第3期：等式性质与不等式性质 基本不等式-【数理报】2026-2027学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

17.(15分)已知a>0,b>0,若a+b=2,求： 18.(17分)某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库 19.(17分)若实数x,y,m满足|x-m1>1y-m1,则称x比 (1)a(b+1)的最大值； 外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方 y远离m. 1 4 (2)+a+十6的最小值 米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的背面 (1)若x2-1比1远离0，求x的取值范围： 靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙 (2)对任意两个不相等的正数a,b,证明：a3+b3比a2b+ab2远 体报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150 离2ab√ab. 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的 长度均为x米(2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体 报价为900！+)元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少 米，乙工程队都能竞标成功，试求α的取值范围. 高中数学·必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 高中数学·必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 2026年7月17日·星期五 高中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 3期总第1199期 人教A 0351-5271248 兹理橘 必修（第一册】 希尔伯特的无穷旅舫 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 邮发代号：21-201 大数学家希尔伯特 一、利用不等式的性质比较大小 在一次演讲中虚构了这 1一与1 不等武▣成立可题永确解策略 例1已知a≠1且a∈R,试比较1-a 样一个故事： +a的大小 有一家旅店，设有 ◎山东关丽萍 不等式中恒成立问题是高中学习常见的问0对于x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 解：两代数式作差得，一。 -(1+a)= 无穷多个房间，假定每 题，由于这类问题难度大，不容易理清头绪.下 个房间只能住一人，所 面就这类问题及其求解思路作简单介绍. (A)m≤2 (B)m≤-2 -a 有的房间都住满了人这 第一招：变更主元法 (C)-2<m≤2 (D)-2<m<2 ①当a=0时1-a =0,所以1-a 1 =1+a; 时一位新旅客要一个房 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若 分析：求解此题的关键一是要清楚一元二 间房主说：“不成问题 能适时地把主元变量和参数变量进行“换位”思次不等式解集为R的条件，二是要注意题目并 ②当a<1,且a≠0时。>0，所以 没有说不等式是一元二次不等式. 他把这位旅客安排在1 考，往往会使问题降次、简化 -a >1+a; 例1若不等式2x-1>m(x2-1),对满足 解：①当m-2=0,即m=2时，原不等式 号房间，让1号房间的客 -2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围. 为-4<0，显然其解为全体实数，故m=2满足 ③当a>1时。<0所以a <1+a. 人安排到2号，2号房间 分析：这是一个关于x的二次不等式恒成立 题意 的客人到3号，3号房间 的问题，但若以x为主元考虑解题将非常复杂， ②当m-2≠0，即m≠2时， 综上，当a=0时1-a =1+a;当a<1 的客人到4号，…这样 若变换思路，以m为主元便可构建m的一次函 若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对 就把新来的这位客人安数，使问题容易求解， 于x∈R恒成立，则 且a≠0时。>1+a当a>1时- d. 排下了 解：原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0, 「m-2<0, 4=[2(m-2)]2-4(m-2)×(-4)<0, 但严重的问题来 令fm)=(x2-1)m-(2x-1), 则问题转化为求一次函数f代m)在-2≤m 解得-2<m<2. 了，一次来了一个“无穷 ≤2内恒为负值时x应满足的条件，即 综合①②得，-2<m≤2.故选(C) 例析 旅行团”，它的成员个数 /-2)=-2(x2-1)-(2x-1)<0, 点评：对于涉及含有字母系数的“一元二 与正整数一样多这时 f(2)=2(x2-1)-(2x-1)<0. 次”不等式在解答时一定要注意其二次项系数 不等式性质的应用 刚才的应急措施行不通 解得-五。<1片 为零的情况 了，怎么办呢？店主人又 2 第四招：实根分布法 ◎山西 郭海燕 点评：本题通过主变量与参变量的转化，抓 例4设函数f(x)=x2+x-2,若f八x)>ax 二、利用不等式的性质证明不等式 有了新招.他请1号房间 住了问题的本质，寻找到解题的最佳切入点. -5,当0<x<2时恒成立，求实数a的取值范围 的客人到2号，2号的客 分析：求解指定区间上的一元二次不等式 例2已知a>b>0,c<d<0,证明√ 第二招：分离参数法 人到4号，3号的客人到6 若能把不等式中的参数a与未知数x完全恒成立问题时，常需运用“三个二次”的辩证统 号， …这样所有的奇 分离出来，得到不等式a>f(x),或a<f(x),则一关系，借助二次函数的图象和从动态到静态 数号的房间都空出来a>f(x)恒成立0>f(x)sa<f(x)恒成立的思维方式，结合方程f八x)-(ax-5)=0在0 证明：-日-(）=二 了，正好安排给这个“无 台a<f(x)mn <x<2内实根分布情况去确定不等式f(x)> 因为c<d<0,所以-e>-d>0, 例2当Hx>0时，关于x的不等式x2+(2 ax-5恒成立的等价条件. 穷旅游团”的成员们住 又因为a>b>0,所以-ac>-bd>0,即 a)x+5-a≥0恒成立，求实数a的取值范围. 解：由f(x)>ax-5得2+(1-a)x+3>0. ac-(-bd)>0,又cd>0,所以 如果到了旅游旺 分析：将参数α分离，借助求函数值域的方 故原问题等价于h(x)=x2+(1-a)x+3 a 季，来了无穷多个“无穷 -ac-(-bd>0,所以- de d （-b）>0,所 法求解 >0在0<x<2上恒成立. 旅游团”，怎么办呢？店 解：由题意Vx>0,不等式x+(2-a)x+ 而h(x)=x2+(1-a)x+3是开口向上， 以 > d b>0,所以 对称轴为花=口，1的抛物线 V d b,即 主人略加思索，又想出 5-a≥0， 了一条妙计，把无穷多 即a≤(x+1)2+4 x+1 =x+1+4 x+1 恒成立 故原恒成立问题等价于下面三类情况： 个“无穷旅行团”成员都 三、利用不等式的性质求范围 安排住下了到底怎样安 所以a≤x+1+ 4 x+1/min x>0 ①若x=0,1≤0，则h(0)=3>0恒成 2 例3已知1<<4,2<b<8,求2a+3b 立，所以a≤1恒成立； 与a-b的取值范围， 排下的？留给读者去想 4 又x+1+ =4 解：因为1<a<4,2<b<8 一想，当然这要费一番 +≥2√x+1)(4 +1 ②若x=“,1≥2，即a≥5时，则h(2)= 2 所以2<2a<8,6<3b<24, 脑筋 当且仅当x+1=千即x=1时取“-”，9-2a>0此时ae: 所以8<2a+3b<32. 由以上这个虚构的 因为2<b<8,所以-8<-b<-2. 所以实数a的取值范围为a≤4. ③当A=(1-a)2-12<0时，不等式f(x) 故事，可以看出“无穷1 点评：涉及恒成立不等式中变量的取值范 >ax-5恒成立，解得-25+1<a<25+1. 又1<a<4, 综合①②③得实数a的取值范围为a< 所以1+(-8)<a+(-b)<4+(-2) 的神奇之处 围问题，利用分离参数的方法，常常可以发现隐 即-7<a-b<2. 含的方法，使问题得以轻松解决」 23+1 所以2a+3b的取值范围是{2a+3b18< 第三招：利用判别式求恒成立问题 点评：从实数根的分布这种方法求解是常 2a+3b<32},a-b的取值范围是{a-bI-7 例3不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4< 用方法，同学们平时要认真体会 <a-b<2. 2 素养专练 数理极 专项小练一、等式性质与不等式性质 专项小练二、基本不等式应用 1.已知1<a<3,-1<b<2,y=a+2b,则y的取值范围是( 4 (A){yI0<y<5} (B){yI-1≤y≤7 1.已知x>0,则y=2x+2x+1的最小值为 (C){yI1<y<8} (D){yI-1<y<7 (A)3 (B)4 (C)32 (D)6 2.若a>b>c,a+2b+3c=0,则 ( 2.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品 (A)ab ac (B)ac bc 浓度C随时间t的变化关系为C2-20t+4C=0,则C的最大值为 (C)ab >be (D)al bl>cl bl ( 3.(多选)已知实数a,b满足a>b2+1,则下列不等关系一定正确的是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 () (A)a >2b (B)a>2b+1 3.(多选)已知a6,c均为不等于零的实数，且满足是 +，则下 (C)a>b-1 (D)2a>b2-b+1 列说法正确的是 4.若a,b为正数，且a≠b,则a3+b3 a2b+ab2.(用符号 (A)b2≤ac “>”“<”“≥”或“≤”填空) (B)当ac=1时，b的最大值为1 5.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性 (C)当a+c=2时，b的最大值为1 投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万.“经过n年之 (D)当2+c2=2时，b的最大值为1 后，方案B的投入不少于方案A的投入”用数学关系可表示为 4.若0<x<2,则3x(2-x)的最大值为 (令8)。sI 5.正数x,y满足x+y=xy,则x+9y的最小值是 6.设a,b,c,d均为正数，ab=cd且a+b>c+d,证明：√a+√b>√c+ a 6若对任意>0,0产3恒成立，求a的取值范国 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 第2期2版参考答案 由图可知a<8. 共元素，即a2-2x+1=0至少有一个正根 16.解：(1)由二次函数的性质得挡1≤x≤2时，1≤x2≤4 专项小练一 因为p:]1≤x≤2，x2-a<0为真命题， 当a=0时，-2+1=0，解得=分所以4nB={宁} 1.C2.ABD;3.B;4.mlm≤2；5.③. 所以a>1. 符合题意； 6.解：(1)因为命题p为真命题，p:关于x的方程2-2ax+a2 故实数a的取值范围是{ala>1. 当a≠0时，由4=4-4a=0,解得a=1,此时，A={x1 +a-1=0有实数根， (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1. x2-2x+1=0=1,AnB=1,符合题意； 则4=4a2-4(a2+a-1)≥0，解得a≤1 因为命题g为真命题时，4=4a2-4(2a+a2)≥0， 由(1)得当a>1时，A为空集，不符合题意； 故实数a的取值范围为ala≤l. 解得a≤0， 若0<a<1,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根之和 (2)由(1)知p:a≤1,9：m-1≤a≤m+1. 所以当g为真命题时，a>0. 2 若p是q的必要不充分条件，则m+1≤1，解得m≤0 所以0<a≤1，即实数a的取值范围为al0<a≤1. >0,两根之积以>0，即两根都为正根，符合题意： 故m的取值范涠为mlm≤0. 17.解：(1)由x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0, 若a<0,则4=4-4a>0,am2-2x+1=0的两根之和2 专项小练二 得[x-(m+1)][x-(2m-3)]=0, i 1.B;2.B;3.BD;4.ala>1;5.-1 所以x=m+1或x=2m-3. <0,两根之积<0，即两根为一正根一负根，符合题意 6.解：(1)p:3m∈R,方程x2+x-m=0没有实根 因为命题p为真命题， 综上，实数a的取值范围为{ala≤1. 因为方程x2+x-m=0的判别式△=1+4m, 19.(1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集” 所以当m<-子时4=1+4m<0,方程设有实根。 理由如下： 得-1<m<3. 即存在m∈{mm<-}使得该方程设有实根， 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2年B, 所以A={m1-1<m<3. 所以集合B不是“好集” (2)由(1)得集合A=m-1<m<3,集合B={m 所以p为真命题. 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,y∈Q,都有x-y∈Q, 1-a<m<1+a, (2)q:x∈R,使得x2+x+1>0. 由题得B是A的真子集 且x≠0时，e0 因为4=1-4<0，所以x2+x+1>0恒成立， 当B=⑦时，1-a≥1+a,解得a≤0，满足题意； 所以q为真命题， 所以有理数集Q是“好集” r1-a <l+a,l-a I+a, (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, 第2期3,4版参考答案 当B≠时，1-a>-1,或1-a≥-1， 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A 一、单项选择题 1+a≤3 1+a<3, (3)解：命题为真命题.理由如下： 解得0<a<2. 1~4 BCAC 5~8 ADBC 若x,y中有0,1时，显然有y∈A, 综上，存在实数a∈{a1a<2}满足条件， 二、多项选择题 9.ABD;10.AD;11.BCD. 18.解：(1)若A是空集，则ax2-2x+1=0无实数解 下设，y中不存在0,1，由定义得-1士eA, 所以士e4,则-)e 1 1 三、填空题 当a=0时，-2x+1=0,解得x=7,不符合题意， 12.充分不必要；13.mlm≤-2；14.7. 所以a≠0,4=4-4a<0,解得a>1 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2∈A 四、解答题 即实数a的取值范围为{ala>1 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2∈A; 15.解：(1)AUB={x14≤x<10 (2)若集合A中只有一个元素 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2 因为CRA=x1x<4或x≥8， 当a=0时，-2x+1=0,解得x=?,符合题意： ∈A,可得2y=(x+y)2-x2-)2∈A, 所以(CRA)nB={xI8≤x<10 (2)要使得A∩C≠⑦，画出数轴如下图所示， 当a≠0时，4=4-4a=0,解得a=1,符合题意 所以站e4,由2)得上 y2y+2xy 长 所以a的值为0或1 A,所以xy∈A. (3)当B=x1x>0时，若AnB为非空集合， 综上：y∈A. 4m8 则A={xax2-2x+1=0,a∈R至少与集合B有一个公 故若x,y∈A,则必有xy∈A (A)方<<1 (B)1 c >7>-1 ◎数理报社试题研究中心 (C)ad be (D)a+d>b+c 第I卷选择题（共58分） 10.已知-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8，则 (A)-1≤a≤4 (B)0≤b≤4 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (C)-28≤2a-5b≤14 (D)ab的最大值为24 1不等式2y+2,≥2成立的前提冬件为 ) 11.小王、小张小李三名同学同时从小区门口A地沿同一条路按 (A)x≥2y (B)x 2y 三种不同方式到达学校门口B地，用时（单位：秒）分别为T,T2,T (C)x≤2y (D)x <2y 小王有一半的路程以速度V(单位：米/秒)奔跑，另一半的路程以速 高中数学 2.若x>0,y>0,则x+y++的最小值是 度V(单位：米/秒)奔跑；小张全程以速度√，V(单位：米/秒)奔 ) x y 跑；小李有一半的时间以速度V(单位：米/秒)奔跑，另一半的时间 高中数学 (A)3√2 (B)42 (C)4 (D)2 以速度V2(单位：米/秒)奔跑.其中V,>0,2>0.则下列结论中一 必 3.若-1<a<B<1,则a-B的取值范围为 ) 定成立的是 ( (A){xI-2<x<0 (B){xI-2<x<-1 (A)T,≥T2≥T3 (B)T≤T2≤T 必修第 册 (C){xI-1<x<0 (D){x10<x<1} (C)TT3=T 16.(15分)已知a>0,6>0,a+6=ab.证明：(1+日)(1+ 册 4.若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2ab,2ab,a2+b2 中最大的是 1 ( A (A)a2+b2 第Ⅱ卷非选择题（共92分)》 版 (B)2 /ab 令 (C)2ab (D)a+b 步 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 5.手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”， 心素 它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0~1之间.现某款手 12.已知x,)∈R,且满足号+千=1，则灯的最大值为 A版)同步核心素养测 机的屏占比小于1，设计师将该款手机的屏幕面积和手机前面板面积 同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该新手机的“屏占比”和 评 升级前相比 13.已知实数y满足1≤≤2,2≤号≤3，则号的取信范国 (A)不变 (B)变小 (C)变大 (D)变化不确定 14.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后 6.已知实数m,n满足mn>0,则m_-m。 面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入 'm +n m +3n 的最大值为 相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶 ) 等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在图 (A)3+25 (B)3-23 1,图2中，若AC=b,BC=a(b≥a),AB=c,图1，图2中两个阴影 (C)2+5 (D)2-3 三角形的周长分别为1，，则+上的最小值为 7.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2 a+b 则a,b,c的大小关系是 (A)c≥b>a (B)a>c≥b (C)c>b>a (D)a c>b 8.已知实数x,>0且满足+=1，若不等式4x+9y-1≥ y 图2高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 数理橘 答案详解 2026~2027学年 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期(2026年7月) N}, 第1期2版参考答案 所以M∩N=1,3. 专项小练一 4.由题化简得集合B={x1x>a}, 1.ACD;2.D;3.A;4.{xlx=n,neN};5.2. 结合数轴可知，要使ASB,则只要a≤-1即可， 6.解：(1)不正确. 即实数a的取值范围是aIa≤-1}. 5.当x=0时，m=y,m可取0,1,2： 当x=1时，m=1+y,m可取1,2,3； 所以这个集合有3个元素。 当x=2时，m=2+y,m可取2,3,4. (2)不正确. 因此m的值可以为0,1,2,3,4， 方程(x-3)(x+1)2=0的解是x1=3,6=x3=-1, 即B={0,1,2,3,4},从而A≤B. 因此这个集合只有3，-1两个元素。 6.根据题意知a>-4,则CB={xl-4<x≤a. 专项小练二 又A={xlx<-3或x>1},A∩(C.B)中恰好含有2个 1.D2.C;3.CD;4.BA;5.2. 整数， 6.解：(1)由题知A={x1-2≤x≤5}， 所以A∩(CRB)={xl-4<x<-3或1<x≤a, 当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}共8个元素， 所以3≤a<4. 所以A的非空真子集的个数为28-2=254个. 7.因为A∩B={-2},所以-2∈A, (2)由题知显然m-1<m+1,因为B≤A, 得(-2)2+2p-2=0,解得p=-1. 所以m+1≤5，解得-1≤m≤4， lm-1≥-2， 故A={x1x2+x-2=0}={-2,1}. 所以实数m的取值范围是{m「-1≤m≤4. 又因为AUB={-2,1,5},所以B={-2,5}. 专项小练三 1.A;2.A;3.AD;4.8;5.1. 代化6a lr=-10 6.解：(1)因为A={x|2≤x<7},B={xl3<x<10}, 综上可得p+9+r=-1-3-10=-14. 所以AUB={xI2≤x<10}, 8.由题可得x=√5,2，√2+n,√1+， CRA={x1x<2或x≥7}， 又集合A⊙B有3个元素， 则(CRA)∩B={xI7≤x<10. 当2=√2+n,即n=0时， (2)因为A={x12≤x<7},C={xlx<a},且A∩C A⊙B=5,√2,1}满足题意； ≠0，所以a>2, 所以a的取值范围是ala>2}. 当2=√个+n,即n=1,n=-1(舍去)时， A⊙B={3,2},不符合题意； 第1期3,4版参考答案 当5=个+n,即n=±2时， 集合同步核心素养测评 A⊙B={W5,√2,2}满足题意； 一、单项选择题 1 ~4 CCAD 5~8 DBCB 当5=√2+m,即n=1,n=-1(舍去)时， 提示： A⊙B={5,2},不符合题意 1.根据补集定义可得CB=0,2,6,10. 综上，ne{0,2,-2}, 2.由题意可知B二A, 故所构成集合的非空真子集的个数为23-2=6. 则AUB=A={x∈RIx≠3}. 二、多项选择题 3.因为M={x1-1≤x≤3}，N={x1x=2k-1,k∈ 9.AC;10.ABC;11.ABC. 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 提示： 合，整数集中去掉被3除余0和1的，剩余的只有余数为2的，即 9.因为M军P, R 集合Q 所以MUP=P,故(A)正确； 14.由题意知，第一天售出但第二天未售出的商品有17-3 因为M季P,所以P∩M=M, =14种， 而M至N,故(B)错误； 第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种， 因为NP, 所以前两天共售出的商品有14+10+3=27种， 所以CRP车CRN,故(C)正确； 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， MN,如图1所示， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有14-5=9种， 所以W∩CRM表示的集合为①，不是空集，故(D)错误， 因为9<14， 故选(A)(C 所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品 10.Z={z1川z1≥2}={z1z≥2或z≤-2}， 时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27. 因为X={xI-2<x<2}, 四、解答题 所以CRX={xIx≤-2或x≥2}，(B)正确； 15.解：(1)因为2∈B,BCA, CRY=yly>23, 则(CRX)U(CRY)=xlx≤-2或x≥2}，(A)正确； 所以P=+ax+a, l3=x2-5x+9, XnY={xl-2<x<2},CR(XnY)={xIx≥2或 rx=2, x≤-2}，(C)正确： x=3, XUY=fxlx≤2}，C.(XUY)={xlx>2,(D)错误 {a-2或 所以{ 故选(A)(B)(C). (2)因为B=C, 11.若A,B不具有包含关系，用Venn图分别表示集合A- 所以 x2+(a+1)x-3=3, B,A∩B,B-A,如图2， x+ax+a=1, 若A,B具有包含关系，不妨设AB, 解得-1或=3， la=-6la=-2. -B B-A 16.解：0={x1x是不大于9的正整数}=1,2,3,4,5,6， 图2 图3 7,8,9},且(CA)∩B={1,3},(CB)∩A={2,4,8},(CA) 则A-B=0,A∩B=A,B-A如图3所示. ∩(CB)=C(AUB)={6,9},作出Venm图，如图4. 对于(A),图2中，(A-B)∩(B-A)=0, 图3中，A-B=O,所以(A-B)∩(B-A)=⑦，故(A) B 2,4,85,7 1,3 正确； 对于(B),图2中，(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩ 6,9 B)成立， 图4 图3中，(A-B)U(B-A)=B-A,(AUB)-(A∩B) 所以A=2,4,5,7,8},B={1,3,5,7. =B-A, 17.解：(1)由题可得集合B中的元素个数为1， 所以(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩B)成立，故 所以4=4(a+1)2-4(a2-5)=0, (B)正确； 即8(a+3)=0,解得a=-3. 对于(C),若A=B,则A-B=⑦，故(C)正确： (2)因为AUB=A,所以B≤A=1,2. 对于(D),由图3可知，若A手B,则B-A≠⑦，故(D) 对集合B讨论： 错误 当A<0,即a<-3时，B=☑，满足条件： 故选(A)(B)(C). 当4=0，即a=-3时，B={2},满足条件： 三、填空题 当4>0时，要满足条件，必有B=1,2}, 13.Q(或xlx=3k-1,k∈Z}): 由一元二次方程根与系数的关系有 1+2=-2(a+1), 14.27. l1×2=a2-5, 提示： 12.因为A={x1x2+2ax-a<0},-1年A, 此方程组无解，不满足条件，舍去。 所以x=-1满足x2+2ax-a≥0， 综上，实数a的取值范围是{aIa≤-3}. 即1-2a-a≥0，解得a≤3 .1 18.解：(1)由题意知：CRA={xl-3≤x≤7}， 因为(CRA)UB=CRA,故BC(CRA). 13.集合M,P,Q分别代表被3除余0,1,2的整数构成的集 ①当B=☑，即m+1>2m-1时， 2 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 满足BC(CRA),此时m<2; 专项小练二 ②当B≠☑时，若BC(CRA), 1.B;2.B;3.BD;4.{a1a>1};5.-1. rm+1≤2m-1, 6.解：(1)p:3m∈R,方程x2+x-m=0没有实根， 则m+1≥-3，解得2≤m≤4， 因为方程x2+x-m=0的判别式△=1+4m, 2m-1≤7， 综上，实数m的取值范围为m|m≤4. 所以当m<-子时，4=1+4m<0,方程没有实根， (2)因为(CRA)∩B={xIa≤x≤b},且b-a≥1， 即存在me mm<- 4 使得该方程没有实根， 故B≠☑，即m+1≤2m-1, 所以p为真命题. 解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3. (2)q:HxeR,使得x2+x+1>0. ①当2m-1≤7，即m≤4时， 因为4=1-4<0，所以x2+x+1>0恒成立， (CRA)∩B=B={xlm+1≤x≤2m-1}, 所以q为真命题。 故2m-1-(m+1)≥1，解得3≤m≤4； ②当2m-1>7即4<m≤6时. 第2期3,4版参考答案 lm+1≤7， 集合与常用逻辑用语核心素养综合测评 (CRA)nB=x1m+1≤x≤7}， 一、单项选择题 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5； 1~4 BCAC 5~8 ADBC ③当m+1>7,即m>6时，(C4)∩B=0,不合题意 提示： 综上，实数m的取值范围为{mI3≤m≤5}. 1.原命题即“3x>0,ax2-x-2=0”, 19解：()类合{生5,2}是复活集 其否定为“/x>0,ax2-x-2≠0”. 2.由集合知识得AUB=A台BCA, 理由如下 所以“AUB=A”是“BCA”的充要条件 因为1+5.125=-1+5+1-5=-1， 2 2 2 2 3.由题得U={x∈N11≤x≤6}={1,2,3,4,5,6}， 所以CuA=2,4,5,CuB={1,5,6, 所以集合{'5,5}是“复活集 故(CA)n(CB)=5}. (2)由a1,a2}为“复活集”，设a1+42=a1a2=t, 4.若x∈B,则x=4k=2(2)∈A,所以BCA, 因此a1,a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个不等 因为2∈A,且2B,所以A奕B. 正根， 5.由题意可知3x2≥a,1≤x≤3恒成立， 于是4=2-4t>0,且t>0,解得t>4, 只需a≤(3x2)mim=3, 结合选项知a≤4台a≤3，但a≤3=a≤4， 所以a1a2的取值范围是{a1a2Ia1a2>4}. 故a≤3的一个必要不充分条件为a≤4. (3)不妨设A中元素a(i=1,2,3)满足a1<a2<a, 6.因为A={1,2,3,4},B={2,4}, 显然a1a2a3=a1+a2+a3<3a3, 又SCA,SnB≠☑， 因为a,∈N,则a1a2<3,a1aeN, 所以S=2},4},{1,2,2,3},1,4},3,4},{2,4, 所以a1a2=2,且得a1=1,a2=2, 1,2,3},1,2,4},2,3,4},{1,3,4},1,2,3,4}, 则2a3=3+a,解得a3=3, 所以满足条件的集合S的个数是12. 所以“复活集”A=1,2,3}. 7.由x2-x-6=0得x=-2或x=3, 第2期2版参考答案 所以A={-2,3}. 又A∩B=B,所以BCA 专项小练一 当a=0时，ax+6=0无解，B=☑，符合题意； 1.C;2.ABD;3.B;4.{m1m≤2}；5.③. 6.解：(1)因为命题p为真命题，P:关于x的方程x2-2ax+ 当a≠0时，由ax+6=0得x=-6, a a2+a-1=0有实数根， 依题意得-6=-2或-6=3. 则4=4a2-4(a2+a-1)≥0，解得a≤1， a a 故实数a的取值范围为a1a≤1}. 解得a=3或a=-2, (2)由(1)知p:a≤1,9：m-1≤a≤m+1. 对比四个选项知a的值不能为2. 若p是q的必要不充分条件，则m+1≤1，解得m≤0. 8.因为p(a,b)=0, 故m的取值范围为mlm≤0}. 所以√a2+b2-a-b=0,即a2+b2=a+b, 3 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 显然a+b≥0， 泡L亮时，开关K和K2也有可能都闭合，故电路中“开关K和 所以a2+62=a2+b2+2ab,所以ab=0,且a≥0，b≥0， K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件. 所以p(a,b)=0是a与b互补的充分条件； 13.因为3x∈B,x∈A为假命题， 当a与b互补时，则有a≥0，b≥0，且ab=0, 所以Hx∈B,x华A为真命题， 所以a,b中至少有一个数为0， 所以A∩B=O且B≠O. 所以a2+2=(a+b)2, 所以2m<m+1或2m<m+1解得m≤-2， 即/a2+b=1a+b1=a+b, lm+1≤-1l2m≥4， 即实数m的取值范围为{mlm≤-2}. 所以p(a,b)=√a+2-a-b=(a+b)-(a+b)=0, 14.若M中只有1个元素，则M={3}; 所以p(a,b)=0是a与b互补的必要条件， 若M中有2个元素，则M={1,5}或2,4}； 所以p(a,b)=0是a与b互补的充要条件. 若M中有3个元素，则M=1,3,5}或{2,3,4}； 二、多项选择题 若M中有4个元素，则M=1,2,4,5； 9.ABD;10.AD;11.BCD. 若M中有5个元素，则M={1,2,3,4,5}. 提示： 所以满足题意的M共有7个. 9.对于(A),因为A二B,所以Hx∈A,都有x∈B,故(A) 四、解答题 正确； 15.解：(1)AUB=x4≤x<10. 对于(B),因为A不包含于B,所以了x∈A,使得xB,如 因为CRA={x1x<4或x≥8}， A={1,2,3},B=2,3,4},故(B)正确； 所以(CRA)∩B={xI8≤x<10}. 对于(C),当x=2+1时，x2=3+22是无理数，故(C) (2)要使得A∩C≠⑦，画出数轴如下图所示， 错误； C 对于(D),当x=2时，x=2万是无理数，故(D)正确. a 故选(A)(B)(D). 由图可知a<8. 10.U=AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 16.解：(1)由二次函数的性质得当1≤x≤2时，1≤x2≤4. 又A∩(CB)=1,3,5,7},(CA)∩B=2,8,9,10, 因为p:]1≤x≤2，x2-a<0为真命题， 所以A∩B=0,4,6}. 所以a>1. 则A=0,1,3,4,5,6,7}, 故实数a的取值范围是ala>1}. AUB的子集个数为21=2048， (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1. A∩B的子集有8个，非空真子集有6个， 因为命题q为真命题时，4=4a2-4(2a+a2)≥0， 故(A),(D)正确.故选(A)(D). 解得a≤0， 11.由224=4×56可得224∈[0]，故(A)错误： 所以当q为真命题时，a>0. 由-2=4×(-1)+2可得，-2∈[2]，故(B)正确； 所以0<a≤1，即实数a的取值范围为al0<a≤1}. 所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，刚好 17.解：(1)由x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0, 分成[0]，[1]，[2]，[3]共4类，故Z=[0]U[1]U[2]U 得[x-(m+1)][x-(2m-3)]=0, [3],故(C)正确； 所以x=m+1或x=2m-3. 若整数a,b属于同一“类”， 因为命题p为真命题， a 4n +k,n EZ,b 4n2 +h,n EZ, 则a-b=4(n1-n2)+0,所以a-be[0]: 所以~5<m+1<4 L-5<2m-3<4, 反之，不妨设a=4n1+k1,n1∈Z,b=4m2+k2,n2∈Z, 得-1<m<3. 则a-b=4(n1-n2)+(k1-k2), 所以A=m1-1<m<3}. 若a-b∈[0]，则1-k2=0,即k1=k2, (2)由(1)得集合A={mI-1<m<3},集合B=m1 所以整数a,b属于同一“类”， 1-a<m<1+a}, 故整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-b∈[0]，即 由题得B是A的真子集， (D)正确.故选(B)(C)(D). 当B=☑时，1-a≥1+a,解得a≤0，满足题意； 三、填空题 r1 -a<I+a,1-a<1+a, 12.充分不必要；13.{m1m≤-2；14.7. 当B≠0时，{1-a>-1,或{1-a≥-1， 提示： l1+a≤3 1+a<3, 12.当开关K和K2有且只有一个闭合时，灯泡L亮，当灯 解得0<a<2. 4 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 综上，存在实数a∈{aIa<2满足条件. 综上：xy∈A. 18.解：(1)若A是空集，则ax2-2x+1=0无实数解. 故若x,y∈A,则必有xy∈A. 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，不符合题意， 第3期2版参考答案 所以a≠0,4=4-4a<0,解得a>1, 专项小练一 即实数a的取值范围为a1a>1}. 1.D;2.A;3.ACD;4.>; (2)若集合A中只有一个元素， 5.80+20(n-1)≥300， 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，符合题意： 6.证明：(a+b)2=a+b+2√ab, 当a≠0时，4=4-4a=0,解得a=1,符合题意。 (c+a)2=c+d+2ca, 所以a的值为0或1. 由ab=cd,a+b>c+d, (3)当B=xIx>0}时，若A∩B为非空集合， 得(a+6)2>(c+a)2, 则A={x1ax2-2x+1=0,a∈R}至少与集合B有一 所以a+b>√c+a. 个公共元素，即ax2-2x+1=0至少有一个正根. 专项小练二 当a=0时，-2x+1=0,解得x=分，所以AnB= 1.A;2.D;3.BD;4.3;5.16. 6.解：由x>0, {分}，符合题意： 当a≠0时，由A=4-4a=0,解得a=1,此时，A={x1 则3 x2-2x+1=0}={1},A∩B={1},符合题意； 由(1)得当a>1时，A为空集，不符合题意； ≤ 3 =2+5, 25-3 若0<a<1,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根 2x3 -3 之和己>0，两根之积。>0，即两根都为正根，符合题意； 当且仅当x=√3时，等号成立， 若a<0,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根之和 所以a≥ 3x x2-3x+3m =2+5, 2<0,两根之积<0，即两根为一正根一负根，符合题意 a 故a的取值范围为ala≥2+√3}. 综上，实数a的取值范围为aIa≤1}. 19.(1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集”. 第3期3,4版参考答案 理由如下： 不等式性质，基本不等式同步核心素养测评 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2年B, 一、单项选择题 所以集合B不是“好集”. 1 ~4 BCAD 5 ~8 CDAD 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,y∈Q,都有x-y∈Q, 提示： 且x≠0时，士eQ 1.基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数，又x 2y≠0，所以x-2y>0,即x>2y 所以有理数集Q是“好集”. (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, 2++y+2日 】+2λ/y·=2+2=4, 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A. (3)解：命题为真命题.理由如下： 当且仅当x=且y=,即x=1且y=1时等号成立 若x,y中有0,1时，显然有xy∈A, ra-B<0, 下设y巾不存在0,1，由定义得x-1,eA, 3.因为-1<a<B<1,所以-1<-B<1, -1<a<1, 所以寸4则e-1)e4 所以-2<a-B<0, 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2eA. 即α-B的取值范围为x1-2<x<0. 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2∈A; 4.因为0<a<1,0<b<1,且a≠b, 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2∈A, 所以a2+2>2ab,a+b>2ab,a>a2,b>62, 可得2xy=(x+y)2-x2-y2eA, 所以a+b>a2+b2,故选(D). 所以站e4曲2)得时高+ 手=2+2∈A,所以y∈A 5设升级前的“屏占比为会（口>6>0，升级后保古 -5 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 比”为5+m(m>0).因为5+m-点=a-b)m>0,所以 故选(A)(C). a +m a +m aa(a+m) 11.设从A地到B地的距离为S,S>0, 升级后新手机“屏占比”和升级前相比变大. 6.m -m 2mn 2 是是 5m+nm+3n=m㎡+4mm+3nm+3边+4 ≤ 根据题意可知T=文+ s(y+),= 2V V n m 2 易知满足2（化+）=5则%=2 2S 25+ 4=2-5,当且仅当m=尽n时取等号，此时m m +n 由V1>0,V2>0可得， m中3n的最大值为2-万 1: 2Y√/V =T2, 7.由c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0得c≥b. 由b+c=6-4a+3a2, ① =S=12, V+%≤2元元 c-b=4-4a+a2, ② 即可得T≥T2≥T,即(A)正确，(B)错误； ①-②得2b=2+2a2,即b=1+a2, 所以6-a=1+2-a=(a-）广+子>0， 易知了3= S(Vi+V)2S S2 2V V …+= 所以b>a =T,即(C)正确； 综上，c≥b>a. 1 8+9=+9)(+）=13++≥ 时+方 4V,+(y+V2)2 13+ 2y.4红=25，当且仅当=4红 2S(V+2)1 y 即=弓y=子时，等号成立 S 故选(A)(C) 又不等式4x+9y-t≥0恒成立，只需(4x+9y)mim≥t, 三、填空题 因此t≤25，故实数t的最大值为25. 二、多项选择题 12.3； 1a{号2≤号≤2}：41+ 9.ABC;10.AC;11.AC. 提示： 提示： 12.因为x>0,y>0, 9.对(A),因为6>a>1,所以 公<日<1，(A)正确： a 所以1=专+≥2√·子=√骨， /xy 对.因为c<4<-1,所以>日>-1()正确： 所以可≤3，当且仅当号=子，即=子了=2时取等号， 对(C),因为c<d<-1,所以-c>-d>0, 因此xy有最大值3. 所以-bc>-ad,所以ad>bc,(C)正确； 对(D),a=2,b=3,d=-2,c=-3时， a+d=b+c=0,(D)错误. 故选(A)(B)(C). 1≤（≤4，所以专≤≤ 10.由题意可得-3≤3a≤12，即-1≤a≤4，(A)正确； 由-5≤a-b≤4可得-8≤2b-2a≤10， 所以2≤女 s27. 又2≤2a+b≤8， 14.易知△BDE∽△ACB,△GFH∽△ACB, 所以-6≤3b≤18，即-2≤b≤6，(B)错误； 且BD=CD-BC=b-a,GF=a, 2a-5b x(a-b)y(2a+b), 所以BD=b-&=4Gr。a l2 AC b=a+b+e'Ac=b=a+b+e = 则+2y=2,解得=4， l-x+y=-5,y=-1, 所以，=6.2x(a+6+e)6=号x(a+6+e, 因为-20≤4(a-b)≤16，-8≤-(2a+b)≤-2，所 以-28≤2a-5b≤14，(C)正确； 所以+上-a+6+c=1+区+E a+b a b a b 由(A),(B)选项知-1≤a≤4，-2≤b≤6， a2+6 若ab的最大值为24，则a=4,b=6, =1+√a+6+2ab =1+ 2ab 1+ 此时2a+b=14>8,(D)错误. a2+62 6 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期 又因为d2+B≥2ab,所以2ab a2+棕s1, 因为90(++720≥90×2 /16 ·x+7200= 当且仅当a=b时取等号， 14400 所以收+6 1+V=1+， 1 当且仅当 =x,即x=4时等号成立， 所以最小值为1+号 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低， 为14400元. 四、解答题 15.解：(px+qy)2-(px2+qy2) (②根据题意可知90（华+）+72m>01+旦 =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2p9xy, 对任意的2≤x≤6恒成立， 因为p+9=1,所以p-1=-9,9-1=-p, 即x+4)2>1+对任意的2≤x≤6恒成立， 所以(px+qy)2-(px2+q2)=-p9(x2+y2-2xy) =-p9(x-y)2 所以a<+4对任意的2≤x≤6恒成立， 1+x 因为P,9都为正数，所以-p9(x-y)2≤0， 因为a>0,x+42.+)2+6x+)+9=(x+ 因此(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时等号成立. 1+x 1+x 16.证明：因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2√ab,当 》++6≥2V+10+6=12. 9 且仅当a=b=2时取等号，即有ab≥4， 于是得+日)(1+古）=1+女+古+品=1+ 当且仅当+1=即=2时等号成立， 所以0<a<12, a+b+ ab ab =2+6≤2+= 1-9 故当0<a<12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙 工程队都能竞标成功. 所以(1+)(1+古）≤子成立 19.(1)解：由x2-1比1远离0， 17.解：(1)由a+b=2可得a+(b+1)=3, 则1x2-1-0「>11-01， 则a+≤(+)=(2广-子 解得x<-√2或x>2, 所以x的取值范围是{xIx<-2或x>√2. 当且仅当a=6+1,即a=弓，6=号时等号成立， (2)证明：若证a3+b比a2b+ab2远离2ab√ad, 所以a(6+1》的最大值是号 即证la3+b3-2ab√ad1>la2b+ab2-2ab√ab1, 因为a≠b,a>0,b>0, (2)因为a>0,b>0, 则a3+b>2√a6=2ab√ab, 所以a+1>0,b+1>0. 且a2b+ab2>2√a6=2ab√ab, 又a+6=2.所以a+1+6+1=4,所以士+16 4 所以即证a3+b3-2abab>a2b+ab2-2ab√ab, 4(+a+46)a+D+6+1=5+ 即证a3+b3>a2b+ab2, 又a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0, 4g+P]=5+28P]=子，当且仅当 所以a3+b3>a2b+ab2, 即1a3+b3-2ab√ab1>1a2b+ab2-2ab√ab1, 名号g即a宁6号时等号成立 即a3+b比a2b+ab2远离2ab√ab 所以十。+16的最小值为号 第4期2版参考答案 18.解：(1)因为屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x 专项小练 ≤6)，底面积为12平方米， 1.A;2.C;3.B;4.C;5.B;6.ABD;7.B; 所以屋子前面的墙的长度为2米， 8.C;9.{b1-6≤b≤6}. 10.解：(1)由题可知x1=1,x2=b是方程ax2-3x+2= 设甲工程队报价为y元， 0的两个解，且a>0, 则y=3×2×400+2×3x×150+7200=900 16 3 「1+b= 所以{ g解得0=1 x+7200,2≤x≤6， 2 1b=2. 1×b= 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 (2)由(1)知原不等式为x2-(m+2)x+2m<0, 综上可得d>b>a>c. 即(x-m)(x-2)<0, 6.因为不等式(a-2)x2+4(a-2)x+3>0的解集为R, 当m>2时，不等式的解集为{x12<x<m}; 所以当a-2=0,即a=2时，不等式为3>0恒成立，故 当m=2时，不等式的解集为☑； a=2符合题意； 当m<2时，不等式的解集为xlm<x<2}, 当a-2≠0，即a≠2时，不等式(a-2)x2+4(a-2)x+ 1解：()当a+子>0时a>-多 3>0的解集为R, 不等式fx)>0,即(x-a)(2x+3)>0, 则-2>0， 解得<-号或>。 4=[4(a-2)]2-4(a-2)×3<0, 解得2<a<升 所以不等式)>0的解集为{<-子或x>} 综上，实数a的取值范围 {2≤a<} (2)由题知2x2+(3-2a)x-3a+8=0在x<1上有两 个不相等实根， 7.由x+2y=3得(x+2)+(2y+1)=6, 令g(x)=2x2+(3-2a)x-3a+8, 又x>0,y>0,所以x+2>2,2y+1>1, 4>0, 4=4a2+12a-55>0, 即2+(3-2a)-3a+8>0, 所u2*6(*)加+2+a 则8(1)>0， 3-2a<1, 】++ + ）≥6(2+ 4 3-20<1, 4 以或 5 13 2y+1.x+2 解得a<- <a< 5 2+22+1) =子（当且仅当x=y=1时取等号）， 所以实数a的取值范围为aa<- 或 <a< 2 所以由1≤女+，中恒成立可得1≤号 13 8.解不等式x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.解方程2x2 5 +(24+7)+7张=0，得与=-子4=-k①当>子，即 第4期3,4版参考答案 -k<-2时，不等式2x+(2k+7)x+7k<0的解集为-6 7 一元二次函数、方程和不等式核心素养综合测评 一、单项选择题 <x<-子此时不等式组2-8>0， 的解集 1~4 ACBA 5 ~8 ABDB 2x2+(2k+7)x+7k<0 提示： 为{x-k<x<-子} 71 依题意-5≤-k<-4,即4<k≤ 1.由(x+1)(x-3)<0,可得-1<x<3. 2由≠0.可得#>0，则+号=22于 =2, 5:②当k<子即-6>-子时，不等式2+(2+7)x+76 7 x2 7 当组仅当=即=1时，等号成立， <0的解集为-之<x<-k,要使不等式组 改+子的银小值为2 「x2-2x-8>0, 的解集中只有一个整数，则需满足 2x2+(2k+7)x+7k<0 3.因为-1<a<0, -3<-k≤5，即-5≤k<3.所以k的取值范围是{1-5≤ 所以1+a>0,0<-a<1, k<3或4<k≤5}. 所以-a-a2=-a(1+a）>0, 二、多项选择题 a2-(-a3)=a2(1+a)>0, 9.AC:10.AC:11.BD. 所以-a>a2>-a3. 提示： 4.由题意知A={xl-1<x<3},B={x1-3<x<2}, 2<a<5,所以4<a+2b<1,(A)正确： 所以A∩B={xI-1<x<2}, 9.对于(A)2<h<6, 由根与系数的关系可知a=-1,b=-2, [2<a<5,所以-1<a-b<4,(B)不 所以a+b=-3. 对于(B)-3<-6<-1, 5.因为a+b=c+d,a+d>b+c, 正确； 所以2a>2c,即a>c,因此b<d. 对于(C), 因为a+c<b,所以a<b. <a<5:所以2<ab<15,(C)正确： 1<b<3, 一8 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 r2<a<5, 对于(D), -1+n=-m解得m=-2,n=3, 则 1 1 以号<号<5，(D)不正确 <6<1, -1·n=-3. .3 所以m·n=-6. 故选(A)(C) 13.因为正数x,y满足x+4y-xy=0, 10.因为关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集 为{xx<-2或x>3}, 所以x+4y=y,即+4=1， y 所以a<0,且方程ax2-bx+c=0有两个实根-2和3， 则+y=(+(+）=5++女5+ 则片=1，后=-6，即6=a,c60, a x 4y =5+4=9, 所以a+5b+c=a+5a-6a=0,故(A)正确： 2入y c=-6a>0,故(B)错误； 当且仅当：=4，即x=6,y=3时取等号， 由bx2-ax+c>0得ax2-ax-6a>0,即x2-x-6< 0,解得-2<x<3,即bx2-ax+c>0的解集是{x1-2<x 故x+y的最小值为9，则3的最大值为写 x+y <3},故(C)正确： 14.因为T=(1,-1)=-2,T(4,2)=1, 由cx2+ax-b<0得-6ax2+ax-a<0,即6x2-x+1 <0,不等式无解，故(D)错误. 明写片-2复4路=1解得。=16=3. 故选(A)(C). 所以T(2m,5-4m）=2mt3×5:4m≤4， 11.对于(A)f2,4)=2×(1+4)=10, 4m+5-4m f(4,2)=4×(1+2)=12, 解得m≥-之， 即f2,4)<f(4,2),故(A)错误； m,3-2m)=m+3×(3,2m>P,解得m<9-3P 对于(B)(）=1+)=+x≥2， 2m+3-2m 5 因为不等式组恰有3个整数解， 当且仅当号=x,即x1时，等号成立，故(B)正确： 所以2<9,3P≤3，即-2≤P<-子 对于(C),f代x-a,2x）=(x-a)(1+2x）=2x2+(1- 2a)x-a≥-a-2恒成立， 则实数P的取值范围是 -2≤P<-} 即2x2+(1-2a)x+2≥0恒成立， 四、解答题 则4=(1-2a)2-16≤0， 15.证明：(1)由a>b>1,则a-1>0,b-1>0, 解得-子≤a≤名放(0)错误： 故(a-1)(b-1)>0, 由d<c<-2,则c+2<0,d+2<0, 对于(D),由题可知存在x≥2，使得2x2+(1-2a)x+2≤ 故(c+2)(d+2)>0, 0成立， 所以(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0,得证. 设y=2x2+(1-2a)x+2,因为x=0时，y=2>0, (2)由ac+bd-bc-ad=c(a-b)+d(b-a）=(c-d)(a r2a-1<2, -b), 则①4 而a-b>0,c-d>0, l2×22+(1-2a)×2+2≤0， 所以ac+bd-bc-ad=(c-d)(a-b)>0, 或② r2a-1≥2， 4 即ac+bd>bc+ad,得证. 4=(1-2a)2-16≥0， 16.解：(1)由题意，x万元投入A产品， 号，由②解得a≥号 则100-x万元投入B产品，则 由①解得3≤a< y=为+为=18-180+100-2 综上，得a的取值范围是aIa≥3}，故(D)正确。 x+10 5 故选(B)(D). =38-180 0-专，0<x<10 三、填空题 12.-6；13.3； 14 -2≤p<-} 2由0)得，5=8一。言：0- 180 x+10 x+10 提示： 5 ）≤40-20x-28 12.由不等式x2+mx-3<0的解集为xl-1<x<n}, 得-1，n是方程x2+mx-3=0的两根， 当且仅当，9。=号0，即x=20时等号成立 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 所以当x=20时，公司利润最大. 即5x 5bx 5bcx 17.解：(1)y≤4-2a,即x2-(a+2)x+2a≤0， 却6+1+bc+bc+6+1+1+6c+6=1 即(x-a)(x-2)≤0， 所以e严=1，即5x=1,解得x=号 1 +6+bc 因为不等式的解集恰好为{xI2≤x≤5}，所以a=5. 训=。+中=6+1中6器0 1 b 1262+2b+1 (2)由题意得对任意的1≤x≤4，x2-(a+2)x+5+a≥ 0恒成立，即a(x-1)≤x2-2x+5恒成立. b 当x=1时，0≤4恒成立，此时a∈R; 118 6+3 当1<≤4时a≤25-1+超成立， x-1 因为26+6≥2√26·石=22，当且仅当26=方， 因为0<-1≤3，所以1卡≥ 即6。 奇4，当且很当-1号即=3时 2√(x-1)·4 a=大=万时，等号成立， 等号成立，所以a≤4. 所以2b+。有最小值2万， 综上，实数a的取值范围为aIa≤4}. 此时—1 有最大值3-22， 18.解：(1)假设条件①②符合题意 26+ 6+3 因为a=-1,二次函数的图象开口向下， 从而1-1 —有最小值22-2， 所以y<0的解集不可能为x-1<x<3},不满足题意； 2+5+3 假设条件②③符合题意. 由a=-1知二次函数的图象开口向下，y无最小值，不满 1 1 即M=+。++2%有最小值25-2 足题意； 所以满足题意的条件为①③. 第5期2版参考答案 因为不等式y<0的解集为x1-1<x<3}, 专项小练一 所以-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根， 1.C;2.C;3.AC;4.[2,4];5.9. 所以-1+3=2=-合，-1×3= 6.解：(1)因为f)= x+2, 即b=-2a,c=-3a. 11 所以函数y=a成+加+e在x=一名=1处取得最小值， 所以f(2)=2+2=4 因为h(x)=x2+1, 所以a+b+c=-4a=-4,即a=1, 所以h(1)=12+1=2. 所以b=-2,c=-3. (2(2)]=2+1)=f5)=5+2=7 1 1 (2)由(1)知y=x2-2x-3, 则y≥(m-2)x+2m2-3即x2-mx-2m2≥0， 即(x+m)(x-2m)≥0. (3)因为=+2的院义坡为1≠-2，所以y0, 所以当m<0时，不等式的解集为xlx≤2m或x≥-m}; 所以函数fx)的值域为(-∞，0)U(0,+∞). 当m=0时，不等式的解集为R; 因为h(x)=x2+1的定义域是R,由二次函数图象（图略） 当m>0时，不等式的解集为{xlx≥2m或x≤-m}. 知最小值为1， 综上，当m<0时，不等式的解集为{xlx≤2m或x≥-m}; 所以函数h(x)的值域为[1，+∞). 当m=0时，不等式的解集为R; 专项小练二 当m>0时，不等式的解集为xlx≥2m或x≤-m. 1.C;2.D;3.ABC;4.2;5.-2. 1 1。ab ab 6.解：设f代x)=ax2+bx+c(a≠0). 19解：)1+a+1+6=b+0+ab+F 因为f(0)=1,所以c=1. a =a+b+a+b=1 又因为f(x+1)-f(x)=2x, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(aa2+bx+1)=2x, (2)因为abc=1, 整理得2ax+（a+b)=2x. 5ax 5bx 所以原方程可化为ab+a+ac+c+6+i+ 所以2a=2,解得a=1, 5bex la+b=0,lb=-1, 6(ca+c+1)=1, 所以f(x)=x2-x+1. -10 高一数学人教A(必修第一册)第1~5期 所以f0)+f代4)+f6)=0. 第5期3,4版参考答案 二、多项选择题 函数的概念及其表示同步核心素养测评 9.ABD:10.ABC:11.BCD. 一、单项选择题 提示： 1~4 CDBD 5~8 CADA 9.对于每个时间t,都有唯一的h,d与之对应，所以(A), 提示： (B)正确； 1.由fx)=√2x-1,则2x-1≥0，解得x≥2 对于每个d,根据对称性，有两个h与之对应，所以(C)错误； 对于每个h,有唯一的d与之对应，所以(D)正确。 所以函数)的定义城为[分，+0)】 故选(A)(B)(D)· 2.f2)=f0)=02+2=2. 10令1=士≠0，则x= 3.选项(A),(C),(D)的函数图象中存在x,对应多个不 同的函数值，故不可以表示函数，故(B)正确. 2+12+ 4.由题意得a>0,△=4-4a=0, 故f(t)= 所以a=1,所以fx)=x2+2x+1, 所以f(3)=9+6+1=16. 5.令t=x2-1,则t≥-1，且x2=t+1, 即f)=1+十红0且x≠-1).(D)错误： 代入原式得ft)=(t+1)2-1=2+2t(t≥-1)， 0=1++>2,即-÷>0， 故f(x)的解析式为f(x)=x2+2x(x≥-1). 故x(x+1)<0,得-1<x<0,(A)正确： 6.对于(A),两个函数的定义域相同fx)=F=x, g(x)=√=1x1,两者的函数解析式不相同，故两者不是同 由)=1+十x0且-0， 一函数； 得值域为{yIy≠1且y≠2}，(B)正确； 对于(B)f(x)=x2-2,g(t)=t-2,两个函数的定义域 2)=1+2手，（©）正确 1 和对应法则相同，故得到两个函数是同一函数： 故选(A)(B)(C). 对于(C),两个函数的定义域相同为{xIx≠0}，且f(x) 11.依题意，当0≤x≤3时，令y1=a1x+b1, =°=1，g(x)=二=1对应法则相同，故得到两个函数是同 b1=3, 则 解得a1=-1,b1=3,则y1=-x+3; 一函数； 3a1+b1=0, 对于(D),两个函数定义域相同f代x)= x-1,x之1对 l-x+1,x<1, 当3≤x≤4时，令为=5+，则a+6,=3, 3a2+b2=0, 应法则相同，故两个函数是同一函数. 解得a2=3,b2=-9,则y2=3x-9, 7.由a[f(a)-f-a)]>0可知， 若a>0,则fa)-f-a)>0, 因此f(x)= ∫-x+3,0≤x≤3， 3x-9,3<x≤4. 即a+1-[-2×(-a)-1]>0, 对于(A),ff4))=f3)=0,(A)不正确： 解得a<2,所以0<a<2, 对于(B),函数f代x)在[1,3]上随着x的增大而减小，在 若a<0,则fa)-f-a)<0, 即-2a-1-(-+1)<0, [9 上随着x的增大而增大， 解得a>-2,所以-2<a<0, 综上，实数a的取值范围为(-2,0)U(0,2). 而1)=2(9）=1，因此函数)在区间1.碧] 8.令x=y=0,则原式变为f0)+f(0)=f(0)f(0), 上的最大值为2，(B)正确； 即2f0)=f2(0),所以f0)=0或f0)=2, 对于(C),因为当0≤x≤3时，x-3+21x-31=-x+ 当f0)=0时，令y=0得到f(x)+f(x)=fx)f0), 3,当3<x≤4时，x-3+21x-31=3x-9, 所以f(x)=0,不满足题意舍去，所以f(0)=2, 所以f(x)=x-3+21x-31(0≤x≤4)，(C)正确； 令x=y=2,可得f4)+f0)=f2)f2)=0, 所以f4)=-f0)=-2, 对于(D),因为（含）=子（子）=子，观察图象知， 令x=4,y=2,可得f6)+f2)=f(4)f2)=0, 所以f6)=-f2)=0, 当a= 时，不等式)≤a的解集为[受，子]，(D)正确 -11 高一数学人教A(必修第一册) 第1~5期 故选(B)(C)(D). 三、填空题 所以)+）-经导=2. 12.14;13.{1,2};14.（-∞，1]，[0,2). 其中x≠-1且x≠0. 提示： 2 (2)解：由题得1)=中=1 12.在f2x-1)=4x+6中，令2x-1=3,解得x=2, 所以f(3)=2×4+6=14. 所以f225)+2024)+…+2)+)+(2）+ 13.当x=1时，g(f1)=g(2)=2=1+1, 所以x=1是方程的解； +(30）=25)+(20）++2+f(合） 当x=2时，g(f(2)=g(1)=3=2+1, +f1)=2024×2+1=4049. 所以x=2是方程的解； 18.解：(1)由题可知C(8,0),则-8+b=0,即b=8, 当x=3时，g(f3)=g(3)=1≠3+1， 所以y=-x+8,所以B(4,4), 所以x=3不是方程的解， 由图象知，fx)=k的图象经过点B(4,4), 所以方程的解组成的集合为{1,2}. 则4=k·√4，解得k=2. 14.当x≥0时f(x)=-x2 (2)由(1)得，fx)=2E,y=-x+8, +2x=-(x-1)2+1e(-0, 设E(x,2E),则D(x,0),F(8-2E,2E),0<x<4, 1小，当x<0时fx)= 2t+1e -2a0t 所以1CD1=8-x,1DE1=2E,1EF1=8-2E-x, (-∞，1)，所以f(x)的值域为 1FCI=22·E, (-∞，1] 图1 设直角梯形CDEF的周长为L, 不妨设a<b<c,作出函数y=f八x)的图象，如图1所示， 所以l=ICDI+lDEI+lEFI+FC1=16-2x+22·R, 由图象知a∈[-2,0)，b+c=2, 令E=t,0<t<2, 所以a+b+c=a+2∈[0,2). 所以1=16-2x+22·=-22+22t+16 四、解答题 15解：()要使函数有意义，需使-3x-4≥0， =-2-2)°+n, 1x+11-2≠0， 解得x≤-1或x≥4且x≠-3. 所以当：=号，即：=号时，周长1有最大值最大值为n 故函数的定义域为(-∞，-3)U(-3,-1]U[4,+∞)： 所以图书馆平面图CDEF周长的最大值为17， (2)因为y=f(x)的定义域为[-2,3]，要使函数y= 19.解：若x≤-1，则x-3<0,x+1≤0， 孔3x-7)有意义， 所以f(x)=-(x-3)+(x+1)=4; x-2 若-1<x≤3，则x-3≤0，x+1>0, 需使~2≤3x-7≤3， 5 解得 3 所以f(x)=-(x-3)-(x+1)=-2x+2; x-2≠0， x≠2， 若x>3,则x-3>0,x+1>0, 所以f(x)=(x-3)-(x+1)=-4. 故函数-3x7的定义坟为[号2)U(2,号] x-2 4, x≤-1， 16.解：(1)由题意得当x<0时，g(x)=-x>0, 所以f(x)= -2x+2,-1<x≤3， 所以g()=代-)=主=-士 -4,x>3. (1)当-1<x≤3时，-4≤-2x+2<4, 即当x<0时，函数()的解折式为g()=子 所以f(x)的值域为[-4,4)U{4}U{-4,即[-4,4]. (2)由题意得当x≤0时，f(x)=x≤0， (2))>0,即≤1或1<≤3或>3， 4>0 -2x+2>01-4>0, 所以g(f(x)）=g(x)=-x, 解得x≤-1或-1<x<1, 即当x≤0时，函数g(f代x))的解析式为g(f(x)=-x 所以f(x)>0的解集为(-∞，1). 17.(1)证明：因为f(x)=+x 2 (3)f(x)的图象如图2所示， 由图可知，若直线y=a与f代x)的图 -4-20 -2 象无交点，则a的取值范围为(-∞，-4) 4 U(4,+0). 图2 12