10.1 平方根和立方根 课时作业 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

10.1 平方根和立方根 课时作业 华东师大版 · 八年级上册 · 第10章 数的开方 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 用时：______分钟 一、知识梳理 第1课时　平方根 知识点1　平方根的概念：如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根（也叫二次方根）。即：若 ，则 叫做 的平方根。例如 ，，所以 和 都是 的平方根。 知识点2　平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；② 只有一个平方根，就是 本身；③负数没有平方根。 知识点3　平方根的表示：正数 的正的平方根记作 ，读作“根号 ”；负的平方根记作 。合起来记作 ，其中 叫做被开方数。例如 。 知识点4　算术平方根：正数 的正的平方根 叫做 的算术平方根； 的算术平方根是 ，即 。 知识点5　开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算，可以借助平方运算来求一个数的平方根。 知识点6　两个重要结论：①当 时，（双重非负性）；②当 时，；对任意数 ，，例如 。 知识点7　小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位。例如 ，则 ，。 第2课时　立方根 知识点8　立方根的概念：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根（也叫三次方根）。即：若 ，则 叫做 的立方根，记作 ，读作“三次根号 ”，其中 是被开方数， 是根指数（根指数 不能省略）。 知识点9　立方根的性质：每个数都有且只有一个立方根。正数的立方根是正数；负数的立方根是负数； 的立方根是 。 知识点10　开立方及重要结论：求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。，，。 知识点11　小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位。例如 ，则 。 平方根与立方根对比 比较项目 平方根 立方根 定义 若 ，则 是 的平方根 若 ，则 是 的立方根 表示 （） 正数 两个，互为相反数 一个，是正数 0 一个，是0 一个，是0 负数 没有平方根 一个，是负数 被开方数范围 任意数 图形认识 下图①中两个面积为 的小正方形，沿对角线剪开后可以拼成图②中面积为 的大正方形，大正方形的边长就是 的算术平方根 ；下图中正方体的体积 ，已知体积求棱长就是求 的立方根。 图③ 正方体的棱长与体积 二、典例精析 例1　求下列各数的平方根和算术平方根：（1）；（2）；（3）。 解：（1）因为 ，所以 的平方根是 ，算术平方根是 。 （2）因为 ，所以 的平方根是 ，算术平方根是 。 （3），所以 的平方根是 ，算术平方根是 。 点拨：求一个数的平方根时，先想“谁的平方等于这个数”；对于 这样的式子，应先算出它的值再求平方根。 例2　求下列各式中 的值：（1）；（2）。 解：（1），，所以 。 （2）因为 ，所以 ，解得 。 点拨：把含未知数的部分看成一个整体，先化成 或 的形式，再开平方或开立方。开平方时要注意有两个结果。 例3　已知 ，求 的值。 解：因为 ，，且它们的和为 ，所以 ，，即 ，。于是 ，所以 。 点拨：几个非负数的和为 ，则每个非负数都等于 。 例4　已知 ，，求 和 的近似值。 解： 是 的小数点向右移动两位得到的，所以 ； 是 的小数点向左移动两位得到的，所以 。 三、课时训练 第1课时　平方根 （一）基础巩固 1． 的平方根是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A． 的平方根是 B． 没有平方根 C． 的平方根是 D． 的平方根是 3． 的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 4．若式子 有意义，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．一个正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正数是（　　） A． B． C． D． 6．估计 的值在（　　） A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间 7．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 9． 的算术平方根是__________， 的平方根是__________。 10． 的平方根是__________。 11．__________；__________。 12．若 ，则 __________。 13．已知 ，则 __________，__________。 14．算术平方根等于它本身的数是__________。 15． 的平方根是__________。 16．若 ，则 __________。 （二）能力提升 17．求下列各数的平方根和算术平方根： （1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）。 18．求下列各式中 的值： （1）；　　　　　　（2）； （3）；　　　　 （4）。 19．计算： （1）；　　　　（2）； （3）；　　　（4）。 20．已知 的平方根是 ， 的算术平方根是 ，求 的平方根。 （三）拓展应用 21．如图，学校有一块面积为 m² 的正方形花圃。 （1）求这块花圃的边长 ； （2）若要把花圃的面积扩大为原来的 倍（仍为正方形），边长变为多少米？ 22．如“图形认识”中的图①②，用两个面积为 的小正方形拼成一个面积为 的大正方形。 （1）大正方形的边长是多少？它在哪两个相邻整数之间？ （2）小明说：“大正方形的边长一定比 小。”你同意吗？请说明理由。 第2课时　立方根 （一）基础巩固 1． 的立方根是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A． 的立方根是 B．负数没有立方根 C．立方根等于本身的数只有 和 D． 的立方根是 3． 的值是（　　） A． B． C． D． 4．若 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．一个正方体的体积是 cm³，则它的棱长是（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 7． 的立方根是__________；立方根等于它本身的数是__________。 8．__________；__________。 9．__________；__________。 10．若 ，则 __________。 11．已知 ，，则 __________，__________。 12． 的立方根是__________。 （二）能力提升 13．求下列各数的立方根： （1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）。 14．求下列各式中 的值： （1）；　　　　　　（2）； （3）；　　　　 （4）。 15．计算： （1）；　　　　　（2）； （3）；　　　（4）。 16．已知 的平方根是 ， 的立方根是 ，求 的算术平方根。 （三）拓展应用 17．如“图形认识”中的图③，一个正方体木块的体积为 cm³。 （1）求这个正方体的棱长； （2）若要做一个体积是它的 倍的正方体，新正方体的棱长是原来的几倍？是多少厘米？ 18．探究规律： （1）填写上表，你发现被开方数 的小数点与它的立方根 的小数点的移动有什么规律？ （2）已知 ，，利用规律求 、 的近似值。 19．若 与 互为相反数，求 的值。 四、参考答案与解析 第1课时　平方根 1．C　解析：因为 ，所以 的平方根是 。注意不要与算术平方根 混淆。 2．D　解析：负数没有平方根，A 错； 的平方根是 ，B 错； 的平方根是 ，C 错；， 的平方根是 ，D 正确。 3．A　解析：，算术平方根只取正值，所以是 。 4．B　解析：被开方数必须是非负数，所以 ，即 。 5．B　解析：一个正数的两个平方根互为相反数，所以 ，解得 。于是两个平方根是 和 ，这个正数是 。 6．C　解析：因为 ，所以 ，即 。 7．B　解析：，A 错；，B 正确；，C 错；，D 错。 8．A　解析：由非负数性质得 ，，所以 ，，。 9．；。 10．。解析：， 的平方根是 。 11．；。 12．。 13．；。解析： 是由 的小数点向右移动两位得到的，算术平方根的小数点向右移动一位； 是 的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位。 14． 和 。 15．。解析：， 的平方根是 。易错点：误答为 。 16．。解析：要使式子有意义，需 且 ，所以 ，此时 ，。 17．解：（1） 的平方根是 ，算术平方根是 ； （2） 的平方根是 ，算术平方根是 ； （3） 的平方根是 ，算术平方根是 ； （4），平方根是 ，算术平方根是 。 18．解：（1）； （2），，； （3），所以 或 ； （4），，所以 或 。 19．解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 。 20．解：因为 的平方根是 ，所以 ，。因为 的算术平方根是 ，所以 ，即 ，。所以 ， 的平方根是 。 21．解：（1），因为 ，所以 （m）。 （2）扩大后面积为 （m²），边长为 （m）。 归纳：正方形面积扩大为原来的 倍，边长扩大为原来的 倍。 22．解：（1）设大正方形边长为 ，则 ，。因为 ，所以 ，在 和 之间。 （2）同意。因为 ，所以 。 第2课时　立方根 1．A　解析：，正数只有一个立方根。 2．A　解析：负数有立方根，B 错；立方根等于本身的数是 、、，C 错； 的立方根是 ，不是 ，D 错。 3．B　解析：。 4．B　解析：。 5．B　解析：； 正确；，所以 ，而 ；，立方根只有一个。 6．B　解析：棱长为 （cm）。 7．；，，。 8．；。 9．；。 10．。 11．；。解析： 是 的小数点向右移动三位，立方根小数点向右移动一位； 是 的小数点向左移动三位，所以 。 12．。解析：，。 13．解：（1）；（2）；（3）；（4）。 14．解：（1）； （2），； （3），； （4），，。 15．解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 。 16．解：由题意得 ，所以 ；，即 ，所以 。于是 ，其算术平方根为 。 17．解：（1）棱长为 （cm）； （2）新正方体体积为 （cm³），棱长为 （cm），是原来的 倍。 归纳：正方体体积扩大为原来的 倍，棱长扩大为原来的 倍。 18．解：（1）表中依次填 ，，，，。规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位。 （2），。 19．解：因为 与 互为相反数，所以 与 也互为相反数，即 ，整理得 。所以 。 点拨：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。 华东师大版八年级上册 10.1 平方根和立方根 课时作业 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $