) 为 ABC分成面积相等的两部 -1101 设直线l的函数表达式为y=kx+4. 解析：因为直线y=:+b与直线y=-2x分，则直线1的函数表达式 把D(1,2)代入，得k+4=2.解得k=-2. 平行，所以所求函数表达式为y=-2x+b. 为 所以直线1的函数表达式为y=-2x+4. 将A(-2,6)代入，得6=-2×(-2)+b 解析：如图，设直线l与BC交于点D. 故填y=-2x+4. 十十十“十十”十十十十“十”十”十”十十“十十 X 下降的 跟踪训练 (3)观察图象，体温 时间的函数 能刀提高 (填“是”或“不是”). 6.自行车的链条是由若干节链条连接而成 GENZONGXUNLIAN 体温C个 的，将其展直后链条的总长度y(cm)随着链条 4.1函数 4 节数x(节)的变化而变化，如图2，某品牌自行 十日 车每节链条的长度为2.5cm,链条交叉重叠部 屋四训练 分的圆的直径为0.8cm 1.数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合 (1)y与x之间的关系式是 的学科.下列四个漂亮的数学图象中，表示y是 (2)若该品牌一辆自行车上链条展直后的 x的函数的是 816-24324048时间/时 总长度为102.8cm,则其链条节数是多少？ 图1 5.写出下列问题中的函数关系式及自变量 2.5cm 的取值范围： ⊙⊙⊙ (1)用20cm的铁丝所围的长方形的面积 S(cm2)与一边长x(cm)之间的关系； 1节链条 2节链条 (2)等腰三角形的顶角为x度，底角为 图2 2.在函数y=√x-2中，自变量x的取值 y度，试用x表示y 范围是 (3)蜡烛高16cm,点燃后平均每小时燃掉 A.x≥2 B.x≤2 C.x>2 D.x<2 4cm,蜡烛点燃后剩余的高度h(cm)与燃烧时 间t(h)之间的关系. 3.当x=3时，y=3x+1的函数值是 A.10 B.11 C.12 D.13 4.蛇的体温随外部环境温度的变化而变 化，如图1表示的是一条蛇在两昼夜之间体温 的变化情况，请结合图象，回答下列问题： (1)第一天，蛇体温的变化范围是 ;它的体温从最低上升到最高需要 (2)第一天，时间在 范围内蛇的 体温是上升的；在 范围内蛇的体温是 (下转第2版) 2 素养专练 数理极 (上接第1版) 4.3一次函数的图象 3.已知一次函数y=2x+4的图象经过点 4.2认识一次函数 ! (m,8),则m= 屋础训练 4.某校的一生物小组观察某种植物的生长情 屋础训练 1.函数y=4x-2的图象经过 况，得到该植物的高度y(单位：cm)与观察时间 1.下列各函数中，y是x的正比例函数的是 A.第一、二、四象限 B.第二、三、四象限 x(单位：天)的关系如图2所示(AB是线段，射线 ( ) C.第一、二三象限 D.第一、三、四象限 BC平行于x轴).给出下面四个结论： B.y- !! 2.关于函数y=√2x,下列结论正确的是 ①从开始观察起，40天后该植物停止长高； Ay=岁 ( ②当0≤≤40时，y与的关系式为y=子 C.y=x-1 Dy=2(x+1) A.函数图象过点(1,2) +8; 2.如果将一次函数y=3(x-2)+1写成y= B.函数图象经过第二、四象限 ③观察第30天时，该植物的高度为15.5cm; C.y随x的增大而增大 x+b的形式，那么k= ,b= ④观察期间，该植物最高为20cm 3.已知y=(k-2)xM-1+2是关于x的一次 D.不论x为何值，总有y>0 其中正确结论的序号是」 3.正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x 函数，则k的值为 5.快车与慢车分别从甲、乙两地同时相向出 的增大而增大，则一次函数y=-x+k的图象大 4.重庆某山区地表以下岩层的温度y(℃)与 发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h,然后按原 致是 它所处的深度x(km)的对应数据如表： 路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快、慢两 岩层的深度x/km123456 车距各自出发地的路程y(km)与所用的时间 x(h)的关系如图3所示 岩层的温度y/℃4580115150185220 … (1)甲、乙两地之间的距离为」 km, 观察表中数据可知，温度y与深度x之间的关 快车的速度为 km/h,慢车的速度为 系式为 ·表达式中，一次项系数的实际意 km/h; 义是 ,常数项的实际意义是 4.已知点M(-1,y1)和N(3,y2)都在函数y 5.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判 =-3x+m(m为常数)的图象上，则y1 (2)出发多少小时，快、慢两车距各自出发地 断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ y2(填“>”“<”或“=”). 的路程相等？ v/km 5.已知一个函数的图象是一条经过原点且与 (1)小红去商店买笔记本，每本笔记本 一次函数y=5x+1的图象平行的直线，则这个函 2.5元，小红所付款额y(单位：元)与买的本数x 数的表达式是 之间的关系； (2)研究人员发现，在20℃~25℃时蟋蟀 6.已知一次函数y=-2x+4的图象与x轴交 每分钟鸣叫次数y(单位：次)与温度x(单位：℃) 于点A,与y轴交于点B. 的关系如下表： (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 温度x/℃ 212325 (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出 每分钟鸣叫次数y/次112126140 函数y=-2x+4的图象； (3)正方形的边长为x(单位：cm),其面积 (3)求△AOB的面积： (4)直线AB经过怎样上下平移可经过点(0， 6.1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分 y(单位：cm2)与x之间的关系. 的速度竖直上升.与此同时，2号探测气球从海拔 3)? 20米处出发，以固定的速度竖直上升，两个气球 都上升了60分钟.1号、2号气球所在位置的海拔 y1,(单位：米)与上升时间x(单位：分钟)的函 数关系如图4所示.请根据图象回答下列问题： (1)b= (2)请求出y,y2与x的函数关系式； (3)在y2的函数关系式中，一次项系数表示 的实际意义是 6.某市电力公司为鼓励居民节约用电，采用} (4)当上升多长时间时，两个气球的海拔差 分档计费的方法计算电费，各档次计费方法如表： 为6米？ 计费档户月用电量x/(kW·h)单价/[元/(kW·h)] yW米 第一档 0<x≤210 0.6 4.4一次函数的应用 第二档 210<x≤400 0.7 屋础训练 第三档 x>400 0.9 1.一个正比例函数的图象经过点(1，-3)， 204060x/分钟 (1)小明家5月用电200kW·h,需交电费 图4 元； 则它的表达式为 ( (2)若设某户月用电量为xkW·h,应交电费 A.y=3x B.y =-3x 为y元，求y与x之间的关系式； Cy=芳 Dy=-芳 (3)若小明家8月交电费268元，求小明家 8月的用电量. 2.如图1，直线y=mx+n过点A,B,则关于 x的方程mx+n=0的解是 ( A.x=3 B.x=0 C.x=-4 D.x=-1 yem↑ B C 13 B 4-3-2-11123 204050x/天 数理报社试题研究中心 图1 图2 (参考答案见10期) 数理极 素养·测评 16.(10分)已知一次函数y=3x-6的图象分 同步检测 别与x轴、y轴交于点A,B. (1)请直接写出点A,B的坐标：A: B TONGBUJIANCE (2)如图6，在直角坐标系中画出函数图象 【检测范围：4.1~4.4】 (不用列表，直接描点、连线)； 一、精心选一选（每小题4分，共32分） B.15:00甲容器的水流光 (3)点P是一次函数y=3x-6图象上一动 题号1 34 5 67 8 C.甲容器的水面高度h与流水时间t的关系点，求OP的最小值. 式为h=-0.1t+30 答案 D.12:00甲容器的水面高度为12cm 1.下列式子中，y不是x的函数的是 ( 二、细心填一填（每小题4分，共24分） A.y=5-4x B.y= 9.已知函数y=(m-2)x-m2+4(m是常数) C.y=x+1(x>-1)D.y2=-3x 是正比例函数，则m= 2.函数y=-2x+3的图象不经过的象限是 10.一次函数y=kx+b的图象经过点(-3， 456 ( -3),且与直线y=3x-号平行，则6的值为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.等腰三角形的周长为30cm,它的腰长 16 3.下列各点中，在正比例函数y=了的图象 y(cm)与底边长x(cm)的函数关系式是 上 ( ,自变量x的取值范围为 A(26) 12.如图3，在同一平面直角坐标系中，一次函 B.(-3,-1) 数y=kx,y=2x,y=k3x,y=k4x的图象分别为 C.(0,-1) D.(6,3) 直线1,2,3，l4,则，2，k3,k4的大小关系是 4.直线y=x+1向上平移6个单位长度后与 y轴交点的坐标是 ( A.(-7,0) B.(-1,0) C.(0,1) D.(0,7) 5.已知点A(x1,-2),点B(x2,4)是y=-( +1)x+3上的两点，则x1与x,的大小关系是 ( 13.如图4，已知点A(3,0),B(0,2),以线段 17.(12分)甲、乙两家商店出售品质相同的樱 A.> B.x1≥x2 AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,则边 桃，甲商店的樱桃价格为50元/千克，无优惠；乙 C.x1<%2 D.x1≤x2 BC所在直线的函数表达式为 商店的樱桃价格为55元/千克，若一次购买2千克 6.如图1,8个边长为1 14.某快递公司每天上 /件 以上，超过2千克部分的樱桃价格打8折. 个单位长度的小正方形按照 400 午9：30至10：30为集中揽件 (1)设购买樱桃x(x>2)千克，y甲，y2（单位： 图中方式放置在平面直角坐 和派件时段，甲仓库用来揽 240 元)分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付 标系中，直线经过小正方形 收快件，乙仓库用来派发快 款金额，求y甲y2关于x的函数关系式； 的顶点P和Q,则直线的表 图1 件，该时段内甲、乙两仓库的 40 (2)甲、乙两家水果店均按以上销售方式推出 达式为 ( 60x/分钟 快件数量y(件)与时间x(分 图5 售价为330元的樱桃礼盒，若只考虑重量因素，选 A.y =x+1 B.y=2x+1 钟)之间的函数图象如图5所示，那么从9：30开 择在哪家水果店购买樱桃礼盒更合算？ 始，经过 分钟时，两仓库的快递件数相差 C.y=2x+1 D.y=4x+1 40件. 7.在同一平面直角坐标系中，函数y=-kx与 三、耐心解一解（共44分） y=x+k的图象大致是 15.(8分)已知y是x的正比例函数，且函数图 象经过点A(-3,6) 光六 (1)求y与x的函数关系式； (2)当x=-6时，求对应的函数值y; (3)已知点(m,-4)在此函数图象上，求m的 8.“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工 具（如图2-①），综合实践小组用甲、乙两个透明 的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的 流速)的软管，制作了类以“漏刻”的简易计时装 置（如图2-②）.上午10：00，综合实践小组在甲容 器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度 h(cm)与流水时间t(min)的关系如图2-③所 示，下列说法错误的是 60 t/min 图) A.甲容器的初始水面高度为30cm (下转第4版)