5.3 二次函数的应用（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 5.3 二次函数的应用 ( 题型0 1 )运动轨迹类 1.B 2.C 3．B 4.D 5.B 6．B 7．B 8.C 9．解：（1）把h＝15代入h＝20t﹣5t2中得：15＝20t﹣5t2， 整理得：t2﹣4t+3＝0， 解得：t1＝1，t2＝3， ∴经过1或3秒时球的高度为15米； （2）球在上升过程中，球的高度不能达到21米， 理由：当h＝21时，21＝20t﹣5t2， 整理得：5t2﹣20t+21＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×5×21＝400﹣420＝﹣20＜0， ∴此方程没有实数根， ∴球在上升过程中，球的高度不能达到21米． 10．解：（1）由题可得，点A的坐标为（0，2）， 当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m．该抛物线的顶点为（4，3.6）， 设该抛物线的顶点式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 把点A代入得2＝16a+3.6，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）令y＝0得﹣0.1x2+0.8x+2＝0， 两边同时乘以﹣10得x2﹣8x﹣20＝0， 因式分解得（x﹣10）（x+2）＝0， 解得x1＝10，x2＝﹣2， ∴点B的坐标为（10，0）， ∴水柱落地点与雕塑OA的水平距离为10m． ( 题型0 2 )几何图形类 11．C 12．B 13．C 14．A 15.B ( 题型0 3 )销售最值类 16.D 17．A 18．C 19．A 20．解：（1）y＝（12﹣x）（20+4x）＝﹣4x2+28x+240（0＜x≤3）； （2）y＝﹣4x2+28x+240， ∵a＝﹣4＜0，开口向下， 对称轴为直线x3.5， 又因为0＜x≤3，y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y取得最大值＝﹣4×32+28×3+240＝288，最大值为288， 则当x＝3时，每周的总利润最大，最大总利润是288． 21．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由题意可得： ， 解得． ∴y＝﹣4x+324（30≤x≤80，且x是整数）． （2）根据题意，得w＝x（﹣4x+324）﹣1500＝﹣4x2+324x﹣1500（30≤x≤80，且x是整数）． （3）w＝﹣4x2+324x﹣1500＝﹣4（x﹣40.5）2+5061， ∵30≤x≤80，且x是整数， ∴x＝40或41时，w最大为5060． 答：电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元． ( 题型0 4 )拱桥、隧道、抛物线型类 22．B 23．A 24．D 25．A ( 题型0 5 )减速刹车类 26．C 27．A ( 题型0 6 )创新考法 28．D 29．C 30．D 31.B 32．C 33．C 34．D 35．C 36．解：（1）由题意可知，B（6，0.9），E（3，1.8），则： ， 解得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9． （2）绳子不能通过她的头顶， 理由：∵y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8， ∴抛物线的顶点坐标为（3，1.8），即绳子甩到最高处时的高度为1.8米， 由图象可知，P（1，0）， 当x＝1时，y＝﹣0.1×（1﹣3）2+1.8＝1.4， ∵1.4＜1.45， ∴绳子不能通过她的头顶． （3）令﹣0.1a2+0.6a+0.9＝1.7， 解得：a1＝2，a2＝4， ∴2＜a＜4． 37.B 38．解：（1）设y＝a（x﹣6）2+12， 将点（0，0）代入，得36a+12＝0， 解得， ∴． （2）∵当x＝9时，， BE＝6+5＝11＞9， ∴石块不能飞越防御墙AB． （3）A的坐标为（9，6）， 设直线OA为y＝kx， ∴6＝9k， ∴， ∴． 作直线MN⊥x轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N， 设点，则点N的坐标为， ∴， ∴当m＝5时，MN有最大值，最大值为， ∴在竖直方向上，最大距离是米． 39．C 40.解：（1）由题意，∵抛物线顶点D（4，6）， ∴设顶点式：y＝a（x﹣4）2+6， ∵点C在喷水架上，喷水架高1.4米，AO＝3米， ∴C为（0，3+1.4），即（0，4.4）． 将C（0，4.4）代入顶点式：4.4＝a（0﹣4）2+6， ∴a． ∴抛物线为：，即； （2）点E到喷水架的水平距离能超过10米，理由如下： 由题意，∵斜坡AB的坡度为1：5，即铅直高度：水平距离＝1：5， ∴坡度且AB向下倾斜， ∴， ∵A（0，3）， ∴设AB的解析式为yx+3． 联立方程：， ∴． ∴． ∴米（舍去负根）． ∵x≈11.245＞10， ∴点E到喷水架的水平距离能超过10米． 41.C 42.解：（1）由表格数据可知y与x成正比例关系，设y＝kx， 将x＝1，y＝50代入得k＝50， ∴y与x的函数关系式为y＝50x， 当x＝40时，y＝50×40＝2000（元）； （2）收支平衡满足y＝ω， ∴50x20x+500． x2﹣120x+2000＝0， （x﹣20）（x﹣100）＝0， 解得x1＝20，x2＝100，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入y与x的新关系式为； （3）设净收益为W， ∴W＝mx﹣（20x+500）x2+（m﹣20）x﹣500， ∴二次函数开口向下， ∴当时W取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴2（m﹣20）＝80． 解得m＝60． 43．解：（1）∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示， ∴逆风风速1m/s记为﹣1m/s， 故答案为：﹣1； （2）理由如下： ∵坐标原点为（0，0），对应风速w＝0表示零风速，此时风速影响下的成绩T就是零风速下的成绩T0，即T＝T0， ∴y＝T0﹣T＝0， ∴函数图象经过坐标原点； （3）已知二次函数模型为y＝﹣0.004w2+0.07w， 将w＝2代入得：y＝﹣0.004×22+0.07×2＝﹣0.016+0.14＝0.124， 即顺风风速2m/s时的成绩变化量y为0.124s； （4）解：由题意得y＝T0﹣T变形得T0＝T+y， 第一次比赛：顺风w1＝2m/s，成绩T1＝11.12s， 由（3）得y1＝0.124s，则零风速成绩T0'＝11.12+0.124＝11.244（s）， 第二次比赛：逆风w2＝﹣1m/s，成绩T2＝11.30s，将w2＝﹣1代入函数得： y2＝﹣0.004×（﹣1）2+0.07×（﹣1）＝﹣0.004﹣0.07＝﹣0.074， 则零风速成绩T0''＝11.30+（﹣0.074）＝11.226（s）， ∵11.226＜11.244，100米跑成绩越小说明竞技水平越高， ∴该运动员训练后的竞技水平有提升． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3 二次函数的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 运动轨迹类 题型02 几何图形类 题型03 销售最值类 题型04 拱桥隧道类 题型05 减速刹车类 题型06 创新考法 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )运动轨迹类 1.（2026•安定区三模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为yx2x，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　） A．米 B．8米 C．10米 D．2米 【答案】B 【解析】当y＝0时，即yx2x0，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米. 2.（2026•宁夏模拟）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足的关系为h＝﹣t2+12t+1．当“水火箭”的升空高度为21m时，此时的飞行时间为（　　） A．2s B．10s C．2s或10s D．4s或10s 【答案】C 【解析】将h＝21代入h＝﹣t2+12t+1可得，21＝﹣t2+12t+1，∴t2﹣12t+20＝0，∴t＝2或10， ∴当“水火箭”的升空高度为21m时，此时的飞行时间为2s或10s. 3．（2026•白银模拟）掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A．12m B．10m C．8m D．2m 【答案】B 【解析】设行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 将（0，2）代入得：16a+3.6＝2，解得：a＝﹣0.1，∴y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝﹣0.1x2+0.8x+2， 当y＝0时，﹣0.1x2+0.8x+2＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），∴D点的坐标为（10，0），∴OD的长为10，∴该男生此次掷实心球的成绩是10米. 4.（2025秋•平凉期末）某景点的“喷水巨龙”喷嘴C处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则AD的长为（　　） A．8.3m B．8.6m C．8.8m D．9m 【答案】D 【解析】∵OC＝OB＝8m，∴B（8，0），C（0，8），根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，由题意可得：，解得，∴抛物线解析式为， 当x＝2时，y＝9，即AD＝9m. 5.（2026•碑林区校级模拟）某同学推铅球，铅球出手高度是m，出手后铅球运行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+3，则该同学推铅球的成绩为（　　） A．9m B．10m C．11m D．12m 【答案】B 【解析】把点（0，）代入解析式y＝a（x﹣4）2+3，得：0＝a（4）2+3．解得a， 因此铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y（x﹣4）2+3；令y＝0，即（x﹣4）2+3＝0，解得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去）；∴该学生铅球推出的成绩是10米， 6．（2025秋•岑溪市期末）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x2+4 B．y＝﹣0.2x2+3.5 C．y＝﹣0.2x2+3.05 D．y＝﹣0.2x2+2.5 【答案】B 【解析】根据题意抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．根据题意得，抛物线过点（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5． 7．（2026•芙蓉区校级模拟）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为y＝a（x﹣2）2+2.8．已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则a的值可能是（　　） A．﹣0.8 B．﹣0.1 C．﹣0.05 D．﹣0.01 【答案】B 【解析】当x＝0时，y＝4a+2.8，∵足球能射进球门，∴0＜y＜2.44，∴， 解得﹣0.7＜a＜﹣0.09，则a的值可能是﹣0.1． 8.（2025秋•临漳县期末）多人花样跳绳形式多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明显，受到大众的喜爱．如图，绳被甩至最高处时的形状满足抛物线，甩绳的两名同学两手之间的距离AB＝4，两人甩绳之手距地面的距离均为1.6m，则绳的最高点C与地面之间的距离为（　　） A．1m B．1.6m C．2.6m D．3.6m 【答案】C 【解析】由题意可知，点B的坐标为（2，0），将点（2，0）代入得：， 解得h＝1，则抛物线的解析式为，当x＝0时，y＝1，所以OC＝1，因为两人甩绳之手距地面的距离均为1.6m，所以绳的最高点与地面之间的距离为1+1.6＝2.6（m）. 9．（2026春•上城区期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2． （1）经多少秒时球的高度为15米？ （2）试问球在上升过程中，球的高度能否达到21米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 解：（1）把h＝15代入h＝20t﹣5t2中得：15＝20t﹣5t2， 整理得：t2﹣4t+3＝0， 解得：t1＝1，t2＝3， ∴经过1或3秒时球的高度为15米； （2）球在上升过程中，球的高度不能达到21米， 理由：当h＝21时，21＝20t﹣5t2， 整理得：5t2﹣20t+21＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×5×21＝400﹣420＝﹣20＜0， ∴此方程没有实数根， ∴球在上升过程中，球的高度不能达到21米． 10．（2026•连州市模拟）某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑OA的高度为2m，当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m．以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑OA的水平距离． 解：（1）由题可得，点A的坐标为（0，2）， 当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m．该抛物线的顶点为（4，3.6）， 设该抛物线的顶点式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 把点A代入得2＝16a+3.6，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）令y＝0得﹣0.1x2+0.8x+2＝0， 两边同时乘以﹣10得x2﹣8x﹣20＝0， 因式分解得（x﹣10）（x+2）＝0， 解得x1＝10，x2＝﹣2， ∴点B的坐标为（10，0）， ∴水柱落地点与雕塑OA的水平距离为10m． ( 题型0 2 )几何图形类 11．（2025秋•平江县期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x） 【答案】C 【解析】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．依题意可得：y＝x（40﹣2x）． 12．（2025秋•高唐县期末）如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其内部的一块四边形空地EFGH上种草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE＝AF＝CG＝CH，已知AD＝30m，AB＝50m，则草坪面积最大为（　　） A．600m2 B．800m2 C．1000m2 D．1200m2 【答案】B 【解析】根据题意得y＝50×30﹣2x2﹣2（50﹣x）（30﹣x）＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，∵﹣2＜0，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为800，∴草坪面积最大为800m2. 13．（2025秋•寿县期末）长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝（10﹣x）（20﹣x）（0＜x＜5） B．y＝200﹣4x2（0＜x＜5） C．y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5） D．y＝200+4x2（0＜x＜5） 【答案】C 【解析】∵矩形的长为20cm，宽为10cm，且四个角上分别剪去小正方形的边长为xcm，∴做成的无盖的长方体盒子的底面是长为（20﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm的矩形．根据题意得：y＝（10﹣2x）（20﹣2x），又∵10﹣2x＞0，x＞0，∴0＜x＜5，∴y与x之间的函数关系式为y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5）． 14．（2025秋•杭锦后旗期末）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个矩形活动区，设矩形活动区的宽为xm，则该活动区的面积S可表示为（　　） A．S＝x（24﹣2x） B．S＝x（24﹣x） C．S＝2x（24﹣2x） D．S＝2x（24﹣x） 【答案】A 【解析】利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个矩形活动区，设矩形活动区的宽为xm，则长为（24﹣2x）m，∴S＝x（24﹣2x）. 15.（2026•西湖区一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18m的篱笆围成，墙长DE＝8m，DF＝12m，则花园最大面积为（　　） A．72m2 B．80m2 C．81m2 D．96m2 【答案】B 【解析】设AB＝xm，矩形花园的面积为Sm2，则BC＝（18﹣x）m，根据题意得：S＝x（18﹣x）＝﹣（x﹣9）2+81，∵DE＝8m，DF＝12m，∴，解得10≤x≤12，∵﹣1＜0，∴但x＝10m时，矩形的面积最大，最大面积为80m2. ( 题型0 3 )销售最值类 16.（2026•市南区校级模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40） 【答案】D 【解析】当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，∴销售单价为x元时，每天的销售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天销售纪念品获得的利润w＝（x﹣40）y，∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）． 17．（2026春•沈丘县月考）某超市销售一种商品，每件进价为40元，售价为60元时，每天可销售300件．经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件商品降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（60﹣x﹣40）（300+20x） B．y＝（60﹣x﹣40）（300﹣20x） C．y＝（60﹣40）（300+20x） D．y＝（60﹣x）（300+20x） 【答案】A 【解析】根据每天利润等于单件利润乘以销售量列二次函数解析式可得：y＝（60﹣x﹣40）（300+20x）. 18．（2025秋•西和县期末）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[300+3（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[300+3（x﹣99）] C．w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[300﹣3（99﹣x）] 【答案】C 【解析】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），∵每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件，∴每件电子产品售价为x（元）时，销售量为[300+3（99﹣x）]件，∴w与x之间的函数解析式为w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）]. 19．（2026•麦积区二模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝﹣2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 【答案】A 【解析】设销售该文具每天获得的利润为w元，根据题意可得10≤x≤21，w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200，∵﹣2＜0，二次函数图象开口向下，∴当x＝20时，w取得最大值，又∵10≤x≤21，20在x的取值范围内，∴当x＝20时，w的最大值为200元. 20．（2026•铜山区三模）某超市销售一款水杯，每个可获利12元，每周可以销售20个．经调研：售价每降低1元，每周可多销售4个．设每个降价x元（0＜x≤3），每周总利润为y元． （1）求y与x的函数表达式； （2）当x取何值时，每周的总利润最大？最大总利润是多少？ 解：（1）y＝（12﹣x）（20+4x）＝﹣4x2+28x+240（0＜x≤3）； （2）y＝﹣4x2+28x+240， ∵a＝﹣4＜0，开口向下， 对称轴为直线x3.5， 又因为0＜x≤3，y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y取得最大值＝﹣4×32+28×3+240＝288，最大值为288， 则当x＝3时，每周的总利润最大，最大总利润是288． 21．（2026•宿豫区一模）春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如表所示： 电影票售价x（元/张） 42 60 售出电影票数量y（张） 156 84 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润＝票房收入﹣运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由题意可得： ， 解得． ∴y＝﹣4x+324（30≤x≤80，且x是整数）． （2）根据题意，得w＝x（﹣4x+324）﹣1500＝﹣4x2+324x﹣1500（30≤x≤80，且x是整数）． （3）w＝﹣4x2+324x﹣1500＝﹣4（x﹣40.5）2+5061， ∵30≤x≤80，且x是整数， ∴x＝40或41时，w最大为5060． 答：电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元． ( 题型0 4 )拱桥、隧道、抛物线型类 22．（2025秋•沙市区期末）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A．1m B．2m C．3m D．6m 【答案】B 【解析】如图建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2，由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，则﹣2＝a×22，解得a，∴y，当y＝﹣4.5时，﹣4.5，解得x1＝﹣3，x2＝3，∴此时水面的宽度为：3﹣（﹣3）＝6，∴6﹣4＝2，即水面的宽度增加2m， 23．（2025秋•芜湖期末）如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若AB＝4，CD＝3，以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵AB＝4，CD＝3，∴B（2，3），设抛物线解析式为：y＝ax2，则3＝4x，解得a， 故抛物线的表达式为：yx2． 24．（2026•庄浪县二模）如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在BA的延长线上，以AB所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为60m，则点P到y轴的距离为（　　） A．70m B．60m C．50m D．40m 【答案】D 【解答】解：由二次函数对称轴公式：x32，点P到x轴的距离为60m，即y＝60，代入解析式：x2+20x﹣240＝60，整理得：x2﹣64x+960＝0，（x﹣24）（x﹣40）＝0，解得x1＝24，x2＝40，因点P在对称轴x＝32的右侧，故x＝40，∴点P的横坐标为40，到y轴的距离为|40|＝40m，答：点P到y轴的距离为40m. 25．（2025秋•社旗县期末）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2已知其底部宽度AB为80m，高度为200m，则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为（　　） A．40m B．45m C．50m D．55m 【答案】A 【解析】已知其底部宽度AB为80m，高度为200m，以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴A（﹣40，0），E（0，200），设y＝ax2+200，将A（﹣40，0）代入y＝ax2+200，得0＝a×（﹣40）2+200，∴，∴，将y＝150代入，得：，∴x＝±20，∴C（﹣20，150），D（20，150），∴离地面150m处的水平宽度（即CD的长）：CD＝20﹣（﹣20）＝40（m）． ( 题型0 5 )减速刹车类 26．（2025秋•广元期末）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．则汽车刹车后到停下来所花的时间是（　　） A．s B．1s C．s D．2s 【答案】C 【解析】∵，∴当时，s取得最大值，即汽车刹车后到停下来所花的时间是秒. 27．（2026•寿光市二模）小亮借用黑、白两个小球进行模拟实验．如图①，黑、白两个小球在一条笔直的滑道上同时向右运动；白球始终以2cm/s的速度匀速运动；黑球从A点开始做匀减速运动，设黑球从开始减速到停止运动的运动时间为x（单位：s），此过程中黑球的运动速度v与时间x满足，黑白两球之间的距离为y（单位：cm），且y与x满足的二次函数图象如图②所示．该图象与y轴交于点C（0，70），最低点为D（m，6）．则下列说法：①m＝16；②n＝20；③当黑球刚好停止运动时，黑白两球相距10cm；④黑白两球相距7cm时，此时x＝14s，正确的是（　　） A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【解析】根据题意得，当两球的速度相等时，两球距离最小，∴此时黑球的速度为2cm/s， ∴将v＝2代入得，，∴x＝16，∵y关于x的函数图象成二次函数关系，最低点D（m，6），∴m＝16，故①正确；∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣16）2+6， 将（0，70）代入得，70＝a（0﹣16）2+6，∴．∴二次函数的解析式为，当v＝0时，，∴x＝20，即n＝20，故②正确；∵黑球刚好停止运动时，x＝20，∴黑白两球的距离为y202﹣8×20+70＝10（cm），∴黑白两球相距10cm，故③正确；当黑白两球相距7cm时，令7，∴x＝14s或18s，故④错误．综上，正确的是①②③． ( 题型0 6 )创新考法 28．（2025秋•辉县市期末）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点C为抛物线顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．已知抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+1，若点A到x轴的距离是0.6dm，则A，B两点之间的距离是（　　） A．dm B．2dm C．4dm D．2dm 【答案】D 【解析】∵点A到x轴的距离是0.6dm，∴令y＝0.6，则﹣0.2x2+1＝0.6，解得：或（不符合题意，舍去），∴点A到y轴的距离为，∵点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称，∴. 29．（2025秋•仁寿县期末）某物理兴趣小组对一款烧水壶的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图2，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（　　） A．200W B．220W C．240W D．260W 【答案】C 【解析】设P＝aI2+bI+c（a≠0），把（0，0），（3，180），（4，0）代入P＝aI2+bI+c得， 解得，∴P＝﹣60I2+240I＝﹣60（I﹣2）2+240，∵﹣60＜0，∴当I﹣2＝0，即I＝2时，P有最大值，最大值为240，∴变阻器R消耗的电功率P最大为240W， 30．（2026•鹿邑县一模）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（单位：cm/s）与弹簧被压缩的长度x（单位：cm）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知P（2，n）为该抛物线的顶点，有一条平行于x轴的直线v＝b，且．当小球的速度v不小于b时，弹簧被压缩的长度x的取值范围是（　　） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】∵P（2，n）为该抛物线的顶点，∴设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+n， ∵抛物线经过点（0，3）和（6，0），∴，解得，∴， 联立得，解得，结合函数图象知． 31.（2026•和平区模拟）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系是h＝28t﹣7t2（0≤t≤4）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要4s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动1s时的高度小于运动3.5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解：①小球落地时高度h＝0，令h＝0，得28t﹣7t2＝0，因式分解得7t（4﹣t）＝0， 解得t＝0或t＝4，t＝0为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要4s，①正确；②h＝28t﹣7t2＝﹣7（t2﹣4t）＝﹣7（t﹣2）2+28，∵﹣7＜0，∴h的最大值为28m，28＜30，因此小球高度不可能达到30m，②错误；③当t＝1时，，当t＝3.5时，，∵21＞12.25，因此小球运动1s时的高度大于运动3.5s时的高度，③错误．综上，正确结论的个数是1. 32．（2026•管城区校级三模）函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是s＝﹣2t2+80t．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（　　） A．飞机着陆后前5s滑行的距离为350m B．飞机着陆后滑行800m才能停下来 C．飞机滑行过程中，最后10s滑行了600m D．飞机滑行过程中，最后50m滑行用时5s 【答案】C 【解析】s＝﹣2t2+80t＝﹣2（t﹣20）2+800，所以二次函数开口向下，顶点坐标为（20，800），∴飞机着陆后滑行20s停下，总滑行距离为800m．据此逐项分析判断如下：A：将t＝5代入函数得 s＝﹣2×52+80×5＝350m，A描述正确，不符合题意；B：由顶点可知最大滑行距离为800m，即飞机滑行800m才能停下，B描述正确，不符合题意；C：总滑行时间为20s，最后10s对应t从10s到20s，将t＝10代入得s＝﹣2×102+80×10＝600m，最后10s滑行距离为800﹣600＝200m≠600m，C描述错误，符合题意；D：当滑行距离为800﹣50＝750m时，令﹣2t2+80t＝750，整理得t2﹣40t+375＝0，解得t＝15（舍去大于总时间20s的解t＝25），因此最后50m用时20﹣15＝5s，D描述正确，不符合题意. 33．（2026•青秀区校级模拟）在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度y（单位：m）与时间x（单位：s）之间的关系如表所示，下列结论正确的是（　　） x/s 0 0.3 0.6 0.9 1.5 1.8 … y/m 10 10.75 11.15 11.45 11.45 11.15 … A．运动员的重心相对水面的最大高度是11.45m B．运动轨迹路线的对称轴是直线x＝1.3 C．当x≤1.2s时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D．当x＝2.4s时，运动员入水 【答案】C 【解析】由所给表格可知，当x＝0.9和1.5时，y的值都是11.45，所以抛物线的对称轴为直线x，则当x＝1.2时，y取得最大值且这个最大值大于11.45，所以AB选项不符合题意；因为抛物线开口向下，所以当x≤1.2s时，y随x的增大而增大，即运动员的重心相对于水面的高度持续升高，所以C选项符合题意；由得，当x＝2.4时，y的值也是10，所以此时运动员身体的重心离水面10m，并没有入水，所以D选项不符合题意． 34．（2026•北京校级开学）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的40%，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【解析】设衣服的进价为a元/件．280﹣a＝40%a．解得a＝200．∵衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件，∴衣服售价每降低1元时，每天销量增加5件．设售价定为x元．∵要降低售价，∴衣服售价降低了（280﹣x）元．∴每天销量增加了5（280﹣x）件．∴现在的销量为[200+5（280﹣x）]件．设每天的利润为w元．w＝（x﹣200）[200+5（280﹣x）]＝（x﹣200）（1600﹣5x）．＝﹣5x2+2600x﹣320000．∵a＝﹣5＜0，∴x260时，w有最大值． 35．（2026•北辰区模拟）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若x＝70，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则x＝63； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】设每日销售利润为y元，根据题意：每件利润为（x﹣40）元，每日销量为50﹣2（x﹣60）＝170﹣2x，因此利润函数为：y＝（x﹣40）（170﹣2x）＝﹣2x2+250x﹣6800验证结论①：当x＝70时，y＝（70﹣40）（170﹣2×70）＝30×30＝900，∵结论中说利润为800元，∴结论①错误；验证结论②：二次函数y＝﹣2x2+250x﹣6800开口向下，对称轴为，∵x为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低），∴x＝62满足要求，结论②错误；验证结论③：令y＝1008，得方程（x﹣40）（170﹣2x）＝1008，整理得x2﹣125x+3904＝0，解得x1＝61，x2＝64，两个根均为正整数，因此有两种定价方式，结论③正确；综上，正确结论只有1个. 36．（2026•市南区校级模拟）2025年10月教育部正式推行课间15分钟政策，某校利用大课间阳光体育跳大绳．李刚在观察中发现绳摇到最高处时的形状是抛物线．如图．正在摇绳的李刚和张凯，拿绳的手间距AB＝6m，到地面的距离AO＝BC＝0.9m．小飞在OC的中点D跳起后，绳子刚好通过他的头顶E（DE＝1.8m）．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决以下问题： （1）求该抛物线的函数表达式． （2）若身高1.45m的小丽站在距离原点的水平距离为1m的点P处，绳子摇到最高处时，能否通过她的头顶？请说明理由． （3）如果在跳绳活动中，王明站在O，C之间，且距离原点am，他跳起后头顶距离地面的高度是1.7m，当绳子摇到最高处时，a在什么范围内，绳子能顺利通过王明头顶？结合图象．直接写出a的取值范围． 解：（1）由题意可知，B（6，0.9），E（3，1.8），则： ， 解得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9． （2）绳子不能通过她的头顶， 理由：∵y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8， ∴抛物线的顶点坐标为（3，1.8），即绳子甩到最高处时的高度为1.8米， 由图象可知，P（1，0）， 当x＝1时，y＝﹣0.1×（1﹣3）2+1.8＝1.4， ∵1.4＜1.45， ∴绳子不能通过她的头顶． （3）令﹣0.1a2+0.6a+0.9＝1.7， 解得：a1＝2，a2＝4， ∴2＜a＜4． 37.（2026•雁塔区校级模拟）某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度h（m）与时间t（s）满足二次函数h＝at2+bt，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．该图象的对称轴是直线t＝2.5 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为9m C．当t＝1时，该无人机飞行的高度为6m D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是7s 【答案】B 【解析】由图象可得，t＝2和t＝4时，h＝8，∴对称轴为直线t3，故A错误，不符合题意；将点（2，8），（4，8）代入h＝at2+bt，则，解得，∴抛物线表达式为h＝﹣t2+6t，∵﹣1＜0，∴当t＝3时，hmax＝﹣9+18＝9（m），故B正确，符合题意；当t＝1时，h＝﹣1+6＝5（m），故C错误，不符合题意；当h＝0时，则﹣t2+6t＝0，解得t＝6或t＝0，∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是6s，故D错误，不符合题意. 38．（2026•兴庆区校级二模）图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 解：（1）设y＝a（x﹣6）2+12， 将点（0，0）代入，得36a+12＝0， 解得， ∴． （2）∵当x＝9时，， BE＝6+5＝11＞9， ∴石块不能飞越防御墙AB． （3）A的坐标为（9，6）， 设直线OA为y＝kx， ∴6＝9k， ∴， ∴． 作直线MN⊥x轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N， 设点，则点N的坐标为， ∴， ∴当m＝5时，MN有最大值，最大值为， ∴在竖直方向上，最大距离是米． 39．（2026•松北区二模）新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度0G＝8m，拱高EF＝6m．其中，点G在x轴上，EF⊥OG，OF＝FG． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度OG'＝12m，拱高E'F'＝4m．其中，点G在x轴上，E'F'⊥OG'，OF'＝F'G'． 方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A，D在抛物线上，边BC在OG上；方案二中，矩形框架A'B'C'D的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在OG′上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（　　） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 【答案】C 【解析】方案一：由题意得，点G（8，0）、点E（4，6），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）2+6，将点O（0，0）代入上式得：16a+6＝0，解得：a，则抛物线的表达式为：y（x﹣4）2+6，故A正确；方案二：由题意得，点G′（12，0）、点E′（6，4）， 设抛物线的表达式为：y＝a′x（x﹣12），将点E′的坐标代入上式得：4＝6a′（6﹣12）， 解得：a′，则抛物线的表达式为：yx（x﹣12）x2x，故B正确；令yx2+3x＝3，则x＝4±2，即点A、D的坐标分别为：（4﹣2，3）、（4+2，3），则S1＝AB×AD＝3×（4+24+2）＝12，故C错误；令x2x＝3，解得x＝3或x＝9，∴A′、D′的坐标分别为：（3，3）、（9，3），∴S2＝A′B′×A′D′＝3×（9﹣3）＝18，故D正确． 40.（2026•双塔区校级一模）一个喷水头喷射出的水流可以近似看成抛物线．如图是喷水头为一坡地草坪喷水的平面示意图，建立如图所示平面直角坐标系，喷水架AC的高度为1.4米，点A的铅直高度AO＝3米，当喷射出的水流与喷水架的水平距离为4米时，达到最大高度6米，此时喷射出的水流落到坡面AB的点E处，已知斜坡AB的坡度为1：5． （1）求经过C，D，E三点的抛物线的解析式． （2）判断点E到喷水架的水平距离能否超过10米． 解：（1）由题意，∵抛物线顶点D（4，6）， ∴设顶点式：y＝a（x﹣4）2+6， ∵点C在喷水架上，喷水架高1.4米，AO＝3米， ∴C为（0，3+1.4），即（0，4.4）． 将C（0，4.4）代入顶点式：4.4＝a（0﹣4）2+6， ∴a． ∴抛物线为：，即； （2）点E到喷水架的水平距离能超过10米，理由如下： 由题意，∵斜坡AB的坡度为1：5，即铅直高度：水平距离＝1：5， ∴坡度且AB向下倾斜， ∴， ∵A（0，3）， ∴设AB的解析式为yx+3． 联立方程：， ∴． ∴． ∴米（舍去负根）． ∵x≈11.245＞10， ∴点E到喷水架的水平距离能超过10米． 41.（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 【答案】C 【解析】∵y＝﹣0.1x2+6x＝﹣0.1（x﹣30）2+90，∴当x＝30时，y取得最大值90，即这条鱼此次射出的水流的最大高度是90cm. 42.（2026•深圳）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入y（单位：元）与当日充电汽车数量x（单位：辆）之间的对应关系如表： x 1 2 3 4 5 y 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本ω（单位：百元）与充电汽车数量x之间满足：ω20x+500． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x＝40时，该充电站的收入为多少百元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y＝mx，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益＝收入﹣成本）取得最大值，请写出一个符合条件的m值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 解：（1）由表格数据可知y与x成正比例关系，设y＝kx， 将x＝1，y＝50代入得k＝50， ∴y与x的函数关系式为y＝50x， 当x＝40时，y＝50×40＝2000（元）； （2）收支平衡满足y＝ω， ∴50x20x+500． x2﹣120x+2000＝0， （x﹣20）（x﹣100）＝0， 解得x1＝20，x2＝100，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入y与x的新关系式为； （3）设净收益为W， ∴W＝mx﹣（20x+500）x2+（m﹣20）x﹣500， ∴二次函数开口向下， ∴当时W取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴2（m﹣20）＝80． 解得m＝60． 43．（2026•广西）综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过2m/s，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】 假设1：用w（单位：m/s）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． （1）逆风风速1m/s记为　﹣1　 m/s． 假设2：风速w影响下的成绩记为T（单位：s），零风速状态下的成绩记为T0（单位：s），成绩变化量T0﹣T记为y，y与w的关系用函数近似描述． （2）描述y与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T0和T的关系解释原因． 假设3：用二次函数y＝aw2+bw描述y与w的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：y＝﹣0.004w2+0.07w． 【模型应用】 （3）请你估计顺风风速2m/s时的成绩变化量y． （4）某运动员在专项训练后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风2m/s的条件下跑出11.12s的成绩，第二次在逆风1m/s的条件下跑出11.30s的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/s以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 解：（1）∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示， ∴逆风风速1m/s记为﹣1m/s， 故答案为：﹣1； （2）理由如下： ∵坐标原点为（0，0），对应风速w＝0表示零风速，此时风速影响下的成绩T就是零风速下的成绩T0，即T＝T0， ∴y＝T0﹣T＝0， ∴函数图象经过坐标原点； （3）已知二次函数模型为y＝﹣0.004w2+0.07w， 将w＝2代入得：y＝﹣0.004×22+0.07×2＝﹣0.016+0.14＝0.124， 即顺风风速2m/s时的成绩变化量y为0.124s； （4）解：由题意得y＝T0﹣T变形得T0＝T+y， 第一次比赛：顺风w1＝2m/s，成绩T1＝11.12s， 由（3）得y1＝0.124s，则零风速成绩T0'＝11.12+0.124＝11.244（s）， 第二次比赛：逆风w2＝﹣1m/s，成绩T2＝11.30s，将w2＝﹣1代入函数得： y2＝﹣0.004×（﹣1）2+0.07×（﹣1）＝﹣0.004﹣0.07＝﹣0.074， 则零风速成绩T0''＝11.30+（﹣0.074）＝11.226（s）， ∵11.226＜11.244，100米跑成绩越小说明竞技水平越高， ∴该运动员训练后的竞技水平有提升． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3 二次函数的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 运动轨迹类 题型02 几何图形类 题型03 销售最值类 题型04 拱桥隧道类 题型05 减速刹车类 题型06 创新考法 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )运动轨迹类 1.（2026•安定区三模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为yx2x，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　） A．米 B．8米 C．10米 D．2米 2.（2026•宁夏模拟）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足的关系为h＝﹣t2+12t+1．当“水火箭”的升空高度为21m时，此时的飞行时间为（　　） A．2s B．10s C．2s或10s D．4s或10s 3．（2026•白银模拟）掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A．12m B．10m C．8m D．2m 4.（2025秋•平凉期末）某景点的“喷水巨龙”喷嘴C处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则AD的长为（　　） A．8.3m B．8.6m C．8.8m D．9m 5.（2026•碑林区校级模拟）某同学推铅球，铅球出手高度是m，出手后铅球运行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+3，则该同学推铅球的成绩为（　　） A．9m B．10m C．11m D．12m 6．（2025秋•岑溪市期末）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x2+4 B．y＝﹣0.2x2+3.5 C．y＝﹣0.2x2+3.05 D．y＝﹣0.2x2+2.5 7．（2026•芙蓉区校级模拟）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为y＝a（x﹣2）2+2.8．已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则a的值可能是（　　） A．﹣0.8 B．﹣0.1 C．﹣0.05 D．﹣0.01 8.（2025秋•临漳县期末）多人花样跳绳形式多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明显，受到大众的喜爱．如图，绳被甩至最高处时的形状满足抛物线，甩绳的两名同学两手之间的距离AB＝4，两人甩绳之手距地面的距离均为1.6m，则绳的最高点C与地面之间的距离为（　　） A．1m B．1.6m C．2.6m D．3.6m 9．（2026春•上城区期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2． （1）经多少秒时球的高度为15米？ （2）试问球在上升过程中，球的高度能否达到21米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 10．（2026•连州市模拟）某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑OA的高度为2m，当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m．以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑OA的水平距离． ( 题型0 2 )几何图形类 11．（2025秋•平江县期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x） 12．（2025秋•高唐县期末）如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其内部的一块四边形空地EFGH上种草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE＝AF＝CG＝CH，已知AD＝30m，AB＝50m，则草坪面积最大为（　　） A．600m2 B．800m2 C．1000m2 D．1200m2 13．（2025秋•寿县期末）长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝（10﹣x）（20﹣x）（0＜x＜5） B．y＝200﹣4x2（0＜x＜5） C．y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5） D．y＝200+4x2（0＜x＜5） 14．（2025秋•杭锦后旗期末）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个矩形活动区，设矩形活动区的宽为xm，则该活动区的面积S可表示为（　　） A．S＝x（24﹣2x） B．S＝x（24﹣x） C．S＝2x（24﹣2x） D．S＝2x（24﹣x） 15.（2026•西湖区一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18m的篱笆围成，墙长DE＝8m，DF＝12m，则花园最大面积为（　　） A．72m2 B．80m2 C．81m2 D．96m2 ( 题型0 3 )销售最值类 16.（2026•市南区校级模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40） 17．（2026春•沈丘县月考）某超市销售一种商品，每件进价为40元，售价为60元时，每天可销售300件．经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件商品降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（60﹣x﹣40）（300+20x） B．y＝（60﹣x﹣40）（300﹣20x） C．y＝（60﹣40）（300+20x） D．y＝（60﹣x）（300+20x） 18．（2025秋•西和县期末）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[300+3（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[300+3（x﹣99）] C．w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[300﹣3（99﹣x）] 19．（2026•麦积区二模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝﹣2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 20．（2026•铜山区三模）某超市销售一款水杯，每个可获利12元，每周可以销售20个．经调研：售价每降低1元，每周可多销售4个．设每个降价x元（0＜x≤3），每周总利润为y元． （1）求y与x的函数表达式； （2）当x取何值时，每周的总利润最大？最大总利润是多少？ 21．（2026•宿豫区一模）春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如表所示： 电影票售价x（元/张） 42 60 售出电影票数量y（张） 156 84 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润＝票房收入﹣运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ ( 题型0 4 )拱桥、隧道、抛物线型类 22．（2025秋•沙市区期末）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A．1m B．2m C．3m D．6m 23．（2025秋•芜湖期末）如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若AB＝4，CD＝3，以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 24．（2026•庄浪县二模）如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在BA的延长线上，以AB所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为60m，则点P到y轴的距离为（　　） A．70m B．60m C．50m D．40m 25．（2025秋•社旗县期末）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2已知其底部宽度AB为80m，高度为200m，则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为（　　） A．40m B．45m C．50m D．55m ( 题型0 5 )减速刹车类 26．（2025秋•广元期末）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．则汽车刹车后到停下来所花的时间是（　　） A．s B．1s C．s D．2s 27．（2026•寿光市二模）小亮借用黑、白两个小球进行模拟实验．如图①，黑、白两个小球在一条笔直的滑道上同时向右运动；白球始终以2cm/s的速度匀速运动；黑球从A点开始做匀减速运动，设黑球从开始减速到停止运动的运动时间为x（单位：s），此过程中黑球的运动速度v与时间x满足，黑白两球之间的距离为y（单位：cm），且y与x满足的二次函数图象如图②所示．该图象与y轴交于点C（0，70），最低点为D（m，6）．则下列说法：①m＝16；②n＝20；③当黑球刚好停止运动时，黑白两球相距10cm；④黑白两球相距7cm时，此时x＝14s，正确的是（　　） A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①②④ ( 题型0 6 )创新考法 28．（2025秋•辉县市期末）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点C为抛物线顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．已知抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+1，若点A到x轴的距离是0.6dm，则A，B两点之间的距离是（　　） A．dm B．2dm C．4dm D．2dm 29．（2025秋•仁寿县期末）某物理兴趣小组对一款烧水壶的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图2，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（　　） A．200W B．220W C．240W D．260W 30．（2026•鹿邑县一模）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v（单位：cm/s）与弹簧被压缩的长度x（单位：cm）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知P（2，n）为该抛物线的顶点，有一条平行于x轴的直线v＝b，且．当小球的速度v不小于b时，弹簧被压缩的长度x的取值范围是（　　） A． B．或 C． D． 31.（2026•和平区模拟）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系是h＝28t﹣7t2（0≤t≤4）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要4s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动1s时的高度小于运动3.5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 32．（2026•管城区校级三模）函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是s＝﹣2t2+80t．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（　　） A．飞机着陆后前5s滑行的距离为350m B．飞机着陆后滑行800m才能停下来 C．飞机滑行过程中，最后10s滑行了600m D．飞机滑行过程中，最后50m滑行用时5s 33．（2026•青秀区校级模拟）在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度y（单位：m）与时间x（单位：s）之间的关系如表所示，下列结论正确的是（　　） x/s 0 0.3 0.6 0.9 1.5 1.8 … y/m 10 10.75 11.15 11.45 11.45 11.15 … A．运动员的重心相对水面的最大高度是11.45m B．运动轨迹路线的对称轴是直线x＝1.3 C．当x≤1.2s时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D．当x＝2.4s时，运动员入水 34．（2026•北京校级开学）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的40%，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 35．（2026•北辰区模拟）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若x＝70，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则x＝63； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 36．（2026•市南区校级模拟）2025年10月教育部正式推行课间15分钟政策，某校利用大课间阳光体育跳大绳．李刚在观察中发现绳摇到最高处时的形状是抛物线．如图．正在摇绳的李刚和张凯，拿绳的手间距AB＝6m，到地面的距离AO＝BC＝0.9m．小飞在OC的中点D跳起后，绳子刚好通过他的头顶E（DE＝1.8m）．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决以下问题： （1）求该抛物线的函数表达式． （2）若身高1.45m的小丽站在距离原点的水平距离为1m的点P处，绳子摇到最高处时，能否通过她的头顶？请说明理由． （3）如果在跳绳活动中，王明站在O，C之间，且距离原点am，他跳起后头顶距离地面的高度是1.7m，当绳子摇到最高处时，a在什么范围内，绳子能顺利通过王明头顶？结合图象．直接写出a的取值范围． 37.（2026•雁塔区校级模拟）某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度h（m）与时间t（s）满足二次函数h＝at2+bt，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．该图象的对称轴是直线t＝2.5 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为9m C．当t＝1时，该无人机飞行的高度为6m D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是7s 38．（2026•兴庆区校级二模）图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 39．（2026•松北区二模）新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度0G＝8m，拱高EF＝6m．其中，点G在x轴上，EF⊥OG，OF＝FG． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度OG'＝12m，拱高E'F'＝4m．其中，点G在x轴上，E'F'⊥OG'，OF'＝F'G'． 方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A，D在抛物线上，边BC在OG上；方案二中，矩形框架A'B'C'D的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在OG′上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（　　） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 40.（2026•双塔区校级一模）一个喷水头喷射出的水流可以近似看成抛物线．如图是喷水头为一坡地草坪喷水的平面示意图，建立如图所示平面直角坐标系，喷水架AC的高度为1.4米，点A的铅直高度AO＝3米，当喷射出的水流与喷水架的水平距离为4米时，达到最大高度6米，此时喷射出的水流落到坡面AB的点E处，已知斜坡AB的坡度为1：5． （1）求经过C，D，E三点的抛物线的解析式． （2）判断点E到喷水架的水平距离能否超过10米． 41.（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 42.（2026•深圳）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入y（单位：元）与当日充电汽车数量x（单位：辆）之间的对应关系如表： x 1 2 3 4 5 y 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本ω（单位：百元）与充电汽车数量x之间满足：ω20x+500． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x＝40时，该充电站的收入为多少百元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y＝mx，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益＝收入﹣成本）取得最大值，请写出一个符合条件的m值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 43．（2026•广西）综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过2m/s，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】 假设1：用w（单位：m/s）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． （1）逆风风速1m/s记为　﹣1　 m/s． 假设2：风速w影响下的成绩记为T（单位：s），零风速状态下的成绩记为T0（单位：s），成绩变化量T0﹣T记为y，y与w的关系用函数近似描述． （2）描述y与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T0和T的关系解释原因． 假设3：用二次函数y＝aw2+bw描述y与w的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：y＝﹣0.004w2+0.07w． 【模型应用】 （3）请你估计顺风风速2m/s时的成绩变化量y． （4）某运动员在专项训练后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风2m/s的条件下跑出11.12s的成绩，第二次在逆风1m/s的条件下跑出11.30s的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/s以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $