10.1.2 立方根（第2课时：立方根与平方根的综合应用） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念运算到综合应用拓展，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|立方根与平方根的概念辨析、基本计算|单选/填空夯实基础，如概念辨析题强化抽象能力| |B能力提升|两者综合运算、数量关系推理|解答题强化综合应用，如方程求解培养推理意识| |C综合与实践|拓展概念（四次方根等）、实际情境应用|探究题培养创新意识，如华罗庚解题方法渗透应用意识|

10.1.2 立方根（第2课时：立方根与平方根的综合应用） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用算术平方根的含义、立方根的含义可快速排除错误选项． 【详解】解：，A错误． ，B错误． ，C错误． ，D正确． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键． 根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 3．下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，根据相关定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】选项A：， 的立方根是， 选项A错误，不符合题意； 选项B：正数都有平方根，， 有平方根， 选项B错误，不符合题意； 选项C：负数没有算术平方根，是负数， 算术平方根等于它本身的数只有和， 选项C错误，不符合题意； 选项D：， ， 选项D正确，符合题意． 4．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 5．的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义化简，然后再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 又的立方根是， 的立方根是， 故选：C 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 6．已知的立方根为，则的算术平方根是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义求出的值，再代入求出的值，最后由算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：的立方根为， ， 解得， ， 的算术平方根为， 故选：C． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 二、填空题 7．已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 8．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； ∵的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为． 三、解答题 9．已知正数的算术平方根是3，的立方根是．求的平方根． 【答案】的平方根为 【分析】根据算术平方根以及立方根的性质求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵正数的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的平方根为． 10．在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和，解出b才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125的立方根a组成．进入密室后，需解出关于x的方程，才能兑换奖励． (1)求a， b， x的值； (2)将奖励存入边长为的正方体盒子，若盒子体积比大k，求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)6 【分析】本题考查了平方根、立方根的应用等知识，解题的关键是： （1）根据平方根的定义求出b，根据立方根的定义求出a，然后把a代入方程，最后解方程求出x即可； （2）先求出k的值，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵a是125的立方根， ∴， ∴方程变形为， 解得； （2）解：根据题意，得， ∴的算术平方根为． 11．观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)2，算术平方根，1 (2)①；；② (3)3，1；①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）①利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；②利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解；②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：2，算术平方根，1 （2）解：①∵． ∴，； 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为： （3）解：被开方数的小数点向左或向右每移动3位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：3；1 ①∵， ∴； 故答案为： ②∵， ∴． 故答案为： 【B能力提升】 一、单选题 1．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 2．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 3．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 【答案】0 或 64 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 4．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 三、解答题 5．按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 6．已知的立方根是，的算术平方根是6，c是的整数部分．求的值． 【答案】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义求出和的值，估算得到整数的值，代入代数式计算即可． 【详解】解： 的立方根是，的算术平方根是， ，， 计算得：，解得， ，解得， ，即， 的整数部分为，即， 将，，代入得： ， 综上所述，的值为． 【C综合与实践】 1．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根 (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则a的取值范围是______； (3)求x的值：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查新定义，开方运算，解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； 故答案为：； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 2．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 【答案】(1)两；9；3；39 (2)110592的立方根为48，说明见解析 【分析】（1）根据立方根的定义补全过程即可； （2）仿照题干思路作答即可． 【详解】（1）解：因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个两位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是9； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是3．所以． （2）解：因为是一个立方数，即某个整数的立方， 由， 所以， 即能确定是一个两位数； 又∵的个位上的数是 ∴能确定的个位上的数是8； 划去后面的三位592得到数110，即将被开方数小数点向左移三位， ∵， ∴， 由此能确定的十位上的数是4． 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.2 立方根（第2课时：立方根与平方根的综合应用） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 4．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 5．的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 6．已知的立方根为，则的算术平方根是(      ) A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，，则____________． 8．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 三、解答题 9．已知正数的算术平方根是3，的立方根是．求的平方根． 10．在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和，解出b才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125的立方根a组成．进入密室后，需解出关于x的方程，才能兑换奖励． (1)求a， b， x的值； (2)将奖励存入边长为的正方体盒子，若盒子体积比大k，求的算术平方根． 11．观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【B能力提升】 一、单选题 1．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 2．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 二、填空题 3．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 4．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 三、解答题 5．按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 6．已知的立方根是，的算术平方根是6，c是的整数部分．求的值． 【C综合与实践】 1．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根 (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则a的取值范围是______； (3)求x的值：． 2．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $